Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 3 och 4 HT07
|
|
- Jakob Hermansson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsningsmnus i mtemtisk sttistik för lntmätre, veck 3 och 4 HT07 Bengt Ringnér September 5, 2007 Inledning Dett är preliminärt undervisningsmteril. Synpunkter är välkomn. 2 Stokstisk vribler En stokstisk vribel är ett slumpmässigt försök där resulttet är ett eller fler tl. Iblnd, t. ex. när mn räknr kombintorik, är det lämpligt tt betrkt den som en funktion från ett utfllsrum till tllinjen. Om försöket går ut på tt räkn något, klls vribeln diskret, medn den klls kontinuerlig om mn mäter något vrvid resulttet blir ett reellt tl. 2. Diskret stokstisk vribler 2.. Likformig fördelning Här hr ll värden smm snnolikhet. Exempel är tärningskst. Mn skriver P(X = ) = /6, P(X = 2) = /6, etc., där X betecknr resulttet v försöket tt kst en tärning och räkn ntlet prickr Binomilfördelning Här utgår mn från ett försök som kn utfll på två sätt, kn uppreps fler gånger under smm betingelser och
2 där upprepningrn är oberoende v vrndr. Mn gör ett givet ntl, n, försök som hr en snnolikhet p tt utfll på en sättet och räknr ntlet sådn utfll. Det kn vr ntlet dgr mn får punktering när mn cyklr till skoln, ntlet sexor vid tärningskst eller ntlet kron vid slntsingling. Mn brukr benämn utfllen som lyckde och misslyckde eller 0 och och räkn ntlet lyckde resp. ntlet ettor. Mn sätter q = p. För tt beräkn snnolikheter börjr vi med specilfllet tt n = 3. Vi hr då följnde möjligheter: X = 0 X = X = 2 X = snnolikhet qqq 00 pqq 00 qpq 00 qqp 0 ppq 0 pqp 0 qpp ppp. Dett ger, eftersom det inte spelr någon roll i vilken ordning p och q multiplicers ihop, P(X = 0) = q 3, P(X = ) = 3pq 2, P(X = 2) = 3p 2 q, P(X = 3) = p 3. Den llmänn formeln är där och n! = P(X = k) = ( ) n = k ( ) n p k q n k k n! (n k)!k! { 2... n om n =,2,... om n = 0 Uttrycket n över k får mn frm med kombintorik. Det är lik med ntlet sätt tt tt välj ut k pltser tt sätt ettorn på. Välj först en plts. Dett kn görs på n sätt. Till vrt och ett v dess finns n sätt tt välj plts näst gång. Antlet kombintioner är nu n(n ), men eftersom 2
3 det inte spelr någon roll vilken ordning pltsern väljs, kn 2 pltser väljs på n(n )/2 sätt. Alltså ( ) ( ) n n n(n ) n! = n, = = 2 2 (n 2)!2!. Genom tt fortsätt i smm stil får vi ( ) n n(n )(n 2) = = n! (n 3)!3!, osv. Slutligen gäller ( ) n = 0 ( ) n =, n eftersom mn br hr en möjlighet. Benämningen binomilfördelning kommer från binomilteoremet i mtemtiken; ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2, osv. och llmänt (+b) n = n +n n b+ ( + b) 3 = b + 3b 2 + b 3, ( + b) 4 = b b 2 + 4b 3 + b 4, n(n ) 2 = n 2 b 2 n! (n k)!k! n k b k +...+b n = n ( ) n n k b k, k som mn får frm just genom tt räkn ntlet ordningsföljder när mn multiplicerr ihop n k stycken :n och k stycken b:n. I specilfllet = q och b = p får vi n P(X = k) = n ( ) n p k q n k = (q + p) n = n =, k så summn v snnolikhetern för ll möjlig utfll är ett, vilket den måste vr. Slutligen en inledning till begreppet väntevärde, eller medelvärde i det lång loppet. Vid till exempel tärningskst säger teorin tt mn i det lång loppet kommer tt få sex i /6 v fllen. I ett mindre ntl försök brukr det bli ungefär så; om mn gör t. ex. 60 kst är det rimligt tt giss på 3
4 0 sexor. Dett klls väntevärde. Väntevärdet för en binomilfördelning är tydligen np. I ett senre kpitel skll vi inför en mtemtisk definition v väntevärdet tillsmmns med vrins och stndrdvvikelse som hr tt gör med hur mycket utfllet brukr vvik från väntevärdet, ntingen dett sker uppåt eller nedåt Poissonfördelning Denn nvänds i situtioner som kn tänks beskrivs v en binomilfördelning, men där br väntevärdet, dvs. np, är känt och inte n och p seprt, mn vet br tt n är mycket stort. Den kn också nvänds som pproximtion v binomilfördelningen. Som exempel kn vi t trfikräkning; under en tiominutersperiod räknr mn ntlet fordon som psserr en given punkt. Dett är den stokstisk vribeln X. Trfikintensiteten nts vr 2.45 fordon per minut, dvs i det lång loppet kommer det i medeltl 2.45 fordon per minut. Väntevärdet för ntlet fordon under tiominutersperioden är lltså Eftersom trfikintensiteten är gnsk låg behöver bilrn inte vänt på vrndr och mn kn resoner så här: Det finns ett mycket stort ntl bilr som vr och en hr liten snnolikhet tt psser under mätperioden. Eftersom trfiken är gles kn mn räkn med tt de är oberoende v vrndr. Dett skulle innebär tt X är binomilfördeld med np = µ = 24.5, dvs. p = µ/n och q = µ/n. Låt nu n gå mot oändligheten och utnyttj stndrdgränsvärden och lim n ( + n) n = e ( lim + x n = e n n) x, (som blnd nnt nvänds vid ränteberäkningr). Dett ger ( P(X = 0) = lim µ n = e n n) µ, ( P(X = ) = lim nµ µ ) n = µe µ, n n }{{ n } ( µ/n) n /( µ/n) }{{} osv. Vi fördjupr oss inte i dett utn skriver upp den llmänn formeln P(X = k) = e µµk k!, k = 0,,2,.... 4
5 Noter också tt P(X = k) = e µµk k! = enligt någon Mc-Lurin-utveckling, som mn kn sväv i lycklig okunnighet om i denn kurs. I situtioner som den ovn hr mn exkt poissonfördelning. Men resonemnget ger också tt mn kn pproximer binomilfördelningen med poissonfördelningen om n är någorlund stort i förhållnde till p. Dett kn underlätt beräkningr. Mn hr kommit frm till tt pproximtionen är hyfsd (det beror nturligtvis på vilken noggrnnhet mn vill h) om p Geometrisk fördelning Mn utgår från smm försök som i binomilfördelningen, men räknr ntlet nollor innn mn får en ett. Till exempel ntlet dgr i sträck mn kn cykl till skoln utn tt få punktering. Nu gäller P(X = 0) = p, P(X = ) = qp, P(X = 2) = q 2 p, etc., dvs. P(X = k) = q k p, k = 0,,2,.... Om mn räknr med det sist försöket också, klls det en ffg-fördelning efter för först gången. Om Y = X +, är lltså Y ffg-fördeld och P(Y = ) = p, P(Y = 2) = qp, P(Y = 3) = q 2 p, etc., dvs. P(Y = k) = q k p, k =,2,3,.... Som kontroll konstterr vi tt P(X = k) = P(Y = k) = k= enligt formeln för geometrisk seriens summ. Snnolikheten är lltså noll tt mn ldrig kommer till slut. Vi går inte in på filosofisk resonemng kring dett, utn konstterr br tt i prktiken kn mn lugnt räkn med tt förr eller senre få punktering (skulle jg h fel på den punkten kommer det ldrig tt märks). 5
6 Slutligen något om väntevärdet. Om snnolikheten tt få punktering är, säg, 0., kommer mn i det lång loppet tt få punktering en tiondel v dgrn, vilket är smm sk som tt det är i medeltl tio dgr melln punkteringrn. Enligt dett resonemng är väntevärdet för en ffgfördelning /p, och /p = q/p för en geometrisk, vilket kommer tt vis sig stämm med teorin senre Allmänt Funktionen som ger P(X = k) klls snnolikhetsfuntionen, på engelsk probbility mss function, pmf, i Mtlb pdf, för den stokstisk vribeln X och beteckns p X. I de olik fllen ovn hr