Polynominterpolation av kontinuerliga

Transkript

1 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med polynom. Vi börjr med tt interpoler genom ett ntl utvld punkter, men konstterr sedn tt sådn polynom oft svänger mer än vi skulle önsk när grdtlen blir hög. Vi övergår därför därefter till tt titt på pproximtioner som bygger på styckvis definierde polynom v lägre grd, vilk oft kn ge så god pproximtion tt vi inte kn se skillnden mot originlfunktionen. Vi visr också tt dett medför tt vi lltid kn pproximer en given kontinuerlig funktion godtyckligt väl med ett polynom (Weierstrss pproximtionssts) som dock normlt inte är interpolernde

2 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner (3) Introduktion Vårt intresse här är hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med polynom. Vi börjr med det enklre problemet tt till ett n + givn tlpr hitt ett polynom v grd n som går genom dess punkter. Ett sådnt polynom klls ett interpolernde polynom och vi härleder Lgrnge s interpoltionsformel för hur det ser ut. Därefter undersöker vi frågn om punktern är givn punkter på grfen till en kontinuerlig funktion, hur väl kommer det interpolernde polynomet tt överensstämm med funktionen melln de gemensmm punktern. Svret är lite nedslående polynom v hög grdtl, vilket krävs då vi hr mång punkter, hr en tendens tt sväng vilt, vilket ger dålig pssning i viss delr. Vi övergår därför till tt istället pproximer med polynom v låg grdtl, men olik sådn på olik delintervll. Dock ihopstt så tt den totl pproximtionen får så god regulritet (kontinuerlig, deriverbr, etc) som vi önskr. Vi tittr närmre både på polygonpproximtioner, som svrr mot polynom v grd ett, och s.k. kubisk splines, som svrr mot tt mn tr tredjegrdspolynom på bitrn. I det senre fllet får vi en två gånger kontinuerligt deriverbr funktion, som kn fås tt pproximer originlfunktionen så väl vi vill. Fktum är tt med hjälp v polygonpproximtionen kn vi vis ett lätt överrsknde resultt: om vi br specificerr hur väl vi vill pproximer en kontinuerlig funktion, så kn vi lltid hitt ett polynom som ligger så när. Dett klls Weierstrss pproximtionssts och det bevis vi nvänder bygger på polygonpproximtioner och det fktum tt bsolutfunktionen fktiskt kn pproximers med polynom godtyckligt väl. Slutligen vrundr vi med frågn: om vi vill h ett interpolernde polynom som nsluter så br som möjligt till funktionen, hur sk vi då välj punktern vi interpolerr genom. Newtons lgoritm för polynominterpoltion Antg tt vi hr n + tlpr (x i, y i ), i = 0,..., n för vilk ll x i är olik. Ett interpolernde polynom p(x) = m x m + m x m x + 0 är då sådnt tt p(x i ) = y i för i = 0,..., n. Utskrivet innebär det tt vi sk lös det linjär ekvtionssystemet m k x k i = y i, i = 0,..., n. k=0 Vi hr här n + ekvtioner och m + obeknt, så om vi vill tt det lltid sk finns en entydigt bestämd lösning måste vi t m = n. För tt demonstrer tt det då lltid finns en entydigt bestämd lösning kn vi sedn hänvis till linjär lgebrn. Emellertid är det inte ett br sätt tt bestämm det interpolernde polynomet genom tt lös ekvtionssystemet. Vi sk därför ge ett lterntivt bevis för tt systemet hr en entydig lösning då m = n. Entydigheten följer på följnde sätt. Antg tt det finns två polynom p och q för vilk värdet i x i är y i för ll i = 0,..., n. Skillnden p q är då ett polynom v grd n som

3 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner (3) hr n + nollställen, vilket är omöjligt enligt fktorstsen om inte p q = 0 överllt, lltså p och q smm polynom. Det återstår tt vis tt det finns en lösning, och vi sk gör det genom tt hitt en lgoritm som konstruerr polynomet. Rätt orgniserd leder denn till ett effektivt sätt tt beräkn det interpolernde polynomet. Vi börjr med n = 0. Då hr vi en punkt (x 0, y 0 ) och vill hitt ett polynom p 0 (x) = 0 sådnt tt p 0 (x 0 ) = y 0. Det följer tt p 0 (x) = y 0 duger. I fllet n = hr vi sedn två punkter (x 0, y 0 ), (x, y ). Vi vet lösningen på dett (en rät linje är bestämd v två punkter), vilket följer v tt vi provr med p (x) = p 0 (x 0 ) + c(x x 0 ). P.g.. sin konstruktion uppfyller den ju p (x 0 ) = y 0 ovsett vd c är, och vi vill välj c så tt p (x ) = y. Vi ser tt det betyder tt c = (y y 0 )/(x x 0 ) och lltså tt p (x) = y 0 + y y 0 x x 0 (x x 0 ). I fllet n = hr vi nu tre punkter (x i, y i ), i = 0,, och vi vet tt polynomet p ovn går genom de två först. För tt hitt ett som går genom ll punktern provr vi därför med p (x) = p (x) + c(x x 0 )(x x ). Per konstruktion går dett genom de två först punktern, och vi kn välj c så tt det går genom den tredje: y = p (x ) + c(x x 0 )(x x ) c = y p (x ) (x x 0 )(x x ). Antg nu tt vi klrr n punkter (x i, y i ), i = 0,..., n med ett polynom p n. Genom tt definierr n p n (x) = p n (x) + c (x x i ) får vi då ett polynom som är sådnt tt p n (x i ) = y i för i = 0,..., n och genom tt välj c lämpligt kn vi även få tt p n (x n ) = y n, precis som ovn. Härigenom hr vi fått en lgoritm för hur vi kn konstruer ett polynom som interpolerr melln givn punkter. Innn vi går vidre sk vi se hur mn kn utför beräkningrn mer effektivt. Polynomet kn skrivs p n (x) = 0 + (x x ) + (x x )(x x ) n (x x )... (x x n ) ] n = 0 + (x x j ), k= k [ k j= där k endst beror v x 0,..., x k. Vi inför därför beteckningen k = [x 0,..., x k ] och hr då tt [x 0,..., x k ] är koefficienten frmför x k i p k (x). i=

4 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 3 (3) Vi sk nu hitt en lgoritm för hur vi kn bestämm k :n effektivt. För det låter vi q(x) vr det interpolernde polynomet till punkern (x, y ),..., (x k, y k ) (q är lltså ett k - grdspolynom som inte behöver gå genom (x 0, y 0 ), men däremot de övrig punktern). Vi hr då tt () p k (x) = q(x) + x x k x k x 0 (q(x) p k (x)). För tt vis det sk vi vis tt högerledet, som är ett polynom v grd högst k, är sådnt tt p(x i ) = y i, i = 0,..., k. Om vi sätter in x = x 0 i högerledet v () får vi q(x 0 ) + x 0 x k x k x 0 (q(x 0 ) p k (x 0 )) = q(x 0 ) + (p k (x 0 ) q(x 0 )) = y 0, eftersom p k (x 0 ) = y 0. För x = x i, i k får vi q(x i ) + x i x k x k x 0 (q(x i ) p k (x i )) = y i + x i x k x k x 0 (y i y i ) = y i. I x = x k får vi uppenbrligen y k eftersom ndr termen i högerledet v () försvinner. Om vi nu jämför koefficientern frmför x k i de två leden ser vi tt Om vi också inför [x 0,..., x k ] = [x,..., x k ] [x 0,..., x k ] x k x 0. [x i ] = y i, i = 0,..., n så får vi härigenom en lgoritm tt beräkn det interpolernde polyomet. För n = 3 ser det ut som x 0 [x 0 ] [x 0, x ] x [x ] [x 0, x, x ] [x, x ] [x 0, x, x, x 3 ]. x [x ] [x, x, x 3 ] [x, x 3 ] x 3 [x 3 ] Uttrycken [x,..., x k ] klls de dividerde differensern och lgoritmen som definierr dem ovn klls Newtons interpoltionsmetod. Det interpolernde polynomet är lltså p n (x) = n k [x,..., x k ]w k (x), w k (x) = (x x j ), k > 0, w 0 (x) =. k=0 j= Exempel Vi sk bestämm det interpolernde polynomet v grd 3 melln punktern (, 3), ( 3, 3), (0, 3), (, 5 ). Tbellen ovn blir då 4 3

