Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer"

Christian Göransson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: kl Hjälpmedel : Ing hjälpmedel utöver bifogt formelbld. Ej räknedos. Tentmen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högst betyg. För godkänt betyg ) krävs minst poäng från uppgiftern 9, vrv minst poäng från uppgiftern 7 9. Vr och en v dess nio uppgifter kn ge mximlt poäng. För vr och en v uppgiftern 6 kn mn välj tt i stället för tt lämn svr utnyttj sitt resultt från motsvrnde dugg från kurstillfället vt 0 duggresulttlist bifogs). Mrker dett genom tt skriv ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutn på omslget. För betyg krävs utöver godkänt resultt från 9 minst 50% poäng) från uppgift 0, för betyg 5 minst 75% 8 poäng). Lämn fullständig lösningr till ll uppgifter, om inte nnt nges. Skriv inte mer än en uppgift på vrje bld. Numerisk värden kn nges som uttryck där fktorer som π och logritmer ingår utöver ren siffror om så behövs. Del I. D.). Uppgift 9 räkns för godkänt betyg. Vrje uppgift kn ge upp till poäng. För godkänt betyg 5) krävs minst poäng, vrv minst poäng på uppgift 7 9. Uppgift 6 kn en och en ersätts v duggpoäng. Låt funktionen f vr definierd på D f = [0, ) genom fx) = rctn + x). Funktionen f är strängt växnde på hel definitionsmängden och därför inverterbr, med invers funktion f. ) Bestäm ett uttryck för f x). b) Vd hr f för definitionsmängd, D f? Funktionen f är kontinuerlig och växnde på [0, ), eftersom både kvdrtsroten och rctn är kontinurlig och växnde. f0) = rctn = π/ och lim fx) = lim rctn u = π/, x u så värdemängden till f är intervllet [π/, π/), vilket då också är definitionsmängden för dess invers funktion f. För y 0 och π/ x < π/ gäller y = f x) x = f y) x = rctn + x) tn x = + x x = tn x x = tn x )

2 Den invers funktionen till fx) = rctn + x) är lltså f x) = tn x ), definierd på f = [π/, π/). D.). Bestäm ll lodrät och vågrät) symptoter till kurvn y = x x + x. Låt fx) = x. fx) är definierd för ll x utom där nämnren x +x är noll. x + x = 0 x + /) = 9/ x = ± x = el. x =, och x +x = x+)x ). Vi noterr tt täljren x inte blir noll för x = x = ±, så kurvn y = fx) hr två lodrät symptoter: x = respektive x =, där lim fx) = x lim = +, lim x x ) ) fx) = x + lim fx) = lim x x x ) lim x + x ) ) =, = och lim fx) = lim x + x + x ) = +. Vd händer med y = fx) då x ±? Förkortr vi uttrycket med x ser vi tt då x ±. Alltså: Kurvn y = x x +x y = då x ±. y = x x + x = x + x x = hr symptoter x =, x =, där y ± enligt ovn, och D.). Ekvtionen x ) + y ) = definierr en ellips i xy-plnet. Bestäm en ekvtion för linjen som tngerr ellipsen i punkten x, y) =, ). Vi noterr först tt x ) + y ) x,y)=,) = + =, så punkten x, y) =, ) ligger på kurvn. Om x, y) följer kurvn så är x ) + y ) konstnt, och därför är dess derivt, som funktion v x, noll. Vi hr d dx x ) + ) y ) = x ) + y ) dx, så d dx x ) + ) y ) = 0 x ) + y ) dx = 0 dx = x ) x = y ) y.

3 I punkten x, y) =, ) hr vi lltså dx x,y)=,) = =, och den sökt tngentlinjen tngentlinjen ges då v ekvtionen y = x ), eller ekvivlent y = x + 9. D.). Låt fx) = x x ). Bestäm ll lokl extrempunkter till fx) med typ min/mx) och värde. Vilket är det störst respektiv minst värde som fx) ntr på intervllet [0, ]? Motiver d väl. Noter: dx x = om x < 0, + om x > 0.) Lokl extrempunkter till en funktion fx) kn uppkomm där dess derivt inte är definierd, eller är noll. Vi undersöker om det finns sådn punkter. fx) är kontinuerlig överllt, men inte deriverbr i x = 0, eftersom x sknr därivt där x = 0. I övrigt hr vi x > 0 = f x) = x ) + x = x och x < 0 = f x) = x ) x = x + Alltså är f x) = 0 då och endst då x =, och vi kn smmnftt i följnde tbell. x : 0 f x) : + odef. 0 + fx) : 0 Vi ser från tbellen tt fx) hr ett loklt mximum f0) = 0 och ett loklt minimum f) =. På ett slutet begränst intervll tr en kontinuerlig funktion lltid ett störst och ett minst värde, vilk kn ts ntingen i lokl extrempunkter, eller i intervllets ändpunkter. På intervllet [0, ] kn mximum respektive minimum för fx) lltså vr f0) = 0, f) = eller f) =. Jämför vi konstterr vi tt funktionens minst värde på intervllet [0, ] är f) = och det störst f0) = 0.

4 D.) 5. Bestäm värdet v integrlen x dx = du och 0 x + x dx. Vi gör vribelsubstitutionen u = + x. Vi hr då du dx = x, så 0 x + x dx = u/ du = [ ] u/ = / / = = 7. D.) 6. Bestäm en funktion F x) sådn tt F x) = x sin x och F π/) = 0. Vi hr generellt tt i vårt fll F b) F ) = b F x) = F x) F π/) = Med prtiell integrtion v sin t dt får vi F x) = x π/ t sin t dt = [t cos t)] t=x t=π/ x π/ F t) dt, x π/ t sin t dt. dt x cos t) dt = x cos x + cos t dt dt π/ = x cos x + [sin t] x π/ = x cos x + sin x. 7. Bestäm, för y > 0, den lösning till differentilekvtionen som uppfyller villkoret y0) =. dx = x + y = x + )/y dx y = x + ) dx y = x + x + C y = x + x + C y = x + x + C givet y > 0 Villkoret y0) = ger tt C =, och vi hr då, vår sökt lösning y = x + x + 5

5 8. Bestäm den llmänn lösningen till differentilekvtionen + xy = x. dx Differentilekvtionen är både linjär och seprbel. Vi presenterr två möjlig lösningsmetoder, som båd fungerr. Lösning med hjälp v integrernde fktor: Eftersom d dx ex = xe x, så hr vi med integrernde fktor e x d ye x) = dx ) dx + xy e x = xe x. tt Integrerr vi, får vi ye x = xe x dx = ex + C. Dividerr vi med e x får vi den llmänn lösningen till differentilekvtionen som y = + Ce x, där C är en llmän konstnt. Lösning med seprering: Noter tt y = / konstnt) är en prtikulärlösning till ekvtionen. Om y / så dx + xy = x = x y) dx y / = x dx ln y / = x + C y / = e x +C y = + ce x där c = ±e C. c = 0 ger den tidigre noterde lösningen y = /. Den llmänn lösningen till differentilekvtionen är lltså y = + ce x, där c är en llmän konstnt. 9. ) Bestäm den llmänn lösningen till differentilekvtionen y + y + 5y = 0. b) Bestäm lösningen y = yx) till differentilekvtionen y + y + 5y = 0e x som uppfyller villkoren y0) = yπ/) = 0. ) y = e r x stisfierr till den homogen linjär differentilekvtionen y + y + 5y = 0 om och endst om r + r + 5 = 0, dvs om r = ± = ± i. Det ger den llmänn lösningen y = C e +i)x + C e i)x = e x A cos x + B sin x), 6

6 där A = C + C och B = ic C ) är två llmänn konstnter. b) Den llmänn lösningen till y + y + 5y = 0e x får vi genom tt dder den llmänn lösningen till motsvrnde homogen ekvtion, från ), till en prtikulärlösning till den inhomogen. För tt hitt en sådn prtikulärlösning prövr vi med tt nsätt y = ce x. Då är y = ce x och y = ce x och därmed y + y + 5y = ce x + e x ) + 5ce x = 5ce x, så y = ce x stisfierr differentilekvtionen om y + y + 5y = 0e x om 5c=0, dvs om c =. Vi hr lltså, som llmän lösning till y + y + 5y = 0e x, y = e x + e x A cos x + B sin x) där A och B är llmänn konstnter. Villkoren y0) = 0 och yπ/) = 0 ger då två ekvtioner + A = 0, e π/ + e π/ B = 0, med lösningen A =, B = e π/ /e π/ = e π/. Den sökt lösningen är lltså ) y = e x + e x cos x e π/ sin x, eller, om mn så vill, ) y = e x e x cos x e x π/ sin x. 7

7 Del II. Följnde uppgifter räkns för betyg och 5. Vrje uppgift kn ge upp till 6 poäng, totlt. Även presenttionen bedöms. 0. För funktionen fx) = x x +x, bestäm störst möjlig definitionsmängd på reell tllinjen), eventuell symptoter till kurvn y = fx), på vilk intervll f är växnde respektive vtgnde, eventuell lokl extrempunkter och ders typ, smt skiss kurvn y = fx).. Ur en prllellt stympd kon är ett prboloidformt hål urfräst, enligt figur mått i mm). Beräkn volymen v det kvrvrnde godset, nge den i lämplig enhet. Tips: Plcer snittvyn i ett lämpligt koordintsystem så tt prbeln ges v en ekvtion v typ y = x + b.. Använd jämförelsestsen se nedn) för tt vgör huruvid intergrlen är konvergent eller divergent. + sin x dx x Jämförelsestsen: Om f och g är två kontinuerlig funktioner sådn tt 0 fx) gx) på [, ) så är fx) dx konvergent dvs hr ett väldefiniert ändligt värde) om gx) dx är konvergent, och gx) dx är divergent dvs inte konvergent) om fx) dx är divergent.. Lös differentilekvtionen y + y = xe x med begynnelsevillkoren y0) = y 0) = 0. Lyck till! /SK&JS 8

Relevanta dokument

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs