Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
|
|
- Lars-Erik Åberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång som visr hur du kn lös en viss uppgift. Genomgångrn hittr du på Elevwebben på Börj med tt läs igenom den kort smmnfttningen så tt du får en snbbrepetition v vsnittet. Efter smmnfttningen finns en tbell med förslg på grundläggnde uppgifter som du kn börj med tt räkn. När du hr räknt klrt en uppgift strker du över den i tbellen (så tt du håller red på vilk uppgifter du hr räknt). Behöver du nteckn något så finns det tomm rder bredvid. Under tbellen finns en rd med tomm rutor. Där kn t.e. din lärre fll i fler uppgifter som du kn fortsätt med. I slutet v vrje kpitel får du tterligre förslg på uppgifter som hjälper dig tt repeter kpitlets innehåll. Kpitel 1 Algebr och funktioner Avsnitt Egn nteckningr Algebr och polnom Polnom och räkneregler Ett polnom är en summ v termer där vribeltermerns eponenter är nturlig tl är ett tredjegrdspolnom med tre termer. Konjugtregeln och kvdreringsreglern: ( + b)( b) = 2 b 2 ( + b) 2 = b + b 2 ( b ) 2 = 2 2 b + b 2 Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 8 Polnom och räkneregler Algebr och funktioner 1
2 Potenser = + b = ( b) = b = ( b ) ( ) = 0 = 1 = 1 1 n n = (2 ) = = Kvdrtrötter och bsolutbelopp ( ) 2 = = 0 b = b 0 b 0 = b b 18 = 9 2 = b > 0 Absolutbeloppet v, skrivs och definiers som tlets vstånd till origo. om 0 = om < Ekvtioner Ekvtionen 2 = hr lösningrn = ± Om < 0 sknr ekvtionen reell rötter. Ekvtionen 2 + p + q = 0 hr lösningrn = p 2 ± p 2 2 q Ekvtioner som kn skrivs så tt det en ledet är fktorisert och det ndr ledet är noll kn löss med nollproduktmetoden. 4(3 15)(2 + 6) = 0 1 = 0 2 (3 15) = 0 vilket ger = 5 3 (2 + 6) = 0 vilket ger = 3 1 = 0 2 = 5 3 = 3 1 Algebr och funktioner 2
3 Ekvtioner där den obeknt förekommer under ett rottecken klls rotekvtioner. Rotekvtioner kn löss med hjälp v kvdrering, vilket dock kn ge flsk rötter som måste prövs i den ursprunglig ekvtionen. Polnom i fktorform Ett nollställe till ett polnom p ( ) är ett tl sådnt tt p ( ) = 0. Ett ndrgrdspolnom p ( ) med nollställen och b skrivs i fktorform p ( ) = k ( )( b ) där k är en konstnt. Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 23 Uppgift Rtionell uttrck Vd mens med ett rtionellt uttrck? Ett rtionellt uttrck definiers som en kvot v två polnom p() q() Ett rtionellt uttrck är inte definiert då nämnren är lik med noll. Förlängning och förkortning Ett rtionellt uttrck som inte kn förkorts är skrivet i enklste form = = 3 Enklste form = 2 ( + 4) ( + 4)( 4) = Algebr och funktioner 3
4 Addition och subtrktion Förläng till MGN vid förenkling = = = 1 6 MGN = 6 Multiplicer båd leden med MGN vid ekvtionslösning. Lös ekvtionen = = = 5/6 = ± 5 / 6 = 6 Multipliktion och division / 2 1 = = = ( + 1) 2 2 ( + 1) ( 1) = 1 ( 1) Funktioner Inledning En funktion är en regel som till vrje tillåtet -värde ger ekt ett -värde. Definitionsmängden är de tillåtn -värden. Värdemängden är de erhålln -värden. 1 Algebr och funktioner 4
5 All polnomfunktioner är kontinuerlig. Grfen till en sådn funktion kn rits utn tt lft pennn. En funktion vrs definitionsmängd är heltlen (eller en delmängd v heltlen) kn klls en diskret funktion Rät linjens ekvtion k-form = k + m enpunktsform 1 =k( 1 ) llmän form + b + c = Andrgrdsfunktioner En ndrgrdsfunktion kn skrivs = 2 + b + c, där 0 Grfen hr en mimipunkt om < 0 hr en minimipunkt om > 0 skär -eln i (0, c) är smmetrisk kring smmetrilinjen hr nollställen om ekvtionen = 0 hr reell lösningr Algebr och funktioner 5
6 Potensfunktioner = C (C och är konstnter) Potensekvtionen 12 = 3, > 0 hr den positiv roten = 3 1/12 1,096 Eponentilfunktioner = C (C och är konstnter, > 0, 1) Lösning v eponentilekvtion. 8 3 = 15 3 = 15/8 lg 3 = lg (15/8) lg 3 = lg (15/8) lg (15/8) = 0,572 lg Dignos 1 Gör Dignos 1 på sidn 65 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 1 I Blndde övningr kpitel 1 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 238. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 1 Algebr och funktioner 6
7 Kpitel 2 Förändringshstigheter och derivtor Avsnitt Egn nteckningr Ändringskvoter och begreppet derivt Ändringskvoter Om är en funktion v så är den genomsnittlig förändringen v förändringshstigheten = förändringen v = klls ändringskvot eller differenskvot. Geometrisk tolkning: P = (, f ( )) Q = ( + h, f ( + h )) Q seknt = f ( ) P + h k PQ = f ( + h) f () = h k PQ kn tolks som sekntens k-värde eller kurvns medellutning i intervllet. Temperturen C ändrs med tiden h enligt tbellen = 6 2 = 3 Melln kl 8.00 och sjunker temperturen i genomsnitt med hstigheten 3 C/h. Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 72 Ändringskvoter Förändringshstigheter och derivtor 7
8 Begreppet derivt Derivtns värde för en funktion = f ( ) i punkten där = kn skrivs f ( ) Derivtn (i en punkt) kn beskrivs som förändringshstigheten kurvns lutning. Geometrisk tolkning: f () (, f ()) P tngent f ( ) kn tolks som riktningskoefficienten för tngenten i punkten där =. = f ( ) (4, 6) f (4) = tngentens k-värde f (4) = = 4 4 = Gränsvärden och derivtns definition Gränsvärden f( ) går mot L då går mot kn skrivs lim f ( ) = L f( ) kn nt värden hur när gränsvärdet L som helst om mn väljer tillräckligt när. Derivtns definition f( + h ) f() f ( ) = lim h 0 h Derivtns värde i en punkt där = är lik med det gränsvärde som ändringskvoten närmr sig då h går mot 0. 2 Förändringshstigheter och derivtor 8
9 Geometrisk tolkning: Q f ( ) seknt P tngent +h Då h 0 övergår seknten genom P och Q i en tngent i punkten P. Ändringskvotens gränsvärde är därför tngentens k-värde i punkten (, f ( )). Dett k-värde är f ( ). Med hjälp v derivtns definition kn vi härled olik deriveringsregler. Om f( ) = 2 så är f( + h ) f( ) = ( + h )2 2 = 2 + h h h f ( ) = lim (2 + h ) = 2 h 0 Vi hr härlett tt om f( ) = 2 så är f ( ) = Deriveringsregler Derivtn v polnom Om n är ett heltl > 0 = n = n n 1 = = = Förändringshstigheter och derivtor 9
10 Derivtn v potensfunktioner Om är ett reellt tl och > 0 = = 1 = = 1/2 = 1 2 1/2 = 1 2 = 1 3 = 3 = ( 3 ) 4 = Derivtn v eponentilfunktioner = e = e = e k = k e k = = ln = k = k k ln = e 5 = e 5 5 = 5e 5 = 4 e 0,2 = 0,8 e 0,2 = = ln 2 = 15 ln Nturlig logritmer Tlet e 2,71828 e = b = ln b ln (b) = ln + ln b ln (/b) = ln ln b ln p = p ln Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 112 Uppgift Förändringshstigheter och derivtor 10
11 Grfisk och numerisk derivering En centrl differenskvot kring punkten där = ger för små värden på h är ett br närmevärde till f ( ). f( + h ) f( h ) f () 2 h Digitl verktg för derivering nvänder oft denn metod. Om f( ) = 2 2 får vi om h = 0,001: f (2,001) f (1,999) f (2) 0,307 0,002 Kontroll med räknre ger t e: nderiv( X 2 2 X, X, 2) 0, Dignos 2 Gör Dignos 2 på sidn 123 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 2 I Blndde övningr kpitel 2 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn Vill du repeter llt du hittills hr gjort i boken? Gör då Blndde övningr kpitel 1 2 på sidorn Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 239. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 2 Förändringshstigheter och derivtor 11
12 Kpitel 3 Kurvor, derivtor och integrler Avsnitt Egn nteckningr Vd säger förstderivtn om grfen? Etrempunkter och etremvärden Etrempunkter är ett gemensmt nmn för lokl mimipunkter och lokl minimipunkter. Funktionsvärdet i en etrempunkt klls etremvärde. I en lokl mimipunkt är funktionsvärdet större än funktionsvärdet i punktern i närheten. I en lokl minimipunkt är funktionsvärdet mindre än funktionsvärdet i punktern i närheten. Vände och vtgnde = f ( ) b Om f ( ) > 0 för < < b så väer f för < < b = f ( ) b Om f ( ) < 0 för < < b så vtr f för < < b Hur nvänds förstderivtn för tt rit kurvor? 1 Bestäm först f ( ). 2 Lös sedn ekvtionen f ( ) = 0 Ant tt f ( ) = 0 för = 3 Undersök om f ( ) välr tecken för = 4 Bestäm etrempunktern. 3 Kurvor, derivtor och integrler 12
13 Rit kurvn = med hjälp v derivt. 1 Derivtn = = 0 ger = 0 med röttern = 0 och = 2 3 Undersök tecknet för, motiver eventuell m eller min. 0 2 ' m min T e ( 1) = 9 > 0 väer för < 0 4 Etrempunktern = 0 ger = 2 Mimipunkt: (0, 2) = 2 ger = 2 Minimipunkt. (2, 2) Störst och minst värde Vid bestämning v en funktions störst respektive minst värde i ett begränst intervll måste vi undersök och jämför: Funktionsvärden i de punkter i intervllet där f ( ) = 0. Funktionsvärden i intervllets ändpunkter. 9 Mimivärde Ändpunkt och störst värde Minimivärde och minst värde Ändpunkt Kurvor, derivtor och integrler 13
14 Derivtor och tillämpningr Andrderivtn Derivtn v en funktions derivt skrivs f ( ) eller och klls ndrderivtn. f ( ) = 3 ger f ( ) = 3 2 och f ( ) = 6 = e 2 ger = 2 e 2 och = 4 e 2 Andrderivtn och grfen Om f ( ) = 0 och f ( ) > 0 hr f ett minimum för =. Om f ( ) = 0 och f ( ) < 0 hr f ett mimum för =. Om f ( ) = 0 och f ( ) = 0 måste teckenvälingen för f ( ) undersöks. Minimum Mimum ' '' + Terrsspunkter ' '' 0 0 En smptot till en kurv är en rät linje sådn tt vståndet från en punkt på linjen till kurvn går mot noll då punktens vstånd från origo går mot oändligheten. Titt och lssn gärn på följnde länkr: s. 145 Polnomfunktioner s. 158 Uppgift Kurvor, derivtor och integrler 14
15 Från derivt till funktion Primitiv funktioner F () är en primitiv funktion till f (), om F ( ) = f ( ) för ll. Given funktion f () n, n 1 e k, k 0 Smtlig primitiv funktioner F () n +1 n +1 + C k e k + C Kurvor, derivtor och integrler 15
16 Integrler b Gränsvärdet lim f ( ) beteckns b f ( ) d 0 och ut läses integrlen v f( ) från till b. Smbolen klls integrltecken, och b är integrtionsgränser och funktionen f klls integrnd Integrlberäkning med primitiv funktion b b f ( ) d = [ F ( )] = F (b) F ( ) där F( ) är en primitiv funktion till f ( ) 4 3 d = = 64 4 = Beräkning v ren A: b A = f ( ) d A b = f ( ) Dignos 3 Gör Dignos 3 på sidn 191 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 3 I Blndde övningr kpitel 3 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn Vill du repeter llt du hittills hr gjort i boken? Gör då Blndde övningr kpitel 1 3 på sidorn Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 241. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 3 Kurvor, derivtor och integrler 16
17 Kpitel 4 Geometrisk summ och linjär optimering Avsnitt Egn nteckningr Geometrisk summ Geometrisk tlföljd En geometrisk tlföljd är en följd v tl, uppställd i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel sådn tt kvoten k v ett tl och det närmst föregående tlet är konstnt. Det n:te tlet i följden kn då skrivs n = 1 k n 1 I den geometrisk tlföljden 5, 10, 20, 40, är kvoten 2. Formel för en geometrisk summ Summn s n v de n först tlen i en geometrisk tlföljd beräkns med formeln n n 1( k - 1) 1( 1 - k ) s n = = k k I den geometrisk summn , , , ,5 7 är 1 = 64, k = 0,5 och n = ( 1-0, 5 ) s 8 = = 127,5 1-0, 5 Modell med geometrisk tlföljd En förälder sätter vid slutet v 10 på vrndr följnde år in kr åt sitt brn på ett konto med en fst ränt på 3,00 %. Efter den 10:e insättningen är behållningen i kronor den geometrisk summn , , = 5 000, k = 1,03 och n = 10 s 10 = 5 000(1,0310 1) 1, Titt & lssn gärn på följnde länk: s. 203 Uppgift Geometrisk summ och linjär optimering 17
18 Linjär optimering Områden i -plnet Olikheten 2 beskriver, i ett koordintsstem, det hlvpln som ligger över linjen = 2. Ett område i -plnet kn beskrivs med ett sstem v olikheter med två vribler De heldrgn linjern mrkerr tt det vit området är slutet, vilket betder tt punktern på tringelns sidor tillhör området. 5 1 = 2 = 2 = Störst och minst värde i ett område Låt (, ) vr en punkt som tillhör ett slutet område som beskrivs v linjär olikheter. En linjär funktion, t e en vinst- eller kostnds-funktion, m = ntr då sitt störst värde och sitt minst värde när (, ) är en v områdets hörnpunkter. 5 1 (1, 1) (3, 5) = 21 (m) = 5 (min) 4 Geometrisk summ och linjär optimering 18
19 Titt & lssn gärn på följnde länk: s. 218 Störst och minst värde i ett område Dignos 4 Gör Dignos 4 på sidn 231 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 4 I Blndde övningr kpitel 4 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn Vill du repeter llt du hittills hr gjort i boken? Gör då Blndde övningr kpitel 1 4 på sidorn Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 243. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 4 Geometrisk summ och linjär optimering 19
SF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8
Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr
Läs merRationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merdefinitioner och begrepp
0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl
Läs merDerivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola
Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2
Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merfreeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)
freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merSommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009
Innehåll Sommrmtte del Mtemtisk Vetenskper 8 pril 009 5 Ekvtioner och olikheter 5. Komple tl............ 5.. Algebrisk definition, imginär rötter....... 5.. Geometrisk representtion, polär koordinter...
Läs merKompletterande teori för Envariabelanalys del A på I
Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merAlgebra. Kapitel 5 Algebra
Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel
Millerindex Lösningsförslg till deltentmen i IM61 Fst tillståndets fysik Torsdgen den 15 mrs, 1 Teoridel 1. ) Millerindex för ett tompln bestäms med följnde principiell metod. i) Bestäm plnets skärningspunkter
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merTENTAMEN HF0021 TEN1. Program: Examinator: Datum: Tid: :15-17:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng
TENTMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omfttning oc etgsgränser: H Mtemtik för sår I TEN Tekniskt sår Nicls Hjelm Nicls Hjelm -8- :-7: ormelsmling: ISBN 78--7-77-8
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Läs merLösningsförslag till fråga 5
Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering
Läs merÖvningsuppgifter i matematik
Yrkeshögskoln Hlmstd Repetitionsuppgifter mtemtik Övningsuppgifter i mtemtik Oserver! Multipliktion skrivs med Bokstven x med x Prefix. Omvndl följnde enheter ), dm till cm (centimeter) ) m till km (kilometer)
Läs merIE1204 Digital Design
IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs mer