5 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 4 (3) Det är den övre digonlen som ger koefficientern, från vilket vi läser v polyonomet som y x p 3 (x) = 3+ (x )+ 3 (x )(x 3 ) (x )(x 3 )(x 0) = 6 (5 0x + 3x x 3 ) Alterntivt kn vi nvänd den omvänd, nedre digonlen i tbellen ovn för tt få en nnn form på smm polynom: p 3 (x) = (x ) 5 3 (x )x (x )x(x 3 ). Vi vslutr dett vsnitt med en lterntiv form på det interpolernde polynomet. För dett börjr vi med tt definier L i (x) = j i x x j x i x j. Vrje L i är då ett polynom v grd n sådnt tt L i (x i ) = medn L i (x j ) = 0 om j i. Det måste därför gäll tt n p n (x) = y i L i (x), k=0 eftersom högerledet är v grd n och ntr värden y i i punkten x = x i. Vidre hr vi tt L i(x j ) = j i (x i x j ), och om vi sätter så ser vi tt L(x) = (x x 0 )(x x )... (x x n ) L i (x) = L(x) L i (x i)(x x i ). Smmnfttr vi dett får vi Lgrnge s interpoltionformel p n (x) = n k=0 y k L(x) L k (x k)(x x k ) för det interpolernde polynomet.

6 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 5 (3) Hur br är pproximtion med interpolernde polynom? Om vi nu hr en funktion f och pproximerr den med ett n:te-grdspolynom p n genom tt bestämm n + punkter x 0 < x <... < x n sådn tt p n (x k ) = f(x k ), hur br blir pproximtionen då? Följnde lemm kn mn se som en generlisering v medelvärdesstsen. Lemm Under förutsättningrn ovn och om f hr en kontinuerlig n+:te derivt, så gäller för vrje x [x 0, x n ] tt det finns ett ξ [x 0, x n ] sådnt tt f(x) p n (x) = (n + )! (x x 0)... (x x n )f (n+) (ξ). Bevis. När n = 0 hr vi p n (x) = f(x 0 ) och påståendet hr då formen f(x) f(x 0 ) = (x x 0 )f (ξ), vilket är medelvärdesstsen. Den llmänn stsen hänförs till dett genom tt vi fixerr x x i för ll i = 0,..., x n och sedn betrktr funktionen φ(t) = f(t) p(t) f(x) p(x) w(t) där w(t) = (t x 0 )... (t x n ). w(x) Vi ser då tt φ(t) = 0 för t = x i, i = 0,..., n smt för t = x. Vi hr då en indelning v [x 0, x n ] i n+ intervller sådn tt φ = 0 i vrje delintervlls ändpunkt. I vrje delintervll finns därför minst en punkt där φ = 0. Dett ger oss n ny delintervll där φ = 0 i ll ändpunkter. I vrje finns därför minst en punkt där φ = 0. Fortsätter vi på dett sätt får vi till slut tt det måste finns en punkt ξ sådn tt φ (n+) (ξ) = 0. Men p n är ett n:te-grdspolynom, så p (n+) = 0, och w är ett n + -polynom med högstgrdskoefficient ett, så w (n+) (x) = (n + )!. Ekvtionen φ (n+) (ξ) = 0 svrr därför mot f (n+) (ξ) = f(x) p n(x) w(x) (n + )!, vilket är påståendet vi skulle bevis, eftersom stsen är självklr då x = x i. Exempel Låt f(x) = sin x och del in intervllet [0, π ] i 9 lik stor delintervll och definier p 9 som det interpolernde polynomet definiert v indelningspunktern. Låt h = π/0 = vr intervllängdern. För polynomet w(x) = (x x 0 )... (x x 9 ) gäller då tt () w(x) h h 9! h 3h... 9h = 4 h0. Om nämligen x ligger i intervllet [x i, x i ] så gäller för ndrgrdspolynomet (x x i )(x x i ) tt det är som störst då x är mittpunkten och uttrycket blir då (h/). Avståndet till näst delningspunkt måste sedn vr mindre än h, till den följnde mindre än 3h etc. Det mest extrem värdet får vi om x ligger i först eller sist indelningsintervllet, då vståndet till det som är längst ifrån är 9h. Dett visr () Ur lemmt ovn får vi nu tt sin x p 9 (x) 0! ( ) 9! 4 h0 = 40 h Vi ser lltså tt polynomet ger ett närmevärde på sinusfunktionen för ll x i dett intervll som hr ett fel som är mindre än enheter i den nionde decimlen.

