Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Transkript

1 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse när man avrundar till ett visst antal gällande siffror eftersom de försvinner när man skriver om till tiopotensform. Därför säger man ofta att nollor i början av decimaltal inte är gällande siffror. Observera också att talet är ett specialfall. Det är inte relevant att tala om avrundning av talet till ett visst antal gällande siffror, eftersom talet inte kan skrivas i en tiopotensform där talet före tiopotensen ligger i intervallet [, [ (vilket gäller för alla andra tal). b) i) Eakta värdet är T = e och närmevärdet är L,6. Felet är T L e,6,78, absoluta felet är T T L,78 och relativa felet är T T,78 e,77,8,8 %. ii) Eakta värdet är T sin och närmevärdet är L,8. Felet är T L sin,8,7, absoluta felet är T T L,7 och relativa felet är T T,7 sin,7,7,7 %. Svar a) i) ii) 9,9 iii),7 b) i) felet,78, absoluta felet,78, relativa felet ungefär,8 % ii) felet,7, absoluta felet,7, relativa felet ungefär,7 % a) + + gemensam faktor = ( + + ) Nollställen för polynomet : ± ± = = =. ( )( ) Dvs. ( ) ( ) + + = ( + + ) = (+ )( + ). ( )( ), vilket ger b) Termerna i polynomet har inga gemensamma faktorer och man hittar inte på ett enkelt sätt några faktorer med hjälp av minnesreglerna eller gruppering. Därför försöker vi faktorisera med hjälp av nollställen. Faktorer i den konstanta termen är och faktorer i högsta grads termen är, och, vilket ger att möjliga rationella nollställen är, och. Test visar att är ett nollställe:. Polynomet är då delbart med binomet ( ). Vi dividerar polynomen med hjälp av trappan: ± ± ±

2 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Dvs. ( )( ). Minnesreglerna ger ytterligare att + + = ( )( ) ( ) = ( ) ( ) + + = ( )(+ ) Svar a) ( + )( + ) b) ( )( + ) Vi skall visa att funktionen f () 7 har eakt ett nollställe. Funktionen är en deriverbar och kontinuerlig polynomfunktion. Vi gör ett teckenschema för funktionens derivata. Derivatan är f () Derivatans nollställen och graf: + = = =±. Teckenschema: f + f Funktionsvärdena i etrempunkterna: f f () = + 7 =. ( ) =( ) + ( ) 7 = + f I intervallet [, [ finns inga nollställen, eftersom funktionens största värde i det här intervallet är enligt teckenschemat. Eftersom funktionen är strängt avtagande i intervallet ], [, så finns det högst ett nollställe i intervallet. Dvs. funktionen har högst ett nollställe i hela R. Eftersom f( ) = 8 > och f( ) = < och funktionen f är kontinuerlig överallt, så har funktionen f, enligt Bolzanos sats, åtminstone ett nollställe i intervallet ], [. Eftersom funktionen samtidigt enligt ovan har högst ett nollställe, så får vi att den har eakt ett nollställe. a) Vi löser ut roten ur ekvationen 7 på följande sätt: + = 7 = 7 = 7. Vår iterationsfunktion blir då g ( ) = 7. Vi väljer som startvärde och tabellerar resultatet: n n,779,879,7,767,7999 6,786 7,7 På räknare: ) EXE ) (Ans-7) Roten ser ut att vara,8 med tre decimalers noggrannhet.

3 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Vi visar också noggrannheten i svaret: Eftersom f f (,8) =, >, (,7) =9, < så ger Bolzanos sats att nollstället ligger i intervallet ],7;,8[. Ett närmevärde för nollstället med tre decimalers noggrannhet är då,8. b) Vi väljer t.e. utgående från grafen på en grafisk räknare intervallet [,;,]. f (,) =,7 > f (,) = < a) b) P( ) 7 7 = M( ) 7 7 = a+ b a b = + c c c ar as = P( ) = 77 = ( 7 7 ) Bolzanos sats ger att det finns ett nollställe i intervallet ],;,[. Med Genom att dividera polynomet med trinomet gaffelmetoden väljer vi ett nytt intervall, t.e. [,;,]. T( ) = + + t.e. med hjälp av trappan, ser vi att divisionen går jämnt ut och kvoten är +. Dvs. om vi dividerar polynomet P ( ) med f (,) =,9 > trinomet T( ), får vi polynomet ( + ) =. f (,) =,6 < Bolzanos sats ger att det finns ett nollställe i intervallet ],;,[. c) Utgående från punkterna a och b får vi att Vi fortsätter med gaffelmetoden. Slutligen hittar vi ett intervall som P ( ) = ( ) innehåller nollstället och vars tal avrundade till tre decimalers = ( + )( + + ), noggrannhet ger samma tal. T.e. intervallet ],7;,8[. Rotens närmevärde är då,8. vilket ger Svar a),8 b),8 P ( ) = ( + + ) =. + a-fallet r s = a Svar a) b) c)

