Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:"

Transkript

1 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse när man avrundar till ett visst antal gällande siffror eftersom de försvinner när man skriver om till tiopotensform. Därför säger man ofta att nollor i början av decimaltal inte är gällande siffror. Observera också att talet är ett specialfall. Det är inte relevant att tala om avrundning av talet till ett visst antal gällande siffror, eftersom talet inte kan skrivas i en tiopotensform där talet före tiopotensen ligger i intervallet [, [ (vilket gäller för alla andra tal). b) i) Eakta värdet är T = e och närmevärdet är L,6. Felet är T L e,6,78, absoluta felet är T T L,78 och relativa felet är T T,78 e,77,8,8 %. ii) Eakta värdet är T sin och närmevärdet är L,8. Felet är T L sin,8,7, absoluta felet är T T L,7 och relativa felet är T T,7 sin,7,7,7 %. Svar a) i) ii) 9,9 iii),7 b) i) felet,78, absoluta felet,78, relativa felet ungefär,8 % ii) felet,7, absoluta felet,7, relativa felet ungefär,7 % a) + + gemensam faktor = ( + + ) Nollställen för polynomet : ± ± = = =. ( )( ) Dvs. ( ) ( ) + + = ( + + ) = (+ )( + ). ( )( ), vilket ger b) Termerna i polynomet har inga gemensamma faktorer och man hittar inte på ett enkelt sätt några faktorer med hjälp av minnesreglerna eller gruppering. Därför försöker vi faktorisera med hjälp av nollställen. Faktorer i den konstanta termen är och faktorer i högsta grads termen är, och, vilket ger att möjliga rationella nollställen är, och. Test visar att är ett nollställe:. Polynomet är då delbart med binomet ( ). Vi dividerar polynomen med hjälp av trappan: ± ± ±

2 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Dvs. ( )( ). Minnesreglerna ger ytterligare att + + = ( )( ) ( ) = ( ) ( ) + + = ( )(+ ) Svar a) ( + )( + ) b) ( )( + ) Vi skall visa att funktionen f () 7 har eakt ett nollställe. Funktionen är en deriverbar och kontinuerlig polynomfunktion. Vi gör ett teckenschema för funktionens derivata. Derivatan är f () Derivatans nollställen och graf: + = = =±. Teckenschema: f + f Funktionsvärdena i etrempunkterna: f f () = + 7 =. ( ) =( ) + ( ) 7 = + f I intervallet [, [ finns inga nollställen, eftersom funktionens största värde i det här intervallet är enligt teckenschemat. Eftersom funktionen är strängt avtagande i intervallet ], [, så finns det högst ett nollställe i intervallet. Dvs. funktionen har högst ett nollställe i hela R. Eftersom f( ) = 8 > och f( ) = < och funktionen f är kontinuerlig överallt, så har funktionen f, enligt Bolzanos sats, åtminstone ett nollställe i intervallet ], [. Eftersom funktionen samtidigt enligt ovan har högst ett nollställe, så får vi att den har eakt ett nollställe. a) Vi löser ut roten ur ekvationen 7 på följande sätt: + = 7 = 7 = 7. Vår iterationsfunktion blir då g ( ) = 7. Vi väljer som startvärde och tabellerar resultatet: n n,779,879,7,767,7999 6,786 7,7 På räknare: ) EXE ) (Ans-7) Roten ser ut att vara,8 med tre decimalers noggrannhet.

3 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Vi visar också noggrannheten i svaret: Eftersom f f (,8) =, >, (,7) =9, < så ger Bolzanos sats att nollstället ligger i intervallet ],7;,8[. Ett närmevärde för nollstället med tre decimalers noggrannhet är då,8. b) Vi väljer t.e. utgående från grafen på en grafisk räknare intervallet [,;,]. f (,) =,7 > f (,) = < a) b) P( ) 7 7 = M( ) 7 7 = a+ b a b = + c c c ar as = P( ) = 77 = ( 7 7 ) Bolzanos sats ger att det finns ett nollställe i intervallet ],;,[. Med Genom att dividera polynomet med trinomet gaffelmetoden väljer vi ett nytt intervall, t.e. [,;,]. T( ) = + + t.e. med hjälp av trappan, ser vi att divisionen går jämnt ut och kvoten är +. Dvs. om vi dividerar polynomet P ( ) med f (,) =,9 > trinomet T( ), får vi polynomet ( + ) =. f (,) =,6 < Bolzanos sats ger att det finns ett nollställe i intervallet ],;,[. c) Utgående från punkterna a och b får vi att Vi fortsätter med gaffelmetoden. Slutligen hittar vi ett intervall som P ( ) = ( ) innehåller nollstället och vars tal avrundade till tre decimalers = ( + )( + + ), noggrannhet ger samma tal. T.e. intervallet ],7;,8[. Rotens närmevärde är då,8. vilket ger Svar a),8 b),8 P ( ) = ( + + ) =. + a-fallet r s = a Svar a) b) c)

4 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 6 f ( n ) n+ = n ln( + ) Newtons algoritm:. Vi undersöker funktionen f( ) =. f ( ) + n Eftersom = = =, Vi beräknar ett närmevärde för derivatan med hjälp av centraldifferensen: så är = det enda nollstället till funktionen f (). Vi tillämpar f ( + h) f( h) f ( ). h Newtons metod på denna funktion. Funktionens derivata är f (), vilket ger rekursionsformeln ln( + ) Nu är h =,; = och f( ) =, vilket ger + n n+ n n n n n n f ( +,) f (,) n f (), Vi väljer som startvärde. f(,) f(,) =, = + =,666 ln(,) ln(,999),,999 =,666 + =, =,666, =, =, =,977 Vi beräknar ett eakt värde för derivatan: Talet, ser ut att vara ett närmevärde för med fem decimalers ln( + ) f( ) = noggrannhet. Vi kontrollerar resultatet: eftersom + f (,) =,9 < ( + ) ln( + ) f (,) =,6 6 >, f ( ) = + = ( + ) så ligger nollstället, enligt Bolzanos sats, i intervallet ],;,[. Talet, är då ett närmevärde för nollstället med fem decimaler. ln f () = = ln. Svar,

5 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Absoluta felet är Δ = ( ln ) (,977 ) =, och relativa felet är Δ,68 = = = ln ln,7,7 %. Svar f (),97... ; relativa felet är,7 7 7 a) Taylorpolynomet är f () f () P ( ) f() f ()!! Vi beräknar derivatorna för funktionen f. = f( ) = e +, f() = f ( ) = e +, f () = f ( ) = e, f () = f ( ) = e, f () = b) Ekvationen e är ekvivalent med ekvationen e. Dvs. vi söker nollställen för den kontinuerliga och deriverbara funktionen g() e. Vi får att g () e < överallt, vilket ger att funktionen g har högst ett nollställe. Rekursionsformeln för Newtons metod är g ( ) e e n n n n n n+ = n = n = n + ( ) e n g e n n + Vi väljer som startvärde. Vi får e = + =,788 e + e,788,788 =,788 + =,6698 e,788 + =,67 =,67 Med fyra decimalers noggrannhet ser lösningen ut att vara,67. Vi kontrollerar resultatet: eftersom g är kontinuerlig (summan av en eponentialfunktion och den identiska funktionen) och g(,67) =,6 > g(,67) =, <, så ger Bolzanos sats att det finns ett nollställe i intervallet ],67;,67[. Avrundat till fyra decimaler är närmevärdet för nollstället,67. Vi får att Sedan löser vi ekvationen P (). Vi får att P ( ) = +. 6 = P ( ) = = 6 + 6=. ( 6).