7 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 6 (3) Dock är exemplet inte representtivt för vd som händer när vi pproximerr med interpolernde polynom. Betrkt följnde exempel som innehåller en nnn överrskning också. Exempel 3 Låt f(x) = /( + x ), 5 x 5. Låt p n vr det n:tegrdspolynom som interpolerr genom n + ekvidistnt liggnde indelningspunkter v intervllet. y x I figuren ovn viss grfen för f som den svrt kurvn och det p 5 som definiers v ekvidistnt punkter i blått. Vi ser tt trots tt det interpolernde polynomet går genom 6 punkter på intervllet [ 5, 5], så pssr den inte speciellt br när vi närmr oss ändpunktern. Fktum är tt den svänger så mycket i kntern tt mn kn vis tt mx f(x) p n(x) då n. x 5 Dessutom pssr det interpolernde polynomet inte speciellt br i symmetripunkten x = 0, men det vhjälper vi enkelt genom tt t ett udd ntl indelningspunkter istället. Det vi ser i exemplet är inte ovnligt interpolernde polynom v hög grd vill gärn osciller mycket och kn därför ge dålig noggrnnhet vid interpoltion, åtminstone när ändpunktern. Dett klls Runges fenomen, och är en motsvrighet till Gibb s fenomen inom teorin för Fourierserier. Av det skälet nvänder mn normlt inte interpolernde polynom för tt pproximer en given funktion, utn splines, vilk är styckvis polynom. Vi återkommer till det nedn. Anmärkning Den som upptäckte fenoment ovn vr Weierstrss elev Crl Runge (856-97) som 90 visde tt fmiljen v interpolernde polynom i exemplet är obegränsd då c < x < 5 där c = Förvånnde nog är en del v problemet tt vi nvänder ekvidistnt indelningspunkter v intervllet i exemplet. Hde vi nvänt s.k. Tjebysjovnoder x i = + b + b cos (i )π, i =,..., n n

8 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 7 (3) istället får vi en bättre pssning. Den nges i rött i figuren ovn, också med 6 indelningspunkter. I ett vsnitt längre frm i dett kpitel sk vi diskuter vrifrån dett punktvl kommer. Innn dess sk vi diskuter interpoltion med splines, och då bl.. se tt det fktiskt lltid finns ett polynom som ligger så när en kontinuerlig funktion som vi vill men dess grf sk då inte nödvändigtvis gå genom punkter på funktionsgrfen. Polygoninterpoltion och Weierstrss pproximtionssts Att nvänd interpolernde polynom är normlt inte bäst sättet tt skp en nvändbr pproximtion v en given funktion. Ett bättre sätt är tt nvänd de givn funktionsvärden till tt konstruer pproximtioner i kortre segment. Antg som tidigre tt vi hr n + punkter (x i, y i ), i = 0,..., n och vill hitt en funktion vrs grf går genom dess punkter. Den knske enklste pproximtionen är då tt förbind närliggnde punkter med rät linjer, vilket ger en polygonkurv (vi kllr en sådn funktion en polygonfunktion). En sådn polygonfunktion s(x) kn nturligtvis beskrivs genom tt vi ger dess uttryck på vrje delintervll, nämligen y s(x) = y i + y i y i x i x i (x x i ), x [x i, x i ], men det kn också skrivs som en summ. För dett inför vi först funktionen { (x) + = x + x x x 0 = 0 x 0. Definier nu s(x) = c 0 + n c j (x x j ) +. j= x 0 x x x 3... x n x Vi vill här välj c 0,..., c n så tt s(x i ) = y i. Det ger oss ekvtionssystemet k c 0 + c j (x k x j ) = y k, k = 0,,..., n. j= Dett är n + ekvtioner i n + obeknt och för tt se tt det är entydigt lösbrt konstruerr vi lösningen som följer. Skriver vi ut de två först ekvtionern hr vi c 0 = y 0, c 0 + c (x x 0 ) = y c = y y 0 x x 0

