x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

Transkript

1 Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på om grafen buktar uppåt eller nedåt. Vi talar om konkava respektive konvea funktioner och börjar med att studera nedanstående funktionsgraf. P a b X c d P 1 P 4 = f () Figur 1. Funktionsgrafen = f (). För varje par av 1 och 2 med 1 < 2 i intervallet [a, b] ligger kurvan = f () under det räta linjestcket (kordan) mellan punkten P 1 : ( 1, f ( 1 ) ) och punkten : ( 2, f ( 2 ) ). Vi säger att funktionen f är strängt konve i intervallet. För varje par av 3 och 4 med 3 < 4 i intervallet [c, d] ligger kurvan = f () över det räta linjestcket (kordan) mellan punkten P 3 : ( 3, f ( 3 ) ) och punkten P 4 : ( 4, f ( 4 ) ). Vi säger att funktionen f är strängt konkav i intervallet. Man inser att en funktion f är strängt konkav om och endast om f är strängt konve i ett visst intervall. Punkten X har egenskapen att det finns ett intervall med X som höger ändpunkt, där f är strängt konve, och ett intervall med X som vänster ändpunkt, där f är strängt konkav. Vi säger att X är en infleionspunkt. Om ändringen är från strängt konkav till strängt konve i punkten X, så är X också en infleionspunkt. Även motsvarande punkt på grafen kan kallas en infleionspunkt. 1

2 Konveitet 2 Eempel 1. I detta eempel visar vi att funktionen f () = 2 är strängt konve i R och att funktionen g() = 2 är strängt konkav i R. = 2 P P 1 Figur 2. Funktionerna = f () och = g(). = 2 Vi börjar med att visa att f är strängt konve. Vi måste då visa att funktionskurvan ligger under kordan (P 1, ) i det godtckliga intervallet ( 1, 2 ), där 1 < 2. Kordans lutning är En ekvation för kordan är därför = ( )( 2 1 ) 2 1 = = k = ( )( 1 ). Att funktionskurvan = f = 2 ligger under kordan är ekvivalent med att differensen k f är positiv för 1 < < 2. En beräkning ger k f = ( )( 1 ) 2 = ( )( 1 ) = = ( 1 + )( 1 ) + ( )( 1 ) = ( 1 + )( 1 ) + ( )( 1 ) = ( 1 )( ) = ( 1 )( 2 ) > 0, därför att 1 < < 2. Att funktionen g() = 2 är strängt konkav i R kan visas på motsvarande sätt. Man kan alternativt använda att g är strängt konkav om och endast om g = f är strängt konve. Slutligen ger vi ett eempel på en funktion som har en infleionspunkt. Sätt { f () = 2, 0 h() = g() = 2, < 0. Enligt början av eemplet är f strängt konve i R och därmed även i intervallet 0. På samma sätt är g strängt konkav i intervallet 0. Det innebär att = 0 är en infleionspunkt.

3 Konveitet 3 = h() Figur 3. Funktionen = h() har infleionspunkten = 0. För en deriverbar, strängt konve funktion kan man bevisa att tangentens lutning i punkten (, f () ) ökar, då väer. Det innebär att f () är en strängt väande funktion. Se figur 4. = f () P 3 P Figur 4. För en konve funktion ökar tangentlutningen med. Omvänt kan man bevisa att om f () är en strängt väande funktion i ett intervall, så är f strängt konve i intervallet. Motsvarande gäller för en strängt konkav funktion. För en strängt konkav funktion minskar tangentlutningen, då väer. Om f är två gånger deriverbar, kommer tecknet för f () att bestämma hur f () väer och avtar. Det beror på att f () är derivatan av f (). Vi får direkt följande sats. Sats 1. Antag att funktionen f är två gånger deriverbar i ett intervall I. Om f () > 0 i I, så är f strängt konve i I. Om f () < 0 i I, så är f strängt konkav i I. Av satsen följer direkt följande sats om infleionspunkter.

4 Konveitet 4 Sats 2. Om f är två gånger deriverbar, och f () har teckenvälingen +0 eller 0+ i en punkt X, så är X en infleionspunkt. Satserna används i nästa uppgift. Uppgift 2. Sätt f () = 3 3, R. Bestäm alla lokala maimi- och minimipunkter och infleionspunkter till f och rita grafen. Ange också största möjliga intervall, där f är strängt konve respektive strängt konkav. Lösning: Vi bestämmer f () och f () samt deras nollställen och får f () = = 3( 2 1) = 3( + 1)( 1) = 0 = 1 eller = 1 f () = 6 = 0 = 0. I teckenschemat nedan lägger vi till en rad för f () och tar med andraderivatans nollställe i den översta raden f () f () f () Av teckenschemat drar vi slutsatser och får direkt svaret. Svar: = 1 är en lokal maimipunkt, = 1 är en lokal minimipunkt. Vidare är = 0 är en infleionspunkt. Största möjliga intervall, där f är strängt konve, är 0. Största möjliga intervall, där f är strängt konkav, är 0. 2 = f () Figur 5. Grafen till f () = 3 3.

5 Konveitet 5 Övningar 1 Bevisa med hjälp av andraderivatans tecken att funktionen a) f 1 () = e är konve i R b) f 2 () = ln är konkav i > 0 2 Bestäm alla infleionspunkter för funktionen a) f 1 () = b) f 2 () = 2arctan c) f 3 () = 1 3 d) f 4 () = Jämför gärna med övningarna 11.5 och

6 Konveitet 6 Svar 1 Resultaten ges av följande räkningar: a) f 1 () = e > 0 i R b) f 2 () = 1 2 < 0 i > 0 2 a) = 1 b) = 0 c) = 0 d) = 0