LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1"

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen stött på en hel drös med vektorrum. De viktigste och mest uppenbr är R och R 3. Tidigre hr mn mer eller mindre sett på vektorrum som en mängd med vektorer (pilr), men vi sk nu t ett mer seriöst grepp och fktiskt definier vd som mens med ordet vektorrum. Rent formellt sett är ett vektorrum inget mer än en mängd med punkter (till exempel ett pln), en mängd med sklärer (till exempel R) och en rd med regler som dess sk följ. Definition. (Vektorrum). Låt V vr en icke-tom mängd, och låt k beteckn en godtycklig sklär. Om följnde regler gäller klls V för ett vektorrum. Sluten mp ddition: Om v, w V så v + w V. Sluten mp sklärmultipliktion: Om v V och k är en sklär så kv V. A: v + w = w + v för ll v, w V. A: (u + v) + w = u + (v + w) för ll u, v, w V. A3: Det finns en nollvektor, 0, så tt v + 0 = v för ll v V. A4: För vrje v V finns det en negtiv motsvrighet, v V, så tt v + ( v) = 0. M: k(v + w) = kv + kw för ll v, w V och ll sklärer k. M: (k + l)v = kv + lv för ll v V och ll sklärer k och l. M3: k(lv) = (kl)v för ll v V och ll sklärer k och l. M4: Det finns en ett,, så tt v = v för ll v V. Från och med nu kommer vi nt tt ll sklärer är reell, och vi kommer kll V ett reellt vektorrum om V är sluten (med vseende på både ddition och sklärmultipliktion) smt uppfyller A-4 och M-4. Element i mängden V klls för (reell) vektorer och ll reell tl för sklärer. Anmärkning.. Det finns ingen begränsning som säger tt vi måste nvänd reell tl som sklärer. Vi kn nvänd komplex tl, rtionell tl, eller gå så långt tt vi nvänder element i en så klld kropp, som är en generlisering v reell och komplex tl. Som nämnt tidigre så är R n det vnligste vektorrumet. Men vi kommer också se tt mängden v n n mtriser också är ett vektorrum med mtrisddition bildr ett vektorrum med de reell tlen. Vi kommer också jobb rätt mycket med rummet v ll polynom med högst grd n, med reell koefficienter, eftersom de också bildr ett vektorrum. Låt V vr ett reellt vektorrum. Vi kn då koll på en mängd W V. Frågn är då när W är ett vektorrum, eller ett delrum till V. Svret är intuitivt. W är ett delrum till V då W i sig själv är ett vektorrum. Vi kn dock förenkl situtionen genom tt nvänd det fktum tt V är ett vektorrum. En del v egenskpern A-4 och M-4 ärvs ner till W också. Sts.3. Låt V vr ett reellt vektorrum. Om W V är en icke-tom mängd, är W ett delrum v V om och endst om () Om v, w W så v + w W. () Om v W och k är en sklär, så kv W.

2 JOHAN ASPLUND Sts.3 säger mer eller mindre tt ll lgr A-4 och M-4 ärvs ner från V till W, om W V, och tt det end som krävs för tt se om W är ett vektorrum är tt koll om W är sluten under ddition smt sklärmultipliktion.. LINJÄRKOMBINATIONER OCH LINJÄRT (O)BEROENDE VEKTORER I R, som kn visulisers som xy-plnet, finns det vektorer på formen (, b) där, b R. Dess vektorer kn mn kombiner (eftersom R är ett vektorrum) och skp ny vektorer med. T till exempel (, ) och (e, π). Vi kn dder dess och få en ny vektor ( + e, + π). Mer llmänt kn vi multiplicer vektorern vr för sig med en sklär före vi dderr ihop dem. Då får vi något som ser ut som följnde. (, ) + b(e, π) = ( + be, + bπ), där och b är sklärer. Mer llmänt kn vi skp ny vektorer genom tt t två godtycklig vektorer (x 0, y 0 ), och (x, y ). (.) (x 0, y 0 ) + b(x, y ) = (x 0 + bx, y 0 + by ). Uttrycket (.) är precis vd vi kllr för en linjärkombintion. Vi kombinerr två vektorer och skpr en ny. Vi behöver inte nvänd enbrt två vektorer heller, utn vi kn nvänd fler än så. Om vi hr n stycken vektorer v,..., v n V i ett godtyckligt (reellt) vektorrum V, och n reell tl k,..., k n så är v = k v + k v + + k n v n, en ny vektor som klls för en linjärkombintion v v,..., v n (för vrje vl v k,..., k n ). Definition. (Linjärt oberoende). Låt S = {v,..., v n } V vr en mängd v vektorer i ett reellt vektorrum V. Om ekvtionen k v + k v + + k n v n = 0, endst hr den trivil lösningen k = k =... = k n = 0, klls mängden S för linjärt oberoende. Om denn ekvtion hr en nnn lösning än den trivil, klls S för linjärt beroende. def:vektorrum Att en mängd är linjärt beroende innebär tt en utv vektorern kn skrivs som en linjärkombintion v de ndr. I exemplet med mängden { (, 0), (0, ), (, ) } så hr vi (, ) = (, 0) + (0, ). Eftersom (, ) kn skrivs som en linjärkombintion v de ndr två vektorern är mängden linjärt beroende. Givet n stycken vektorer v,..., v n V så klls mängden v linjärkombintioner v dess vektorer för spnnet (eller det linjär höljet) v vektorern, och är viktigt tt känn till. Definition. (Spn). Vi definierr spnnet v vektorern v,..., v n V som mängden v ll linjärkombintioner. Vi betecknr spnnet med spn {v,..., v n }, och vi hr lltså följnde. n spn {v,..., v n } = k m v m k,..., k n R. Exempelvis hr vi m= spn { (, 0), (0, ) } = { (, 0) + b(0, ), b R } = { (, b), b R } = R. Så ll möjlig linjärkombintioner v (, 0) och (0, ) utgör hel R. Dett är ett viktigt exempel på en bs. Definition.3 (Bs). Betrkt ett reellt vektorrum V. Låt v,..., v n V vr n vektorer som uppfyller spn {v,..., v n } = V, smt tt mängden {v,..., v n } är linjärt oberoende. Då sägs {v,..., v n } vr en bs till vektorrummet V. Anmärkning.4. En bs till ett vektorrum är det först riktigt viktig begreppet som mn bör t med sig från linjär lgebr. Det finns resultt som säger tt ll vektorrum hr en bs (det finns dock exempel på mer vncerde vektorrum där mn vet tt det finns en bs, men där mn inte kn skriv upp en bs). En bs till ett vektorrum är inte unik. Det som är unikt är däremot ntl vektorer som ingår i själv bsen. Det tlet klls för vektorrummets dimension, och är unikt för ett givet vektorrum.

3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 Noter tt vi oft kommer nvänd nottionen v = {v,..., v n } för tt beton tt det är en bs. Om mn vet bsen till ett vektorrum så vet mn i princip llting om det. Ett vektorrum bestäms helt och hållet utifrån sin bs. Bsen bestämmer i synnerhet ett koordintsystem för ll ndr vektorer i vektorrummet. Definition.5 (Koordinter). Låt v = {v,..., v n } vr en bs i vektorrummet V och betrkt en godtycklig vektor w V. Låt x,... x n R vr de koefficienter så tt n w = x k v k. k= Då klls tlen x,..., x n för koordintern till vektorn w i bsen v, och vektorn w beteckns då iblnd som (x,..., x n ) i förhållnde till v. En mer tydlig nottion är [w] v = x x.. x n 3. UPPGIFTER 4.:4. Avgör om ll pr v reell tl på formen (0, y) bildr ett vektorrum med stndrdopertionern på R. Stndrdopertionern är (x, y ) + (x, y ) = (x + x, y + y ) smt k(x, y) = (kx, ky). Lösning. Svret är tt det bildr ett vektorrum. Gå igenom listn i definition. och verifier tt ll dess regler gäller. 4.:5. Avgör om ll pr v reell tl på formen (x, y), där x 0, bildr ett vektorrum med stndrdopertionern på R. Lösning. Dett är inget vektorrum. Det är A4 som inte är uppfylld. Om vi tr (, 0) så finns det ingen vektor vi kn dder till (, 0) för tt få (0, 0), eftersom (, 0) inte ligger i den underliggnde mängden { (x, y) x 0 }. 4.:7. Vis tt mängden v ll punkter i R som ligger på en linje, bildr ett vektorrum med vseende på stndrdopertionern på R om och endst om linjen går igenom origo. Lösning. Om linjen inte går igenom origo kn vi lätt dr slutstsen tt det inte är ett vektorrum på grund v A3. Om linjen inte går igenom origo, kommer inte nollvektorn tt finns med, och det är därmed inget vektorrum. Låt nu linjen psser genom origo. Linjens ekvtion kn då skrivs som y = kx för något godtyckligt k. Vår uppgift är lltså tt vis tt mängden l = { (x, kx) k R } med stndrdopertionern på R, bildr ett vektorrum. Här följer beviset för någr v reglern listde i definition.. Sluten mp ddition: T två vektorer på linjen (x, kx ) och (x, kx ). Då hr vi (x, kx ) + (x, kx ) = (x + x, k(x + x )), som ligger i l. Sluten mp sklärmultipliktion: Låt R. Då ligger (x, kx) = (x, k(x)) i l. A4: Den negtiv motsvrigheten till (x, kx) är ( x, k( x)) = (x, kx). M: Låt, b R. Då hr vi ( + b)(x, kx) = (( + b)x, ( + b)kx) = (x + bx, k(x + bx)) = (x, kx) + (bx, kbx) = (x, kx) + b(x, kx). M4: Ettn är helt enkelt eftersom skläreren är R. 4.:3. Med hjälp utv sts.3, bestäm om följnde delmängder är delrum v P 3. Noter tt P n.= { 0 + x + + n x n 0,..., n R }, är mängden v ll polynom med grd högst n (det kn vr v lägre grd eftersom inget säger tt vi inte får h n = 0 t.ex.). () All polynom på formen 0 + x + x + 3 x 3 där =.

4 4 JOHAN ASPLUND (b) All polynom på formen 0 + x + x + 3 x 3 där 0 = 0. (c) All polynom på formen 0 + x + x + 3 x 3 där 0,,, 3 ll är heltl. (d) All polynom på formen 0 + x där 0, R. Lösning. () Vi behöver lltså endst koll om mängden uppfyller tt den är sluten med vseende på ddition smt sklärmultipliktion. ( 0 + x+ x + x 3 )+(b 0 +b x+b x +b x 3 ) = ( 0 +b 0 )+( +b )x+( +b )x +( +b )x 3, som också är på den givn formen. k( 0 + x + x + x 3 ) = k 0 + k x + k x + k x 3, så slutstsen är tt mängden som beskrivs i (), är ett delrum till P 3. (b) Vi hr ( x + x + 3 x 3 ) + (b x + b x + b 3 x 3 ) = ( + b )x + ( + b )x + ( 3 + b 3 )x 3, och k( x + x + x 3 ) = k x + k x + k x 3, så mängden beskriven i (b) är också ett delrum. (c) Denn mängd är sluten under ddition, men inte sklärmultipliktion, ty ( 0 + x + x + x 3 ) = 0 + x + x + x 3, ligger inte i mängden om någon v 0,,, 3 är ett udd tl. (d) På smm sätt som i () inses det enkelt tt mängden är ett delrum v P 3. 4.:9. Vilk v de följnde mtrisern är en linjärkombintion v 3 0 A =, B =, C = () (b) 0 3 (c) (d) 8? 5 Lösning. Det först vi kommergör är tt skriv om mtrisern som kolonnvektorer med 4 element. b b Dvs vi skriver om som. Dett får vi gör eftersom ddition och sklärmultipliktion för c d c d både kolonnvektorer och mtriser sker elementvis. För tt en vektor v sk vr en linjärkombintion v en nnn måste vi t red på om det finns tl k, k och k 3 så tt 3 0 k 0 + k + k 3 = v. 4 5 Vänsterleder kn skrivs om på mtrisform som k 0 + k + k 3 = k k. k 3