9 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 8 (3) vilket ger tt i intervllet [x 0, x ] är funktionen lik med Därefter får vi s(x) = y 0 + y y 0 x x 0 (x x 0 ). c 0 + c (x x 0 ) + c (x x ) = y och stoppr vi in uttrycket för y ovn blir dett y + (c + c )(x x ) = y c + c = y y x x. För x i intervllet [x, x ] får vi därför tt s(x) = c 0 + c (x x 0 ) + c (x x ) = c 0 + c (x x 0 ) + (c + c )(x x ) = y + y y x x (x x ). Fortsätter vi på det här sättet ser vi tt konstntern c i rekursivt kn löss ut och tt vi får tt s(x) beskriver precis polygonfunktionen ovn. Anmärkning Vi kn lterntivt skriv polygonfunktionen som n s(x) = 0 + x + c j (x x j ) +. Vi betrktr ju br x [x 0, x n ] och då är ändå (x x 0 ) + = x x 0 och vi skriver därför om c 0 + c (x x 0 ) + som 0 + x. Sedn indexerr vi om de övrig koefficientern. Innn vi går vidre, sk vi se tt tt vi nu nästn hr hittt ett bevis för följnde sts, som vi knske inte helt väntr oss: Sts (Weierstrss pproximtionssts) Låt f vr en kontinuerlig funktion på ett kompkt intervll [, b]. Till vrje ɛ > 0 finns då ett polynom p sådnt tt f(x) p(x) < ɛ j= för ll x [, b]. Bevis (Lesbesgue). Det här beviset kräver beknskp med likformig kontinuitet och konvergens. Vi börjr med tt konstter tt eftersom en kontinuerlig funktion på ett kompkt område är likformigt kontinuerlig, kn vi till vrje ɛ > 0 hitt en polygonpproximtion s(x) sådn tt f(x) s(x) < ɛ då x b. Denn innehåller i sin tur br ett ntl bsolutbelopp som inte är polynom. Om vi kn vis tt vi kn pproximer x likformigt med polynom, så hr vi då ett bevis för stsen. Det räcker om vi kn gör det på ett symmetriskt intervll, som vi kn t som [, ]. För pproximtionen börjr vi med Mclurinutvecklingen x x = x Ersätter vi x med t ser vi tt t = ( t ) 8 ( t )... och det är en likformig konvergens i [, ]. Vi kn därför pproximer t med polynom till önskd noggrnnhet.

10 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 9 (3) Kubisk splines En polygonfunktion är knske inte en optiml beskrivning v en reguljär funktion, eftersom den normlt inte är deriverbr i indelningspunktern. Oft vill vi istället h en funktion som är mer reguljär även i indelningspunktern. Vi definierr därför en spline v ordning k som en funktion på formen s(x) = k n j x j + c j (x x j ) k +. j=0 j= En sådn funktion hr k kontinuerlig derivtor i intervllet [x 0, x n ]. I vrje intervll [x i, x i ] består den v ett k:tegrdspolynom. Oft nvänder mn sig v k = 3, s.k. kubisk splines. Exempel 4 Låt s(x) = 3(x ) 3 + (x 3) 3 +. Utskrivet blir dett 0 då x s(x) = 3(x ) 3 då x 3 3(x ) 3 (x 3) 3 då x 3 och vi ser då lätt tt s (x) och s (x) båd är kontinuerlig i x =. För tt bestämm koefficientern så tt s(x i ) = y i, i = 0,..., n, så hr vi n+ ekvtioner k i j x j i + c j (x i x j ) k + = y(x i ) j=0 j= men n + k + = n + k obeknt. Vi måste därför lägg på någr ytterligre villkor, nämligen k stycken, för tt kunn h en entydig lösning. Det finns olik sätt tt lägg på de ytterligre villkoren. Om vi håller oss till kubisk splines så är ett villkor som är nturligt ur ett interpoltionssyfte tt kräv tt s (x 0 ) = s (x n ) = 0. Det ger två ytterligre villkor på konstntern, och därmed hr vi lik mång obeknt som ekvtioner och kn lltså hopps på en entydigt bestämd lösning. En kubisk spline med dess extrvillkor klls en nturlig kubisk spline. Anmärkning Vi sk inte diskuter hur mn effektivt bestämmer en interpolernde spline. Det finns lgoritmer liknnde Newtons interpoltionsmetod ovn som finns inbyggd i nästn ll dtorprogrm som mn kn tänks nvänd för denn typ v rbete. Figuren nedn visr hur en nturlig kubisk spline med indelningspunkter pssr till vår tidigre funktion f(x) = /( + x ). Noter tt vi vlt ett udd ntl indelningspunkter så tt vi får med noll, vilket uppenbrligen förbättrr pssningen när symmetrixeln jämfört med tidigre (där vi nvände ett jämnt ntl indelningspunkter och därför hr svårt tt träff punkten (0, )).

11 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 0 (3) y x 0. Termen spline, som är hämtd från engelskn, syftr på en sorts elstisk linjl som nvändes när mn gjorde ritningr till meknisk konstruktioner. Idén vr tt förbind ett ntl uträknde punkter med en så rimlig kurv som möjligt. De nvändes t.ex. när mn gjorde teknisk konstruktionsritningr inom skeppsbygge, och sedn både inom flygplnsindustrin och bilindustrin, och nvändes när mn förstorde upp små modeller till nturlig storlek. Det kn noters tt de personer som strtde utvecklingen v mtemtiken kring splines i mång fll vr nställd inom just bilindustrin (blnd nnt Pierre Bézier vid Renult och Crl de Boor vid GM). Vrför är det då som splines grnterr en br pssning för ögt? En stor del ligger i följnde observtion Lemm Om f är två gånger kontinuerligt deriverbr på ett intervll (, b) och s är en interpolernde nturlig kubisk spline med indelningspunkter i intervllet som pproximerr f där, så gäller tt s (x) dx Bevis. Definier φ(x) = f(x) s(x). Då gäller tt f (x) dx = Här gäller nu tt s (x) + φ (x) dx = s (x)φ (x)dx = [s (x)φ (x)] b f (x) dx. ( s (x) + φ (x) + s (x)φ (x))dx. s (x)φ (x)dx = s (x)φ (x)dx,

12 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner (3) eftersom s () = s (b) = 0. Men s (x) är konstnt på vrje indelningsintervll, så vi hr tt s (x)φ (x)dx = xi c i φ (x)dx = c i (φ(x i ) φ(x i ) = 0 i x i i eftersom φ(x i ) = 0 för ll i. Alltså hr vi tt f (x) dx = ( s (x) + φ (x) )dx s (x) dx. Tjebysjovpolynomen Vi sk nu titt på en speciellt typ v polynom med mång intressnt egenskper. De definiers genom tt cos nθ = T n (cos θ). T.ex. gäller tt T 0 (x) =, eftersom cos 0 =, och T (x) = x. Vidre gäller tt cos θ = cos θ, vilket betyder tt T (x) = x. Att det finns sådn polynom för ll positiv heltl n, d.v.s. tt vi kn skriv cos nθ som ett n-tegrdspolynom i cos θ för ll heltl n, följer v tt vi kombinerr de Moivres formel cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ) n med binomilteoremet. Tr vi reldelen v det så uppkomn uttrycket får vi tt ( ) ( ) n n cos nθ = cos n θ cos n sin θ + cos n 4 θ sin 4 θ Om vi slutligen nvänder den trigonometrisk ettn får vi påståendet. Lite räknnde visr tt T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x +, T 5 (x) = 6x 5 0x 3 + 5x,... Polynomen T n (x) klls Tjebysjovpolynomen efter den ryske mtemtikern Pfnuty Tjebysjov. En viktig observtion är tt högstgrdskoefficienten verkr vr n från dess exempel. Om vi nvänder uttrycket ovn och tänker efter vr det dyker upp cos n θ, så ser vi tt den smlde koefficienten är + ( ) n + ( ) n +... = 4 [n/] k=0 ( ) n k (där [n/] betecknr heltlsdelen v n/). Men summn v de jämn binomilkoefficientern är lik med summn v de udd binomilkoefficientern (utveckl ( ) n = 0 enligt binomilstsen) och summn v ll binomilkoefficienter är n (utveckl ( + ) n enligt binomilstsen). Alltså är högstgrdskoefficienten lik med n.

13 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner (3) En behändig metod tt beräkn Tjebysjovpolynomen på får vi ur formeln cos(n + )θ + cos(n )θ = cos θ cos nθ, som visr tt T n+ (x) = xt n (x) T n (x), n =, 3,.... Vi kn nvänd den till tt t.ex. rit T 0 (x), vilket är gjort i figuren till höger. Vidre hr vi tt cos nθ = 0 precis då nθ = π/ + kπ, lltså då (k + )π θ =. n Deriverr vi får vi tt n sin nθ = T n(cos θ)( sin θ), y x dvs T n(cos θ) = 0 precis då θ = kπ/n. Värden i de punktern är T n (cos(kπ/n)) = cos(kπ) = ( ) k. Om vi översätter denn nlys till egenskper hos Tjebysjovpolynomen får vi följnde Sts Tjebysjovpolynomen T n (x) är definierde i [, ] och hr för n > 0 enkl nollställen i punktern x k = cos( k + π), k = 0,,,..., n. n Dess lokl extrempunkter är ξ k = cos( kπ n ), k = 0,,..., n och det gäller tt T n (ξ k ) = ( ) k. Den egenskp hos Tjebysjov-polynomen som vi är intresserde v ges i näst sts. Sts 3 För ll polynom på formen (n > 0) gäller tt Q(x) = x n + n x n x + 0 mx Q(x) n, x där den nedre gränsen nts v polynomet n T n (x). Bevis. Skriv ˆT n (x) = n T n (x) och ntg tt det finns något polynom Q med högstgrdskoefficient ett som uppfyller mx [,] Q(x) < mx [,] ˆT (x). I del lokl extrempunktern ξ k gäller då tt Q(ξ k ) < ˆT (ξ k ) när k är jämn och den omvänd olikheten när k är udd. Det betyder tt skillnden ˆT n (x) Q(x) är noll i någon punkt i vrt ett ett v intervllen (ξ 0, ξ ), (ξ, ξ ),..., (ξ n, ξ n ), och det måste därför h n olik nollställen. Men skillnden ˆT n (x) Q(x) är ett polynom v grd högst n, så det är omöjligt.

14 Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner 3 (3) Vd sk vi nu h dett till? Låt f vr en kontinuerlig funktion definierd på [, ]. Vi vet från ovn tt om p n är det interpolernde polynomet genom punktern (x i, f(x i )), i = 0,..., n, så gäller tt f(x) p n (x) M w(x), M = mx f(x) (n + )! [,] och w(x) = (x x 0 )(x x )... (x x n ). Om vi därför vill h en så br pproximtion som möjligt sk vi välj punktern x i så tt mx [,] w(x) är så liten som möjligt. Men w(x) är ett n + -grdspolynom med högstgrdskoefficient lik med ett, och då säger stsen ovn tt mx [,] w(x) är som minst om vi väljer vår interpoltionspunkter så tt x k = cos( k + π), k = 0,..., n. n Om intervllet inte är [, ] utn [, b] tr vi nturligtvis punktern (+b)/+( b)x k /. Men tt välj dess Tjebysjovpunkter som interpoltionspunkter är inte llen sliggörnde. Det är lltjämt så tt ovsett vilken svit v interpoltionspunkter vi väljer, så finns det lltid någon kontinuerlig funktion som hr en obegränsd följd v interpoltionspolynom. Som illustrtion på vd mn kn nvänd Chebyshevpolynomen till, definier så tt T n(x) = T n (x ), 0 x, T 0 (x) =, T (x) = x, T (x) = 8x 8x +, T 3 (x) = 3x 3 48x + 8x, T 4 (x) = 8x 4 56x x 3x +. Exempel 5 Vi vill finn en polynomiell pproximtion till e x på intervllet 0 x med en noggrnnhet på 0.0. Mclurinutvecklingen ge e x = x + x x3 6 + x4 4 + R (x), där, eftersom serien är lternernde och vtgnde, R (x) x 5 /0 /0 < 0.0. Vi vill se om vi kn sänk grdtlet på polynomet under bibehållnde v den föreskrivn noggrnnheten. Eftersom x 4 = 8 (56x3 60x + 3x ) + 8 T 4 (x)), får vi tt e x = x x x3 + R (x) där R (x) R (x) T 4 (x) < På smm sätt kn vi eliminer x 3 -termen m.h.. T4 (x). Dett ger e x = x x + R 3 (x) där R 3 (x) < 0.0 < 0.0