vi { /6 om k =,2,3,4,5,6 p X (k) = 0 nnrs, p X (k) = ( ) n p k q n k, k k = 0,,...,n, p X (k) = e µµk k!, k = 0,,2,..., och så vidre. Det är underförstått tt funktionen är noll för de k-värden som inte finns med i formeln. Vilken fördelning som mn nvänder beror på smmnhnget. Det finns fler snnolikhetsfunktioner än de som gåtts igenom ovn. Mn kn h vilken funktion som helst br den uppfyller 0 p X (k) för ll k, och p X(k) =. Det vnlig är tt mn med teoretisk resonemng kommer frm till en formel som innehåller okänd prmetrr, t ex µ. Metoder tt sktt prmetrrn från dt och metoder tt kontroller tt funktionsuttrycket är förenligt med observtioner kommer i ndr delen v kursen. 2.2 Kontinuerlig stokstisk vribler Här kn mn inte tl om snnolikheten för enskild värden; snnolikheten är noll tt få , , π eller 2 med ll decimler rätt i ll oändlighet. Däremot kn mn tl om snnolikheten tt hmn i ett intervll melln och b. 6
7 2.2. Likformig fördelning, eller rektngelfördelning Istället för tt kst tärning kn vi tänk oss tt snurr en penn och noter vinkeln, mätt i grder, när den stnnr. Om mn hr br snurr på pennn från börjn är det rimlig tt ll värden melln 0 och 360 är lik snnolik i den meningen tt intervllen 0, 2,..., hr snnolikhet /360. Motsvrnde gäller om mn delr in i tiondels grd, hundrdels grd, osv. Alltså P( < X < b) = b 360. Medelvärdet i det lång loppet, dvs. väntevärdet, är Exponentilfördelning Dett är den kontinuerlig motsvrigheten till den geometrisk fördelningen; i vrje ögonblick kn någonting inträff oberoende v hur lång tid som gått, och mn registrerr tiden tills dett sker. Om mn räknr tiden i hel dgr, hel timmr, hel minuter, etc, får mn en geometrisk fördelning, om mn inte vrundr blir det en exponentilfördelning. Om snnolikheten för händelsen (t ex punktering) i ett litet intervll är λ gånger intervllängden, kn mn efter en del gränsövergångr komm frm till P( < X < b) = b λe λx dx. Dett kn mn jämför med geometrisk fördelningens P( X b) = b q k p om mn tänker på tt q k = e k log q, vrvid log q, som är negtivt, svrr mot λ och p svrr mot λdx. Mn brukr inför µ = /λ, vrvid P( < X < b) = b k= µ e x/µ dx, och µ är väntevärdet v X, vilket verkr rimligt om mn tänker på tt väntevärdet v en ffgfördelning är /p. 7
8 2.2.3 Normlfördelning Kommer i särskilt vsnitt senre. Här gäller Allmänt P( < X < b) = b 2πσ e (x µ)2 /2σ 2 dx. Integrnden klls (snnolikhets)täthetsfunktion, på enelsk probbility density function, pdf, och beteckns med f X. I fllet likformig fördelning melln A och B gäller så P( < X < b) = b b B A = f X (x) = För exponentilfördelning är B A dx, { B A om A x B 0 nnrs. f X (x) = µ e x/µ, x > 0, underförstått tt f X är noll för negtiv x, lterntivt tt den br är definierd för värden som X kn nt, dvs positiv. Som täthetsfunktion kn mn h vilken funktion som helst som uppfyller f X (x) 0 för ll x, och f X(x)dx =, lterntivt B A f X(x)dx = om X br kn nt värden melln A och B. Observer tt funktionen mycket väl kn vr större än ett. Det bör också påpeks tt den skll h någon egenskp, t ex kontinuitet, som gör tt den är integrerbr. 2.3 Fördelningsfunktion Snnolikhetsfunktionen och täthetsfunktionen tlr om hur den totl snnolikheten ett fördelr sig på enskild tl, resp. enligt ren under funktionskurvn. Ett nnt sätt tt nge fördelningen är tt nvänd fördelningsfunktionen. Tg som exempel exponentilfördelningen. P( < X < b) = b µ e x/µ dx = [ e x/µ] b = e /µ e b/µ 8
9 enligt den vnlig metoden med primitiv funktion. Primitiv funktion som brukr beteckns med F i mtemtiken är bestämd så när som på en integrtionskonstnt; vi hde lik gärn kunnt nvänd t ex 8 e x/µ. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokstisk vribel är ett specilfll v primitiv funktion, nämligen Dett ger F X (x) = För exponentilfördelningen får vi x f X (s)ds. P( < X < b) = F X (b) F X (), 0 P(X < b) = F X (b) P(X > ) = F X (). F X (x) = 0ds + }{{} kn hopps över Nu blir snnolikhetsberäkningen P( < X < b) = x 0 b µ es/µ ds = e x/µ. µ e x/µ dx = = F X (b) F X () = ( e b/µ ) ( e /µ ) = e /µ e b/µ. Eftersom F X är ett vl v primitiv funktion till f X gäller nturligtvis f X (x) = F X (x). För normlfördelningen kn mn inte räkn ut primitiv funktion nlytiskt, utn dett måste görs numeriskt. I boken tbell finns dett i fllet µ = 0 och σ =. I ett senre vsnitt skll vi gå igenom hur mn kn få övrig fll ur dett. Om den stokstisk vribeln är kontinuerlig spelr det ingen roll om mn hr < eller i snnolikheten i vänsterledet. Är den diskret blir det däremot skillnd: P( X b) = b P(X = k) = k= b p X (k) p X (k), 9
10 P( < X b) = b k=+ P(X = k) = b p X (k) p X (k), osv. För tt räkn ut dett utn tt behöv räkn ut vrje term och summer, kn mn nvänd fördelningsfunktionen, som, när x är heltl, ges v x F X (x) = p X (k). För binomilfördelningen och poissonfördelningen finns den i tbell 8 resp 7. För geometrisk fördelning får mn nvänd formeln för geometrisk summ. I prktiken är nturligtvis och b heltl. Skulle mn behöv räkn ut snnolikheten tt X ligger melln t ex 3.4 och 2.5, utnyttjr mn tt dett smm sk som 4 < X 2. Dett innebär tt den llmänn definitionen v fördelningsfunktionen är x F X (x) = p X (k) där x betecknr heltlsdelen v x. Slutligen bör det nämns tt det finns stokstisk vribler som är vrken diskret eller kontinuerlig. Den llmänn definitionen v fördelningsfunktion är F X (x) = P(X x) och definitionern ovn är specilfll v dett. Eftersom händelsern X och < X b inte kn inträff smtidigt gäller P(X b) = P(X eller < X b) = P(X ) + P( < X b). Dett ger P( < X b) = F X (b) F X (). Eftersom fördelningsfunktionen är definierd som en snnolikhet hr den egenskpern den ligger melln 0 och, och den är växnde. I specilfllen ovn ser mn tt om x går mot eller går F X (x) mot resp. 0, och 0
11 om F X hoppr, som när X är diskret och x psserr heltl, är det det större värdet som gäller i hoppunkten. För tt bevis dett llmänt skulle mn behöv definier snnolikhetsbegreppet lite noggrnnre än vd vi hr gjort. Omvänt kn mn med en hel del djupsinnig mtemtik bevis tt vrje funktion med de fyr egenskpern ovn kn nvänds som fördelningsfunktion, men det går vi inte in på här. 2.4 Smmnfttning För diskret vribler hr mn snnolikhetsfunktionen p X (k) = P(X = k). För kontinuerlig vribler hr mn täthetsfunktionen, sådn tt P( < X < b) P( < X b) b = f P( X < b) X (x)dx. P( X b) Observer P(X = ) = 0. Snnolikheter för intervll kn mn ntingen räkn ut mnuellt eller få ur fördelningsfunktionen. I det kontinuerlig fllet hr mn P( < X < b) = F X (b) F X (), och sträng eller osträng olikhet spelr ingen roll, medn i det diskret gäller P( < X b) = F X (b) F X (). Här får mn gör en omskrivning om mn hr ndr olikheter. Till exempel P(3 < X < 7) = P(3 < X 6) = P(4 X < 7) = P(4 X 6) = F X (6) F X (3). En hel del informtion finns i formelsmlingen.
12 2.5 Flerdimensionell stokstisk vribler En tvådimensionell stokstisk vribel är i prktiken smm sk som två stokstisk vribler som hör ihop. Till exempel kn mn mät längd och bredd på smm objekt. Om vriblern heter X och Y, så ger (X, Y ) ett tlpr eller koordintern för en punkt i plnet. Ett exempel på dett är mötesproblemet i vsnitt 2.5 veck Diskret fllet Dett fll lär mn sig bäst genom tt räkn övningsuppgifter. Dess kommer emellertid inte förrän senre i kursen. Snnolikheten tt X = j och Y = k skrivs P(X = j,y = k) och funktionen p X,Y som ges v p X,Y (j,k) = P(X = j, Y = k) klls snnolikhetsfunktion. Sedn räknr mn någr påhittde exempel där mn inte hr fler fll än tt de kn sätts upp i en tbell, t ex: X\ Y Summn v ll värden är. Snnolikhetsfördelningen för X ges v de tre rdsummorn och snnolikhetsfördelningen för Y ges v de fyr kolonnsummorn, eftersom P(X = j) = P(X = j, Y = vd som helst) = = P(X = j, Y = 0)+P(X = j, Y = )+P(X = j, Y = 2)+P(X = j, Y = 3) och motsvrnde för Y. Därför klls dess fördelningr mrginlfördelningrn. Allmänt hr vi p X (j) = P(X = j) = P(X = j, Y = k) = p X,Y (j,k) och motsvrnde för Y. Mn kn också räkn ut snnolikheter för X + Y. I exemplet ovn är t ex P(X + Y 4) = =
13 och P(X + Y = 4) = = 0.8. Ett nnt exempel är summn v två tärningskst i vsnitt 2.. Ett viktigt specilfll är X och Y är oberoende om P(X = j, Y = k) = P(X = j)p(y = k). Då är ll rder i tbellen proportionell mot vrndr, och ll kolonner är det också Kontinuerlig fllet Dett vsnitt ligger utnför kursen och ts med för tt få en vrundning v kursinnehållet, och för tt ök förståelsen för resten. Vi börjr med ett exempel: En person åker först buss, sedn txi. Väntetiden på bussen är likformigt fördeld i intervllet melln 0 och 0 medn väntetiden på txin är exponentilfördeld med väntevärde 8, om mn räknr i minuter. Tidern nses oberoende. Hur stor är snnolikheten tt hn får vänt smmnlgt minst 5 minuter? Om väntetidern beteckns med X, resp. Y, skll vi räkn ut P(X+Y 5). Dett är snnolikheten tt hmn i det streckde området i figuren. Om mn byter summ mot integrl och snnolikhetsfunktion mot täthetsfunktion i resonemnget i förr stycket, får mn P(X + Y 5) = = x 5 x+y 5 8 e y/8 dy } {{ } e (5 x)/8 f X (x)f Y (y)dxdy = dx = e 5/8 0 0 x+y 5 0 x e y/8 dxdy = e x/8 dx }{{} 8( e 0/8 ) För tt härled dett utgår mn från snnolikhetsmodellen tt P( < X < b) = R b fx(x)dx, P(c < Y < d) = R d fy (y)dy och tt händelsern är oberoende. Snnolikheten tt (X, Y ) hmnr i en rut är c då P( < X < b, c < Y < d) = Z b f X(x)dx Z d c f Y (y)dy = Z d Z b c f X(x)f Y (y)dxdy. Genom tt sedn del in plnet i mindre och mindre rutor och dder snnolikhetern för dess får mn det sökt resulttet. 3
14 25 Y X Figure : Väntetidern på bussen resp. txin med området X + Y 5 streckt 4
15 Allmänt hr vi en täthetsfunktion f X,Y sådn tt P((X,Y ) A) = f X,Y (x,y)dxdy. De mrginell täthetsfunktionern ges v f X (x) = A f X,Y (x,y)dy och motsvrnde för Y. Mn definierr tt X och Y är oberoende om f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y). 5
Diskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 2 John Lindström 3 ugusti 217 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 1/22 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion
Läs merStokastiska variabler
Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merReliability analysis in engineering applications
Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q
Läs merMATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS. Tentamen måndagen den 17 oktober 2016 kl 8 12
Kurskod: TAMS65 Provkod: TEN MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS Tentmen måndgen den 7 oktober 206 kl 8 2 Hjälpmedel: Formelsmling i mtemtisk sttistik utgiven v mtemtisk institutionen och/eller formelsmling
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merLöpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab
Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merPolynominterpolation av kontinuerliga
Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med
Läs merLaborationstillfälle 3 Numerisk integration
Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merSpelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson
Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET
UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merFöresläsningsanteckningar Sanno II
STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson Föresläsningsnteckningr Snno II 1 Gmmfunktionen I fler v vår vnlig snnolikhetsfördelningr
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merFöreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation
Föreläsning, Numme K2, 72 GNM Kp 6 Integrler & GNM 8:C Richrdsonextrpoltion yc yd y y y2 yb H c d b A = H ( ) y +y 2 = H 2 { h 2 y + } A = A +A 2 +A = 2 y 2 = h 2 y +y c +y d + 2 y b 2 (y +y c )+ h 2 (y
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merDerivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola
Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merNumerisk Integration En inledning för Z1
Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och
Läs merBelöningsbaserad inlärning. Reinforcement Learning. Inlärningssituationen Belöningens roll Förenklande antaganden Centrala begrepp
Belöningsbserd Inlärning Reinforcement Lerning 1 2 3 4 1 2 3 4 Belöningsbserd inlärning Reinforcement Lerning Inlärning v ett beteende utn tillgång till fcit. En belöning ger informtion om hur br det går
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merIE1204 Digital Design
IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs mer