6 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Dvs. vi söker nollställen för funktionen h() 6. Derivatan h () 6 ger att rekursionsformeln för Newtons metod är h ( n) n n + n 6 n n + 6 n+ = n = n = h n n n + n n +. ( ) 6 6 Vi väljer igen som startvärde. Vi får att,,677,679,679 Lösningen ser ut att vara,67 med fyra decimalers noggrannhet. Eftersom h är en kontinuerlig polynomfunktion och eftersom h(,66) 6,67 h(,67),9, så ger Bolzanos sats att h har ett nollställe i intervallet ],66;,67[. Dvs. ett närmevärde för lösningen med fyra decimalers noggrannhet är verkligen,67. c) T,67 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet för roten till ekvationen e och L,67 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet för ekvationen P (). Relativa felet är då T L T,67,67 = =,, %.,67 Svar a) P ( ) = + b),67;,67 c),% ( ) f( ) d, f() + f(,) + f() + + f(,) + f(6) =, (,7 +,6 +, + +,9 +,87) = 7, Svar 7,

7 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov Rötterna till ekvationen är samma som nollställena för funktionen f (). Funktionen är en kontinuerlig polynomfunktion. a) Anta att övre närmevärdet är L. Relativa felet är % och L, vilket ger ) Vi beräknar funktionens värde i ändpunkterna av intervallet [, ]: L =, L =, L =,6 L =,6. Relativa felet för närmevärdet f(l) L i jämförelse med det eakta värdet f() är då L,6 = =,68 6 %. f () f (). Eftersom värdena har olika tecken, så ger Bolzanos sats att funktionen har åtminstone ett nollställe i intervallet ], [. ) Funktionens derivata är f (). I intervallet ], [ är f (), vilket ger att f är strängt väande i intervallet [, ]. Funktionen f har då högst ett nollställe i intervallet [, ]. Punkterna och ger att funktionen f har eakt ett nollställe i intervallet [, ], dvs. ekvationen har eakt en rot i intervallet [, ]. b) Anta att det nedre närmevärdet är L. Relativa felet är % och L 8, vilket ger a) Vi bestämmer ett närmevärde för roten med hjälp av halveringsmetoden. 8 L =, Intervallets 8 Intervall f (c) mittpunkt c 8 L =, [, ],, 8 [,; ],7,9 8 L =, [,;,7],6,6 L = 7,6. [,;,6],6,7 Relativa felet för närmevärdet f(l) L i jämförelse med det eakta [,;,6],, värdet f(8) 8 är då [,;,6],687,6 8L 87,6 = =,6 %. [,;,687],96, 8 8 [,;,96],6, Anmärkning. Relativa felet för närmevärdet L L L L för produkten är ganska eakt tre gånger större än relativa felet när närmevärdet L jämförs med eakta värdet. [,;,6],, Svar a) ungefär,6 b) ungefär,6 [,;,],66, [,;,66],788, [,788;,66]

8 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Alla värden i det sista intervallet avrundas till talet, om man ger närmevärdet med fyra gällande siffror. Dvs. roten given med fyra gällande siffror är,. b) Vi bestämmer ett närmevärde för roten med hjälp av Newtons metod. Rekursionsformeln är f( n) n n + n n+ = n = n =. f ( n) n n Vi väljer t.e. som startvärde. Vi får = = =,666 9 =,86 =,9 =,8 Roten ser ut att vara,, givet med fyra gällande siffror. Vi kontrollerar noggrannheten: f (,) och f (,), vilket ger enligt Bolzanos sats att funktionen f har ett nollställe i intervallet ],;,[. Roten är då,, givet med gällande siffrors noggrannhet. Vi dividerar med trappan: Kvoten är då och resten. Dvs. + = +, vilket ger delningsekvationen + = ( )( ) +. Observera att: termernas ordningsföljd är ombytt i nämnaren de tomma platserna i täljaren Svar a), b), Svar kvoten resten delningsekvationen + = ( )( ) +

9 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. g(,), g(,), g(,), g(,), g(,), g(,), g(,). Vi får Vi ser att nollstället ligger i intervallet ],;,[, vilket ger att f( ) = nollstället givet med tre decimalers noggrannhet är, = Svar, ( ) = 7 = eller =. g( ) Funktionen f har åtminstone ett nollställe. Vi skall undersöka om funktionen g har några nollställen. Derivatan är a) g ( ) = 76 + = Rotformeln ger (7 + ). > = bara när = ± ( ) ± 6 = =. Derivatan är åtminstone noll överallt och noll endast i en enstaka punkt, vilket ger att g är strängt väande i hela R. Då har funktionen g högst ett nollställe, vilket ger att funktionen f har högst två nollställen. Eftersom Diskriminanten är negativ, vilket ger att det inte finns några reella rötter. De imaginära rötterna är 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 < ± i 6 ± i = = = ± i. < 7 < 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 = + 7 = > b) + = och g är kontinuerlig, ger Bolzanos sats att g har ett nollställe i intervallet ], [. Dvs. funktionen g har ett nollställe som är mindre än det nollställe för funktionen f som vi hittade tidigare. Funktionen f har då eakt två reella nollställen. + = Vi betecknar t, vilket ger t + t = Vi bestämmer ett närmevärde för det mindre nollstället för funktionen f, dvs. ± ( ) ± 6 ± det enda nollstället för funktionen g. Grafen till funktionen g är starkt t = = = fallande när man förflyttar sig från värdet till vänster. Tangenterna är t = eller t = nästan lodräta, vilket ger att iteration med Newtons metod konvergerar mycket långsamt mot nollstället. Vi hittar nollstället mycket snabbare genom = eller = att använda gaffelmetoden och räknaren. Gaffelmetoden kan tillämpas t.e. =± eller =± i. på följande sätt: Svar a) = ± i b) = ± eller =± i

10 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 6 7, + +, = = Den senare ekvationen har endast heltalskoefficienter. Faktorer i den konstanta termen är ± och ±. Koefficienten för högsta grads term har faktorerna ± och ±. Möjliga rationella rötter till ekvationen är då ±, ±, ± och ±. Test visar att = är en rot: () 9() =. Eftersom = är ett nollställe till polynomet P() 9 8, så är polynomet delbart med binomet ( ) =. Vi dividerar med hjälp av trappan ± ± Ekvationen 9 8 kan skrivas om till produktformen ( )( ). Vi bestämmer de övriga rötterna: = ± ( ) ( ) ± 8 ± = = = = ±. Vi skall bestämma rötterna till ekvationen sin e, dvs. nollställena för funktionen f() sin e. Algoritmen för allmänna sekantmetoden är n n n+ = n f( n) f( n) f( n) (sin e n n n = n n ), n=,, sin e n sin + e n n Startvärdena och ger,98 På räknare (TI):,9 A ENTER,7 - B ENTER,7 B-(sin B-e^B)(B-A)/(sin B-e^B-sin A+e^A) C: B A:C B Vi trycker upprepade gånger på ENTERknappen. Roten ser ut att vara,, givet med fyra gällande siffror. Vi undersöker noggrannheten: Eftersom f är kontinuerlig och f (,), f (,),, så ger Bolzanos sats att funktionen har ett nollställe i intervallet ],;,[. Dvs. nollstället är,, givet med fyra gällande siffror. Svar, n Svar = =, = ±

11 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 8 Vi beräknar först funktionsvärdena f () = cos = cos = och π f ( π ) = cos =. Dvs. interpolationslinjen går genom punkterna (, ) och (, riktningskoefficient är k = = π π, och interpolationslinjens ekvation är y = ( ) π y = +. π Linjär interpolering ger f (,), + =,9,9. π Relativa felet är, f (,),9 cos,9 = =,666 6,7 %. f (,) cos, Svar y = +, f (,),9, relativa felet 6,7 % π ). Linjens

12 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) Närmevärdet skrivet på formen,67 anger att svaret har avrundats till 6 decimalers noggrannhet. Enda sättet att skriva närmevärdet i tiopotensform så att informationen om noggrannheten bibehålls är,67 6,7. Koefficienten har siffror, vilket betyder att antalet gällande siffror är. ii) 67, 6,7, vilket ger att antalet gällande siffror är. iii) Närmevärdet är färdigt i tiopotensform, vilket ger att vi direkt ser att antalet gällande siffror är. b) i) När ett närmevärde är skrivet i tiopotensform anger antalet siffror i koefficienten avrundningsnoggrannheten. Antalet siffror i koefficienten är samma som antalet gällande siffror. Om man har avrundat till gällande siffror, så skriver man 67 6,7. ii) På motsvarande sätt med gällande siffror: 67 6,7. iii) På motsvarande sätt med 6 gällande siffror: 67 6,7. Svar a) i) ii) iii) b) i) 6,7 ii) 6,7 iii) 6,7 a) Funktionen f( ) = är deriverbar i intervallet > (och då också kontinuerlig) eftersom b f( ) = ab= = ln e = = e ln eln a ebln a b eln a = ebln a och eponentialfunktionen, kvadratrotsfunktionen, logaritmfunktionen och den konstanta funktionen är deriverbara i sin definitionsmängd. Vi söker ett heltalsintervall där funktionen byte tecken. Vi tabellerar några värden: f( ) = Funktionens tecken 9 negativ 7, negativ,9 negativ negativ, negativ 6, positiv Vi ser att den kontinuerliga funktionen f ( ) har olika tecken för och 6. Bolzanos sats ger då att det finns åtminstone ett nollställe (en rot) i intervallet < < 6.

13 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. f ( n ) n+ = n f ( n ) b) Funktionen f( ) = är strängt väande i intervallet > Rekursionsformeln för Newtons metod är, n,, eftersom båda basen > och eponenten väer (strängt) när väer. En strängt väande funktion har högst ett nollställe. Tillsammans med a-fallet ger detta att funktionen har eakt ett nollställe.,, vilket ger n n+ = n n n c) i) Vi tillämpar Bolzanos sats på allt mindre intervall: ln n + n Funktionens värde och Rotens läge Intervallets bredd tecken Vi väljer =,. som startvärde. Rekursionsformeln ger följande f (), < talföljd: ], 6[ 6 f (6), > n n f (,),<,97966 ],;,[, f (,),87 >,9779 f (,9),9 <,986 ],9;,[,,986 f (,),87 > Ett närmevärde för roten med två decimaler är då,9. f (,9),9 < ],9;,9[, Noggrannheten är kontrollerad redan i i-fallet. f (,9),9 > Svar a) talen och 6 c),9 Eftersom alla tal i intervallet,9 < <,9 avrundade till två decimaler ger talet,9, så är,9 ett närmevärde för den sökta roten med två decimalers noggrannhet. ii) I Newtons metod måste man känna funktionens derivata. ( ) f ( ) = D e ln s( ) s( ) De = e s ( ) = e ln ln+ = ln + = ln + n

14 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. gemensam faktor: a) + 9 ma + mb = m( a + b) a) Talen, och är nollställen för polynomet om ( ), ( ) och =( + 9) a ab + b = ( a b) (( ) ) = + =() b) Vi söker möjliga rationella rötter för den ekvation + = som svarar mot uttrycket +. Polynomet kan då faktoriseras med hjälp av nollställena. Ekvationens koefficienter är heltal. Faktorer i den konstanta termens koefficient a är,,, 8,, och faktorer i högsta grads termens koefficient a = är. Täljaren p i den möjliga rationella roten = p/ q är faktor i den konstanta termens koefficient och nämnaren q är faktor i högsta grads termens koefficient. Möjliga rationella rötter är då,,, 8,,. Genom att testa de möjliga rationella rötterna ser vi att = är en lösning, eftersom + = = är en lösning, eftersom ( ) ( ) ( ) + = = är en lösning, eftersom + =. Övriga möjliga rationella rötter lönar det sig inte att testa, eftersom en tredje grads ekvation har högst tre rötter. Eftersom P( ) = a( )( )( ), där, och är nollställen till polynomet, så är + = ( )( ( ))( ) = ( )( + )( ). Svar a) ( ) b) ( )( )( + ) ( ) är faktorer i polynomet. Vi söker dessutom en koefficient a för högsta grads termen, så att P ( ) = a( + )( )( ) antar värdet 8 för. P() = a( + )( )( ) = a = 8 a = Det sökta polynomet är P ( ) = ( + )( )( ) = ( )( ) = ( + ) = ( a+ b)( a b) = a b b) Vi tillämpar nollregeln för en produkt på ekvationen (+ )( ) =. ) + = = : = ingen reell rot Komplea rötter: = =± i =± i

15 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. ) Svar = = = =± a), ab = a b P ( ) = 8+ 8 b) reella rötter =±, komplea rötter =± i + 7 a) Vi utför divisionen med hjälp av trappan. Observera att termernas 7 ordningsföljd är ombytt i nämnaren. 7 6 Divisionen gick jämnt upp eftersom resten är noll. Divisionens kvoten blev +. + b) Vi utför divisionen med hjälp av trappan. 6 Termernas ordningsföljd måste bytas så att den blir fallande: 8 + = 6 = + 6 Divisionen gick inte jämnt upp eftersom resten är P( ) J( ) = V( ) + Q( ) Q( ). Vid division får man att, där V( ) är kvoten och J( ) Dvs. är resten. + = 6 +. Svar a) + b) 6 f () e, [, ] 6+ Funktionen f:s derivata är f () e, vilket ger att f är strängt avtagande. Den antar då sitt största värde i intervallet [, ] i och sitt minsta värde i. Eftersom f () e och f () e, så är f () i intervallet [, ].

16 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Den andra derivatan är f () e, vilket ger att derivatan är strängt väande. Eftersom derivatan är negativ överallt, antar den sitt största absoluta värde i intervallet [, ] för. Vi får att Funktionen som skall integreras är f( ) = och delintervallens längd är f () e e,7,, h = =. Simpsons regel ger vilket ger att f (), i intervallet [, ]. Vi beräknar termerna i talföljden,,, med rekursionsformeln n d h ( f () + f () + f () ) = + + = =. 9 f ( n ) och startvärdet,. Vi får att 9 f ( ) f (,) e,,7 f ( ),8,78,789,788 6,787 7,786 Lösningen ser ut att vara,78, givet med fyra gällande siffror. Vi kontrollerar: eftersom f (,77),77 och f (,78),78 och eftersom funktionen f () är kontinuerlig, så ger Bolzanos sats att funktionen f () har ett nollställe, dvs. ekvationen f () en lösning, i intervallet ],77;,78[. Ett närmevärde för lösningen given med fyra gällande siffror är då,78. Anmärkning. De handlar naturligtvis om fipunktsmetoden. Villkoret f () garanterar att fipunkten eisterar eftersom villkoret ger att f () och f (). Detta ger i sin tur, enligt Bolzanos sats, att funktionen f () har ett nollställe, vilket är samma som att ekvationen f () har en lösning, dvs. funktionen f har en fipunkt i intervallet [, ]. Derivatavillkoret f (), garanterar att iterationen med funktionen f konvergerar mot fipunkten (se konvergensvillkoret i boken sid 7). Svar,78 7 Felformeln ger att () () ( ba) f () t () f () t E () f t t = 8 = 8 = 9 (), där < <. Vi bestämmer derivatorna: f ( ) = =, f ( ) =, f ( ) =, ( ) 6 f =, ()( ) f =. () Absolutbeloppet av fjärde derivatan, f ( ) =, är strängt avtagande i intervallet [, ]. Det är då mindre än () f () = = i intervallet ], [. Absoluta värdet av felet kan då uppskattas uppåt med () E = f ( t) < =, Integralens eakta värde är d / ln ln ln ln = = =, vilket ger att absoluta värdet av felet i närmevärdet är ln,. d Svar, absoluta felet <,667, eakta värdet ln, 9 verkliga absoluta felet ungefär, 9 9

17 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 8 c) Om h =, så ger centraldifferensen a) Ett närmevärde för derivatan får vi med vänsterdifferenskvoten: f () f() f( h) h ( h) = h h,99 6,99 =,97., Högerdifferenskvoten ger att h = =,, ( ) (), 6 f + h f f () =,9986 och h, centraldifferensen ger slutligen,,99 f( + h) f( h),,99 f () =,. h, T L b) Relativa felet är, där T är eakt värde och L närmevärdet. Nu är T T = f () = 8( + ln ),77. Om h =, så ger centraldifferensen ett närmevärde för derivatan:,,9 f( + h) f( h),,9 =,86, h, och motsvarande relativa fel är,77,86,77, =, %. Svar + f( + h) f( h) ( + ) ( ) = h Beräknad med en TI-86-räknare är centraldifferensen. Olika räknare ger olika resultat. Orsaken är att täljaren är skillnaden av två nästan lika stora tal, vilket gör att räknaren kan ge värdet noll pga. minnesutrymmet inte räcker till. (Räknaren kan inte ens skilja på talen h och h från varandra när h är tillräckligt litet. Du kan pröva detta genom att mata in värdena och i räknaren). Om räknaren ger värdet noll för centraldifferensen, så är absoluta felet T L = T = 8( + ln ) och relativa felet %. Enligt definitionen på derivata närmar sig centraldifferensen derivatan när h, och absoluta felet närmar sig då noll. Centraldifferensen, beräknad med räknaren, närmar sig inte nödvändigtvis alltid derivatan eftersom räknarens kapacitet tar slut för mycket små värden på h. a) f (),9986, f (), 97, f (), b), %;, % c) Beror på räknaren. Absoluta felet är troligtvis mycket stort.. Om h =, så ger närmevärdet från a-fallet att relativa felet är,77,,77, =,%.

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Thomas Lingefjärd Göteborg 9 Thomas Lingefjärd Introduktion till Graphmatica 1 Kort om Graphmatica Graphmatica har funnits

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

Matematiska modeller

Matematiska modeller Matematiska modeller Kompendium Lektor: Yury V. Shestopalov e-post: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-700856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 Contents Inledning 5. Descartes

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Arbetsblad 1:10. Avrundning. 1 a) 17,8 b) 156,3 c) 19,09 2 a) 30,49 b) 6,85 c) 49,64

Arbetsblad 1:10. Avrundning. 1 a) 17,8 b) 156,3 c) 19,09 2 a) 30,49 b) 6,85 c) 49,64 Arbetsblad 1:10 Avrundning Avrunda till heltal 1 a) 17,8 b) 156,3 c) 19,09 2 a) 30,49 b) 6,85 c) 49,64 Avrunda till tiotal 3 a) 88 b) 19 c) 164 4 a) 144,8 b) 347,5 c) 29,39 5 a) 43,5 b) 163,99 c) 496,1

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Språket Python - Del 1 Grundkurs i programmering med Python

Språket Python - Del 1 Grundkurs i programmering med Python Hösten 2009 Dagens lektion Ett programmeringsspråks byggstenar Några inbyggda datatyper Styra instruktionsflödet Modulen sys 2 Ett programmeringsspråks byggstenar 3 ETT PROGRAMMERINGSSPRÅKS BYGGSTENAR

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje.

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje. En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 7 = + + 7 Siffran 6 betyder 6 tusental = 6 tusental hundratal 4 8 7 6 9 tiotal ental Siffran 9 betyder 9 tiotal

Läs mer

Välkommen till studier i Matematik kurs C

Välkommen till studier i Matematik kurs C Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs C...2 Studietips...2 Kursens uppläggning och mål...5 Examination...6 Kursmaterial...7 Webbtips...8 Litteraturtips...8 Övrigt om kursen...10 Problemlösning...11

Läs mer

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik 2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört

Läs mer

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1 Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas

Läs mer

Kompendium i Algebra grundkurs. Rikard Bøgvad

Kompendium i Algebra grundkurs. Rikard Bøgvad Kompendium i Algebra grundkurs Rikard Bøgvad Förord. Detta kompendium innehåller material till första terminens kurs i algebra vid matematiska institutionen vid Stockholms universitet, närmare bestämt

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform)

Radien r och vinkeln θ för komplexa tal i polär form och potensform: KOMPLEXA TAL. ) (polär form) (potensform) Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL a + b, där a, b R (rektangulär form r(cosθ + snθ (polär form θ re (potensform Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen av och betecknas Re( b kallas magnärdelen

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Programmerade system I1 Syfte Laboration 1. Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i att skriva

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med

Läs mer

GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅ- NENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE

GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅ- NENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE 1568 Nr 608 Bilaga GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅ- NENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE K m K 1 A K m K t (1 ' K ' (1 K t K ' K 1 A Bokstävernas och symbolernas

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

520 DP. Bordsräknare med utskrift. Bruksanvisning

520 DP. Bordsräknare med utskrift. Bruksanvisning 520 DP Bordsräknare med utskrift Bruksanvisning OBSERVERA: 1) IRAM-säkerhetsmärkningen avser endast säkerhetsnormer enligt IEG 60950/A11 och inte användarfunktioner och/eller prestanda. 2) IRAM-säkerhetsmärkningen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Nr 4 GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅNENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE

Nr 4 GRUNDLÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVALENSEN MELLAN DELS LÅNENS, DELS ÅTERBETALNINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE BIAGA GRUNDÄGGANDE EKVATION SOM ANGER EKVIVAENSEN MEAN DES ÅNENS, DES ÅTERBETANINGARNAS OCH OMKOSTNADERNAS VÄRDE. P. $. P. W.. W.. $ Bokstävernas och symbolernas betydelse: K är numret på ett lån K är

Läs mer

Tangenter till tredjegradsfunktioner

Tangenter till tredjegradsfunktioner Tangenter till tredjegradsfunktioner I bilden intill ser du grafen av en tredjegradsfunktion som har tre nollställen nämligen x = 2, x = 1 och x = -1. Om man ritar en tangent till funktionsgrafen kommer

Läs mer

Laboration 1. "kompilera"-ikonen "exekvera"-ikonen

Laboration 1. kompilera-ikonen exekvera-ikonen Syfte Laboration 1. Objektorienterad programmering, Z1 Syftet med denna laboration är dels att göra dej bekant med de verktyg som kan vara aktuella i programmeringsarbetet, dels ge en första inblick i

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred. Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Kapitel Rekursionstabell och graf

Kapitel Rekursionstabell och graf Kapitel 16 Rekursionstabell och graf Det går att mata in två formler för de tre typerna av rekursion nedan och sedan använda dem för att framställa en tabell och rita grafer. Generell term av sekvensen

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

520DP. Bordsräknare med utskrift Bruksanvisning

520DP. Bordsräknare med utskrift Bruksanvisning 520DP Bordsräknare med utskrift Bruksanvisning U 1. Utskriftssystem: 12 siffrors kapacitet med noll-eliminering. Enkel blankrad när svaret har skrivits ut. etod för val av decimalkommats placering. 1)

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Casio släpper en ny grafräknare: FX-7400GII

Casio släpper en ny grafräknare: FX-7400GII NR 1-2014 20:e årgången Casio släpper en ny grafräknare: FX-7400GII Den nya räknaren FX-7400GII har de viktigaste funktionerna för gymnasiematematiken och är lika intuitiv och lätthanterlig som övriga

Läs mer

3-5 Miniräknaren Namn:

3-5 Miniräknaren Namn: 3-5 Miniräknaren Namn: Inledning Varför skall jag behöva jobba med en massa bråk, multiplikationstabeller och annat när det finns miniräknare som kan göra hela jobbet. Visst kan miniräknare göra mycket,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET.

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET. UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. 2 ½ ¾ = 5575186299632655785383929568162090376495104 n = 142 är det minsta värde på n för vilket 2 Ò inleds med siffrorna 55. Uppgiften består i att skriva ett program som tar emot

Läs mer

Symbolisk integrering av rationella funktioner

Symbolisk integrering av rationella funktioner Symbolisk integrering av rationella funktioner Gustaf Lönn 28 augusti 2013 Helsingfors universitet Institutionen för matematik och statistik Handledare: Mika Seppälä Innehåll 1 Inledning 2 2 Abstrakt algebra

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk. täljare bråkstreck ett bråk nämnare Vilket bråk är störst? Ett bråk kan betyda mer än en hel. Olika bråk kan betyda lika mycket. _ 0 två sjundedelar en hel och två femtedelar > 0 > 0 < > > < > Storlek

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik.

Läs mer