5 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 5 v v För ett givet v = så vill vi rdreducer denn mtris. v 3 v v 4 5 v v 4 v 0 v 3 v 0 v v v 4 0 v v v 0 4 v 3v v 4 0 v (v v 4 ) (v 3v 4 ) 4 5 v 4 0 v (v v 4 ) + v (v 3v 4 ) + 3v v 4 0 v (v v 4 ) + v (v 3v 4 ) + 3v (v v 4 ) v 3 För tt ekvtionen sk h en lösning, så måste den sist ekvtionen vr uppfylld. Det vill säg för den givn vektorn v måste vi h (v 3v 4 ) + 3v (v v 4 ) v 3 = v v 4 + v v = 0. Om vi stoppr in vektorern (mtrisern) i uppgiftern märker vi tt denn ekvtion är uppfylld för mtrisern i () och (d). Eftersom sist ekvtionen måste vr uppfylld så finns det en lösning till ekvtionssystemet för mtrisern i () och (d), vilket innebär tt mtrisern i () och (d) är linjärkombintioner v A, B och C. 4.:4. Låt f = cos (x) och g = sin (x). Vilk v följnde vektorer ligger i spn {f, g}? () cos(x) (b) 3 + x (c) (d) sin(x) (e) 0 Lösning. () Från nlys vet vi tt cos(x) = cos (x) sin (x). Så cos(x) är lltså en linjärkombintion v f och g, och tillhör lltså spn {f, g}. (b) Det är omöjligt tt f +bg = cos (x)+b sin (x) = 3+x för någr värden på och b. Så cos(x) ligger inte i spn {f, g}. (c) Tänk trigonometrisk ettn! (d) Tillhör inte spnnet. (e) Tillhör lltid spnnet (v vilk vektorer som helst)! T = b = 0. 4.:7. Vis tt mängden v kontinuerlig funktioner f = f(x) definierde på [, b], så tt f(x) dx = 0, utgör ett delrum v C([, b]) (dvs mängden v ll kontinuerlig funktioner på [, b]). Lösning. Det vi behöver vis är tt rummet är slutet under ddition och sklärmultipliktion. Additionen är definierd som (f + g)(x) = f(x) + g(x), och sklärmultipliktionen som (kf)(x) = kf(x). Dett följer enkelt eftersom och (f + g)(x) dx = f(x) + g(x) dx = (kf)(x) dx = k f(x) dx + g(x) dx = = 0, f(x) dx = k 0 = 0.

6 6 JOHAN ASPLUND 4.3:5. Ant tt v, v och v 3 är ortsvektorer i R 3. För vrje trippel v vektorer, vgör om de ligger i smm pln. () v = (,, 3), v = (, 4, 6) och v 3 = ( 3, 6, 0) (b) v = (,, 4), v = (4,, 3) och v 3 = (, 7, 6) (c) v = (4, 6, 8), v = (, 3, 4) och v 3 = (, 3, 4) Lösning. Givet två ortsvektorer kn vi lltid hitt ett pln som gör tt vektorern ligger i plnet. Att vgör om den tredje vektorn också ligger i smm pln, är detsmm som tt vgör om vektorern är linjärt beroende. För tt gör dett så vill vi vet om ekvtionen 3 k i v i = 0, k= hr någon lösning som inte är den trivil. Det är lltså ett ekvtionssystem vi vill lös för vrje vl v v, v och v 3. I fllet i () hr vi följnde. 3 3 k 0 k + k 4 + k 3 6 = k = k 3 0 Dett ekvtionssystem kn vi lös. Men vi ville endst vet om vektorern ligger i smm pln. Vi vill lltså br vet om ekvtionssystemet hr en icke-trivil lösning. Dett ekvtionssystem hr en icke-trivil lösning endst om A = 3 4 6, inte är inverterbr. Det vill säg om det(a) = 0. Om det(a) 0, då skulle vi kunnt multiplicer båd led med A och få tt k = k = k 3 = 0. Vi utvecklr längs sist rden för tt få följnde = = 3( ) + 6( 6 + 6) = Alltså är determinten 0, och ingen invers finns. Därför måste det finns en icke-trivil lösning till ekvtionssystemet, så tt vektorern är linjärt beroende. Alltså ligger de i smm pln. Det lämns som en övning tt red ut (b) och (c). 4.3:9. För vilk reell värden på λ bildr vektorern λ v =, v = λ, v 3 =, λ en linjärt beroende mängd v vektorer? Lösning. Som utrett i förr uppgiften så vill vi vet när det(a) = 0, där λ A = λ. λ

