INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Transkript

1 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som till någr element i ordnr högst ett element i B tt fnktionen f bildr bilds på betecknr i eller f = Om f säger i tt är bilden originlen tt f är en fnktion från till B betecknr i på följnde sätt f : B Mängden r fnktionens strtmängd eng: initil set Mängden B är fnktionens målmängd eller kodomän eng: finl set trget set codomin Df f B =f Vf f : B Definitionsmängden eng: domin D f till fnktionen f är mängden ll originler ds mängden ll på ilk f tillämps den gl mängden i grfen Värdemängden eng: rnge V f är mängden ll bilder som fås då genomlöper definitionsmängden eller mer precis V f { f : D f } Noter skillnden melln strtmängden och definitionsmängen; ärdemängden V f och målmängden B Generellt gäller: D f och V f B Eempel Låt f : R R där f För den här fnktionen är strtmängden= R målmängden = R definitionsmängden=[-] och ärdemängden =[] Eempel och B hr ändligt mång element För fnktionen f som definiers med hjälp grfen gäller: f : B strtmängden== { } målmängden = B { b c d e} definitionsmängden är D f { } ärdemängden är V f { c}

2 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Element i mängdern och B kn r tl ektorer mtriser eller ndr mtemtisk objekt Element i behöer inte r smm tp som element i B Eempeliss fnktionen : R R f f bildr -dimensionell på -dimensionell ektorer LINJÄR VBILDNINGR Definition Linjär bildning Låt V och W r tå ektorrm t e V=R n och W=R m En fnktion från V till W säges r en linjär bildning linjär fnktion eller linjär trnsformtion om följnde tå illkor är ppflld Villkor för ll V Villkor k k för rje sklär k och ll V Eempel bildningen : R R definierd som bildr -dimensionell ektorer på -dimensionell ektorer Vi kn is tt onstående bildning är linjär genom tt skri om på mtris form Då är enkelt tt inse tt illkor och är ppflld: ip distribti lgen för mtrismlt = Dett isr tt Villkor i definitionen är ppflld k k k k mtris och egenskper för mlt melln tl I årt fll och därmed är en linjär bildning

3 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr nmärkning : Vi kn ersätt illkorn och med ett illkor och nge följnde ekilent definition: Definition b En fnktion från V till W säges r en linjär bildning linjär fnktion eller linjär trnsformtion om följnde illkor är ppfllt k s k s för ll k s R och ll V Sts Om är en linjär bildning från V till W då gäller V W Beis: V V enligt illkor i definitionen V W VSB nmärkning : Villkoret V W är nödändigt men inte tillräckligt illkor för bildningens lineritet Eempel bildningen från R till R som definiers är INE linjär eftersom nmärkning Från definition eller hr i tt om gäller k k k p p k k k p p så Med ndr ord om ektor är en linjär kombintion ektorern p så kn i beräkn med hjälp ärden se följnde eempel p Uppgift Låt r en linjär bildning från R till R som stisfierr och där Kn i med gien informtion beräkn om

4 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr i ii Lösning: i Vi kollr om i kn skri som en linjär kombintion och ger = och = och därför Därför kn i beräkn = ii Den här gången kn i INE skri som en linjär kombintion och eftersom ektionen sknr lösning kotroller själ Därför kn i INE beräkn med hjälp gien informtion MRISVBILDNING är en LINJÄR VBILDNING Låt r en mtris tp m n Fnktionen från R n till R m definierd som där n m R och därmed R klls i år krsbok mtrisbildning Vi kn nge bildningen med m sklär ektioner: m m m n n mn n n n Vrje mtrisbildning är en linjär bildning eftersom följnde gäller enligt lgr för mtrisopertioner och k k Bilder stndrdbsektorer: Låt = r en mtris Hr bilds stndrdbsektorern

5 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr e e e n? Sr: = kolonn = kolonn n Därmed hr i ist tt bilder bsektorer är kolonner i mtrisen Vrje LINJÄR VBILDNING från R n till R m kn nges som en MRISVBILDNING Vi hr ist tt Vrje mtrisbildning är en linjär bildning Bilder bsektorer är kolonner i mtrisen N sk i is omänt påstående tt rje linjärt bildning från R n till R m kn nges som en mtrisbildning där kolonner i är bilder bsektorer e e n Låt r en linjär bildning från R n till R m Låt r bilder stndrdbsektorern e e n Om i bildr mtrisen med som kolloner i ds = då gäller e k e e k e e n k n e n lltså och bildr bsäktorer på smm bilder k k n n Därför för en godtcklig ektor e nen R i hr e n en k nkn och e nen k nkn lltså är = n för ll R s

6 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Därmed hr i ist tt rje tt rje linjärt bildning från R n till R m kn nges som en mtrisbildning där kolonner i är bilder stndrdbsektorern e e n Uppgift Låt r den bildning som definiers där = Låt e och e e e Bestäm e e och Sr: e e = e = = Definition VBILDNINGENS MRIS Låt r en linjär bildning från R n till R m Låt r bilder stndrdbsektorern e e n Då klls mtrisen = eller stndrdmtris för bildningen för bildningens mtris i stndrdbsen Beteckning Den mtris som hör till bildningen betecknr i oftst med [] nmärkning:iktig Ett enkelt sätt tt beis tt en gien fnktion från R n till R m är en linjär bildning är tt nge fnktionen som en mtrisbildning Uppgift Vis tt bildningen från R till R som definiers enligt där är en linjär bildning och bestäm och

7 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Lösning: ds där stndrdmtrisen är och Vi hr därmed beist tt är en linjär bildning eftersom och k k gäller enligt lgr för mtrisopertioner Uppgift Bestäm stndrdmtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i R bilds på sin ortogonl projektion på ektorn ds proj Lösning: Metod Vi bestämmer ett nltiskt ttrck för Därefter skrier i på mtrisformen Denn form beisr tt är linjär och tt stndrdmtrisen ] [ Låt r en ektor i R då gäller 9 proj 9 Därmed hr i beist tt är en linjärbildning och tt 9 ] [ Metod Denn metod gäller om i redn hr ist tt är en linjär opertor Först bestämmer i e e och e som bildr kolonner i stndrdmtrisen ] [ / / / e e

8 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr 8 / / / e e / / / e e Här 9 / / / / / / / / / ] [ = 9 Sr: 9 ] [ SMMNS LINJÄR VBILDNINGR Vi betrktr smmnstt linjär bildningr där betecknr Låt r den mtris tp som hör till en linjär bildning låt idre r den mtris tp som hör till en linjär bildning då är = den bildningens mtris som hör till smmnstt bildningen eftersom = = ssociti lgen för mtrismltipliktion Uppgift Låt = r den mtris som hör till en linjär bildning = r den mtris som hör till en linjär bildning Bestäm mtrisen för smmnstt bildningen Lösning: = = = Uppgift KS 9 Utrck ektor som en linjärkombintion ektorern och b För en linjär bidning med bildningsmtrisen gäller

9 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr och nänd resltt i för tt bestämm Lösning : Sr: b nmärkning : Låt r en bs i rmmet V Låt r en linjär bildning från V till W Eftersom rje ektor i V kn skris som en linjär kombintion bsektorer då gäller Med ndr ord om i et hr bsektorer i V bilds då kn i bestämm bilden rje ektor i V Uppgift Vi betrktr en bildning från R till R där stndrdbsen bilds enligt följnde Koordinter i båd rm räkns med seende på stndrdbser Bestäm b Bestäm c Bestäm bildningens mtris =[] Lösning: Om i betecknr ektorer i stndrdbsen och och då hr i 9

10 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr och därför Sr = b = Sr b = Sr c Sret får i från b eller direkt om i skrier bildern bsektorer som kolonner i mtrisen Uppgift 8 Kräer knskp om iners mtriser Vi betrktr en bildning från R till R med mtrisen Bestäm bildningens mtris om och där Lösning: smt Villkoren och kn i skri som en mtrisektion [ ] [ ] ds kortre B=C Eftersom detb = = är mtrisen B= en inerterbr mtris

11 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Inersen är B = Från B=C hr i = C B = = Vi kn enkelt kontroller resltt: = = OK Sr: bildningens mtris är = = OK nmärkning : Låt r en bs i rmmet V =R n och en bs i rmmet W=R m Låt idre r en bildning från V till W Mtrisen =[] kn i bild genom på följnde tå sätt Metod Vi skrier ektorkolonner bilder bsektorern som kolonner i mtrisen lltså = ] då skrier i som en koordintektorn i f-bsen som i skrier som först kolonn På smm sätt fortsätter i med Uppgift 9 Låt r en bildning från en -dimensionell rm V med bsen till ett - dimensionellrm W med bsen som stisfierr Då är i koordint form

12 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr och därmed = Uppgift KS 8 Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i rmmet bilds på sin ortogonl projektion på linjen t Lösning: Låt = r en godtckligt pnkt i R O och 9 proj som i kn skri på formen = / / / / / / / / 9 / bildningens mtris är = / / / / / / / / 9 / = / / / / / / / / 9 / Uppgift KS 8 Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i rmmet bilds på sin ortogonl projektion på linjen t Lösning: Låt = r en godtckligt pnkt O och

