+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

Transkript

1 Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( ) Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b 5 då a = 2 och b =.. Visa att n n + n 2 + ( )n n n = där n =, 2,,. 5. Visa med induktion att a 5 2n + är jämnt delbart med 6 för n =, 2,,. b. n + 2n är jämnt delbart med för n =, 2,,. c. n 2 < 2 n för n = 5, 6, 7,. d ( ) n (2n ) = ( ) n + n. n e. 2k k = k = n n 6. Visa att a. cosh 2 = + 2 sinh 2. b. sinh( + y) = sinh cosh y + sinh y cosh. 7. Förenkla så långt som möjligt a. sin arccos arcsin b. cos 2 arccos 8. Verifiera att a. 2 arctan(2 ) = π 6 b. arcsin arcsin = π 9. Finns det något värde på konstanten A så att funktionen f() = 2 + då A då = blir kontinuerlig i punkten =?. Bestäm i förekommande fall inversfunktionen f () till den funktion f () som anges nedan. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till f resp. f. a. f() = ln( + ) ln( ). b. f() = ln( + ) + ln( ).. Låt f() = + 2 och g() = 2. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f, f f och g g.

2 2. Beräkna derivatorna till följande funktioner: a. b c. + 2 d. sin 2 ( + ) e. sin cos f. cos + sin ln sin g. ln h. arccos + sin 2 i. arctan j. arccos k. arctan(tan 2 ).. Beräkna höger och vänsterderivatorna i = till funktionen f() = sin Beräkna derivatan dy d uttryckt i och y då funktionen y = y() definieras av: a. y + y =. b. cos y + y sin =. c. y y = Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = ( ) 2 i punkten (,). 6. Ekvationen y 2 + ln( + 2 y) = 2 definierar en funktion y = y() sådan att y() = 2. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = y() i punkten (,2). 7. Bestäm arean av den triangel som tangenten till ellipsen 2 + 2y 2 = 6 i punkten (2,) bildar med koordinatalarna. 8. En tangent till kurvan y = ln är parallell med linjen 2 2y =. Bestäm tangentens ekvation. 9. Antag att funktionen y = f() är deriverbar och har en invers y = f (). Sant eller fel: a. Punkten (,2) ligger på kurvan y = f() punkten (2,) ligger på kurvan y = f (). b. f () = (f ) (2) =. c. Linjen y 2 = ( ) är tangenten till kurvan y = f() i punkten (,2) linjen y = ( 2) är tangenten till kurvan y = f () i punkten (2,). 2

3 2. Bestäm eventuella lokala etrempunkter och deras karaktär till följande funktioner: a b c. 2 2 d. e. e f. ln g. / ( ) 2/ h. arctan ln Sök största och minsta värdet till följande funktioner: a. 5, b c. + 2, 5 d. π 6 arcsin Bestäm de intervall där funktionen f() = ln( + ) 2 ln( + 2 ) är monoton. 2. Visa att a. ln( + 2 ) + arctan(2) 2 ln( + ), för alla > b. sin cos + 2, för alla.. Vilka värden antar f() = arccos 2 2 arctan då >? + 2. Bestäm värdemängden till följande funktioner: a. f() = b. f() = + 2 +, 2 c. f() = Visa att funktionen f() = har en invers. 6. Bestäm alla punkter på kurvan y = där tangenten är parallell med aeln. 7. Visa att ekvationen 5 + = har precis en lösning på intervallet [,]. 8. Låt f() = arctan. Visa att π 2 < f() π. 9. Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten (,2) och med de positiva koordinatalarna bildar en triangel med så liten area som möjligt. 5. Bestäm Maclaurinpolynomet av grad 2 till följande funktioner f(): a. ln( + 2) b. ln( + sin 2) c. + 2 d. e sin e. + sin 2 e 2.

4 5. Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 2 av funktionen a. f() = kring punkten =. b. f() = arcsin( ) kring punkten =. Restermen anges på ordoform. 55. Beräkna följande gränsvärden: a. lim e + e 2 b lim + cos 2 sin sin 2 c. lim arctan d. lim e e. lim ( ) f. lim + cos π ( π) 2 g. lim (cot ). ln ( + ) h. lim (e 2 2) /. 6. Bestäm de allmänna lösningen till differentialekvationen a. y 5y + y = 6 + b. y 6y + 9y = 9 + c. y 6y + 9y = e d. y + 2y y = (5 + ) e 2 e. y y + y = sin f. y 2y + y = 6. Bestäm den lösning till differentialekvationen y + 2y + y = e cos för vilken y() = och y () = Sök asymptoter till följande kurvor: a. y = b. y = + ln(2 + ) ln( + ) 67. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan a. = t + 5 t 2, y = arctan( t) + t i den punkt som svarar mot t =. + 2 b. = ln(2 t), y = t 2 + t i den punkt som svarar mot t =. c. y + ln( + 2 y) = 8 i punkten (,2). d. r = sin v + 2 cos v (polär kurva) i den punkt som svarar mot t = π.

5 7. Beräkna följande integraler: a d b d 2 c ( 2 + )( + ) d d d 2 e d f. g. + ( 2)( ) 2 d h. i. 2 d j d ( + ) d + d k. 9 e 2 d l. ln (2 ) d e m. ln (2 ) d n. π/2 cos o. (2 + sin )( + sin ) d p. /2 q. d r Beräkna följande generaliserade integraler a. c. ( + 2 ) d b. d d. π sin ( + cos ) 2 d 2 d 2 2 d e e d 2 ( + ) 2 d 8. Beräkna arean av det ändliga området som begränsas av a. kurvan y = ( 5) 6 och aeln b. kurvorna y = 2 + och y = + c. linjen y = 2 och kurvan y = d. y 2 = ( ) 2, e. y 2 = och y = 2 f. = cos t + sin t, y = cos t sin t, t 2π g. t = + t 2, y = t + t, t h. r = sin v + cos v, v π (polära koordinater) 5

6 85. Beräkna längden av följande kurvor: a. 5y = 5/, 9 b. y = e, ln ln 8 c. y = 2 (2 + ) /2, d. = cos t + (t ) sin t, y = sin t (t ) cos t, t 2 e. = cos 2t 2 cos t, y = sin 2t 2 sin t, t π f. r = sin v + cos v, v π (polära koordinater) g. r = + sin v, v 2π (polära koordinater) 9. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området a. mellan kurvorna y = 2 och y = 2 2 roterar ett varv kring aeln. b. mellan kurvorna y = 2 och y = 2 2 roterar ett varv kring y aeln. c. y e, ln 2 roterar ett varv kring aeln. d. y e, ln 2 roterar ett varv kring y aeln. e. mellan linjen y = och kurvan y = 2 roterar ett varv kring aeln. 95. Undersök konvergensen av följande serier: a. n = c. n = e. n = g. n = n + n 2 + 2n n b. n = n + d. n = ( ) n n n 2 + f. n = 2 n n h. n = 7n 8n + n n 2 + ( 2) n + n n + 2n. Undersök konvergensen av följande generaliserade integraler: a d b. c. ln ( + ) d d. n d ln 2 d. 6

7 Svar: n =, n = 5, n = 6. För övriga n är koefficienten a. 7/9 b. /8 9. Nej.. a. f () = e + e. D f = V f = alla reella tal >. V f = D f = alla reella tal. b. Har ingen invers.. f g() = ( )/(2 ) g f() = ( + )/( + 2) f f() = ( + 2)/( + 2) g g() = ( 2)/(2 ). 2. a. ( 2 ) /2 b. d. sin (2 + 6) e. g. cos j.. 2. f +() = 2, f () = 2.. a. y(2 + y 2 ) ( 2 + y 2 ) 5. T: 2 + y = 6, N: 2y = 7 6. T: 2 + y = 2, N: 2y = /2 8. y = h. k. b c. (cos + sin ) 2 f. i sin 2 sin + cos ( + ) y cos + cos y sin y sin. c. ( 2 + )y y + ln y. 9. a. Sant. b. Sant. c. Sant. 2. a. l. min. i =, l. ma. i = b. l. min. i = 7/5 c. l. ma. i = d. l. min. i = / e. l. ma. i = f. l. min. i = e 2 g. l. ma. i = /, l. min. i = h. l. ma. i =. a. och b. och ( + 2)/2 c. / och /6 d. /2 och 2π. Strängt avtagande då < eller < <. Strängt väande då < < eller >.. Endast. a. [, ] b. [/, /2] c. [ /6, /2] 6., ± y = 5. a. 2 2 b. 2 2 c /2 d /2 e. /2 (/2) (/6) 2 7

8 5. a. + ( )/2 ( ) 2 /8 + O(( ) ) b. ( ) ( ) 2 + O(( ) ) 55. a. b. 2 c. / d. /2 e. f. /2 g. h. e a. y = Ae + Be b. y = Ae + Be + + c. y = Ae + Be e d. y = Ae + Be + ( )e 2 e. y = Ae + Be + 2 cos + sin f. y = Ae + Be + C y = e (cos cos( 2) + 2 sin( 2)) 65. a. =, y =. b. =, y = a. 2 y =. b. + y =. c. + y = 2. d. 2 y =. 7. a. ln b. + ln 2 2 ln c. 2 ln 5 π/ d. (5/) ln e. π (/2) ln 2 f. ln 2 g. ln ln h. 2/9 i. /5 j. π k. (ln( + e) ln( e) ln 2)/6 l. 2 ln 2 5/ m. 2 ln 2 n. arctan /2 o. 2 ln 2 ln p. π/6 q. π/ r. π/ /2 75. a. ln 2/2 b. 2/ c. π d. / 8. a. /5 b. 7/2 c. 8/5 d. 8/5 e. / f. π g. 2 ln 2 h. π 85. a. 22/5 b. + ln /2 c. 7/5 d.. e. 2. f. π 2 g a. 6π/ b. π. c. π/8 d. π( ln 2) e. ( 2 5)π/9 95. a. divergent. b. konvergent. c. divergent. d. konvergent. e. konvergent. f. konvergent. g. divergent. h. konvergent. a. konvergent. b. konvergent. c. divergent. d. konvergent. 8