7 Determinnten beräknr vi som följnde. λ + λ λ Dett är lik med 0 då λ = eller då λ =. LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 7 4.4:. Vilk v följnde mängder utgör en bs för R? () A = { (3, ), (0, 0) } (b) B = { (4, ), ( 7, 8) } (c) C = { (5, ), (, 3) } (d) D = { (3, 9), ( 7, ) } λ λ λ = λ = (λ ) λ λ λ 0 0 = (λ ) λ + 0 λ + = (λ ) 0 0 λ + 0 λ + ( = (λ ) λ +. ) Lösning. () För tt mängden sk vr en bs till R så sk vektorern spänn upp R, smt tt de måste vr linjärt oberoende. Vi vill lltså tt endst sk h den trivil lösningen, smt tt k v + k v = 0, k v + k v = v, sk h en lösning för ll v R. Vi undersöker den ndr frågn först. Låt v = kolonnvektor i R. Då hr vi ekvtionssystemet 3 0 k v =. 0 Vi ser tt om v = 0 så finns det icke-trivil lösningr. Ett exempel är vektorern linjärt beroende, och A kn därför inte vr en bs i R. (b) På smm sätt här får vi ekvtionssystemet 4 7 k v =. 8 Vi rdreducerr och får ( 8 v Systemet vi hr är lltså 4 7 v ) k k v v ( 8 v 0 39 v 4v k 8k = v 39k = v 4v, ). k k = v v vr en 0. Alltså är så ovsett vd v är för vektor så kn vi lltid hitt k och k som gör tt v kn uttrycks som en linjärkombintion v vektorern i B. På smm sätt, om v = 0 så tvings mn få k = k = 0, vilket gör tt B är linjärt oberoende. Eftersom då B både spänner upp R och är linjärt oberoende, gör tt B är en bs i R.

8 8 JOHAN ASPLUND Extruppgift (från dugg). P 3 är rummet v polynom v grd högst 3. () Ange en bs i P 3. (b) Bevis tt ll polynom p P 3 sådn tt p(0) = 0 är ett delrum W v P 3. (c) Bestäm en bs i delrummet W. Lösning. () Ett godtyckligt polynom i P 3 är 0 + x + x + 3 x 3. { En bs (stndrdbsen) i P 3 är b =, x, x, x 3}, eftersom ett godtyckligt polynom är en linjärkombintion v vektorern i b. (b) Vi betecknr delmängden v ll polynom p P 3 sådn tt p(0) = 0 med W. Om vi hr det godtycklig polynomet p(x) = 0 + x + x + 3 x 3, så sk det uppfyll p(0) = 0, det vill säg tt 0 = 0. All polynom i W är lltså på formen w(x) = x + x + 3 x 3. Det vi behöver gör är tt vis tt W P 3 är ett delrum. Vi behöver endst vis tt W är sluten under ddition och sklärmultipliktion. Vi hr ( x + x + 3 x 3 ) + (b x + b x + b 3 x 3 ) = ( + b )x + ( + b )x + ( 3 + b 3 )x 3, och k( x + x + 3 x 3 ) = k x + k x + k 3 x 3, som båd också nturligtvis { ligger i W. Alltså är W ett delrum v P 3. (c) En bs i W är w = x, x, x 3} eftersom ett godtyckligt polynom i W är en linjärkombintion v dess vektorer. E-mil ddress:

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum

Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Ett v de stor sprången frmåt i mtemtiken inträffde när Descrtes (96-60) introducerde det rätvinklig koordintsystemet Det blev möjligt tt ngrip geometrisk

Läs mer

Frami transportbult 2,5kN

Frami transportbult 2,5kN 07/2012 Orginlbruksnvisning 999281910 sv Sprs för frmtid behov Frmi trnsportbult 2,5kN rt.nr 588494000 fr.o.m. tillverkningsår 2009 Orginlbruksnvisning Frmi trnsportbult 2,5kN Produktbeskrivning d Underhåll

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v].

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v]. REPETITION (1) Låt F : R n R m vara en linjär avbildning. Då är F (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) där f 1 (x 1,..., x n ) = a 11 x 1 +... + a 1n x n,..., f m (x 1,...,

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer