Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:"

Transkript

1 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse när man avrundar till ett visst antal gällande siffror eftersom de försvinner när man skriver om till tiopotensform. Därför säger man ofta att nollor i början av decimaltal inte är gällande siffror. Observera också att talet är ett specialfall. Det är inte relevant att tala om avrundning av talet till ett visst antal gällande siffror, eftersom talet inte kan skrivas i en tiopotensform där talet före tiopotensen ligger i intervallet [, [ (vilket gäller för alla andra tal). b) i) Eakta värdet är T = e och närmevärdet är L,6. Felet är T L e,6,78, absoluta felet är T T L,78 och relativa felet är T T,78 e,77,8,8 %. ii) Eakta värdet är T sin och närmevärdet är L,8. Felet är T L sin,8,7, absoluta felet är T T L,7 och relativa felet är T T,7 sin,7,7,7 %. Svar a) i) ii) 9,9 iii),7 b) i) felet,78, absoluta felet,78, relativa felet ungefär,8 % ii) felet,7, absoluta felet,7, relativa felet ungefär,7 % a) + + gemensam faktor = ( + + ) Nollställen för polynomet : ± ± = = =. ( )( ) Dvs. ( ) ( ) + + = ( + + ) = (+ )( + ). ( )( ), vilket ger b) Termerna i polynomet har inga gemensamma faktorer och man hittar inte på ett enkelt sätt några faktorer med hjälp av minnesreglerna eller gruppering. Därför försöker vi faktorisera med hjälp av nollställen. Faktorer i den konstanta termen är och faktorer i högsta grads termen är, och, vilket ger att möjliga rationella nollställen är, och. Test visar att är ett nollställe:. Polynomet är då delbart med binomet ( ). Vi dividerar polynomen med hjälp av trappan: ± ± ±

2 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Dvs. ( )( ). Minnesreglerna ger ytterligare att + + = ( )( ) ( ) = ( ) ( ) + + = ( )(+ ) Svar a) ( + )( + ) b) ( )( + ) Vi skall visa att funktionen f () 7 har eakt ett nollställe. Funktionen är en deriverbar och kontinuerlig polynomfunktion. Vi gör ett teckenschema för funktionens derivata. Derivatan är f () Derivatans nollställen och graf: + = = =±. Teckenschema: f + f Funktionsvärdena i etrempunkterna: f f () = + 7 =. ( ) =( ) + ( ) 7 = + f I intervallet [, [ finns inga nollställen, eftersom funktionens största värde i det här intervallet är enligt teckenschemat. Eftersom funktionen är strängt avtagande i intervallet ], [, så finns det högst ett nollställe i intervallet. Dvs. funktionen har högst ett nollställe i hela R. Eftersom f( ) = 8 > och f( ) = < och funktionen f är kontinuerlig överallt, så har funktionen f, enligt Bolzanos sats, åtminstone ett nollställe i intervallet ], [. Eftersom funktionen samtidigt enligt ovan har högst ett nollställe, så får vi att den har eakt ett nollställe. a) Vi löser ut roten ur ekvationen 7 på följande sätt: + = 7 = 7 = 7. Vår iterationsfunktion blir då g ( ) = 7. Vi väljer som startvärde och tabellerar resultatet: n n,779,879,7,767,7999 6,786 7,7 På räknare: ) EXE ) (Ans-7) Roten ser ut att vara,8 med tre decimalers noggrannhet.

3 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Vi visar också noggrannheten i svaret: Eftersom f f (,8) =, >, (,7) =9, < så ger Bolzanos sats att nollstället ligger i intervallet ],7;,8[. Ett närmevärde för nollstället med tre decimalers noggrannhet är då,8. b) Vi väljer t.e. utgående från grafen på en grafisk räknare intervallet [,;,]. f (,) =,7 > f (,) = < a) b) P( ) 7 7 = M( ) 7 7 = a+ b a b = + c c c ar as = P( ) = 77 = ( 7 7 ) Bolzanos sats ger att det finns ett nollställe i intervallet ],;,[. Med Genom att dividera polynomet med trinomet gaffelmetoden väljer vi ett nytt intervall, t.e. [,;,]. T( ) = + + t.e. med hjälp av trappan, ser vi att divisionen går jämnt ut och kvoten är +. Dvs. om vi dividerar polynomet P ( ) med f (,) =,9 > trinomet T( ), får vi polynomet ( + ) =. f (,) =,6 < Bolzanos sats ger att det finns ett nollställe i intervallet ],;,[. c) Utgående från punkterna a och b får vi att Vi fortsätter med gaffelmetoden. Slutligen hittar vi ett intervall som P ( ) = ( ) innehåller nollstället och vars tal avrundade till tre decimalers = ( + )( + + ), noggrannhet ger samma tal. T.e. intervallet ],7;,8[. Rotens närmevärde är då,8. vilket ger Svar a),8 b),8 P ( ) = ( + + ) =. + a-fallet r s = a Svar a) b) c)

4 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 6 f ( n ) n+ = n ln( + ) Newtons algoritm:. Vi undersöker funktionen f( ) =. f ( ) + n Eftersom = = =, Vi beräknar ett närmevärde för derivatan med hjälp av centraldifferensen: så är = det enda nollstället till funktionen f (). Vi tillämpar f ( + h) f( h) f ( ). h Newtons metod på denna funktion. Funktionens derivata är f (), vilket ger rekursionsformeln ln( + ) Nu är h =,; = och f( ) =, vilket ger + n n+ n n n n n n f ( +,) f (,) n f (), Vi väljer som startvärde. f(,) f(,) =, = + =,666 ln(,) ln(,999),,999 =,666 + =, =,666, =, =, =,977 Vi beräknar ett eakt värde för derivatan: Talet, ser ut att vara ett närmevärde för med fem decimalers ln( + ) f( ) = noggrannhet. Vi kontrollerar resultatet: eftersom + f (,) =,9 < ( + ) ln( + ) f (,) =,6 6 >, f ( ) = + = ( + ) så ligger nollstället, enligt Bolzanos sats, i intervallet ],;,[. Talet, är då ett närmevärde för nollstället med fem decimaler. ln f () = = ln. Svar,

5 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Absoluta felet är Δ = ( ln ) (,977 ) =, och relativa felet är Δ,68 = = = ln ln,7,7 %. Svar f (),97... ; relativa felet är,7 7 7 a) Taylorpolynomet är f () f () P ( ) f() f ()!! Vi beräknar derivatorna för funktionen f. = f( ) = e +, f() = f ( ) = e +, f () = f ( ) = e, f () = f ( ) = e, f () = b) Ekvationen e är ekvivalent med ekvationen e. Dvs. vi söker nollställen för den kontinuerliga och deriverbara funktionen g() e. Vi får att g () e < överallt, vilket ger att funktionen g har högst ett nollställe. Rekursionsformeln för Newtons metod är g ( ) e e n n n n n n+ = n = n = n + ( ) e n g e n n + Vi väljer som startvärde. Vi får e = + =,788 e + e,788,788 =,788 + =,6698 e,788 + =,67 =,67 Med fyra decimalers noggrannhet ser lösningen ut att vara,67. Vi kontrollerar resultatet: eftersom g är kontinuerlig (summan av en eponentialfunktion och den identiska funktionen) och g(,67) =,6 > g(,67) =, <, så ger Bolzanos sats att det finns ett nollställe i intervallet ],67;,67[. Avrundat till fyra decimaler är närmevärdet för nollstället,67. Vi får att Sedan löser vi ekvationen P (). Vi får att P ( ) = +. 6 = P ( ) = = 6 + 6=. ( 6).

6 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Dvs. vi söker nollställen för funktionen h() 6. Derivatan h () 6 ger att rekursionsformeln för Newtons metod är h ( n) n n + n 6 n n + 6 n+ = n = n = h n n n + n n +. ( ) 6 6 Vi väljer igen som startvärde. Vi får att,,677,679,679 Lösningen ser ut att vara,67 med fyra decimalers noggrannhet. Eftersom h är en kontinuerlig polynomfunktion och eftersom h(,66) 6,67 h(,67),9, så ger Bolzanos sats att h har ett nollställe i intervallet ],66;,67[. Dvs. ett närmevärde för lösningen med fyra decimalers noggrannhet är verkligen,67. c) T,67 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet för roten till ekvationen e och L,67 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet för ekvationen P (). Relativa felet är då T L T,67,67 = =,, %.,67 Svar a) P ( ) = + b),67;,67 c),% ( ) f( ) d, f() + f(,) + f() + + f(,) + f(6) =, (,7 +,6 +, + +,9 +,87) = 7, Svar 7,

7 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov Rötterna till ekvationen är samma som nollställena för funktionen f (). Funktionen är en kontinuerlig polynomfunktion. a) Anta att övre närmevärdet är L. Relativa felet är % och L, vilket ger ) Vi beräknar funktionens värde i ändpunkterna av intervallet [, ]: L =, L =, L =,6 L =,6. Relativa felet för närmevärdet f(l) L i jämförelse med det eakta värdet f() är då L,6 = =,68 6 %. f () f (). Eftersom värdena har olika tecken, så ger Bolzanos sats att funktionen har åtminstone ett nollställe i intervallet ], [. ) Funktionens derivata är f (). I intervallet ], [ är f (), vilket ger att f är strängt väande i intervallet [, ]. Funktionen f har då högst ett nollställe i intervallet [, ]. Punkterna och ger att funktionen f har eakt ett nollställe i intervallet [, ], dvs. ekvationen har eakt en rot i intervallet [, ]. b) Anta att det nedre närmevärdet är L. Relativa felet är % och L 8, vilket ger a) Vi bestämmer ett närmevärde för roten med hjälp av halveringsmetoden. 8 L =, Intervallets 8 Intervall f (c) mittpunkt c 8 L =, [, ],, 8 [,; ],7,9 8 L =, [,;,7],6,6 L = 7,6. [,;,6],6,7 Relativa felet för närmevärdet f(l) L i jämförelse med det eakta [,;,6],, värdet f(8) 8 är då [,;,6],687,6 8L 87,6 = =,6 %. [,;,687],96, 8 8 [,;,96],6, Anmärkning. Relativa felet för närmevärdet L L L L för produkten är ganska eakt tre gånger större än relativa felet när närmevärdet L jämförs med eakta värdet. [,;,6],, Svar a) ungefär,6 b) ungefär,6 [,;,],66, [,;,66],788, [,788;,66]

8 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Alla värden i det sista intervallet avrundas till talet, om man ger närmevärdet med fyra gällande siffror. Dvs. roten given med fyra gällande siffror är,. b) Vi bestämmer ett närmevärde för roten med hjälp av Newtons metod. Rekursionsformeln är f( n) n n + n n+ = n = n =. f ( n) n n Vi väljer t.e. som startvärde. Vi får = = =,666 9 =,86 =,9 =,8 Roten ser ut att vara,, givet med fyra gällande siffror. Vi kontrollerar noggrannheten: f (,) och f (,), vilket ger enligt Bolzanos sats att funktionen f har ett nollställe i intervallet ],;,[. Roten är då,, givet med gällande siffrors noggrannhet. Vi dividerar med trappan: Kvoten är då och resten. Dvs. + = +, vilket ger delningsekvationen + = ( )( ) +. Observera att: termernas ordningsföljd är ombytt i nämnaren de tomma platserna i täljaren Svar a), b), Svar kvoten resten delningsekvationen + = ( )( ) +

9 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. g(,), g(,), g(,), g(,), g(,), g(,), g(,). Vi får Vi ser att nollstället ligger i intervallet ],;,[, vilket ger att f( ) = nollstället givet med tre decimalers noggrannhet är, = Svar, ( ) = 7 = eller =. g( ) Funktionen f har åtminstone ett nollställe. Vi skall undersöka om funktionen g har några nollställen. Derivatan är a) g ( ) = 76 + = Rotformeln ger (7 + ). > = bara när = ± ( ) ± 6 = =. Derivatan är åtminstone noll överallt och noll endast i en enstaka punkt, vilket ger att g är strängt väande i hela R. Då har funktionen g högst ett nollställe, vilket ger att funktionen f har högst två nollställen. Eftersom Diskriminanten är negativ, vilket ger att det inte finns några reella rötter. De imaginära rötterna är 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 < ± i 6 ± i = = = ± i. < 7 < 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 = + 7 = > b) + = och g är kontinuerlig, ger Bolzanos sats att g har ett nollställe i intervallet ], [. Dvs. funktionen g har ett nollställe som är mindre än det nollställe för funktionen f som vi hittade tidigare. Funktionen f har då eakt två reella nollställen. + = Vi betecknar t, vilket ger t + t = Vi bestämmer ett närmevärde för det mindre nollstället för funktionen f, dvs. ± ( ) ± 6 ± det enda nollstället för funktionen g. Grafen till funktionen g är starkt t = = = fallande när man förflyttar sig från värdet till vänster. Tangenterna är t = eller t = nästan lodräta, vilket ger att iteration med Newtons metod konvergerar mycket långsamt mot nollstället. Vi hittar nollstället mycket snabbare genom = eller = att använda gaffelmetoden och räknaren. Gaffelmetoden kan tillämpas t.e. =± eller =± i. på följande sätt: Svar a) = ± i b) = ± eller =± i

10 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 6 7, + +, = = Den senare ekvationen har endast heltalskoefficienter. Faktorer i den konstanta termen är ± och ±. Koefficienten för högsta grads term har faktorerna ± och ±. Möjliga rationella rötter till ekvationen är då ±, ±, ± och ±. Test visar att = är en rot: () 9() =. Eftersom = är ett nollställe till polynomet P() 9 8, så är polynomet delbart med binomet ( ) =. Vi dividerar med hjälp av trappan ± ± Ekvationen 9 8 kan skrivas om till produktformen ( )( ). Vi bestämmer de övriga rötterna: = ± ( ) ( ) ± 8 ± = = = = ±. Vi skall bestämma rötterna till ekvationen sin e, dvs. nollställena för funktionen f() sin e. Algoritmen för allmänna sekantmetoden är n n n+ = n f( n) f( n) f( n) (sin e n n n = n n ), n=,, sin e n sin + e n n Startvärdena och ger,98 På räknare (TI):,9 A ENTER,7 - B ENTER,7 B-(sin B-e^B)(B-A)/(sin B-e^B-sin A+e^A) C: B A:C B Vi trycker upprepade gånger på ENTERknappen. Roten ser ut att vara,, givet med fyra gällande siffror. Vi undersöker noggrannheten: Eftersom f är kontinuerlig och f (,), f (,),, så ger Bolzanos sats att funktionen har ett nollställe i intervallet ],;,[. Dvs. nollstället är,, givet med fyra gällande siffror. Svar, n Svar = =, = ±

11 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 8 Vi beräknar först funktionsvärdena f () = cos = cos = och π f ( π ) = cos =. Dvs. interpolationslinjen går genom punkterna (, ) och (, riktningskoefficient är k = = π π, och interpolationslinjens ekvation är y = ( ) π y = +. π Linjär interpolering ger f (,), + =,9,9. π Relativa felet är, f (,),9 cos,9 = =,666 6,7 %. f (,) cos, Svar y = +, f (,),9, relativa felet 6,7 % π ). Linjens

12 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) Närmevärdet skrivet på formen,67 anger att svaret har avrundats till 6 decimalers noggrannhet. Enda sättet att skriva närmevärdet i tiopotensform så att informationen om noggrannheten bibehålls är,67 6,7. Koefficienten har siffror, vilket betyder att antalet gällande siffror är. ii) 67, 6,7, vilket ger att antalet gällande siffror är. iii) Närmevärdet är färdigt i tiopotensform, vilket ger att vi direkt ser att antalet gällande siffror är. b) i) När ett närmevärde är skrivet i tiopotensform anger antalet siffror i koefficienten avrundningsnoggrannheten. Antalet siffror i koefficienten är samma som antalet gällande siffror. Om man har avrundat till gällande siffror, så skriver man 67 6,7. ii) På motsvarande sätt med gällande siffror: 67 6,7. iii) På motsvarande sätt med 6 gällande siffror: 67 6,7. Svar a) i) ii) iii) b) i) 6,7 ii) 6,7 iii) 6,7 a) Funktionen f( ) = är deriverbar i intervallet > (och då också kontinuerlig) eftersom b f( ) = ab= = ln e = = e ln eln a ebln a b eln a = ebln a och eponentialfunktionen, kvadratrotsfunktionen, logaritmfunktionen och den konstanta funktionen är deriverbara i sin definitionsmängd. Vi söker ett heltalsintervall där funktionen byte tecken. Vi tabellerar några värden: f( ) = Funktionens tecken 9 negativ 7, negativ,9 negativ negativ, negativ 6, positiv Vi ser att den kontinuerliga funktionen f ( ) har olika tecken för och 6. Bolzanos sats ger då att det finns åtminstone ett nollställe (en rot) i intervallet < < 6.

13 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. f ( n ) n+ = n f ( n ) b) Funktionen f( ) = är strängt väande i intervallet > Rekursionsformeln för Newtons metod är, n,, eftersom båda basen > och eponenten väer (strängt) när väer. En strängt väande funktion har högst ett nollställe. Tillsammans med a-fallet ger detta att funktionen har eakt ett nollställe.,, vilket ger n n+ = n n n c) i) Vi tillämpar Bolzanos sats på allt mindre intervall: ln n + n Funktionens värde och Rotens läge Intervallets bredd tecken Vi väljer =,. som startvärde. Rekursionsformeln ger följande f (), < talföljd: ], 6[ 6 f (6), > n n f (,),<,97966 ],;,[, f (,),87 >,9779 f (,9),9 <,986 ],9;,[,,986 f (,),87 > Ett närmevärde för roten med två decimaler är då,9. f (,9),9 < ],9;,9[, Noggrannheten är kontrollerad redan i i-fallet. f (,9),9 > Svar a) talen och 6 c),9 Eftersom alla tal i intervallet,9 < <,9 avrundade till två decimaler ger talet,9, så är,9 ett närmevärde för den sökta roten med två decimalers noggrannhet. ii) I Newtons metod måste man känna funktionens derivata. ( ) f ( ) = D e ln s( ) s( ) De = e s ( ) = e ln ln+ = ln + = ln + n

14 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. gemensam faktor: a) + 9 ma + mb = m( a + b) a) Talen, och är nollställen för polynomet om ( ), ( ) och =( + 9) a ab + b = ( a b) (( ) ) = + =() b) Vi söker möjliga rationella rötter för den ekvation + = som svarar mot uttrycket +. Polynomet kan då faktoriseras med hjälp av nollställena. Ekvationens koefficienter är heltal. Faktorer i den konstanta termens koefficient a är,,, 8,, och faktorer i högsta grads termens koefficient a = är. Täljaren p i den möjliga rationella roten = p/ q är faktor i den konstanta termens koefficient och nämnaren q är faktor i högsta grads termens koefficient. Möjliga rationella rötter är då,,, 8,,. Genom att testa de möjliga rationella rötterna ser vi att = är en lösning, eftersom + = = är en lösning, eftersom ( ) ( ) ( ) + = = är en lösning, eftersom + =. Övriga möjliga rationella rötter lönar det sig inte att testa, eftersom en tredje grads ekvation har högst tre rötter. Eftersom P( ) = a( )( )( ), där, och är nollställen till polynomet, så är + = ( )( ( ))( ) = ( )( + )( ). Svar a) ( ) b) ( )( )( + ) ( ) är faktorer i polynomet. Vi söker dessutom en koefficient a för högsta grads termen, så att P ( ) = a( + )( )( ) antar värdet 8 för. P() = a( + )( )( ) = a = 8 a = Det sökta polynomet är P ( ) = ( + )( )( ) = ( )( ) = ( + ) = ( a+ b)( a b) = a b b) Vi tillämpar nollregeln för en produkt på ekvationen (+ )( ) =. ) + = = : = ingen reell rot Komplea rötter: = =± i =± i

15 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. ) Svar = = = =± a), ab = a b P ( ) = 8+ 8 b) reella rötter =±, komplea rötter =± i + 7 a) Vi utför divisionen med hjälp av trappan. Observera att termernas 7 ordningsföljd är ombytt i nämnaren. 7 6 Divisionen gick jämnt upp eftersom resten är noll. Divisionens kvoten blev +. + b) Vi utför divisionen med hjälp av trappan. 6 Termernas ordningsföljd måste bytas så att den blir fallande: 8 + = 6 = + 6 Divisionen gick inte jämnt upp eftersom resten är P( ) J( ) = V( ) + Q( ) Q( ). Vid division får man att, där V( ) är kvoten och J( ) Dvs. är resten. + = 6 +. Svar a) + b) 6 f () e, [, ] 6+ Funktionen f:s derivata är f () e, vilket ger att f är strängt avtagande. Den antar då sitt största värde i intervallet [, ] i och sitt minsta värde i. Eftersom f () e och f () e, så är f () i intervallet [, ].

16 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Den andra derivatan är f () e, vilket ger att derivatan är strängt väande. Eftersom derivatan är negativ överallt, antar den sitt största absoluta värde i intervallet [, ] för. Vi får att Funktionen som skall integreras är f( ) = och delintervallens längd är f () e e,7,, h = =. Simpsons regel ger vilket ger att f (), i intervallet [, ]. Vi beräknar termerna i talföljden,,, med rekursionsformeln n d h ( f () + f () + f () ) = + + = =. 9 f ( n ) och startvärdet,. Vi får att 9 f ( ) f (,) e,,7 f ( ),8,78,789,788 6,787 7,786 Lösningen ser ut att vara,78, givet med fyra gällande siffror. Vi kontrollerar: eftersom f (,77),77 och f (,78),78 och eftersom funktionen f () är kontinuerlig, så ger Bolzanos sats att funktionen f () har ett nollställe, dvs. ekvationen f () en lösning, i intervallet ],77;,78[. Ett närmevärde för lösningen given med fyra gällande siffror är då,78. Anmärkning. De handlar naturligtvis om fipunktsmetoden. Villkoret f () garanterar att fipunkten eisterar eftersom villkoret ger att f () och f (). Detta ger i sin tur, enligt Bolzanos sats, att funktionen f () har ett nollställe, vilket är samma som att ekvationen f () har en lösning, dvs. funktionen f har en fipunkt i intervallet [, ]. Derivatavillkoret f (), garanterar att iterationen med funktionen f konvergerar mot fipunkten (se konvergensvillkoret i boken sid 7). Svar,78 7 Felformeln ger att () () ( ba) f () t () f () t E () f t t = 8 = 8 = 9 (), där < <. Vi bestämmer derivatorna: f ( ) = =, f ( ) =, f ( ) =, ( ) 6 f =, ()( ) f =. () Absolutbeloppet av fjärde derivatan, f ( ) =, är strängt avtagande i intervallet [, ]. Det är då mindre än () f () = = i intervallet ], [. Absoluta värdet av felet kan då uppskattas uppåt med () E = f ( t) < =, Integralens eakta värde är d / ln ln ln ln = = =, vilket ger att absoluta värdet av felet i närmevärdet är ln,. d Svar, absoluta felet <,667, eakta värdet ln, 9 verkliga absoluta felet ungefär, 9 9

17 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 8 c) Om h =, så ger centraldifferensen a) Ett närmevärde för derivatan får vi med vänsterdifferenskvoten: f () f() f( h) h ( h) = h h,99 6,99 =,97., Högerdifferenskvoten ger att h = =,, ( ) (), 6 f + h f f () =,9986 och h, centraldifferensen ger slutligen,,99 f( + h) f( h),,99 f () =,. h, T L b) Relativa felet är, där T är eakt värde och L närmevärdet. Nu är T T = f () = 8( + ln ),77. Om h =, så ger centraldifferensen ett närmevärde för derivatan:,,9 f( + h) f( h),,9 =,86, h, och motsvarande relativa fel är,77,86,77, =, %. Svar + f( + h) f( h) ( + ) ( ) = h Beräknad med en TI-86-räknare är centraldifferensen. Olika räknare ger olika resultat. Orsaken är att täljaren är skillnaden av två nästan lika stora tal, vilket gör att räknaren kan ge värdet noll pga. minnesutrymmet inte räcker till. (Räknaren kan inte ens skilja på talen h och h från varandra när h är tillräckligt litet. Du kan pröva detta genom att mata in värdena och i räknaren). Om räknaren ger värdet noll för centraldifferensen, så är absoluta felet T L = T = 8( + ln ) och relativa felet %. Enligt definitionen på derivata närmar sig centraldifferensen derivatan när h, och absoluta felet närmar sig då noll. Centraldifferensen, beräknad med räknaren, närmar sig inte nödvändigtvis alltid derivatan eftersom räknarens kapacitet tar slut för mycket små värden på h. a) f (),9986, f (), 97, f (), b), %;, % c) Beror på räknaren. Absoluta felet är troligtvis mycket stort.. Om h =, så ger närmevärdet från a-fallet att relativa felet är,77,,77, =,%.

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV KORT LÄROKURS..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte

Läs mer

Något om Taylors formel och Mathematica

Något om Taylors formel och Mathematica HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Gränsvärdesberäkningar i praktiken

Gränsvärdesberäkningar i praktiken Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten

Läs mer

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29 Detta avsnitt handlar om olikheter. < mindre än > större än mindre än eller lika med (< eller =) större än eller lika med (> eller =) Vilka tal finns mellan 2 och 5? Alla tal som är större än 2. Och samtidigt

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del II. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del II. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del II Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

Extra övningsuppgifter till kapitel /

Extra övningsuppgifter till kapitel / Etra övningsuppgifter till kapitel - i Matematik för ingenjörer Etra övningsuppgifter till kapitel - 8/ 000. Skriv följande periodiska decimaltal på bråkform. (a).6666... (b) 0.666... (c) 0.... Förenkla

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik. Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren.

ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik. Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren. ClassPad 330 Plus studentexamen Hösten 2012 lång matematik Mer tid för matematik och mindre tid för att lära sig räknaren. Kära läsare! Användningen av CAS-beräkningar i studentexamen är ännu i ett tidigt

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller = n se ta l l ta al u at sen nt al rat l r l d d n iotu se hun tiot a ent a hu t tu + + 7 tiotusental tusental 7 tiotal 7 7 7 7 Ju längre till höger, desto större är talet. 7 > 7 Siffran betyder tiotusental

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer