LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1"

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen stött på en hel drös med vektorrum. De viktigste och mest uppenbr är R och R 3. Tidigre hr mn mer eller mindre sett på vektorrum som en mängd med vektorer (pilr), men vi sk nu t ett mer seriöst grepp och fktiskt definier vd som mens med ordet vektorrum. Rent formellt sett är ett vektorrum inget mer än en mängd med punkter (till exempel ett pln), en mängd med sklärer (till exempel R) och en rd med regler som dess sk följ. Definition. (Vektorrum). Låt V vr en icke-tom mängd, och låt k beteckn en godtycklig sklär. Om följnde regler gäller klls V för ett vektorrum. Sluten mp ddition: Om v, w V så v + w V. Sluten mp sklärmultipliktion: Om v V och k är en sklär så kv V. A: v + w = w + v för ll v, w V. A: (u + v) + w = u + (v + w) för ll u, v, w V. A3: Det finns en nollvektor, 0, så tt v + 0 = v för ll v V. A4: För vrje v V finns det en negtiv motsvrighet, v V, så tt v + ( v) = 0. M: k(v + w) = kv + kw för ll v, w V och ll sklärer k. M: (k + l)v = kv + lv för ll v V och ll sklärer k och l. M3: k(lv) = (kl)v för ll v V och ll sklärer k och l. M4: Det finns en ett,, så tt v = v för ll v V. Från och med nu kommer vi nt tt ll sklärer är reell, och vi kommer kll V ett reellt vektorrum om V är sluten (med vseende på både ddition och sklärmultipliktion) smt uppfyller A-4 och M-4. Element i mängden V klls för (reell) vektorer och ll reell tl för sklärer. Anmärkning.. Det finns ingen begränsning som säger tt vi måste nvänd reell tl som sklärer. Vi kn nvänd komplex tl, rtionell tl, eller gå så långt tt vi nvänder element i en så klld kropp, som är en generlisering v reell och komplex tl. Som nämnt tidigre så är R n det vnligste vektorrumet. Men vi kommer också se tt mängden v n n mtriser också är ett vektorrum med mtrisddition bildr ett vektorrum med de reell tlen. Vi kommer också jobb rätt mycket med rummet v ll polynom med högst grd n, med reell koefficienter, eftersom de också bildr ett vektorrum. Låt V vr ett reellt vektorrum. Vi kn då koll på en mängd W V. Frågn är då när W är ett vektorrum, eller ett delrum till V. Svret är intuitivt. W är ett delrum till V då W i sig själv är ett vektorrum. Vi kn dock förenkl situtionen genom tt nvänd det fktum tt V är ett vektorrum. En del v egenskpern A-4 och M-4 ärvs ner till W också. Sts.3. Låt V vr ett reellt vektorrum. Om W V är en icke-tom mängd, är W ett delrum v V om och endst om () Om v, w W så v + w W. () Om v W och k är en sklär, så kv W.

2 JOHAN ASPLUND Sts.3 säger mer eller mindre tt ll lgr A-4 och M-4 ärvs ner från V till W, om W V, och tt det end som krävs för tt se om W är ett vektorrum är tt koll om W är sluten under ddition smt sklärmultipliktion.. LINJÄRKOMBINATIONER OCH LINJÄRT (O)BEROENDE VEKTORER I R, som kn visulisers som xy-plnet, finns det vektorer på formen (, b) där, b R. Dess vektorer kn mn kombiner (eftersom R är ett vektorrum) och skp ny vektorer med. T till exempel (, ) och (e, π). Vi kn dder dess och få en ny vektor ( + e, + π). Mer llmänt kn vi multiplicer vektorern vr för sig med en sklär före vi dderr ihop dem. Då får vi något som ser ut som följnde. (, ) + b(e, π) = ( + be, + bπ), där och b är sklärer. Mer llmänt kn vi skp ny vektorer genom tt t två godtycklig vektorer (x 0, y 0 ), och (x, y ). (.) (x 0, y 0 ) + b(x, y ) = (x 0 + bx, y 0 + by ). Uttrycket (.) är precis vd vi kllr för en linjärkombintion. Vi kombinerr två vektorer och skpr en ny. Vi behöver inte nvänd enbrt två vektorer heller, utn vi kn nvänd fler än så. Om vi hr n stycken vektorer v,..., v n V i ett godtyckligt (reellt) vektorrum V, och n reell tl k,..., k n så är v = k v + k v + + k n v n, en ny vektor som klls för en linjärkombintion v v,..., v n (för vrje vl v k,..., k n ). Definition. (Linjärt oberoende). Låt S = {v,..., v n } V vr en mängd v vektorer i ett reellt vektorrum V. Om ekvtionen k v + k v + + k n v n = 0, endst hr den trivil lösningen k = k =... = k n = 0, klls mängden S för linjärt oberoende. Om denn ekvtion hr en nnn lösning än den trivil, klls S för linjärt beroende. def:vektorrum Att en mängd är linjärt beroende innebär tt en utv vektorern kn skrivs som en linjärkombintion v de ndr. I exemplet med mängden { (, 0), (0, ), (, ) } så hr vi (, ) = (, 0) + (0, ). Eftersom (, ) kn skrivs som en linjärkombintion v de ndr två vektorern är mängden linjärt beroende. Givet n stycken vektorer v,..., v n V så klls mängden v linjärkombintioner v dess vektorer för spnnet (eller det linjär höljet) v vektorern, och är viktigt tt känn till. Definition. (Spn). Vi definierr spnnet v vektorern v,..., v n V som mängden v ll linjärkombintioner. Vi betecknr spnnet med spn {v,..., v n }, och vi hr lltså följnde. n spn {v,..., v n } = k m v m k,..., k n R. Exempelvis hr vi m= spn { (, 0), (0, ) } = { (, 0) + b(0, ), b R } = { (, b), b R } = R. Så ll möjlig linjärkombintioner v (, 0) och (0, ) utgör hel R. Dett är ett viktigt exempel på en bs. Definition.3 (Bs). Betrkt ett reellt vektorrum V. Låt v,..., v n V vr n vektorer som uppfyller spn {v,..., v n } = V, smt tt mängden {v,..., v n } är linjärt oberoende. Då sägs {v,..., v n } vr en bs till vektorrummet V. Anmärkning.4. En bs till ett vektorrum är det först riktigt viktig begreppet som mn bör t med sig från linjär lgebr. Det finns resultt som säger tt ll vektorrum hr en bs (det finns dock exempel på mer vncerde vektorrum där mn vet tt det finns en bs, men där mn inte kn skriv upp en bs). En bs till ett vektorrum är inte unik. Det som är unikt är däremot ntl vektorer som ingår i själv bsen. Det tlet klls för vektorrummets dimension, och är unikt för ett givet vektorrum.

3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 Noter tt vi oft kommer nvänd nottionen v = {v,..., v n } för tt beton tt det är en bs. Om mn vet bsen till ett vektorrum så vet mn i princip llting om det. Ett vektorrum bestäms helt och hållet utifrån sin bs. Bsen bestämmer i synnerhet ett koordintsystem för ll ndr vektorer i vektorrummet. Definition.5 (Koordinter). Låt v = {v,..., v n } vr en bs i vektorrummet V och betrkt en godtycklig vektor w V. Låt x,... x n R vr de koefficienter så tt n w = x k v k. k= Då klls tlen x,..., x n för koordintern till vektorn w i bsen v, och vektorn w beteckns då iblnd som (x,..., x n ) i förhållnde till v. En mer tydlig nottion är [w] v = x x.. x n 3. UPPGIFTER 4.:4. Avgör om ll pr v reell tl på formen (0, y) bildr ett vektorrum med stndrdopertionern på R. Stndrdopertionern är (x, y ) + (x, y ) = (x + x, y + y ) smt k(x, y) = (kx, ky). Lösning. Svret är tt det bildr ett vektorrum. Gå igenom listn i definition. och verifier tt ll dess regler gäller. 4.:5. Avgör om ll pr v reell tl på formen (x, y), där x 0, bildr ett vektorrum med stndrdopertionern på R. Lösning. Dett är inget vektorrum. Det är A4 som inte är uppfylld. Om vi tr (, 0) så finns det ingen vektor vi kn dder till (, 0) för tt få (0, 0), eftersom (, 0) inte ligger i den underliggnde mängden { (x, y) x 0 }. 4.:7. Vis tt mängden v ll punkter i R som ligger på en linje, bildr ett vektorrum med vseende på stndrdopertionern på R om och endst om linjen går igenom origo. Lösning. Om linjen inte går igenom origo kn vi lätt dr slutstsen tt det inte är ett vektorrum på grund v A3. Om linjen inte går igenom origo, kommer inte nollvektorn tt finns med, och det är därmed inget vektorrum. Låt nu linjen psser genom origo. Linjens ekvtion kn då skrivs som y = kx för något godtyckligt k. Vår uppgift är lltså tt vis tt mängden l = { (x, kx) k R } med stndrdopertionern på R, bildr ett vektorrum. Här följer beviset för någr v reglern listde i definition.. Sluten mp ddition: T två vektorer på linjen (x, kx ) och (x, kx ). Då hr vi (x, kx ) + (x, kx ) = (x + x, k(x + x )), som ligger i l. Sluten mp sklärmultipliktion: Låt R. Då ligger (x, kx) = (x, k(x)) i l. A4: Den negtiv motsvrigheten till (x, kx) är ( x, k( x)) = (x, kx). M: Låt, b R. Då hr vi ( + b)(x, kx) = (( + b)x, ( + b)kx) = (x + bx, k(x + bx)) = (x, kx) + (bx, kbx) = (x, kx) + b(x, kx). M4: Ettn är helt enkelt eftersom skläreren är R. 4.:3. Med hjälp utv sts.3, bestäm om följnde delmängder är delrum v P 3. Noter tt P n.= { 0 + x + + n x n 0,..., n R }, är mängden v ll polynom med grd högst n (det kn vr v lägre grd eftersom inget säger tt vi inte får h n = 0 t.ex.). () All polynom på formen 0 + x + x + 3 x 3 där =.

4 4 JOHAN ASPLUND (b) All polynom på formen 0 + x + x + 3 x 3 där 0 = 0. (c) All polynom på formen 0 + x + x + 3 x 3 där 0,,, 3 ll är heltl. (d) All polynom på formen 0 + x där 0, R. Lösning. () Vi behöver lltså endst koll om mängden uppfyller tt den är sluten med vseende på ddition smt sklärmultipliktion. ( 0 + x+ x + x 3 )+(b 0 +b x+b x +b x 3 ) = ( 0 +b 0 )+( +b )x+( +b )x +( +b )x 3, som också är på den givn formen. k( 0 + x + x + x 3 ) = k 0 + k x + k x + k x 3, så slutstsen är tt mängden som beskrivs i (), är ett delrum till P 3. (b) Vi hr ( x + x + 3 x 3 ) + (b x + b x + b 3 x 3 ) = ( + b )x + ( + b )x + ( 3 + b 3 )x 3, och k( x + x + x 3 ) = k x + k x + k x 3, så mängden beskriven i (b) är också ett delrum. (c) Denn mängd är sluten under ddition, men inte sklärmultipliktion, ty ( 0 + x + x + x 3 ) = 0 + x + x + x 3, ligger inte i mängden om någon v 0,,, 3 är ett udd tl. (d) På smm sätt som i () inses det enkelt tt mängden är ett delrum v P 3. 4.:9. Vilk v de följnde mtrisern är en linjärkombintion v 3 0 A =, B =, C = () (b) 0 3 (c) (d) 8? 5 Lösning. Det först vi kommergör är tt skriv om mtrisern som kolonnvektorer med 4 element. b b Dvs vi skriver om som. Dett får vi gör eftersom ddition och sklärmultipliktion för c d c d både kolonnvektorer och mtriser sker elementvis. För tt en vektor v sk vr en linjärkombintion v en nnn måste vi t red på om det finns tl k, k och k 3 så tt 3 0 k 0 + k + k 3 = v. 4 5 Vänsterleder kn skrivs om på mtrisform som k 0 + k + k 3 = k k. k 3

5 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 5 v v För ett givet v = så vill vi rdreducer denn mtris. v 3 v v 4 5 v v 4 v 0 v 3 v 0 v v v 4 0 v v v 0 4 v 3v v 4 0 v (v v 4 ) (v 3v 4 ) 4 5 v 4 0 v (v v 4 ) + v (v 3v 4 ) + 3v v 4 0 v (v v 4 ) + v (v 3v 4 ) + 3v (v v 4 ) v 3 För tt ekvtionen sk h en lösning, så måste den sist ekvtionen vr uppfylld. Det vill säg för den givn vektorn v måste vi h (v 3v 4 ) + 3v (v v 4 ) v 3 = v v 4 + v v = 0. Om vi stoppr in vektorern (mtrisern) i uppgiftern märker vi tt denn ekvtion är uppfylld för mtrisern i () och (d). Eftersom sist ekvtionen måste vr uppfylld så finns det en lösning till ekvtionssystemet för mtrisern i () och (d), vilket innebär tt mtrisern i () och (d) är linjärkombintioner v A, B och C. 4.:4. Låt f = cos (x) och g = sin (x). Vilk v följnde vektorer ligger i spn {f, g}? () cos(x) (b) 3 + x (c) (d) sin(x) (e) 0 Lösning. () Från nlys vet vi tt cos(x) = cos (x) sin (x). Så cos(x) är lltså en linjärkombintion v f och g, och tillhör lltså spn {f, g}. (b) Det är omöjligt tt f +bg = cos (x)+b sin (x) = 3+x för någr värden på och b. Så cos(x) ligger inte i spn {f, g}. (c) Tänk trigonometrisk ettn! (d) Tillhör inte spnnet. (e) Tillhör lltid spnnet (v vilk vektorer som helst)! T = b = 0. 4.:7. Vis tt mängden v kontinuerlig funktioner f = f(x) definierde på [, b], så tt f(x) dx = 0, utgör ett delrum v C([, b]) (dvs mängden v ll kontinuerlig funktioner på [, b]). Lösning. Det vi behöver vis är tt rummet är slutet under ddition och sklärmultipliktion. Additionen är definierd som (f + g)(x) = f(x) + g(x), och sklärmultipliktionen som (kf)(x) = kf(x). Dett följer enkelt eftersom och (f + g)(x) dx = f(x) + g(x) dx = (kf)(x) dx = k f(x) dx + g(x) dx = = 0, f(x) dx = k 0 = 0.

6 6 JOHAN ASPLUND 4.3:5. Ant tt v, v och v 3 är ortsvektorer i R 3. För vrje trippel v vektorer, vgör om de ligger i smm pln. () v = (,, 3), v = (, 4, 6) och v 3 = ( 3, 6, 0) (b) v = (,, 4), v = (4,, 3) och v 3 = (, 7, 6) (c) v = (4, 6, 8), v = (, 3, 4) och v 3 = (, 3, 4) Lösning. Givet två ortsvektorer kn vi lltid hitt ett pln som gör tt vektorern ligger i plnet. Att vgör om den tredje vektorn också ligger i smm pln, är detsmm som tt vgör om vektorern är linjärt beroende. För tt gör dett så vill vi vet om ekvtionen 3 k i v i = 0, k= hr någon lösning som inte är den trivil. Det är lltså ett ekvtionssystem vi vill lös för vrje vl v v, v och v 3. I fllet i () hr vi följnde. 3 3 k 0 k + k 4 + k 3 6 = k = k 3 0 Dett ekvtionssystem kn vi lös. Men vi ville endst vet om vektorern ligger i smm pln. Vi vill lltså br vet om ekvtionssystemet hr en icke-trivil lösning. Dett ekvtionssystem hr en icke-trivil lösning endst om A = 3 4 6, inte är inverterbr. Det vill säg om det(a) = 0. Om det(a) 0, då skulle vi kunnt multiplicer båd led med A och få tt k = k = k 3 = 0. Vi utvecklr längs sist rden för tt få följnde = = 3( ) + 6( 6 + 6) = Alltså är determinten 0, och ingen invers finns. Därför måste det finns en icke-trivil lösning till ekvtionssystemet, så tt vektorern är linjärt beroende. Alltså ligger de i smm pln. Det lämns som en övning tt red ut (b) och (c). 4.3:9. För vilk reell värden på λ bildr vektorern λ v =, v = λ, v 3 =, λ en linjärt beroende mängd v vektorer? Lösning. Som utrett i förr uppgiften så vill vi vet när det(a) = 0, där λ A = λ. λ

7 Determinnten beräknr vi som följnde. λ + λ λ Dett är lik med 0 då λ = eller då λ =. LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 7 4.4:. Vilk v följnde mängder utgör en bs för R? () A = { (3, ), (0, 0) } (b) B = { (4, ), ( 7, 8) } (c) C = { (5, ), (, 3) } (d) D = { (3, 9), ( 7, ) } λ λ λ = λ = (λ ) λ λ λ 0 0 = (λ ) λ + 0 λ + = (λ ) 0 0 λ + 0 λ + ( = (λ ) λ +. ) Lösning. () För tt mängden sk vr en bs till R så sk vektorern spänn upp R, smt tt de måste vr linjärt oberoende. Vi vill lltså tt endst sk h den trivil lösningen, smt tt k v + k v = 0, k v + k v = v, sk h en lösning för ll v R. Vi undersöker den ndr frågn först. Låt v = kolonnvektor i R. Då hr vi ekvtionssystemet 3 0 k v =. 0 Vi ser tt om v = 0 så finns det icke-trivil lösningr. Ett exempel är vektorern linjärt beroende, och A kn därför inte vr en bs i R. (b) På smm sätt här får vi ekvtionssystemet 4 7 k v =. 8 Vi rdreducerr och får ( 8 v Systemet vi hr är lltså 4 7 v ) k k v v ( 8 v 0 39 v 4v k 8k = v 39k = v 4v, ). k k = v v vr en 0. Alltså är så ovsett vd v är för vektor så kn vi lltid hitt k och k som gör tt v kn uttrycks som en linjärkombintion v vektorern i B. På smm sätt, om v = 0 så tvings mn få k = k = 0, vilket gör tt B är linjärt oberoende. Eftersom då B både spänner upp R och är linjärt oberoende, gör tt B är en bs i R.

8 8 JOHAN ASPLUND Extruppgift (från dugg). P 3 är rummet v polynom v grd högst 3. () Ange en bs i P 3. (b) Bevis tt ll polynom p P 3 sådn tt p(0) = 0 är ett delrum W v P 3. (c) Bestäm en bs i delrummet W. Lösning. () Ett godtyckligt polynom i P 3 är 0 + x + x + 3 x 3. { En bs (stndrdbsen) i P 3 är b =, x, x, x 3}, eftersom ett godtyckligt polynom är en linjärkombintion v vektorern i b. (b) Vi betecknr delmängden v ll polynom p P 3 sådn tt p(0) = 0 med W. Om vi hr det godtycklig polynomet p(x) = 0 + x + x + 3 x 3, så sk det uppfyll p(0) = 0, det vill säg tt 0 = 0. All polynom i W är lltså på formen w(x) = x + x + 3 x 3. Det vi behöver gör är tt vis tt W P 3 är ett delrum. Vi behöver endst vis tt W är sluten under ddition och sklärmultipliktion. Vi hr ( x + x + 3 x 3 ) + (b x + b x + b 3 x 3 ) = ( + b )x + ( + b )x + ( 3 + b 3 )x 3, och k( x + x + 3 x 3 ) = k x + k x + k 3 x 3, som båd också nturligtvis { ligger i W. Alltså är W ett delrum v P 3. (c) En bs i W är w = x, x, x 3} eftersom ett godtyckligt polynom i W är en linjärkombintion v dess vektorer. E-mil ddress: john.splund@mth.uu.se

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur. Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med

Läs mer

14. MINSTAKVADRATMETODEN

14. MINSTAKVADRATMETODEN 4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7. Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

Frami transportbult 2,5kN

Frami transportbult 2,5kN 07/2012 Orginlbruksnvisning 999281910 sv Sprs för frmtid behov Frmi trnsportbult 2,5kN rt.nr 588494000 fr.o.m. tillverkningsår 2009 Orginlbruksnvisning Frmi trnsportbult 2,5kN Produktbeskrivning d Underhåll

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild

Läs mer

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Andragradspolynom Några vektorrum P 2

Andragradspolynom Några vektorrum P 2 Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2

Läs mer

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum

Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Ett v de stor sprången frmåt i mtemtiken inträffde när Descrtes (96-60) introducerde det rätvinklig koordintsystemet Det blev möjligt tt ngrip geometrisk

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018 Smling v bevis som krävs på tentn MVE5, 8 Meelväresstsen för integrler. Det är Theorem, på si. i Ams. Lecture, si. -8 Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; b], så nns et en punkt c [; b] sån

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Polynominterpolation av kontinuerliga

Polynominterpolation av kontinuerliga Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer

Dagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer Dgens ämnen Repetition: kvdrtisk former oh ndrgrdskurvor Andrgrdsytor System v differentilekvtioner Rng, signtur oh tekenkrktär Sts 9.1.11. Låt Q: E R, dim E = n vr en kvdrtisk form. Då gäller λ min u

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer