Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: p. ger betyget 3, p. ger betyget 4 och 40 p. eller mer ger betyget

Transkript

1 Matematik Chalmers tekniska högskola kl. :00-8:00. Tentamen TMV036 Analys och linjär algebra K, Kf, Bt, del B Telefonvakt: Hossein Raufi, telefon Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Plats: V Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: 0-9 p. ger betyget 3, p. ger betyget och 0 p. eller mer ger betyget 5. Mapoäng är 50. Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.. Låt A vara en n n matris och låt och b vara n vektorer. Är följande påstående (p) sant eller falskt? Visa ditt svar. Om systemet A = b har mer än en lösning, så har också systemet A = 0 mer än en lösning.. Låt A = 0 (a) Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp kolumnvektorerna i A. (p) (b) Är kolumnvektorerna i A linjärt oberoende? Motivera ditt svar. (c) Bestäm alla lösningar till där b =. AA T = b (d) Låt A och b vara samma som i (c)-uppgiften. Gäller det att någon av kolumn- (p) vektorerna i bb T tillhör nollrummet till A? Motivera ditt svar. 3. Om man beräknat ett värde på Q med följande matlabsekvens (3p) = :; Q = sum(./); gäller det då att Q > 5 d? Motivera ditt svar.. Differentialekvationen y = y kan både betraktas som separabel och som linjär av (8p) första ordningen. Lös differentialekvationen med (p) (3p) 5. (a) Beräkna 3 e d (b) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då funktionen (5p) f() = ( ), 3 roteras kring y-aeln.

2 6. Bestäm alla lösningar till y + 3y + y = te t 7. Visa att en kvadratisk n n matris A är inverterbar om och endast om A är (5p) radekvivalent med identitetsmatrisen I n. 8. Formulera och bevisa medelvärdessatsen för integraler. (5p) Lycka till!

3 Lösningsförslag Tentamen TMV036 Analys och linjär algebra K, Kf, Bt, del B Telefonvakt: Plats: V Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: 0-9 p. ger betyget 3, p. ger betyget och 0 p. eller mer ger betyget 5. Mapoäng är 50. Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.. Låt A vara en n n matris och låt och b vara n vektorer. Är följande påstående (p) sant eller falskt? Visa ditt svar. Om systemet A = b har mer än en lösning, så har också systemet A = 0 mer än en lösning. Sant, ty låt vara två lösningar till A = b, då gäller 0 = A A = A( ) Dvs 0 är en lösning till A = 0.. Låt A = 0 (a) Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp kolumnvektorerna i A. (p) (b) Är kolumnvektorerna i A linjärt oberoende? Motivera ditt svar. (c) Bestäm alla lösningar till där b =. AA T = b (d) Låt A och b vara samma som i (c)-uppgiften. Gäller det att någon av kolumn- (p) vektorerna i bb T tillhör nollrummet till A? Motivera ditt svar. (p) (3p) (a) [ det(a) = det( ] [ )+det( ] ) = +( ) = (b) Ja, ty determinanten är nollskild. (c) AA T = 0 0 = Gauseliminering av de utökade matrisen ger = =

4 bb T = 0 [ 6 0 ] = Kolumnerna i A är linjärt oberoende, dvs endast 0-vektorn ingår i nollrummet till A, dvs andra kolumnen i bb T. 3. Om man beräknat ett värde på Q med följande matlabsekvens (3p) = :; Q = sum(./); gäller det då att Q > 5 d? Motivera ditt svar. I matlab-summan har man använt vänster rektangelregel med steglängd, och eftersom funktionen är avtagande på intervallet [,] gäller att Q > 5 d.. Differentialekvationen y = y kan både betraktas som separabel och som linjär av (8p) första ordningen. Lös differentialekvationen med y = y dy y = d ln y = + C y = Ce 5. (a) Beräkna y = y y y = 0 d (e y) = 0 e y = C y = Ce d 3 e d (b) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då funktionen roteras kring y-aeln. f() = ( ), 3 (5p) (a) 3 e d = = t, > 0 d = dt = t = = 3 t = 9 = 9 = (9e9 e [ e t] 9 ) = (8e9 3e ) te t dt = ([ te t] 9 9 e t dt) (b) V olymen = π( ( ) )d = π ( 3 + 3)d [ = π ] 3 = 6π 3

5 Eftersom det karakteristiska polynomet p(r) = r + 3r + = (r + )(r + ) har nollställena r =, r = har motsvarande homogena ekvation lösningen y h = C e t + C e t För att finna partikulärlösning inför vi funktionen z = z(t), dvs låt Vi får Insättning ger dvs y = ze t y = e t (z z) y = e t (z z + z) e t (z + z ) = te t z + z = t. Ansätt z = t(at + B) = At + Bt. Vi får z = At + B och z = A. Insättning ger A+(At+B) = t At+(A+B) = t Identifiera koefficienterna: { A = A + B = 0 dvs A =, B = och alltså z = t t. Partikulärlösning y p = ( t t)e t. Fullständig lösning:y = y h + y p = C e t + C e t + ( t t)e t 7. Visa att en kvadratisk n n matris A är inverterbar om och endast om A är rade- (5p) kvivalent med identitetsmatrisen I n. Se litteraturen 8. Formulera och bevisa medelvärdessatsen för integraler. (5p) Se litteraturen Lycka till!