ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5) b) e x ln+ e x ) dx.5) 2. a) Använd Maclaurinutveckling för att beräkna gränsvärdet lim x + x) /3 e x/3..6) cos x b) Bestäm absolutbeloppet av, samt ange ett argument för, det komplexa talet + i) i ) 8 + i ) 4..4) 3. a) Lös differentialekvationen y +4y=2cos2x..5) b) Ett föremål i rörelse antas ha en retardation dvs. hastighetsminskning per tidsenhet) som är proportionell mot kvadraten av hastigheten. Ställ upp en differentialekvation som beskriver denna situation. Antag att det tar 2 sekunder för hastigheten att minska från 3 m/s till 2 m/s. Efter ytterligare hur lång tid har hastigheten minskat till m/s?.5) 4. a) Definiera vad som menas med att den generaliserade integralen a f x) dx är konvergent..2) b) Bestäm volymen av den oändligt utsträckta) rotationskropp som uppstår då kurvan y= e x x< ) roterar kring x-axeln..4) c) Samma uppgift som i b) men rotationen sker nu i stället kring y-axeln..4) 5. a) Formulera analysens huvudsats glöm ej eventuella förutsättningar). Bevisa sedan denna genom att utgå från integralkalkylens medelvärdessats..5) b) Bestäm alla kontinuerliga funktioner y som uppfyller integralekvationen yx)= x sin 2 t+ yt)tant ) dt, π 2 < x< π 2..5) VAR GOD VÄND!

2 6. a) Härled, med hjälp av en integral, formeln för arean av en sfär med radie R..4) b) I ett klot med radie 2 längdenheter) varierar innandömets densitet med avståndet till klotets medelpunkt. Densiteten ρ i en punkt på avståndet r från medelpunkten ges av ρr)= r r 2 + massenheter/volymenhet). Beräkna klotets massa..6) LYCKA TILL!

3 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK SVAR OCH ANVISNINGAR ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl a) x+4 x+4 x 3 +4x dx= p.bråksuppd. xx 2 dx = +4) x x x ) x 2 +4 dx= = ln x 2 lnx2 +4)+ 4 x 2) 2+ dx= = ln x 2 lnx2 +4)+ 2 arctan x 2) + C. b) [ e x ln+ e x t= e x ) dx= dt= e x dx = tln+ t) t + t ] = ln+ t) dt part.int. = pol.div. dt = tln+ t) ) dt= + t = tln+ t) t+ln+ t)+c= + e x )ln+ e x ) e x + C. 2. a) Maclaurinutveckling av de ingående funktionerna ger + x) /3 e x/3 + 3 lim = lim x 9 x2 + B x)x x+ 8 x2 + B 2 x)x 3) x cos x x 2 x2 + B 3 x)x 4) = 6 = lim x2 + B 4 x)x 3 x 2 x2 B 3 x)x = lim 4 x {}}{ 6 + B 4 x)x 2 B 3x)x }{{} Funktionerna B i x) är begränsade i en omgivning av x=. b) Vi utnyttjar omskrivning på polär form, och får + i) i) 8 + i) 4 = 2e i π ) 9 4 e i π ) 8 6 2e i 3π ) 4 = 4 = 3. = e i 9π 4 e i 8π = 2 9 e i3π 2 2 e i 9π 4 + 4π 3 3π) = 2 5/2 e i7π/2. Absolutbeloppet ges därför av 2 5/2 = 4 2, och ett argument av 7π/2.

4 3. a) Lösningen till ekvationen ges av y= y h + y p, där y p är en partikulärlösning, och y h betecknar samtliga lösningar till motsvarande homogena ekvation. För att bestämma y h ställer vi upp och löser den karakteristiska ekvationen pr)= r 2 + 4= r=±2i. Detta ger oss y h = A cos2x+bsin2x, där A och B är godtyckliga konstanter. För att bestämma en partikulärlösning y p, hittar vi först en lösning till hjälpekvationen y + 4y = 2e i2x, där vi noterar att Re2e i2x = 2cos2x. Vi ansätter lösningen yx)= zx)e i2x, och upprepad användning av produktregeln ger oss y = z +2iz)e i2x, y = z +4iz 4z)e i2x. Insättning i hjälpekvationen leder till ekvationen z +4iz 4z)+4z ) e i2x = 2e i2x z +4iz = 2, och för att hitta en lösning till denna ansätter vi z = Ax z-term saknas), vilket ger z = A, z =, och 4iA= 2 A= i. Slutsatsen blir att 2 y = 2 ixei2x = 2 ixcos2x+ isin2x)= 2 xsin2x+ i 2 xcos2x) är en lösning till hjälpekvationen, och därmed är vår sökta partikulärlösning y p = Re y = 2 xsin2x. Sammafattningsvis ges samtliga lösningar till ekvationen av y= y h + y p = A cos2x+bsin2x+ 2 xsin2x. b) Om vi låter vt) beteckna föremålets hastighet i meter per sekund vid tiden t sekunder, så vill vi lösa differentialekvationen v t)= kvt) 2. Denna ekvation är separabel, och vi får v = kv 2 v v v 2 v = k v 2 dv= k dt = kt+c v= kt C. Villkoret y)=3 ger oss nu att 3= C C=, och av villkoret y2)=2 följer 3 det att 2= 2k+/3 k=. Den sökta lösningen är därför 2 vt)= 2 t+ 3 = 2 t+4. Vi ser nu att villkoret yt) = är uppfyllt då = 2 t+4 t = 8, så det tar alltså ytterligare 8 2=6 sekunder att minska hastigheten till m/s. 4. a) Se läroboken sidan 32.

5 b) Här kan vi direkt använda formeln för volymen av en rotationskropp. Med f x)= e x, x<, så ges volymen V av X V = π f x) 2 dx=π lim e 2x dx= = π lim [ 2 e 2x] X ) = π lim 2 e 2X + 2 = π 2. c) Vi använder nu i stället rörformeln, återigen med beteckningen f x)= e x : X V = 2π xf x) dx=2π lim xe x dx part.int. = [ ] = 2π lim xe x X X ) + e x dx = = 2π lim X e X ++ [ e x] X ) = 2π lim X e X e X + ) = 2π. Alternativt använder vi formeln i a) med inversen f y)= ln y, < y. 5. a) Se läroboken sidorna b) Ledvis derivering med hjälp av analysens huvudsats ger yx)= x sin 2 t+ yt)tant ) dt y x)= d dx x sin 2 t+ yt)tant ) dt y x)=sin 2 x+ yx)tan x y tanx)y=sin 2 x. Denna sista ekvation är linjär av första ordningen, som vi kan lösa med integrerande faktor. Eftersom tanx dx = sin x cos x dx = lncos x)+c notera att absolutbelopp ej behövs i det aktuella intervallet), så blir den integrerande faktorn e lncos x) = cos x. Vi får då y tanx)y=sin 2 ) d x dx y cos x = sin 2 xcos x y cos x= sin 2 xcos x dx y cos x= 3 sin3 x+c y= sin 3 x 3 cos x + C cos x. För att få ekvivalens i det allra första steget *), sätter vi x= i ursprungsekvationen och får y)= sin 2 t+ yt)tant ) dt=. Med detta villkor tillämpat på den allmänna lösningen följer det att C =. Den enda funktion som löser vår ekvation är alltså yx)= sin 3 x 3 cos x.

6 6. a) En sfär med radie R får vi t.ex. om vi roterar grafen till f x)= R 2 x 2, x R den övre halvcirkeln med radie R), kring x-axeln. Vi kan nu direkt tillämpa formeln för arean av en rotationsyta: R R A= 2π f x) + f x) 2 dx=2π R 2 x + 2 R R = 2π R 2 x 2 + x2 dx=2π R 2 x 2 R 2 x 2 ) x R 2 x 2 ) 2 dx= ) + x2 dx= R 2 x 2 R R R = 2π 2 x 2 )+ x dx=2π 2) R dx=2π R 2R= 4πR 2. b) Då densiteten varierar med avståndet till medelpunkten, studerar vi ett tunt sfäriskt skal, med tjocklek dr, på avståndet r från medelpunkten. Låt d A, dv och dm beteckna skalets area, volym respektive nassa. För små dr kan vi använda oss av approximationen dm=ρr) dv = ρr) da dr= r r 2 + 4πr2 dr= 4πr3 r 2 + dr. Vi integrerar sedan dessa massbidrag, då radien varierar mellan och 2: 2 m= [ 4πr 3 s= r 2 r 2 + dr= + = 2π 2 ds= r dr 5 ] 5 2πs ) = ds= s Massan ges alltså av ) massenheter). s ) [ ds=2π 2 s 3 s3/2 2 ] 5 s =...= 8π 3 5+).