13 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr proj som i kn skri på formen / / / = / / 8 / / 8 / / / bildningens mtris är = / / Uppgift / / 8 / 8 8 / 8 / / KS 9 En bildning definiers genom tt rje ektor i rmden spegls i plnet Bestäm bildningens mtris Lösning: Låt = r en godtckligt pnkt och S= pnktens spegelbild Vi betecknr O N och OS Se bilden nedn Lägg märke till tt pnkten O= ligger i plnet O o P S Då gäller: P proj N N N N N 9 / / /

14 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr O o P 9 / / / 9 N proj O S O OS = som i kn skri på formen = Sr: bildningens mtris är = Uppgift En bildning definiers genom tt rje ektor i rmden projicers ortogonlt inkelrät på plnet Bestäm bildningens mtris Lösning: Låt = r en godtckligt pnkt och P= dess ortogonl projektion på plnet Vi betecknr O N och OP Se bilden nedn Lägg märke till tt pnkten O= ligger i plnet

15 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Då gäller: / / / 9 N N N N proj P N 9 / / / 9 P O P O OP = som i kn skri på formen = Sr: bildningens mtris är = Uppgift En bildning definiers genom tt rje ektor i rmden projicers ortogonlt inkelrät på plnet = ds på - plnet Bestäm bildningens mtris

16 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr b Bestäm bilden ektorn Lösning: Vi kn gör som i föregående ppgift men den här gången är det enklre tt bild tre bsektorer i j och k och skri ders bilder som kolonner i mtrisen Ortogonl projektionen ektorn i på - plnet är smm ektor i för den redn ligger i plnet Därför är mtrisens först kolonn lik med Smm gäller för ektorn j och därför är mtrisens ndr kolonn lik med Ortogonl projektionen ektorn k på - plnet är noll-ektorn och därför är tredje kolonn i lik med Därmed är bildningens mtris = b

17 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Någr eempel i D rmmet: Uppgift Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i plnet bilds på sin ortogonl projektion på linjen Lösning: Först bestämmer i en riktningsektor Vi äljer tå pnkter på linjen en pnkt P = pnkt P = En riktningsektor är P P Låt = r en godtckligt pnkt O och proj 9 som i kn skri på formen / / = / 9 / / / bildningens mtris är = / 9 / Uppgift Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i plnet spegls i linjen Lösning: Först bestämmer i en riktningsektor Vi äljer tå pnkter på linjen en pnkt P = pnkt P = En riktningsektor är P P Låt = r en godtckligt pnkt O och OP proj 9 P O S Från figren ser i tt P OP O och

18 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr OS O P O OP O OP O = 9 9 som i kn skri på formen / / = / / / / bildningens mtris är = / / Uppgift Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i plnet spegls i -eln Lösning: Vi kn gör som i föregående ppgift men den här gången är det enklre tt bild tå bsektorer i och j och skri ders bilder som kolonner i Spegelbilden ektorn i id spegling i -eln är smm ektor i Därför är mtrisens först kolonn lik med Spegelbilden ektorn j id spegling i -eln är j Därför är mtrisens ndr kolonn lik med Därmed är bildningens mtris = Uppgift 8 Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i plnet roters inkeln θ kring origo Lösning: Vi kn med hjälp klssisk geometri is tt rottion är en linjär bildning För tt bestämm stndrdmtrisen bestämmer i bilder bsektorer och skrier de som kolonner i bildningens mtris: Vektorn i cos bilds på sin ektorn sin j bilds på cos se nednstående figr 8

19 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr 9 Därför = cos sin sin cos Uppgift 9 Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i - plnet roters inkeln b Bestäm bilden ektorn Lösning: Stndrdmtrisen för rottionen inkeln är se föregående ppgiften cos sin sin cos ] [ b Sr ] [ b Uppgift Rottionen i D kring -eln Bestäm mtrisen för den linjär bildning som innebär tt rje ektor i R roters inkeln θ kring eln Lösning: För tt bestämm stndrdmtrisen bestämmer i bilder bsektorer och skrier de som kolonner i bildningens mtris: Vektorn i roterr inkeln θ i -plnet och därför bilds på sin cos rit figr Vektorn j roterr inkeln θ i -plnet och därför bilds på cos sin

20 rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr Vektorn k som ligger på -eln roterr inte lls och därför bilds på sig själ Vi skrier bildern bsektorer som kolonner i och får cos sin = sin cos