4 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 6 f ( n ) n+ = n ln( + ) Newtons algoritm:. Vi undersöker funktionen f( ) =. f ( ) + n Eftersom = = =, Vi beräknar ett närmevärde för derivatan med hjälp av centraldifferensen: så är = det enda nollstället till funktionen f (). Vi tillämpar f ( + h) f( h) f ( ). h Newtons metod på denna funktion. Funktionens derivata är f (), vilket ger rekursionsformeln ln( + ) Nu är h =,; = och f( ) =, vilket ger + n n+ n n n n n n f ( +,) f (,) n f (), Vi väljer som startvärde. f(,) f(,) =, = + =,666 ln(,) ln(,999),,999 =,666 + =, =,666, =, =, =,977 Vi beräknar ett eakt värde för derivatan: Talet, ser ut att vara ett närmevärde för med fem decimalers ln( + ) f( ) = noggrannhet. Vi kontrollerar resultatet: eftersom + f (,) =,9 < ( + ) ln( + ) f (,) =,6 6 >, f ( ) = + = ( + ) så ligger nollstället, enligt Bolzanos sats, i intervallet ],;,[. Talet, är då ett närmevärde för nollstället med fem decimaler. ln f () = = ln. Svar,

5 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Absoluta felet är Δ = ( ln ) (,977 ) =, och relativa felet är Δ,68 = = = ln ln,7,7 %. Svar f (),97... ; relativa felet är,7 7 7 a) Taylorpolynomet är f () f () P ( ) f() f ()!! Vi beräknar derivatorna för funktionen f. = f( ) = e +, f() = f ( ) = e +, f () = f ( ) = e, f () = f ( ) = e, f () = b) Ekvationen e är ekvivalent med ekvationen e. Dvs. vi söker nollställen för den kontinuerliga och deriverbara funktionen g() e. Vi får att g () e < överallt, vilket ger att funktionen g har högst ett nollställe. Rekursionsformeln för Newtons metod är g ( ) e e n n n n n n+ = n = n = n + ( ) e n g e n n + Vi väljer som startvärde. Vi får e = + =,788 e + e,788,788 =,788 + =,6698 e,788 + =,67 =,67 Med fyra decimalers noggrannhet ser lösningen ut att vara,67. Vi kontrollerar resultatet: eftersom g är kontinuerlig (summan av en eponentialfunktion och den identiska funktionen) och g(,67) =,6 > g(,67) =, <, så ger Bolzanos sats att det finns ett nollställe i intervallet ],67;,67[. Avrundat till fyra decimaler är närmevärdet för nollstället,67. Vi får att Sedan löser vi ekvationen P (). Vi får att P ( ) = +. 6 = P ( ) = = 6 + 6=. ( 6).

6 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Dvs. vi söker nollställen för funktionen h() 6. Derivatan h () 6 ger att rekursionsformeln för Newtons metod är h ( n) n n + n 6 n n + 6 n+ = n = n = h n n n + n n +. ( ) 6 6 Vi väljer igen som startvärde. Vi får att,,677,679,679 Lösningen ser ut att vara,67 med fyra decimalers noggrannhet. Eftersom h är en kontinuerlig polynomfunktion och eftersom h(,66) 6,67 h(,67),9, så ger Bolzanos sats att h har ett nollställe i intervallet ],66;,67[. Dvs. ett närmevärde för lösningen med fyra decimalers noggrannhet är verkligen,67. c) T,67 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet för roten till ekvationen e och L,67 är ett närmevärde med fyra decimalers noggrannhet för ekvationen P (). Relativa felet är då T L T,67,67 = =,, %.,67 Svar a) P ( ) = + b),67;,67 c),% ( ) f( ) d, f() + f(,) + f() + + f(,) + f(6) =, (,7 +,6 +, + +,9 +,87) = 7, Svar 7,

7 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov Rötterna till ekvationen är samma som nollställena för funktionen f (). Funktionen är en kontinuerlig polynomfunktion. a) Anta att övre närmevärdet är L. Relativa felet är % och L, vilket ger ) Vi beräknar funktionens värde i ändpunkterna av intervallet [, ]: L =, L =, L =,6 L =,6. Relativa felet för närmevärdet f(l) L i jämförelse med det eakta värdet f() är då L,6 = =,68 6 %. f () f (). Eftersom värdena har olika tecken, så ger Bolzanos sats att funktionen har åtminstone ett nollställe i intervallet ], [. ) Funktionens derivata är f (). I intervallet ], [ är f (), vilket ger att f är strängt väande i intervallet [, ]. Funktionen f har då högst ett nollställe i intervallet [, ]. Punkterna och ger att funktionen f har eakt ett nollställe i intervallet [, ], dvs. ekvationen har eakt en rot i intervallet [, ]. b) Anta att det nedre närmevärdet är L. Relativa felet är % och L 8, vilket ger a) Vi bestämmer ett närmevärde för roten med hjälp av halveringsmetoden. 8 L =, Intervallets 8 Intervall f (c) mittpunkt c 8 L =, [, ],, 8 [,; ],7,9 8 L =, [,;,7],6,6 L = 7,6. [,;,6],6,7 Relativa felet för närmevärdet f(l) L i jämförelse med det eakta [,;,6],, värdet f(8) 8 är då [,;,6],687,6 8L 87,6 = =,6 %. [,;,687],96, 8 8 [,;,96],6, Anmärkning. Relativa felet för närmevärdet L L L L för produkten är ganska eakt tre gånger större än relativa felet när närmevärdet L jämförs med eakta värdet. [,;,6],, Svar a) ungefär,6 b) ungefär,6 [,;,],66, [,;,66],788, [,788;,66]

8 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Alla värden i det sista intervallet avrundas till talet, om man ger närmevärdet med fyra gällande siffror. Dvs. roten given med fyra gällande siffror är,. b) Vi bestämmer ett närmevärde för roten med hjälp av Newtons metod. Rekursionsformeln är f( n) n n + n n+ = n = n =. f ( n) n n Vi väljer t.e. som startvärde. Vi får = = =,666 9 =,86 =,9 =,8 Roten ser ut att vara,, givet med fyra gällande siffror. Vi kontrollerar noggrannheten: f (,) och f (,), vilket ger enligt Bolzanos sats att funktionen f har ett nollställe i intervallet ],;,[. Roten är då,, givet med gällande siffrors noggrannhet. Vi dividerar med trappan: Kvoten är då och resten. Dvs. + = +, vilket ger delningsekvationen + = ( )( ) +. Observera att: termernas ordningsföljd är ombytt i nämnaren de tomma platserna i täljaren Svar a), b), Svar kvoten resten delningsekvationen + = ( )( ) +

9 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. g(,), g(,), g(,), g(,), g(,), g(,), g(,). Vi får Vi ser att nollstället ligger i intervallet ],;,[, vilket ger att f( ) = nollstället givet med tre decimalers noggrannhet är, = Svar, ( ) = 7 = eller =. g( ) Funktionen f har åtminstone ett nollställe. Vi skall undersöka om funktionen g har några nollställen. Derivatan är a) g ( ) = 76 + = Rotformeln ger (7 + ). > = bara när = ± ( ) ± 6 = =. Derivatan är åtminstone noll överallt och noll endast i en enstaka punkt, vilket ger att g är strängt väande i hela R. Då har funktionen g högst ett nollställe, vilket ger att funktionen f har högst två nollställen. Eftersom Diskriminanten är negativ, vilket ger att det inte finns några reella rötter. De imaginära rötterna är 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 < ± i 6 ± i = = = ± i. < 7 < 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 = + 7 = > b) + = och g är kontinuerlig, ger Bolzanos sats att g har ett nollställe i intervallet ], [. Dvs. funktionen g har ett nollställe som är mindre än det nollställe för funktionen f som vi hittade tidigare. Funktionen f har då eakt två reella nollställen. + = Vi betecknar t, vilket ger t + t = Vi bestämmer ett närmevärde för det mindre nollstället för funktionen f, dvs. ± ( ) ± 6 ± det enda nollstället för funktionen g. Grafen till funktionen g är starkt t = = = fallande när man förflyttar sig från värdet till vänster. Tangenterna är t = eller t = nästan lodräta, vilket ger att iteration med Newtons metod konvergerar mycket långsamt mot nollstället. Vi hittar nollstället mycket snabbare genom = eller = att använda gaffelmetoden och räknaren. Gaffelmetoden kan tillämpas t.e. =± eller =± i. på följande sätt: Svar a) = ± i b) = ± eller =± i

10 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 6 7, + +, = = Den senare ekvationen har endast heltalskoefficienter. Faktorer i den konstanta termen är ± och ±. Koefficienten för högsta grads term har faktorerna ± och ±. Möjliga rationella rötter till ekvationen är då ±, ±, ± och ±. Test visar att = är en rot: () 9() =. Eftersom = är ett nollställe till polynomet P() 9 8, så är polynomet delbart med binomet ( ) =. Vi dividerar med hjälp av trappan ± ± Ekvationen 9 8 kan skrivas om till produktformen ( )( ). Vi bestämmer de övriga rötterna: = ± ( ) ( ) ± 8 ± = = = = ±. Vi skall bestämma rötterna till ekvationen sin e, dvs. nollställena för funktionen f() sin e. Algoritmen för allmänna sekantmetoden är n n n+ = n f( n) f( n) f( n) (sin e n n n = n n ), n=,, sin e n sin + e n n Startvärdena och ger,98 På räknare (TI):,9 A ENTER,7 - B ENTER,7 B-(sin B-e^B)(B-A)/(sin B-e^B-sin A+e^A) C: B A:C B Vi trycker upprepade gånger på ENTERknappen. Roten ser ut att vara,, givet med fyra gällande siffror. Vi undersöker noggrannheten: Eftersom f är kontinuerlig och f (,), f (,),, så ger Bolzanos sats att funktionen har ett nollställe i intervallet ],;,[. Dvs. nollstället är,, givet med fyra gällande siffror. Svar, n Svar = =, = ±

11 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 8 Vi beräknar först funktionsvärdena f () = cos = cos = och π f ( π ) = cos =. Dvs. interpolationslinjen går genom punkterna (, ) och (, riktningskoefficient är k = = π π, och interpolationslinjens ekvation är y = ( ) π y = +. π Linjär interpolering ger f (,), + =,9,9. π Relativa felet är, f (,),9 cos,9 = =,666 6,7 %. f (,) cos, Svar y = +, f (,),9, relativa felet 6,7 % π ). Linjens

12 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) Närmevärdet skrivet på formen,67 anger att svaret har avrundats till 6 decimalers noggrannhet. Enda sättet att skriva närmevärdet i tiopotensform så att informationen om noggrannheten bibehålls är,67 6,7. Koefficienten har siffror, vilket betyder att antalet gällande siffror är. ii) 67, 6,7, vilket ger att antalet gällande siffror är. iii) Närmevärdet är färdigt i tiopotensform, vilket ger att vi direkt ser att antalet gällande siffror är. b) i) När ett närmevärde är skrivet i tiopotensform anger antalet siffror i koefficienten avrundningsnoggrannheten. Antalet siffror i koefficienten är samma som antalet gällande siffror. Om man har avrundat till gällande siffror, så skriver man 67 6,7. ii) På motsvarande sätt med gällande siffror: 67 6,7. iii) På motsvarande sätt med 6 gällande siffror: 67 6,7. Svar a) i) ii) iii) b) i) 6,7 ii) 6,7 iii) 6,7 a) Funktionen f( ) = är deriverbar i intervallet > (och då också kontinuerlig) eftersom b f( ) = ab= = ln e = = e ln eln a ebln a b eln a = ebln a och eponentialfunktionen, kvadratrotsfunktionen, logaritmfunktionen och den konstanta funktionen är deriverbara i sin definitionsmängd. Vi söker ett heltalsintervall där funktionen byte tecken. Vi tabellerar några värden: f( ) = Funktionens tecken 9 negativ 7, negativ,9 negativ negativ, negativ 6, positiv Vi ser att den kontinuerliga funktionen f ( ) har olika tecken för och 6. Bolzanos sats ger då att det finns åtminstone ett nollställe (en rot) i intervallet < < 6.

13 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. f ( n ) n+ = n f ( n ) b) Funktionen f( ) = är strängt väande i intervallet > Rekursionsformeln för Newtons metod är, n,, eftersom båda basen > och eponenten väer (strängt) när väer. En strängt väande funktion har högst ett nollställe. Tillsammans med a-fallet ger detta att funktionen har eakt ett nollställe.,, vilket ger n n+ = n n n c) i) Vi tillämpar Bolzanos sats på allt mindre intervall: ln n + n Funktionens värde och Rotens läge Intervallets bredd tecken Vi väljer =,. som startvärde. Rekursionsformeln ger följande f (), < talföljd: ], 6[ 6 f (6), > n n f (,),<,97966 ],;,[, f (,),87 >,9779 f (,9),9 <,986 ],9;,[,,986 f (,),87 > Ett närmevärde för roten med två decimaler är då,9. f (,9),9 < ],9;,9[, Noggrannheten är kontrollerad redan i i-fallet. f (,9),9 > Svar a) talen och 6 c),9 Eftersom alla tal i intervallet,9 < <,9 avrundade till två decimaler ger talet,9, så är,9 ett närmevärde för den sökta roten med två decimalers noggrannhet. ii) I Newtons metod måste man känna funktionens derivata. ( ) f ( ) = D e ln s( ) s( ) De = e s ( ) = e ln ln+ = ln + = ln + n

14 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. gemensam faktor: a) + 9 ma + mb = m( a + b) a) Talen, och är nollställen för polynomet om ( ), ( ) och =( + 9) a ab + b = ( a b) (( ) ) = + =() b) Vi söker möjliga rationella rötter för den ekvation + = som svarar mot uttrycket +. Polynomet kan då faktoriseras med hjälp av nollställena. Ekvationens koefficienter är heltal. Faktorer i den konstanta termens koefficient a är,,, 8,, och faktorer i högsta grads termens koefficient a = är. Täljaren p i den möjliga rationella roten = p/ q är faktor i den konstanta termens koefficient och nämnaren q är faktor i högsta grads termens koefficient. Möjliga rationella rötter är då,,, 8,,. Genom att testa de möjliga rationella rötterna ser vi att = är en lösning, eftersom + = = är en lösning, eftersom ( ) ( ) ( ) + = = är en lösning, eftersom + =. Övriga möjliga rationella rötter lönar det sig inte att testa, eftersom en tredje grads ekvation har högst tre rötter. Eftersom P( ) = a( )( )( ), där, och är nollställen till polynomet, så är + = ( )( ( ))( ) = ( )( + )( ). Svar a) ( ) b) ( )( )( + ) ( ) är faktorer i polynomet. Vi söker dessutom en koefficient a för högsta grads termen, så att P ( ) = a( + )( )( ) antar värdet 8 för. P() = a( + )( )( ) = a = 8 a = Det sökta polynomet är P ( ) = ( + )( )( ) = ( )( ) = ( + ) = ( a+ b)( a b) = a b b) Vi tillämpar nollregeln för en produkt på ekvationen (+ )( ) =. ) + = = : = ingen reell rot Komplea rötter: = =± i =± i

15 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. ) Svar = = = =± a), ab = a b P ( ) = 8+ 8 b) reella rötter =±, komplea rötter =± i + 7 a) Vi utför divisionen med hjälp av trappan. Observera att termernas 7 ordningsföljd är ombytt i nämnaren. 7 6 Divisionen gick jämnt upp eftersom resten är noll. Divisionens kvoten blev +. + b) Vi utför divisionen med hjälp av trappan. 6 Termernas ordningsföljd måste bytas så att den blir fallande: 8 + = 6 = + 6 Divisionen gick inte jämnt upp eftersom resten är P( ) J( ) = V( ) + Q( ) Q( ). Vid division får man att, där V( ) är kvoten och J( ) Dvs. är resten. + = 6 +. Svar a) + b) 6 f () e, [, ] 6+ Funktionen f:s derivata är f () e, vilket ger att f är strängt avtagande. Den antar då sitt största värde i intervallet [, ] i och sitt minsta värde i. Eftersom f () e och f () e, så är f () i intervallet [, ].

16 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Den andra derivatan är f () e, vilket ger att derivatan är strängt väande. Eftersom derivatan är negativ överallt, antar den sitt största absoluta värde i intervallet [, ] för. Vi får att Funktionen som skall integreras är f( ) = och delintervallens längd är f () e e,7,, h = =. Simpsons regel ger vilket ger att f (), i intervallet [, ]. Vi beräknar termerna i talföljden,,, med rekursionsformeln n d h ( f () + f () + f () ) = + + = =. 9 f ( n ) och startvärdet,. Vi får att 9 f ( ) f (,) e,,7 f ( ),8,78,789,788 6,787 7,786 Lösningen ser ut att vara,78, givet med fyra gällande siffror. Vi kontrollerar: eftersom f (,77),77 och f (,78),78 och eftersom funktionen f () är kontinuerlig, så ger Bolzanos sats att funktionen f () har ett nollställe, dvs. ekvationen f () en lösning, i intervallet ],77;,78[. Ett närmevärde för lösningen given med fyra gällande siffror är då,78. Anmärkning. De handlar naturligtvis om fipunktsmetoden. Villkoret f () garanterar att fipunkten eisterar eftersom villkoret ger att f () och f (). Detta ger i sin tur, enligt Bolzanos sats, att funktionen f () har ett nollställe, vilket är samma som att ekvationen f () har en lösning, dvs. funktionen f har en fipunkt i intervallet [, ]. Derivatavillkoret f (), garanterar att iterationen med funktionen f konvergerar mot fipunkten (se konvergensvillkoret i boken sid 7). Svar,78 7 Felformeln ger att () () ( ba) f () t () f () t E () f t t = 8 = 8 = 9 (), där < <. Vi bestämmer derivatorna: f ( ) = =, f ( ) =, f ( ) =, ( ) 6 f =, ()( ) f =. () Absolutbeloppet av fjärde derivatan, f ( ) =, är strängt avtagande i intervallet [, ]. Det är då mindre än () f () = = i intervallet ], [. Absoluta värdet av felet kan då uppskattas uppåt med () E = f ( t) < =, Integralens eakta värde är d / ln ln ln ln = = =, vilket ger att absoluta värdet av felet i närmevärdet är ln,. d Svar, absoluta felet <,667, eakta värdet ln, 9 verkliga absoluta felet ungefär, 9 9

17 Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. 8 c) Om h =, så ger centraldifferensen a) Ett närmevärde för derivatan får vi med vänsterdifferenskvoten: f () f() f( h) h ( h) = h h,99 6,99 =,97., Högerdifferenskvoten ger att h = =,, ( ) (), 6 f + h f f () =,9986 och h, centraldifferensen ger slutligen,,99 f( + h) f( h),,99 f () =,. h, T L b) Relativa felet är, där T är eakt värde och L närmevärdet. Nu är T T = f () = 8( + ln ),77. Om h =, så ger centraldifferensen ett närmevärde för derivatan:,,9 f( + h) f( h),,9 =,86, h, och motsvarande relativa fel är,77,86,77, =, %. Svar + f( + h) f( h) ( + ) ( ) = h Beräknad med en TI-86-räknare är centraldifferensen. Olika räknare ger olika resultat. Orsaken är att täljaren är skillnaden av två nästan lika stora tal, vilket gör att räknaren kan ge värdet noll pga. minnesutrymmet inte räcker till. (Räknaren kan inte ens skilja på talen h och h från varandra när h är tillräckligt litet. Du kan pröva detta genom att mata in värdena och i räknaren). Om räknaren ger värdet noll för centraldifferensen, så är absoluta felet T L = T = 8( + ln ) och relativa felet %. Enligt definitionen på derivata närmar sig centraldifferensen derivatan när h, och absoluta felet närmar sig då noll. Centraldifferensen, beräknad med räknaren, närmar sig inte nödvändigtvis alltid derivatan eftersom räknarens kapacitet tar slut för mycket små värden på h. a) f (),9986, f (), 97, f (), b), %;, % c) Beror på räknaren. Absoluta felet är troligtvis mycket stort.. Om h =, så ger närmevärdet från a-fallet att relativa felet är,77,,77, =,%.