6.2 Implicit derivering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "6.2 Implicit derivering"

Transkript

1 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta derivator till enklare funktioner, men också lite mer komplicerade genom användning av kedjeregeln, eller produkt/kvotregeln. Vissa funktioner är dock inte så enkla att derivera med hjälp av derivatans definition, hur ska vi t.e. göra med derivatan till den inversa sinusfunktionen? Vi vet ju att om f() = sin så är f () = cos, men det innebär ju inte att om f() = arcsin så är f () = arccos. Vi har då en metod att tillgå som kallas implicit derivering. Vi kan börja med att derivera en relativt enkel funktion med denna nya metod, för att se hur det fungerar. Låt y =, dvs [genom att använda den inversa funktionen till ] y =. Vänsterledet y är ju en sammansatt funktion, som egentligen borde skrivas (y()). Om vi skulle derivera denna likhet med avseende på, skulle kedjeregeln ge oss yy =, dvs y = y = vilket inte ger oss någon större överraskning. Men denna teknik kan hjälpa oss att hitta mer bångstyriga derivator. Eempel 33. Hitta derivatan till arcsin. Låt y = sin, [dvs vi använder den inversa funktionen 4 till den vi söker derivatan till] så att = arcsin(sin) = arcsiny. Derivera med avseende på, varvid vi enligt kedjeregeln erhåller = d dy arcsin(y) dy = d arcsin(y) cos. dy Vi har nu att d dy arcsiny = cos = sin =, y och givetvis är även d arcsin =, då ju variabelns namn är irrelevant. 4 i ett givet intervall, se övningen på sid 3 5

2 6 ANALYS 6. Implicit derivering Vi kan med hjälp av implicit derivering enkelt lösa problem som vi inte tidigare ens haft en aning om att de eisterade. Eempel 34. Visa att familjerna av kurvor y = a och y = b, där a och b är reella konstanter, alltid skär varandra i rät vinkel. Figur : Några eempel ur familjen av kurvor y = a [heldragna] och y = b [streckade]. Tangenterna ska alltså vara vinkelräta i varje skärningspunkt. Från B-kursen minns vi att två räta linjer är vinkelräta om produkten av deras k-värden är -. Vi deriverar funktionerna implicit för att hitta lutningen: yy = 0, dvs y = y. y + y = 0, dvs y = y. Produkten av dessa två lutningskoefficienter är bevisligen -, och kurvorna skär alltså varandra vinkelrätt oavsett värdet på a och b. Genom implicit derivering;. hitta derivatan till f() = 3.. hitta derivatan till f() = arccos. 3. hitta derivatan till f() = arctan. 4. hitta derivatan till ln. 5. Utgå från deriveringsregeln d n = n n, n heltal, och visa att d n m = n m n m genom implicit derivering. 6. Hitta derivatan till y = (sin t) ln t (Tips: Logaritmera först, implicitderivera sedan) 53

3 6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder Till vissa funktioner kan det vara svårt att finna en primitiv funktion, vad är t.e. ln, (6.4) arcsin, (6.5) eller e? (6.6) Det är oftast lättare att hitta en funktions derivata än dess primitiva funktion, men det finns en hel del knep att ta till Variabelsubstitution En integral av typen kan lösas på flera sätt. De två enklaste är. Genom att se att den primitiva funktionen är ln( + 43 ).. Genom variabelsubstitution. Det första sättet kräver en del träning, och den träningen får man genom det andra sättet. Slutsats: vi lär oss det andra sättet. Variabelsubstitution bygger till stor del [som så många andra knep] på kedjeregeln. I eemplet ovan ser vi att täljaren är nästan derivatan av nämnaren, sånär som på en konstant. Gör då följande substitution: u = du = du = Vi ser nu att vår integral kan skrivas med u som variabel istället, där byts mot du och ser då ut som 09 u du, vilken har lösningen ln(u) 09 = ln(09). Notera att integrationsgränserna ändras när vi byter variabel! Substitutionen u = g() är ypperlig om g () är en faktor i integranden, ty då är du = g () lätt att substituera, såsom i eemplet ovan. 54

4 6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder Eempel 35. Beräkna 8 0 cos( + ). + Låt u = +, så att du = +. Vår integral blir då 3 cos(u)du = sin(u) 3 = (sin 3 sin ) Lite knepigare integraler kan kräva omskrivningar innan man ser vad man bör substituera. Eempel 36. Beräkna e. Bryt ut e ur rotuttrycket, varvid vi erhåller e e = e (e ). Substituera u = e, du = e, så att integralen blir (se 6.) du u = arcsin(u) + C = arcsin(e ) + C.. Beräkna arean som innesluts av grafen till funktionen f() = (+sin( )) cos( ), -aeln, = 0 och = π. Beräkna +4+5 (Tips: kvadratkomplettera) 3. Beräkna tan (Tips: skriv om med andra trigonometriska funktioner) 4. Beräkna sin(3ln ) Den trigonometriska ettan kan vara mycket användbar i substitutionssituationer, och fungerar ypperligt om integranden innehåller en term på formen (a ) ±n/, där a är ett reellt tal och n ett positivt heltal. En triangel är till stor hjälp. Eempel 37. Beräkna (5 ) 3/. Vi jämför med vårt uttryck ovan och ser att a = 5. Rita upp en triangel, vars hypotenusa är a, och ena katet är. Vi har nu att = 5sin θ, dvs 5 = sin θ, 55

5 6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS 5 ϕ θ 5 Figur 3: Hjälptriangel vid substitution med sinus och cosinus. och att = 5cosθdθ. Eftersom (a ) ±n/ = ( a ) ±n och 5 = 5 5 = 5 sin θ = 5cosθ, har vi att vår integral nu ser ut som (5 ) = 3/ 5cosθ ( 5) 3 cos 3 θ dθ = dθ 5 cos θ = tanθ + C. 5 Ur figuren ser vi att tan θ = 5, så vår lösning ser ut som vilket enkelt verifieras genom derivering. (5 ) 3/ = C,. Gör substitutionen = 5cosϕ och beräkna integralen ovan. (Tips: Primitiv funktion till sin ϕ är tan ϕ ). Beräkna arean av det skuggade området i figuren. y = a för den övre halvan av cirkeln. Utnyttja symmetrin. (Tips: cos θ = ( + cosθ), sin θ = sinθ cosθ. Nyttja en triangel för att hitta θ uttryckt i arcsin och arccos) y b a 56

6 6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder Om integranden istället innehåller en term av typen (a + ) ±n/ kan man substituera med tangens istället, och vi utnyttjar förhållandet + tan cos θ = θ cos θ + sin θ cos θ = cos θ = cosθ. En triangel liknande den ovan men något modifierad, kan vara till hjälp. a + ϕ θ a Figur 4: Hjälptriangel vid substitution med tangens. Eempel 38. Beräkna 4 +. I detta fall är a =, och vi kan substituera = tanθ och = vi får att [se ovan] = 4 + cos θ cos θ dθ = cosθ dθ. Denna integral har lösningen cosθ dθ = ln tanθ + C = ln cosθ cos θ + + C. dθ, varvid. Visa, genom att förlänga med och substituera u = ( cos θ dθ = ln cos θ + tanθ + C. Beräkna (+9 ) (Tips: cos θ = ( + cos)) cos θ + tanθ), att Ett eempel till, som involverar två substitutioner, och lite andra tri. Eempel 39. indevariabelsubstitution!uberäkna +. 57

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket. Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion

Läs mer

1 Primitiva funktioner

1 Primitiva funktioner Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

1. Förklara, utifrån definitioner, trigonometriska samband samt det faktum att π 12 = 1 2 π6, varför följande likhet måste gälla exakt : p 2+ arccos

1. Förklara, utifrån definitioner, trigonometriska samband samt det faktum att π 12 = 1 2 π6, varför följande likhet måste gälla exakt : p 2+ arccos HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy 8 augusti, 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare, dock endast för test och kontroll av resultat. Betygsgränser: p. för Godkänd, 8p. för

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Lösningsmanual Endimensionell analys

Lösningsmanual Endimensionell analys Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, December Lund Oscar Omnia mecum porto mea Tillägnas Mina vänner I Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Lösning av trigonometriska ekvationer

Lösning av trigonometriska ekvationer Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

= 0 vara en given ekvation där F ( x, DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer

Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER Ärligt talat, så tvivlar jag på att de här kommer att upplevas som mycket lättare än gårdagens, men jag tycker ändå att de är värda att ägna litet tid åt (när man

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica

Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Undervisning och studier i matematik med hjälp av datorprogrammet Graphmatica Thomas Lingefjärd Göteborg 9 Thomas Lingefjärd Introduktion till Graphmatica 1 Kort om Graphmatica Graphmatica har funnits

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 = MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

TENTAMEN HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 mars 06 Tid 8:-: Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D ISBN 91-27-51028-X Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs D/Komvux av Lars-Eric Björk, Hans

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av april 999. NATIONELLT KURSPROV

Läs mer