Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Transkript

1 Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: kl Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg 3) krävs minst 14 poäng från uppgifterna 1 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 1 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 215 duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 1 9 minst 5% 12 poäng) från uppgift 1 13, för betyg 5 minst 75% 18 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 1 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt betyg 3 5) krävs minst 14 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9. Uppgift 1 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. 1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet, 4] och att fx) = g2x). a) Vad är definitionsmängden för funktionen f? b) Om g4) = 2 g8) = 2, vad är värdet av f 1 2)? Här har en ändring gjorts från tentamenstesen, för framtida referens, eftersom gx) enligt a) inte är definierat för x = 8. Det var ett misstag att använda g8). Lösningsförslag: a) Eftersom 2x 4 x 2, så är definitionsmängden för f intervallet, 2]. b) x = f 1 2) fx) = 2 g2x) = 2 2x = 4 x = 2 2x = 8 x = 4. * eftersom g är inverterbar. ) Alltså är f 1 2) = 2 f 1 2) = 4. 2

2 2. Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. a) x 2 x + 2 x 2 4 b) c) x + x + 3x x 2 4x x x Lösningsförslag: a) Notera att täljaren går mot 4 medan nämnaren går mot noll då x 2. Mer bestämt b) x + 2 x 2 4 = x + 2 x 2)x + 2) = 1 x 2 Gränsvärde existerar alltså inte. x + c) Eftersom x = x fr x > så är 3. Ekvationen x + 3x x 2 4x = + då x 2 +, då x x 2 x + 5 4x 1 = 3 5. x x = x x + x = 1 = 1. x + x 3 + y 4 = x 2 + y definierar en kurva i xy-planet. Hur stor är kurvans tangentlutning i punkten x, y) = 1, 1)? Lösningsförslag: Vi löser problemet enklast genom implicit derivering, genom att derivera båda led med avseende på x och sedan lösa ut : d x 3 + y 4) = d x 2 + y ) 3x 2 + 4y 3 = 2x + 5y4 4y 3 5y 4) = 2x 3x2 2x 3x2 = 4y 3 5y 4. Med x, y) = 1, 1) har vi då x,y)=1, 1) = 1 9 = 1 9. Kurvans tangentlutning i punkten x, y) = 1, 1) är alltså 1/9. 3

3 4. Antag att fx) = x 4 4x a) På vilket eller vilka intervall är f avtagande? b) Har fx) några lokala extrema minima eller maxima), i så fall vilka? c) Har fx) något största respektive minsta värde på intervallet, )? I så fall, vad är detta värde/dessa värden och för vilka x antas de? Lösningsförslag: Vi studerar derivatan av f: f x) = 4x 3 8x = 4xx 2 2) = 4xx 2)x + 2). Vi har här faktoriserat polynomet för att lättare kunna studera teckenväxlingen, och kan sammanfatta i en tabell. x x 2 + x f x) + + fx) lok.min. lok.max. lok.min. Från teckentabellen kan vi utläsa att a) f är växande på intervallen 1, ] och 1, ), men avtagande på intervallen, 1] och, 1]; b) fx) har två lokala minima, f 2) = 3 och f 2) = 3 samt ett lokalt maximum f) = 1. c) Har då fx) något absolut globalt) maximum respektive minimum? Eftersom fx) + då x ±, så har inte fx) något största värde. Däremot måste f 2) = f 2) = 3 vara det minsta värdet, eftersom f är kontinuerlig och varierar enligt tabellen. 5. Bestäm värdet av integralen 1 x x 4 ) 5. Lösningsförslag: Det passar bra att göra variabelsubstitutionen u = 1 + x 4, vi har då att du = 4x3, så x 3 = 1 4du och 1 2 x x 4 ) = 1 4 u5 du = 4 1 ] u=2 6 u6 = 1 u= ) = = a) 2p] Utveckla den obestämda integralen 4x + 1)e x/5. b) 1p] Är integralen konvergent, och i så fall, vad är dess värde? 4x + 1)e x/5 4

4 Lösningsförslag: a) För den här integralen passar det bra att göra en partiell integration e x/5 = 5e x/5]. Vi har då att 4x + 1)e x/5 = 4x + 1) 5e x/5)] d 4x + 1) 5e x/5) = 54x + 1) e x/5)] 4 5e x/5) = 54x + 1) e x/5) + 2 5)e x/5] = 2x + 15)e x/5]. b) Om fx) är ett polynom och k >, så gäller att x + fx)e kx =. Alltså har vi att b 4x + 1)e x/5 = 2x + 15)e x/5] x=b = 2b + x= 15)e b/ då b +. Integralen 4x + 1)e x/5 är alltså konvergent med värdet 4x + 1)e x/5 = Bestäm den lösning y = yx) till differentialekvationen som uppfyller villkoret y) = 2. = x2 + 4x y 2 Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel, så vi separerar och integrerar med avseende på x respektive y: = x2 + 4x y 2 1) y 2 = x 2 + 4x) 2) 1 3 y3 = 1 3 x3 + 2x 2 + C 1 3) y 3 = x 3 + 6x 2 + 3C 1 4) y = x 3 + 6x 2 + 3C 1 ) 1/3 5) Den allmänna lösningen till differentialekvationen är alltså y = x 3 + 6x 2 + C) 1/3, där C är en allmän konstant. Vi bestämmer konstanten så att villkoret y) = 2 uppfylls, lämpligen från ekvation 4), där C = 3C 1 : Den sökta lösningen är alltså y 3 = x 3 + 6x 2 + C x,y)=,2) 8 = C. y = x 3 + 6x 2 + 8) 1/3. 5

5 8. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen + 4xy = 8x. Lösningsförslag: Differentialekvationen är linjär dessutom separabel, men det utnyttjar vi inte i detta lösningsförslag). Vi löser den genom att multiplicera med en integrerande faktor e 4x = e 2x2. + 4xy = 8x d 4xe 2x2) = 8xe 2x2 e 2x2 y = 8xe 2x2 e 2x2 y = 2e 2x2 + C y = 2 + Ce 2x2. Den allmänna lösningen till differentialekvationen + 4xy = 8x är alltså y = 2 + Ce 2x2, där C är en allmän konstant. 9. a) Bestäm den allmänna lösningen y = yx) till den homogena differentialekvationen y + 4y + 2y =. b) Bestäm lösningen y = yx) till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 2y = 8e 2x, y) = 1, y ) =. Lösningsförslag: y = e rx löser y + 4y + 2y = om r 2 + 4r + 2 =. Vi har r 2 + 4r + 2 = r = 2 ± 4 2 = 2 ± 16 = 2 ± 4i, dvs två konjugerade komplexa rötter. a) Den allmänna lösningen till y + 4y + 2y = är då y = C 1 e 2+4i)x + C 2 e 2 4i)x = e 2x A cos 4x + B sin 4x), där A och B är två allmänna konstanter. b) Den allmänna lösningen till y + 4y + 2y = 8e 2x är y = y p + e 2x A cos 4x + B sin 4x), där y p är en partikulärlösning. Vi prövar att ansätta y p = ce 2x. Då är y p + 4y p + 2y p = 4ce 2x + 4 2ce 2x ) + 2ce 2x = 16ce 2x. Med 16c = 8, dvs c = 1 2 har vi alltså en partikulärlösning y p = 1 2 e 2x, och därmed den allmänna lösningen y = 1 2 e 2x + e 2x A cos 4x + B sin 4x) = e 2x A cos 4x + B sin 4x ). 6

6 Vi vill nu bestämma A och B så att begynnelsevillkoren är uppfyllda. Vi har, med hjälp av produktregeln, att y = 2e 2x A cos 4x + B sin 4x ) + e 2x 4A sin 4x + 4B cos 4x) = e 2x 1 + 2A + 4B) cos 4x + 2B 4A) sin 4x), så y) = 1 y ) = Den sökta lösningen är alltså A = A + 4B) = y = e 2x cos 4x sin 4x ). A = 1 2 B = 1+2A 4 = 1 2. SK, 27 augusti 215 7