Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Transkript

1 Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik 3 oktober 08

2 Innehåll Att läs innn vi börjr 7. Vrför läs mtemtik? Uppmning till läsren v dett häfte Lärndemål i SF Definitioner, stser och bevis Ekvivlenser och Impliktioner Mängder Lite historik om mängdlär Övningr Delmängder v reell tl 7. Intervll Egenskper för delmängder v reell tl Övningr Funktioner 3. Funktionsbegreppet Inverser och inverterbrhet Egenskper för reell funktioner Trigonometrisk funktioner Cyklometrisk funktioner Exponentilfunktionen Logritmfunktionen Absolutbelopp De elementär funktionerns grfer Övningr Tlföljder Definitionen och konvergens Binomilstsen Tlet e Stndrdgränsvärden vid Bolzno-Weierstrss sts Övningr Gränsvärden v funktioner vid oändligheten 6 5. Definitionen och konvergens Stndrdgränsvärden vid Övningr Lokl gränsvärden Definitionen och konvergens Övningr Kontinuitet 69

3 7. Definitionen och exempel Stser om kontinuerlig funktioner Lokl stndrdgränsvärden Övningr Derivt 8 8. Definitionen Derivtn v elementär funktioner Derivtionsregler Linjär pproximtion Derivtn v invers funktioner Definitioner v lokl mx- och minpunkter Medelvärdesstsen L Hôpitls regel Konvexitet och konkvitet (överkurs) Asymptoter Grfritning Vritionsolikheter Optimering Smmnfttning v derivtor v elementär funktioner Övningr Tylors formel 9. Någr trevnde försök till pproximtion Formulering v stsen Stor ordonottionen Övningr Serier 3 0. Definitionen Geometrisk serie Jämförelsestser Absolutkonvergens Tylorserier Övningr Integrlen 3. Introduktion Integrler v trppfunktioner på slutn intervll Integrler v begränsde funktioner på slutn intervll Integrerbrhet v kontinuerlig funktioner Räkneregler Medelvärdesstser för integrler Anlysens huvudsts Prtiell integrtion Vribelbyte Integrtion v rtionell funktioner

4 . Tylors formel med integrtion Övningr Integrtion över obegränsde intervll 58. Definitionen och jämförelsestser Smbnd melln summor och integrler Övningr Lokl integrerbrhet Definitionen och jämförelsestser Övningr Integrlens tillämpningr 7 4. Riemnnsummor Areberäkning Volymberäkning Rottion kring x-xeln Rottion kring y-xeln Kurvlängd Övningr Differentilekvtioner Linjär ODE v först ordningen med konstnt koefficienter Homogen linjär ODE v ndr ordningen med konstnt koefficienter Prtikulärlösningr Seprbl differentilekvtioner Övningr Repetitionsfrågor 89 7 Svr till övningr 90 8 Lösningr till lppskrivningr 0 8. Lppskrivning, 06--, Lösningsförslg Lppskrivning, 06--, Vnlig fel

5 Föreläsningspln Nr Nmn Innehåll Uppgifter Mtemtisk struktur, utsgor och reell tl.,.,.3,.4,.,.4,.6 Funktioner, inverterbrhet och trigonometri , 3.5, 3.7, 3.8, Cyklometrisk funktioner, x x och x log x , 3.3, 3.5, 3.9, 3.0, 3., 3., 3.3, 3.4 Inlämning 4 Tlföljder, Binomilstsen , 4., 4.3, 4.4, Tlet e, stndrdgränsvärden vid , 4.0, 4., 4.4, 4.6, Gränsvärden för funktioner vid och loklt , 5.4, 5.5, 6., 6.3 Inlämning 7 Kontinuitet och lokl stndrdgränsvärden 7 7., 7., 7.4, 7.5, 7.4, Derivt, linjär pproximtion , 8., 8.3, 8.4, Extrempunkter, konvexitet och optimering , 8.8, 8.0, 8.3, 8.7, 8.8, 8.6, 8.30 Inlämning 3 0 Tylors formel m.h.. derivt 9 9., 9.3, 9.6, 9.8, 9.9 Serier 0 0., 0., 0.5, 0.6 Integrlens definition och räkneregler..5.,.,.3,.4,.7 3 Anlysens huvudsts och integrtionstekniker.6.0.5,.6,.3,.9. 4 Tylors formel m.h.. integrtion..4,.5,.6,. 5 Generliserde integrler vid.3,.4,.6,.7,.8 6 Lokl integrerberhet 3 3., 3., 3.3, 3.4 Inlämning 4 7 Integrlens tillämpningr 4 4.3, 4.5, 4., Differentilekvtioner 5 5.4, Repetition I 5 0 Repetition II 5 Repetition III 5 5

6 Inlämningsuppgifter Efter tt tidigre studentkullr hr efterfrågt inlämningsuppgifter så kommer här fyr tillfällen för sådn. Givet tt ni hr löst inlämningsuppgiftern så får ni en bonuspoäng per tillfälle till tentmen. De kn nvänds som ett komplement till de fyr först uppgiftern på tentmen. Uppgiftern på tentmen ger vrder fyr poäng. Resulttet från de fyr först uppgiftern inklusive bonus kn som mest bli 8 poäng. Dess bonuspoäng gäller under pågående läsår. All uppgifter behöver löss och på två v dess kommer ni tt få skriftlig återkoppling. Dtum 7 september Uppgifter.5, 3.5, 3.3, 3.8 Dtum 0 september Uppgifter 4.4, 4.6, 4.7, 5.4, 5.6 Dtum 5 oktober Uppgifter 7.6, 7.9, 7.0, 8.4, 8.8, 8.9 Dtum 6 november Uppgifter 0.3,.4,.5,.7,.5,.3 6

7 Att läs innn vi börjr. Vrför läs mtemtik? Studier v mtemtisk teori är ett ypperligt tillfälle tt lär sig tt nlyser, resoner, rgumenter, strukturer och ordn. Mtemtik bygger på bstrktion och den som behärskr bstrktion besitter en enorm styrk i nlytisk smmnhng. Mång fenomen i vår värld beskrivs v mtemtisk modeller vrs nlys kräver en förtrogenhet med mer eller mindre vncerd mtemtik.. Uppmning till läsren v dett häfte Dett är ett häfte, som på ett kompkt vis beskriver de grundläggnde begreppen inom envribelnlys. Läsren uppmns tt läs häftet med ett räkneblock bredvid sig för tt kompletter med de steg som utelämns. Dess steg sk förhoppningsvis vr möjlig för den enggerde läsren tt genomför. Det är med ndr ord inte förväntt tt läsren endst sk kunn sitt med häftet och tillgodogör sig innehållet. Till vrje kpitel finns det övningr för tt läsren sk kunn se om vederbörnde hr tillgodogjort sig mterilet. För de läsre som inte är vn tt rbet med bstrkt synsätt kommer häftet knske tt verk onödigt komplicert skrivet. Abstrktioner kn verk krångligt för den som är ovn, men för den som blivit vn med bstrktioner är de en enorm käll till förenkling. Abstrktion möjliggör tt metoder, designer och förhållningssätt kn få större genomslgkrft och bli pplicerbr i mång konkret situtioner. Det är i denn nd som dett häfte är skrivet. Se dett som en möjlighet tt lär dig det bstrkt synsätt, som är ett så ovärderligt redskp inom ll vetenskplig discipliner. Till de flest definitioner och stser följer konkretisernde exempel. Dess exempel är inte i fokus, utn tjänstgör som redskp för tt förstå vd definitionen eller stsen innebär. Att läs mtemtik är svårt. Det finns inte någr genvägr till tt bemästr dess struktur. Fokusert, målinriktt och reflekternde rbete är den end vägen till insikt. Med denn insikt följer självförtroende inom bstrktion, generlisernde och nlytiskt tänknde. De flest företgs frontlinje utgör utforskning v det okänd. Det är inför den situtionen en ingenjör måste förbered sig. Använd gärn wikipedi för tt sök på de begrepp och metoder som ni grubblr på. I lydelsen till en del uppgifter finns ett dtum ngivet. Det hör till en tentmen som återfinns på denn sid 7

8 .3 Lärndemål i SF673 Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs Vis förståelse v funktionsbegreppet, inklusive definitions- och värdemängd, smmnstt och invers funktioner. (3. 3.) Kunn egenskpern hos, och definitionen v, de elementär funktionern: polynom, rtionell funktioner, potensfunktioner, exponentil- och logritmfunktioner, trigonometrisk funktioner smt ders inverser, rcusfunktionern. Kunn ders derivtor inkl. härledning. ( , 3.9, 8. 8., 8.5) Kunn definitionen v kontinuitet och gränsvärde smt nvänd dess för tt beräkn gränsvärden i enklre fll. (4., 5., 6., 7.) Kunn gränsvärdeslgrn inkl. härledning, smt kunn beräkn llmänn gränsvärden med hjälp v dess smt med Tylors formel och L Hospitls regel. (4., 5., 6., 8.8, 9) Kunn derivtns definition smt kunn härled llmänn deriveringsregler och tillämp dem. (8., 8.3) Kunn formuler, och härled, medelvärdesstsen (differentilklkylens), dess konsekvenser för tt bestämm vr funktioner växer resp. vtr. Kunn nvänd dett i problem. (8.7) Kunn formuler och nvänd stsern om mellnliggnde värden och existens v störst och minst värden för kontinuerlig funktioner på slutn och begränsde intervll. (7.) Kunn med derivtns hjälp krkteriser lokl och globl extrempunkter, utför kurvundersökning, smt härled olikheter. ( ) Kunn bestämm primitiv funktioner till enklre elementär funktioner, inkl. llmänn metoder för dett, bl.. substitution och prtilintegrering smt ders härledning. (.7.0) Kunn formuler, och härled, integrlklkylens huvudsts och hur den nvänds för tt beräkn integrler med hjälp v primitiv funktioner. (.7) Kunn vgör huruvid givn enklre generliserde integrler och serier konvergerr eller divergerr. (0,, 3) Kunn nvänd integrler för tt härled formler för kurvlängd, reor och volymer, smt kunn nvänd formlern. (4) Kunn lös enklre först ordningens differentilekvtioner, specifikt linjär och seprbl differentilekvtioner. (5., 5.4) 8

9 Kunn lös ndr ordningens linjär differentilekvtioner med konstnt koefficienter, inklusive begynnelse- och liknnde problem, smt bestämning v prtikulärlösning i enklre fll. (5. 5.3) Kunn formuler Tylors formel och bestämm Tylorpolynom smt sktt resttermen i enklre fll. (8.4, 9,.) Läs, tolk och tillgodogör sig en mtemtisk text, smt tt kunn uttryck sig mtemtiskt korrekt i beräkningr och bevis. ( 5) Kunn tolk mtemtisk koncept och stser intuitvt och grfiskt, t.ex. genom tt skiss grfer, förklr den geometrisk innebörden v ett rgument, eller rit en enkel skiss som belyser idéen bkom ett bevis. Vis förståelse för mtemtiskt teoribygge, t.ex rollen v stser, definitioner och bevis och hur dess hjälper oss tt genomför beräkningr. Vis förståelse för den mtemtisk (xiomtisk) metoden genom tt kunn nlyser stser, skp motexempel och kunn vgör vd som är ett bevis och vd som är ett informellt rgument. För högre betyg sk studenten också: Kunn lös svårre, mer smmnstt problem och vis större insikt i teorin och begreppen. Vis god förståelse för teorin om kontinuerlig funktioner och reell tl. Specifikt skll rollen v kompletthetsxiomet kunn förklrs och nvänds för tt vis existens v gränsvärden, mellnliggnde värden etc. Kunn generliser och npss metodern till delvis ny situtioner. Kursen är även en inkörsport till den högre mtemtiken. Dett innebär tt ni troligen kommer tt på tt ändr uppfttning om vd mtemtik är. Ni kommer tt fokuser på nlysen v begrepp och på stser, definitioner och bevis. Målsättningen är tt ni, efter vslutd kurs, skll h en nnn bild v vd mtemtik är och vd mtemtisk kunskp innebär och en mycket djupre förståelse v den mtemtik som ni lärde er i gymnsiet..4 Definitioner, stser och bevis Mtemtik strukturers i huvudsk med hjälp v definitioner och stser. En definition är ett införnde v ett begrepp. Följnde är ett exempel på en definition Definition.. Ett heltl är jämnt om det finns ett heltl b sådnt tt = b. 9

10 En sts är inget nnt än ett påstående, och ett bevis v stsen är ett logiskt bindnde resonemng som visr tt stsen är snn. Exempelvis hr vi Sts.. Produkten v två jämn tl är ett jämnt tl. Bevis: Låt och vr två jämn tl, d.v.s. enligt definitionen finns det tl b och b sådn tt = b och = b. Produkten kn skrivs som = (b )(b ) = 4b b = c, där c = b b. Eftersom c är ett heltl är produkten återigen enligt definitionen ett jämnt tl..5 Ekvivlenser och Impliktioner För tt kunn resoner och formuler påståenden så nvänds oftst impliktioner och ekvivlenser. Påståenden eller utsgor är informtion som ntingen är snn eller flsk. Exempelvis är det snt tt Människn är ett djur och tt 4 = 4. Exempel på ett flskt påstående är tt 39 = 4. Ett uttryck som exempelvis π skiljer sig från ett påstående ty det hr inget snningsvärde. För tt kunn nlyser ett påståendes snningsvärde så nvänds oft snningsvärdetbeller. Exempelvis definiers snningsvärden för och (nottion ) och eller (nottion ) följnde: A B A B F F F F S F S F F S S S A B A B F F F F S S S F S S S S (.) Låt A vr ett påstående. Symbolen A betecknr icke A. Påståendet A är snt om A är flskt och flskt om A är snt. Exempel.3. Påståendet (4 = 4 och 7 = 9) är flskt. Medn påståendet (4 = 4 eller 7 = 9) är snt. Definition.4. Låt A och B vr påståenden. Vi definierr påståendet A är ekvivlent med B eller i nottion A B till tt h snningsvärdet som ges v följnde tbell A B A B F F S F S F S F F S S S (.) 0

11 Snningstbellen säger tt A är ekvivlent med B om och endst om A och B är snn eller om A och B är flsk. Exempel.5. Påståendet (7 = 9 om och endst om 5 = ) är snt. Exempel.6. Påståendet (x = 4 om och endst om x = ±) är snt. Definition.7. Låt A och B vr påståenden. Vi definierr påståendet A implicerr B eller i nottion A = B eller B = A till tt h snningsvärdet som ges v följnde tbell A B A = B F F S F S S S F F S S S (.3) Noter tt A B om och endst om A = B och A = B. Exempel.8. Påståendet (om 7 = 9 så är 5 = 5) är snt. Det är förnuftigt tt definier impliktionen så som det är gjort. Ett exempel som hjälper till med intuitionen är knske följnde: Om du sk bevis Om det regnr i morgon så hr Klle prply. så räcker det med tt konstter tt Klle hr prply givet tt det regnr i morgon. Fllet tt det inte regnr är ointressnt!.6 Mängder En mängd är en smling ting, exempelvis tl, symboler eller ndr mänger. Dess ting kllr vi för element i mängden. Det enklste sättet tt beskriv en mängd är tt räkn upp dess element. Vi nvänder oss då v en kommseprerd uppräkning v elementen innnför symbolern {}. Ett sådnt exempel är mängden A = {, 3,, 7, P elle}. Dett betyder tt A är en mängd som innehåller elementen, 3,, 7 och P elle. Vi säger tt A är mängden v, 3,, 7 och P elle. Om A är en mängd och x är ett element i mängden A så skriver vi x A och säger tt x tillhör A. Exempelvis gäller tt 3 {, 3, 7} och b {, b, 0, 3}. Att ett element x inte tillhör mängden A skrivs x A. Den tomm mängden innehåller ingenting och beteckns. Ett nnt sätt tt beskriv en mängd är tt skriv {x D : villkor på x}. (.4)

12 Med dett menr mn mängden v ll element i D som uppfyller de givn villkoren. Vi tr oss även friheten tt utelämn mängden D om den är given utifrån villkoren på x. Som exempel tr vi och B = {n {,, 3,...}: n är udd} = {n: n är ett positivt udd heltl} C = {y {,, 3, 4} : y > }. Mängden B innehåller ll udd positiv heltl, medn C innehåller ll element från mängden {,, 3, 4} som är större än. Alltså hr vi B = {, 3, 5, 7, 9,,...} och C = {3, 4}. Det finns ytterligre ett sätt tt beskriv mängder, nämligen tt skriv dem på formen {uttryck i x: x D}. Med dett menr mn mängden v värden som uttrycket kn nt när x löper genom ll element i mängden D. Som exempel tr vi E = {n: n {,, 3,...}}. Dett är helt enkelt ett lterntivt sätt tt beskriv mängden v jämn positiv heltl. Med ndr ord gäller tt {n: n {,, 3,...}} = {n {,, 3,...}: n är jämnt}. Exempel.9. Låt A = {4, 5, 8, 47,, 8} och B = {x A : x > 0}. Då är B = {, 8, 47} medn {x A : x < 3} =. Vidre hr vi tt 4 A och 4 / B. Vi bryr oss inte om i vilken ordning eller hur mång gånger elementen räkns upp och därmed gäller till exempel {,, 3, 4} = {3,, 4, } = {, 3, 3,,, 4, 4,, 3,, 4}. Vi nvänder även nottionen,,..., n A för tt säg tt A, A och n A. Definition.0. Låt A och B vr mängder. Vi säger tt A är en delmängd v B om för vrje x A så gäller tt x B. Dett beteckns A B. Exempel.. Mängden {, } är en delmängd till {, 3, }, eftersom ll element i {, } finns i mängden {, 3, }. Vi skriver {, } {, 3, }. Definition.. Antg tt A och B är mängder. Unionen v A och B består v de element som ligger i någon v mängdern och beteckns A B. Snittet v A och B består v de element som ligger i båd mängdern och beteckns A B.

13 Exempel.3. Låt A = {, 3, 5, 6} och B = {5, 3, 47}. Då hr vi A B = {, 3, 5, 6, 47} och A B = {3, 5}. Det är dgs tt titt på någr viktig tlmängder. Den mängd vi nvänder för tt räkn föremål är de nturlig tlen N = {0,,, 3,...}. Tr vi med negtiv tl får vi heltlen Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Beteckningen kommer från tyskns zhl som betyder tl. Bråken eller de rtionell tlen { } Q = b :, b Z, b 0. Här kommer beteckningen från engelskns quotient. Med R betecknr vi de reell tlen. De reell tlen kn ses som mängden v ll tl på tllinjen, exempelvis 0,, 3/, 57/3, och π. Det ligger utnför rmrn för dett häfte tt gör en stringent definition v de reell tlen. Vi betecknr med C = { + ib:, b R, i är den imginär enheten} de komplex tlen. Noter tt N Z Q R C. Det sist, tt R C, följer eftersom de komplex tlen med endst reldel kn identifiers med det reell tlen. Exempel.4. Vi hr tt N = {n Z : n 0}. Exempel.5. Mängden {n Z : n = k för något k Z} är mängden v ll jämn heltl. Denn mängd kn också skrivs som {k : k Z}, eller som {..., 4,, 0,, 4,...}. Exempel.6. Låt oss påpek tt en mängd även kn h ndr mängder blnd dess element. Exempelvis kn vi låt A = {, 3, {, }, 4}, och vi hr tt {, } A, det vill säg mängden {, } är ett element i mängden A. Observer tt A. Låt A vr en mängd. För tt t bort element ur A nvänds symbolen \. Vi definierr A \ B = {x A: x B}. Exempelvis är R \ {0, } mängden v ll reell tl utom 0 och. 3

14 .7 Lite historik om mängdlär Under den senre delen v 800-tlet chockerde Georg Cntor den mtemtisk världen genom tt vis tt det finns fler oändligheter. Speciellt visde hn tt ntlet delmängder till en given mängd är större än ntlet element i mängden. Intresset för mängdteori växte och en v pionjärern för den formell spekten v ämnet vr Gottlob Frege. Hn försökte se mängdteorin som en grund för mtemtiken. Mitt under skrivndet v sin bok i ämnet fick hn ett brev från en viss ung herre vid nmn Bertrnd Russell. Russell hde notert tt llt inte stod rätt till i Freges system. Enligt Frege kunde en mängd specificers med en formel som utgör en restriktion på de element som ingår i mängden. Det vr möjligt tt bild mängden v ll x som uppfyller villkoret P (x), där P (x) är ett påstående som beror v x. I symboler blir det jämför med (.4). {x: P (x)}, Russells prdox bestod v tt hn vlde P (x) till x x och bildde mängden A = {x: x x}, som är som en oändlig rekursion. Vi får då tt A A medför tt A A och omvänt tt A A medför tt A A. Dett är uppenbrligen en logisk motsägelse. Mång försökte rädd mängdteorin på olik sätt. Russell själv införde sin så kllde typteori med olik nivåer v mängder, där hn kunde undvik prdoxer. Det mest frmgångsrik förslget kom 908 från Ernst Zermelo och sedemer Adolf Frenkel. Ders huvudidé vr tt mn br kunde bild mängder på formen {x A: P (x)}, där A vr en given mängd. I prktiken underförstår mn oft mängden A och skriver lite slrvigt {x: P (x)}. Dock bör mn således vr en smul försiktig vid hndhvndet v mängder. Ett tck till Lrs Svensson för dett delvsnitt..8 Övningr Övning.. Definier vd som mens med ett udd heltl. Vis därefter med hjälp v definitionen tt ) summn v tre udd tl är udd b) produkten v två udd tl är udd Övning.. Reflekter över nvändningen v impliktioner och/eller ekvivlenser genom tt lös ekvtionern ) x = x 4

15 b) x + 5 = x Övning.3. Låt A och B vr påståenden. Vis med hjälp v snningsvärdetbeller tt ) b) De Morgns lgr gäller: (A = B) ( A B) (.5) ( A B) (A B) (.6) Övning.4. Låt X = {, { }, 0,, {, }}. Vilk v följnde påståenden är snn? ) X b) X c) X d) X e) { } X f) X g) {0, {, }} X Övning.5. Betrkt följnde påståenden: ) Min htt, den hr tre knter. b) Tre knter hr min htt. c) Och hr den ej tre knter, så är den ej min htt. Låt A(x) vr påståendet x är min htt och låt B(x) vr påståendet x hr tre knter. Skriv ovnstående påståenden med hjälp v A(x), B(x), impliktionspilr ( = ) och negtioner ( ). Är någr v dess påståenden ekvivlent? Implicerr något v dem något v de ndr? Skriv upp ll impliktioner som gäller melln dess påståenden. Övning.6. Vis med hjälp v snningstbeller tt A = B är ekvivlent med B = A. Övning.7. Låt b vr ett heltl. Definier vd som mens med tt ett heltl är delbrt med b. Vis därefter med hjälp v definitionen tt ) om och båd är delbr med b så är också delbrt med b, 5

16 b) om är delbrt med 3 så är + inte delbrt med 3. Övning.8. Låt A(x) vr påståendet x = 5 och låt B(x) vr påståendet x 0. Bestäm snningsvärdet för ll påståenden i nednstående tbell. A(0) B(0) A(0) = B(0) A(5) B(5) A(5) = B(5) A(0) B(0) A(0) = B(0) A(5) B(5) A(5) = B(5) Vis tt det gäller för ll x R tt A(x) = B(x). 6

17 Delmängder v reell tl Lerning requires inefficiency. Businesses, which seek to mximize productivity nd profit, would rrely ccept such trde-off. Nichols Crr The Atlntic. Intervll Låt och b vr reell tl. Följnde mängder klls intervll ) [, b] := {x R: x b}, b) [, b) := {x R: x < b}, c) (, b] := {x R: < x b}, d) (, b) := {x R: < x < b}, e) [, ) := {x R: x}, f) (, ) := {x R: < x}, g) (, b] := {x R: x b}, h) (, b) := {x R: x < b}, i) (, ) := R. Här står tecknet := för tt vänsterledet är definiert som högerledet. Tlen och b klls ändpunkter eller rndpunkter till intervllet. Vi nvänder symbolen [ om tillhör intervllet och ( om inte tillhör intervllet. De fem sist intervllen är obegränsde och hr färre rndpunkter. Oändlighetssymbolen nvänds br för tt beteckn tt intervllet inte tr slut och den är lltså inte beteckningen för någon märklig sorts rndpunkt. Om ll rndpunktern tillhör intervllet klls intervllet slutet. Om ing v rndpunktern tillhör intervllet klls intervllet öppet. Exempel.. Intervllen (, 5), (, 4), ( 3, ) och (, ) är öppn intervll eftersom ll rndpunkter till intervllen ej tillhör intervllen. Intervllen [, 4], [, ) och (, ) är slutn för ll rndpunkter till intervllen även tillhör intervllen. Intervllet [, 3) är vrken öppet eller slutet. Läsren kn noter tt intervllet (, ) både är öppet och slutet, eftersom det inte finns någr rndpunkter. 7

18 . Egenskper för delmängder v reell tl En omgivning till en punkt R är ett öppet intervll I som innehåller. Exempelvis är det öppn intervllet (0, ) en omgivning till tlet 3/4 0 3/4 och intervllen ( /n, /n) för n > 0 är ll omgivningr till 0. En punkterd omgivning till en punkt är en omgivning till där vi hr tgit bort tlet. Exempel.. Mängden {x (, ) : x 0} = (, 0) (0, ) är en punkterd omgivning till 0. Definition.3. Ett tl m sägs vr en övre begränsning v en mängd A om x m för vrje x A. En mängd som hr en övre begränsning klls uppåt begränsd, nnrs uppåt obegränsd. Undre begränsning till en mängd, en nedåt begränsd mängd och en nedåt obegränsd mängd definiers på ett nlogt sätt. En mängd som är uppåt begränsd och nedåt begränsd sägs vr begränsd, nnrs obegränsd. Exempel på begränsde mängder är [, 3], (, 0) och {x R : x < 5}. Tlet 5 är en övre begränsning v [, 3] och 6 är en övre begränsning v mängdern (, 6) och [, 6]. Ett exempel på en obegränsd mängd är intervllet [, ) = {x R: x} som är uppåt obegränsd och nedåt begränsd. Definition.4. Ett tl m sägs vr supremum v en mängd A och beteckns sup A om m är den minst övre begränsningen v A. Exempel.5. Supremum är enkelt tt finn för uppåt begränsde intervll. Vi hr tt sup[, b] = sup[, b) = sup(, b) = b. På smm vis definiers infimum v en mängd A som den störst undre begränsningen v A och beteckns inf A. Mn kn vis tt de reell tlen uppfyller supremumegenskpen, som säger tt vrje uppåt begränsd delmängd v de reell tlen hr en minst övre begränsning. I denn text kommer vi t de reell tlen och supremumegenskpen för givn. Supremumegenskpen säger med ndr ord tt om A är en mängd v reell tl som är uppåt begränsd så finns tlet sup A. Exempel.6. Låt A = { 4n n + : n N }. 8

19 Vis tt sup A = 4. Lösning: Enligt definitionen för supremum gäller det tt vis tt 4 är en övre begränsning v A och tt det inte finns en övre begränsning v A som är mindre än 4. För tt se tt 4 är en övre begränsning v A räcker det med tt noter tt för en godtycklig punkt i A gäller tt n := 4n n + 4n n = 4. Alltså är ll n 4 och därmed är 4 en övre begränsning v A. Fktiskt gäller tt n < 4 med strikt olikhet, men det kvittr, givet det vi sk vis. Det återstår tt vis tt det inte kn finns någr mindre övre begränsningr v A än 4. Låt oss utför ett motsägelsebevis. Ant tt det finns en mindre övre begränsning v A än 4. Vi kn skriv dett tl på formen 4 ε, där något ε > 0. För tt få en motsägelse måste vi vis tt det finns tl i A som är större än 4 ε, vilket skulle motsäg tt 4 ε är en övre begränsning. Vi kn skriv om n enligt följnde: n = 4n n + = 4 4 n +. (.) Frågn är med ndr ord om vi kn finn ett n sådnt tt 4 4 > 4 ε? (.) n + Löser vi ut n får vi tt (.) gäller om och endst om n > 4. (.3) ε För ll n som uppfyller tt n > 4/ε gäller lltså tt n > 4 ε. Vi hr fått en motsägelse och lltså är 4 den minst övre begränsningen. Exempel.7. Ett sätt tt illustrer supremumegenskpen är tt vis tt de rtionell tlen Q inte uppfyller denn egenskp, d.v.s. vrje uppåt begränsd delmängd v Q hr inte en minst övre begränsning i Q. Studer mängden A = {x Q : x }. Om vi godkänner reell tl så är sup A =. Dett tl är dock inte ett rtionellt tl (se wiki-link om ni inte hr sett det tidigre). Antg tt vi hr funnit ett rtionellt tl q som är supremum v A, d.v.s. q är en övre begränsning v A och q är den minst övre begränsningen v A. Eftersom Q så följer tt q är ntingen större eller mindre än. Om q < så följer tt det finns rtionell tl i intervllet (q, ) som strider mot tt q är en övre begränsning. Om q > så finns det rtionell tl i intervllet (, q) som är mindre övre begränsningr än q. Alltså är q inte den minst övre begränsningen v A. 9

20 .3 Övningr Övning.. Vis tt mängden { } 6 M = (n + ) 3 : n N (.4) är begränsd och bestäm inf M och sup M. Giss först och vis därefter tt din gissningr stämmer. Övning.. ) Bevis tt det inte finns något störst reellt tl. Med ndr ord, vis tt det för vrje reellt tl finns ett reellt tl b sådnt tt b >. b) Kn mn på liknnde sätt vis tt det inte finns något störst nturligt tl? Övning.3. Vis tt mängden { M = n } m : n, m Z \ {0} (.5) är begränsd och bestäm inf M och sup M. Övning.4. Vis tt mängden M = {x } x : x > 0 (.6) vrken är uppåt eller nedåt begränsd. Övning.5. Låt Bestäm sup M och inf M. M = { 3n + n + 3 : n N \ {0} }. (.7) Övning.6. Låt { } M = + x x : x 0. (.8) Bestäm sup M och inf M. Övning.7. Skriv följnde mängder som ett end intervll ) (, 5) (, 7) b) (, 5) (, 7) c) (, 5) \ (, 7) d) (, 5) (, 7) 0

21 e) (, 5) (, 7) Övning.8. Hitt reell tl < b och c < d så tt (, b) (c, d) inte är ett intervll. Övning.9. Låt A = {d N: d är udd}. Beskriv mängden {d A: d är jämnt}.

22 3 Funktioner 3. Funktionsbegreppet Innn vi gör en llmän definition v vd en funktion är kn det vr på sin plts tt titt på något välbeknt, nämligen en formel som f(x) = x +, för x > 0. Formeln säger tt om vi tr ett tl x > 0 så får vi ett nytt tl f(x) R genom tt gör beräkningen x + ; till exempel får vi f() = + = 5. Vi säger tt f är en funktion från de positiv reell tlen till de reell tlen, eftersom det vi stoppr in, x, är ett positivt reellt tl och det vi får ut, f(x), är ett reellt tl. Vi betecknr dett med f : (0, ) R. Nu till den llmänn definitionen. Definition 3.. Låt X och Y vr mängder. En funktion f : X Y är ett sätt tt till vrje element x X tilldel ett välbestämt element y Y. Vi skriver f(x) = y. Vi säger tt x vbilds på y och tt y är bilden v x. Elementet x klls rgument till f. Mängdern X och Y klls definitionsmängd respektive målmängd. För definitionsmängden för f nvänds även beteckningen D f. Kommentr 3.. Beteckningen f : X Y utläses: f är en funktion från X till Y. Ett vnligt lterntiv till ordet funktion är vbildning. Vi kn se funktionen som ett eget objekt som utför en hndling som bilden nedn visr. x X f f(x) Y Exempel 3.3. Ett exempel på en funktion från de positiv reell tlen till de reell tlen är f : {x R: x > 0} R, sådn tt f(x) = + 3 x. Definitionsmängden är D f = {x R: x > 0} och målmängden är R. Värdemängden till en funktion f : X Y definiers som V f := {y Y : y = f(x) för något x X} och beskriver mängden v ll element vi kn få. Exempel 3.4. Betrkt mängdern A = {,, 3} och B = {,,..., 00}. Ett exempel på funktion f : A B ges v f(n) = n för n A. Vi hr lltså tt f() =, f() = 4 och f(3) = 6. Per definition måste vi h f(x) B för ll x A, och dett gäller ju här eftersom f() = B, f() = 4 B, och f(3) = 6 B. Vi ser här tt värdemängden V f = {, 4, 6}.

23 I dett exempel definiers funktionen f v formeln f(n) = n, men det är inte lls nödvändigt tt det finns en formel som beskriver hur funktionen verkr. Om vi som här hr en funktion från den ändlig mängden A = {,, 3} kn mn till exempel definer funktionen med hjälp v en tbell: n f(n) Om inget nges om definitionsmängden nts funktionen vr definierd på så stor delmängd v de reell tlen som möjligt och målmängd nts lltid vr R. Dett är en konvention melln er som läsre och oss som skribenter. Exempel 3.5. Låt h(x) = 3x / x 3. Dett definierr en funktion h från R till R. Vi hr exempelvis tt h() = och h( ) = 4. Vi kommer tydligt skilj på f och f(x), det först är funktionen f, medn det ndr är funktionens värde i punkten x. Som ett exempel på denn nottion så definierr vi summn och produkten v två reellvärd funktioner f och g, sådn tt D f = D g R enligt (f + g)(x) := f(x) + g(x) (f g)(x) := f(x)g(x) Bildmässigt kn vi se dditionen som x f + g f g f(x) + g(x) f(x) + g(x) Om vi inte vill nmnge den funktion som vi rbetr med eller introducerr nvänds nottionen x + x istället för f(x) = + x. Denn nottion är väldigt vnlig i progrmmering när mn vill definier nonym funktioner. 3

24 3. Inverser och inverterbrhet Definition 3.6. En funktion f : X Y säges vr injektiv om det för vrje x, y X gäller tt om f(x) = f(y) så är x = y. Exempel 3.7. Funktionen f : [0, 3] [0, 0] som ges v f(x) = x är injektiv ty om f(x) = f(y) så gäller tt x = y och därmed tt x = y. En logisk omskrivning v definitionen ger tt en funktion f : X Y är injektiv om och endst om det för vrje x, y X gäller tt om x y så är f(x) f(y). Uttryckt i ord säger den här definitionen tt funktionen ldrig skickr två olik element i X på smm element i Y. X f Y X f Y Exempel då f ej är injektiv Exempel då f är injektiv Definition 3.8. En funktion f : X Y säges vr surjektiv om V f = Y. Vrje element i Y är lltså bilden v något x under funktionen f om funktionen är surjektiv. En funktion är surjektiv om och endst om dess målmängd smmnfller med dess värdemängd. X f Y X f Y Exempel då f ej är surjektiv Exempel då f är surjektiv En funktion kn vr surjektiv utn tt vr injektiv, och tvärtom. Exempel 3.9. Låt R + beteckn de icke-negtiv reell tlen. Betrkt funktionen f : R R + som definiers v f(x) = x. Då är f surjektiv, men inte injektiv till exempel hr vi f( ) = f() = 4. 4

25 Ett exempel på en funktion som är injektiv men inte surjektiv ges v funktionen i exempel 3.4. Det finns till exempel inget n {,, 3} sådnt tt f(n) = 3. Definition 3.0. En funktion f : X Y som både är injektiv och surjektiv säges vr bijektiv, eller en bijektion. X f Y X f Y Exempel då f är bijektiv Exempel då f är bijektiv Definition 3.. Låt f : X Y vr en bijektiv funktion. Inversen till f är vbildningen f : Y X som ges v f (y) = x, där x är det entydig element i X som uppfyller f(x) = y. En funktion som hr en invers klls inverterbr. Vi ser här tt både injektivitet och surjektivitet är viktigt. Om f inte är injektiv kn det finns mång x X med f(x) = y. Om f inte är surjektiv kn det vr så tt det inte finns något x med f(x) = y. För inversen gäller tt f ( f (y) ) = y för ll y Y och f (f(x)) = x för ll x X. Exempel 3.. Betrkt funktionen f : R R som ges v f(x) = x 3. Denn funktion är injektiv och surjektiv, och därmed en bijektion. Inversen till f ges v funktionen f : R R som definiers v f (y) = y /3. Exempel 3.3. Både definitionsmängden och värdemängden måste bekts när vi undersöker om en funktion är en bijektion. Funktionen f : R + R + med f(x) = x är en bijektion, med invers f (y) = y. Som vi såg tidigre är dett påstående flskt om vi betrktr f definierd på hel R. Antg tt f : X Y är en injektiv funktion. Då vet vi tt vi kn, för vrje y V f, finn ett x X sådnt tt f(x) = y. Men, om Y innehåller element som inte finns i V f är funktionen f inte surjektiv och därmed inte bijektiv. I dett fll är förutsättningrn för en invers inte uppfylld. Dett kn i mång fll, men inte ll, ses som en tekniklitet. Ty, om vi br skulle ändr på definitionen v f så tt målmängden Y är exkt de element vi kn få, nämligen V f, så skulle vi h en bijektiv funktion och lltså en invers. Vi kn säg tt vrje funktion som är injektiv hr en invers definierd på funktionens värdemängd V f. Dvs, om g : X V g är injektiv så är den inverterbr. 5

26 Exempel 3.4. Låt f(x) = x + vr en funktion definierd för x [0, 3]. Det är en enkel verifiktion tt se tt f är injektiv. Värdemängden till f är V f = [, 5]. Alltså är f inverterbr om f ses som funktionen f : [0, 3] [, 5]. I dett fll är f : [, 5] [0, 3] och f (y) = y. 3.3 Egenskper för reell funktioner Definition 3.5. Vi säger tt en reellvärd funktion f, där D f R, är växnde på en mängd M D f om det för vrje x, y M för vilk x < y ger tt f(x) f(y). Om en funktion är växnde på hel sin definitionsmängd klls f växnde. Exempel 3.6. Funktionen f : R R, definierd som f(x) = x är växnde på mängden [0, ), men är inte en växnde funktion. Observer tt den konstnt funktionen f : R R och f(x) = 4 är växnde. Den är däremot inte strängt växnde som definiers enligt: Definition 3.7. Vi säger tt en reellvärd funktion f, där D f R, är strängt växnde på en mängd M D f om det för vrje x, y M för vilk x < y ger tt f(x) < f(y). Om en funktion är strängt växnde på hel sin definitionsmängd klls f strängt växnde. Exempel 3.8. Funktionern f : R R som ges v f(x) = 3x och g : [, 3) R som ges v g(x) = x är strängt växnde funktioner. Definition 3.9. En funktion f är uppåt obegränsd om dess värdemängd V f är uppåt obegränsd och uppåt begränsd om dess värdemängd V f är uppåt begränsd. Egenskper som vtgnde, strängt vtgnde, nedåt obegränsde och nedåt begränsde funktioner definiers på ett nlogt sätt. Vi säger tt en funktion är monoton eller strängt monoton i ett intervll om den är växnde respektive strängt växnde i intervllet eller vtgnde respektive strängt vtgnde i intervllet. Exempel 3.0. Funktionen x x är nedåt begränsd, uppåt obegränsd och vrken växnde eller vtgnde. Om vi betrktr den på intervllet (, 0] är den dock strängt vtgnde och på intervllet [0, ) är den strängt växnde. Exempel 3.. Låt f : (0, ) R vr en given positiv funktion. Vis tt om g : (0, ) R med g(x) = xf(x) uppfyller tt V g = [, ] så är f obegränsd. Vi visr dett med hjälp v en motsägelse. Antg tt f är uppåt begränsd, d.v.s. V f är uppåt begränsd, vilket i sin tur ger tt det existerr ett tl N 6

27 sådnt tt f(x) N för vrje x (0, ). Välj nu ett M > sådnt tt M N. Vi observerr tt /M (0, ) och tt g(/(m)) = M f(/(m)) M M = <. Dett strider mot tt V g = [, ], lltså är f obegränsd. Definition 3.. En funktion f : R R säges vr jämn om f( x) = f(x) för ll x R. Någr exempel på jämn funktioner är: x x, x x 4 och x x. Definition 3.3. En funktion f : R R säges vr udd om f( x) = f(x) för ll x R. Någr exempel på udd funktioner är: x x 3 och x x 7. Observer tt en funktion som inte är jämn inte behöver vr udd. Exempelvis är x + x vrken jämn eller udd. 3.4 Trigonometrisk funktioner Vi sk i dett delkpitel definier sinus och cosinus och vilk grundläggnde egenskper som de besitter. Låt oss betrkt en punkt P på enhetscirkeln vrs linje in mot origo bildr vinkeln θ till den positiv delen v x-xeln om vi nvänder orienteringen moturs från x-xeln. Vi kllr koordintern i P för (cos θ, sin θ). Direkt får vi från Pythgors sts tt sin θ + cos θ = vilket klls för den trigonometrisk ettn. Där sin n θ för n N är definiert som (sin θ) n. P = (cos θ, sin θ) sin θ θ cos θ 7

28 Det är viktigt tt vi inför en enhet eller skl för vinkeln θ. Låt oss säg tt vinkeln θ = om längden på den cirkelbåge som bilds hr längden. Denn enhet klls rdiner och är på mång sätt den nturlig skln för vinklr. Vi kommer i dett häfte lltid förutsätt tt vinklr mäts i rdiner. (cos θ, sin θ) Vi hr bildt funktionern θ cos θ och θ sin θ för θ [0, π). Vi utvidgr dess funktioner periodiskt till hel R, d.v.s. cos θ = cos(θ + nπ), sin θ = sin(θ + nπ) för ll n Z. Funktionen x sin x klls sinus och x cos x klls cosinus. Av symmetriskäl får vi följnde reltioner direkt från definitionen ovn sin θ = cos(θ π/), (3.) cos θ = sin(θ + π/), (3.) cos( θ) = cos θ, (3.3) sin( θ) = sin θ, (3.4) cos θ = cos(θ + π), (3.5) sin θ = sin(θ + π). (3.6) Reltionern (3.3) och (3.4) säger tt cosinus och sinus är en jämn respektive udd funktion. Grfen till funktionern sinus och cosinus är 8

29 3π π π π π 3π Figur 3.: Grfen till funktionen x sin x. respektive 3π π π π π 3π Figur 3.: Grfen till funktionen x cos x. Exempel 3.4. Observer tt vi kn med hjälp v sinus och cosinus relter sidor och vinklr med vrndr i rätvinklig tringlr. Låt oss börj med den rätvinklig tringeln med sidorn, b och c c b θ Om vi sklr denn tringel så tt hypotenusn får längden så får vi den likformig tringeln θ /c b/c Om vi nu skriver in denn tringeln i enhetscirkeln så får vi de önskde reltionern 9

30 θ /c b/c Vi ser tt cos θ = c och sin θ = b c. (3.7) Vi behöver en generlisering v Pythgors sts som heter Cosinusstsen, nämligen Sts 3.5 (Cosinusstsen). Låt, b och c vr sidlängdern i en tringel. Då gäller tt c = + b b cos θ, (3.8) där θ är den vinkel i tringeln där sidlängdern och b möts. c θ b Bevis: I fllet θ = π/ så återfår vi Pythgors sts. Vi bevisr cosinusstsen för spetsig och trubbig vinklr vr för sig. Vi börjr med fllet då vinkeln θ < π/, lltså då θ är spetsig. Vi inför höjden h och låter x vr en del v sidn b som i figuren nedn θ h c x b x 30

31 Vi nvänder nu Pythgors sts i de två rätvinklig tringlrn och får { = h + x c = h + (b x) Vi löser ut h i den först ekvtionen och sätter in resulttet i den ndr ekvtionen och får c = x + (b x) = + b bx. Det återstår tt konstter tt x = cos θ vilken följer från formel (3.7). Det ndr fllets lösning är näst intill lik. Med hjälp v en bild lämnr vi det som en övning åt läsren. h c θ x b Sts 3.6. Följnde identitet gäller cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y (3.9) Bevis: Observer tt vi med hjälp v Pythgors sts får tt d i figuren nedn ges v d = (cos x cos y) + (sin x sin y). (cos x, sin x) d x y x y (cos y, sin y) 3

32 Cosinusstsen 3.5 ger tt (cos x cos y) + (sin x sin y) = + cos(x y). Om vi förenklr med hjälp v den trigonometrisk ettn får vi cos x cos y sin x sin y = cos(x y) cos x cos y + sin x sin y = cos(x y) vilket skulle beviss. Följdsts 3.7. Följnde identiteter gäller cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y (3.0) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y (3.) sin(x y) = sin x cos y cos x sin y (3.) cos(x) = cos x sin x (3.3) sin(x) = sin x cos x (3.4) Bevis: Vi bevisr här (3.0). Låt y = z i (3.9). Vi får då cos(x + z) = cos x cos( z) + sin x sin( z) = cos x cos z sin x sin z Bevisen för (3.) (3.4) följer på liknnde vis och med hjälp v (3.) (3.6) och lämns som en övning åt läsren. Definition 3.8. Funktionen tn: {x R: x nπ/, n Z} R, sådn tt tn x = sin x cos x, (3.5) klls tngens. Grfen för tngens är 3

33 4 3 3π π π π π 3π 3 4 Figur 3.3: Grfen till funktionen x tn x. Exempel 3.9. Låt oss studer två speciell tringlr som ger oss möjlighet tt exkt beräkn värdet v de trigonometrisk funktionern för punktern π 6, π 4 och π 3. Vi börjr med en likbent och rätvinklig tringel där ktetern är v längden, lltså π 4 π 4 som ger tt sin π 4 = cos π 4 = och därmed är tn π 4 =. Näst tringel är en liksidig tringel med sidn som vi delr mitt itu. π 6 3 π 3 π 3 33

34 Vi ser tt sin π 6 = cos π 3 = och sin π 3 = cos π 6 = 3 därmed är tn π 6 = 3 och tn π 3 = Cyklometrisk funktioner Vi börjr med tt observer tt funktionen f : R [, ] sådn tt f(x) = sin x inte är injektiv, ty vi hr t.ex. tt f(0) = f(π), och är därmed inte inverterbr. Om vi däremot begränsr definitionsmängden D f till det slutn intervllet [ π/, π/] blir f bijektiv och hr en invers. Vi gör följnde definition: Definition Låt f : [ π/, π/] [, ] sådn tt f(x) = sin x. Inversen till f klls rcussinus och beteckns f (y) = rcsin y. Observer tt den generell formeln sin(rcsin y) = y gäller för ll y [, ] och rcsin(sin x) = x gäller för ll x [ π/, π/]. Grfen för rcussinus är π π Figur 3.4: Grfen till funktionen x rcsin x. Kommentr 3.3. Vi skulle h kunnt välj något nnt intervll än [ π/, π/] för tt få x sin x bijektiv. Dett intervll är dock stndrdisert runt om i världen, så om inget nnt nges kn mn med säkerhet nt tt det är dett intervll mn menr när mn prtr om inversen till x sin x. På liknnde sätt konstterr vi tt funktionern x cos x och x tn x kn görs inverterbr genom tt inskränk definitionsmängden. Ett nturligt sätt tt välj ett intervll där funktionern är injektiv är tt välj det intervll som är närmst origo. 34

35 Definition 3.3. Låt f : [0, π] [, ] sådn tt f(x) = cos x. Inversen till f klls rcuscosinus och beteckns f (y) = rccos y. Grfen för rcuscosinus är π π Figur 3.5: Grfen till funktionen x rccos x. Exempel Vis tt sin(rccos x) = x. Lösning: Låt y = rccos x. Alltså är x = cos y och vi kn illustrer reltionen melln x och y med hjälp v tringeln x y x Att en ktet är x följer v Pythgors sts och därmed följer tt sin y = x. Definition Låt f : ( π/, π/) R sådn tt f(x) = tn x. Inversen till f klls rcustngens och beteckns f (y) = rctn y. Grfen för rctngens är 35

36 π π Figur 3.6: Grfen till funktionen x rctn x. 3.6 Exponentilfunktionen Vi kommer inte i dett häfte definier exponentilfunktionen x x, där >. Istället nts tt läsren är bekväm med funktionen som en strängt växnde funktion med värdemängd (0, ) som uppfyller räknelgrn ) 0 = b) = c) x+y = x y d) x = / x e) ( x ) y = xy Att introducer exponentilfunktionen på ett korrekt vis är långt ifrån en enkel sk och ligger utnför rmrn för dett häfte. Med hjälp v d) kn vi definier exponentilfunktionen för 0 < <. Vi hr för 0 < < tt / > och ( ) x x =. Grfen för exponentilfunktionen är 36

37 x x 7 4 x x Figur 3.7: Exponentilfunktioner v typen x x för olik värden på. 3.7 Logritmfunktionen Låt f : R (0, ) sådn tt f(x) = x, för något >. Då gäller tt f är inverterbr. Vi definierr logritmfunktionen som inversen till f och betecknr f (y) = log y. Alltså hr vi tt D f = (0, ) och V f = R. Grfen för logritmfunktionen är Figur 3.8: Grfen till funktionen x log x. Inversen uppfyller följnde räknelgr: Sts Låt >, då gäller tt logritmfunktionen uppfyller ) log = 0 b) log (xy) = log x + log y, x > 0, y > 0 37

38 c) log x y = y log x, x > 0 Bevis: Generellt gäller tt vi vill överför exponentilfunktionens räknelgr till dess inversfunktion. Vi kommer hel tiden tt nvänd oss v tt x = y om och endst om x = y. Dett är en direkt följd v tt x x är injektiv. ) Vi vill vis tt log = 0 eller ekvivlent tt log = 0. Vänsterledet uppfyller tt log = och högerledet tt 0 =. Alltså stämmer ll påståenden. b) Vi vill vis tt log (xy) = log x + log y eller ekvivlent tt log (xy) = log x+log y. För vänsterledet gäller tt log (xy) = xy och för högerledet vi exponentilfunktionens räknelgr tt log x+log y = log x log y = xy. c) Vi vill vis tt log x y = y log x eller ekvivlent tt log xy = y log x. Vänsterledet är x y och högerledet är y log x = ( log x ) y = x y och vi är klr. 3.8 Absolutbelopp Definition Låt x R, då definiers bsolutbeloppet lterntivt beloppet v x som x = x. (3.6) Absolutbeloppet beskriver vståndet från x till origo. En direkt följd v definitionen är tt { x, x 0, x = (3.7) x, x < 0. Grfen hr följnde utseende Figur 3.9: Grfen till funktionen x x. 38

39 Observer tt funktionen x x är jämn. Exempel Vi hr enligt definitionen tt 5 = ( 5) = 5, 5 = 5, π = ( π) = π och 0 = 0. Vi hr här vrit övertydlig med nvändningen v minustecken. I dett häfte kommer vi i ett flertl tillfällen tt nvänd bsolutbeloppet på formen x = b som betyder tt vståndet från x till origo, eller vståndet från x till, är b. Exempel Skiss mängden A = {x R: x p}, där p > 0. Lösning: p + p Observer tt definitionen direkt ger tt x x, (3.8) för vrje x R. Följnde sts viss exempelvis med hjälp v fllindelning. Sts Låt x, y R, då gäller Olikheten (3.0) klls för tringelolikheten. x y = x y, (3.9) x + y x + y. (3.0) Bevis: Vi lämnr beviset v (3.9) till läsren som en övning. Beviset v (3.0) gör vi med hjälp v fllindelning. Antg tt x 0 och y 0. Olikheten är i dett fll en likhet, ty x + y = x + y = x + y. Antg nu tt x 0 och y 0. Symmetriskäl gör tt fllet x 0 och y 0 kn behndls nlogt, vrför vi utelämnr det. Även här vill vi del upp i två fll. Det en är då x + y 0 och det ndr då x + y < 0. Vi börjr med fllet då x + y 0. Vi får (kom ihåg tt y < 0) x + y = x + y x y = x + ( y) = x + y. Nu till delfllet tt x + y < 0. Vi får x + y = (x + y) = x y x y = x + ( y) = x + y. Slutligen det sist fllet då x < 0 och y < 0. Vi får x + y = (x + y) = x + ( y) = x + y och olikheten är visd. 39

40 Definition För ett komplext tl z = x + iy så definiers bsolutbeloppet v z som z = x + y. (3.) 3.9 De elementär funktionerns grfer I dett delkpitel rits grfern ut till delr v de elementär funktionern. Dess grfer är lämplig tt kunn. Vi ritr funktionern och dess inverser gemensmt för tt illustrer smbnden. 4 x x 3 x log x x rcsin x x sin x

41 x rccos x 3 x cos x π π 3π π π π π 3π π π Figur 3.0: Den röd grfen är x rctn x och den blå grfen är x tn x. 4

42 4 x /x x /x Övningr Övning 3.. Ange definitions- och värdemängd till f(x) = h(g(x)) om g(x) = x + och h(x) = sin x. Övning 3.. [006--0, uppgift ] Funktionen f(x) = x + 4 x är uppenbrligen definierd då x 0 och x. Bestäm värdemängden för f då D f = (0, ). 4

43 Övning 3.3. [ , uppgift ] Låt f(x) = + ln(x + ) ) Bestäm ll reell x för vilk f är definierd som en reellvärd funktion. b) Bestäm tngenten till kurvn y = f(x) i punkten (0, ). Övning 3.4. Bestäm definitionsmängd, värdemängd och inversen för funktionern ) x ln( x), b) x e x 4, c) x x Övning 3.5. Går det tt bestämm en målmängd så tt följnde funktioner är inverterbr? Bestäm i så fll inversen ) f(x) = x + 4x + 5, D f = [, ), b) f(x) = + /x, D f = (0, ). Övning 3.6. Går det tt bestämm en målmängd så tt följnde funktioner är inverterbr? Bestäm i så fll inversen ) f(x) = x/(x + ), D f = [, ), b) f(x) = /x, D f = R \ {0}. Övning 3.7. Låt f : R R vr en udd funktion och g : R R vr en jämn funktion. Vis tt ) f(0) = 0, b) produkten v f och g är en udd funktion. c) summn v f och g inte nödvändigtvis är en udd funktion. Övning 3.8. Lös följnde ekvtioner ) sin x =, b) cos x =. Övning 3.9. Vis tt sin x = 4 tn x( sin x)(cos x + sin x). Övning 3.0. Beräkn cos(π/) genom tt nvänd tt cos(π/6) = Övning 3.. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionern ) x rcsin x, 3. 43

44 b) x rccos x, c) x rctn x. Övning 3.. [ , uppgift ] Beräkn sin(rcsin(7/8) + rccos(/4)). Övning 3.3. Lös ekvtionern ) rcsin x = 5π 6, b) rctn x = π 4. Övning 3.4. Bestäm ) sin(rcsin(/)), b) rcsin(sin(π/3)). Övning 3.5. Vis tt för vrje x [, ]. Övning 3.6. Vis tt för vrje x [, ]. Övning 3.7. Vis tt rcsin x + rccos x = π, rctn x + rctn x = { π, x > 0 π, x < 0 ) tn(x + y) = tn x + tn y tn x tn y b) tn(x) = tn x tn x Övning 3.8. Vis den ndr delen i beviset v cosinusstsen. Övning 3.9. Vis (3.) (3.4). Övning 3.0. Vis tt ) log (x 3 xy ) log (x + y) log x = log (x y), b) ((3 ) b 3 )3 + = 3 b. Övning 3.. Lös ekvtionen 3 + ln x = ln x. 44

45 Övning 3.. Vis likhet (3.9). Övning 3.3. Lös olikheten x 4 < 5. Övning 3.4. Vis tt om x < så är x + < 3. Övning 3.5. Låt f : R R vr en strängt växnde funktion. Vis tt f är injektiv. Övning 3.6. [ , uppgift ] För vilk reell tl hr ekvtionen 4 x + x+ = någon reell lösning? Bestäm de reell lösningrn för dess. Övning 3.7. Låt funktionen g : R \ {0} R definiers v g(z) = /z. För vilk z R \ {0} gäller tt g(g(z)) = g(z)? Övning 3.8. Låt f : A B och g : B C vr funktioner och låt h = g f vr ders smmnsättning. Med ndr ord gäller tt h(x) = g(f(x)). Motiver vrför din svr är korrekt. ) Antg tt f och g är surjektiv. Vis tt h också är surjektiv. Antg tt f och g är injektiv. Vis tt h också är injektiv. b) Antg tt h och f är surjektiv. Är g nödvändigtvis surjektiv? Antg tt h och f är injektiv. Är g nödvändigtvis injektiv? c) Antg tt h och g är surjektiv. Är f nödvändigtvis surjektiv? Antg tt h och g är injektiv. Är f nödvändigtvis injektiv? Övning 3.9. Lös ekvtionern ) + x + x = x, b) + x + x = x +, c) + x + x = x + 3, d) + x + x = x. e) Finns det något α R så tt ekvtionen + x + x = αx hr exkt en lösning? Övning Lös ekvtionern ) ln x =, b) ln x =, c) ln x =. 45

46 Övning 3.3. Lös ekvtionen Övning 3.3. ln(x 3 3x) = ln(x). ) Vis tt ekvtionen ln(x + ) = ln(x) ln() sknr lösningr. b) Lös ekvtionen ln(x + ) = ln(x) ln(). 46