KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015"

Transkript

1 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och infimum. Där viss också tt xiomet om monoton tlföljder är ekvivlent med supremumxiomet. Vi påminner om tt en mängd M klls uppåt begränsd om det finns ett tl b sådnt tt x b för ll x M. Vrje tl b som hr denn egenskp klls en mjornt för M, och det minst v dess tl b (dvs. den minst mjornten) klls supremum v M. På motsvrnde sätt klls en mängd M nedåt begränsd om det finns ett tl sådnt tt x för ll x M, vrje tl med denn egenskp klls en minornt för M, och den störst minornten klls infimum v M. Tlet sup M kn, men behöver inte tillhör mängden M. Om sup M M, säger vi tt supremum nts eller tt M hr ett störst värde (som då är lik med sup M). Om inf M M, så säger vi på motsvrnde sätt tt infimum nts eller tt M hr ett minst värde. Exempel 1. Låt M 1 = ] 1, 1] och M 2 = [ 1, 1[. Då är sup M 1 = sup M 2 = 1 och inf M 1 = inf M 2 = 1. M 1 hr ett störst värde (som är lik med 1) men inget minst värde eftersom 1 M 1 medn 1 M 1. För M 2 är det tvärtom, 1 är minst värdet men det finns inget störst värde i M 2. Supremumxiomet säger tt vrje icke-tom uppåt begränsd mängd M R hr ett supremum (se ppendix A3 i [PB2]). Mn kn vis tt supremumxiomet är ekvivlent med påståendet tt vrje icke-tom nedåt begränsd mängd M R hr ett infimum. Vi utgår från supremumxiomet och visr tt vrje monoton funktion hr ett gränsvärde, egentligt eller oegentligt, då x +. Om M inte är uppåt begränsd, säger mn iblnd tt sup M = +. Mn sätter också inf M = om M inte är nedåt begränsd. Nedn kommer vi tt nvänd den här konventionen. Som vnligt betecknr D f definitionsmängden och V f värdemängden för en funktion f. Sts 1. Låt f vr en funktion sådn tt [, + [ D f för något (dvs. f är definierd för ll x ). Då gäller: (i) Om f är växnde, så är (ii) Om f är vtgnde, så är lim f(x) = A, där A = sup f(x). x + x D f lim f(x) = A, där A = inf f(x). x + x D f 1

2 2 Vi noterr tt om f inte är uppåt begränsd, så är A = + i (i) och om f inte är nedåt begränsd, är A = i (ii). Bevis. (i) Vi betrktr två fll: f uppåt begränsd och f obegränsd uppåt. Antg först tt f är uppåt begränsd. Låt ε > 0 vr givet. Eftersom A = sup f(x), är f(x) A < A + ε för ll x. Enligt definitionen v supremum finns det ett tl ω sådnt tt f(ω) > A ε (nnrs vore ju sup f(x) A ε). Eftersom f är växnde, är f(x) f(ω) > A ε då x > ω. Smmnfttningsvis: om x > ω, så är A ε < f(x) < A + ε, dvs. f(x) A < ε. Då det för vrje ε > 0 existerr ett tl ω som ovn, hr vi vist tt lim x + f(x) = A. (Noter tt ω är beroende v ε. I llmänhet behöver mn t större ω ju mindre ε är.) Antg nu tt f inte är uppåt begränsd. Då är A = +. Låt c vr ett givet (stort) tl. Eftersom f är obegränsd uppåt, existerr det ett ω sådnt tt f(ω) > c. Om x > ω, är f(x) f(ω). Alltså: för vrje c existerr ett ω sådnt tt om x > ω, så är f(x) > c. Vi hr vist tt lim x + f(x) = +. (ii) viss genom tt modifier resonemnget ovn på ett lämpligt sätt. Sts 2. Om funktionen f är kontinuerlig i det slutn och begränsde intervllet [, b], så hr f ett störst och ett minst värde där. Det här är sts 3 i ppendix C i [PB1]. Beviset nedn nvänder begreppen supremum och infimum och är betydligt enklre än i [PB1]. Att rgumentet i [PB1] är svårre beror på tt supremum och infimum inte hr definierts där. Bevis. Låt M = sup x [,b] f(x). Då är M. Enligt definitionen v supremum existerr det en tlföljd (x k ) [, b] sådn tt f(x k ) M (se uppgift 3.10 nedn). Enligt Bolzno- Weierstrss sts (lemm 2 i ppendix C i [PB1]) innehåller (x k ) en konvergent delföljd (x kj ), dvs. x kj ξ för något ξ [, b]. Eftersom f är kontinuerlig, så är lim f(x kj ) = j f(ξ), vilket ger f(ξ) = M. Alltså är M funktionens störst värde. Noter tt i efterhnd ser mn tt M < då värdet f(ξ) är ändligt. För tt vis tt f hr ett minst värde sätter vi m = ovn. inf f(x) och resonerr som x [,b] Anmärkning 1. Det är viktigt tt intervllet är slutet. Om vi hr ett öppet intervll ], b[ och gerr som i beviset ovn, så kn det händ tt x kj ξ, där ξ = eller b, men punktern och b ingår ju inte i definitionsmämgden för f. T.ex. är funktionen f(x) = tn x, x ] π/2, π/2[ kontinuerlig men eftersom M = och m =, sknr f störst och minst värde. Observer tt även funktionen f(x) = x, x ] 1, 1[ sknr störst och minst värde. Här är M = 1 och m = 1 men värden 1 och 1 nts ldrig i intervllet ] 1, 1[. Definition 1. Antg tt ] δ 0, [ D f för något δ 0 > 0. Vi säger tt lim f(x) = A om det för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 (δ δ 0 ) sådnt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Gränsvärdet lim f(x) definiers på liknnde sätt ( δ < x < ersätts med < x < + δ). x x> x x<

3 Dess gränsvärden skiljer sig något från höger- och vänstergränsvärden i vsnitt 2.1 i [PB1]. Vnligtvis beteckns gränsvärden med symbolern lim f(x) och lim f(x) x x + ovsett om mn nvänder definitionen ovn eller den i [PB1]. För tt undvik smmnblndning hr vi dock infört här de något ovnlig beteckningrn lim f(x) och lim f(x). Sts 3. Låt f vr en funktion sådn tt D f innehåller en omgivning v punkten. (i) Om f är växnde, så är lim x x< f(x) = A, där A = sup x D f x< (ii) Om f är vtgnde, så är lim x x< f(x) = A, där A = inf x D f x< f(x) och lim x x> f(x) och lim x x> x x< x x> f(x) = B, där B = inf f(x). x D f x> f(x) = B, där B = sup f(x). x D f x> Bevis. Vi visr br först delen v (i) och lämnr övrig delr som övning. Låt ε > 0 vr givet. Enl. definitionen v supremum är f(x) < A + ε för ll x < och det existerr ett δ > 0 sådnt tt f( δ) > A ε. Alltså om δ < x <, så är A ε < f( δ) f(x) < A + ε. Därmed hr vi vist tt för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 sådnt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Sts 4. En monoton funktion vrs värdemängd är ett intervll är kontinuerlig. Det här är sts 4 i ppendix C i [PB1]. Beviset finns i [PB1] men vi visr stsen ändå för tt gör viss förtydlignden. Bevis. Låt vr en punkt i definitionsmängden för f. Vi visr tt f är kontinuerlig i, dvs. tt lim x f(x) = f(). Låt f vr växnde. Eftersom f(x) f() då x < och f() f(x) då < x, måste A f() B, där A och B är som i (i) i sts 3. Om A < f(), så ntr inte f någr värden i intervllet ]A, f()[ vilket strider mot ntgndet tt V f är ett intervll. Alltså måste A = f(). På liknnde sätt ser mn tt f() = B. Så A = f() = B. Vi får lim f(x) = f() = lim f(x) vilket är detsmm som tt lim x f(x) = f(). x x< x x> För vtgnde f är beviset likdnt, bortsett från tt viss olikheter ändrr riktning. Det är inte nödvändigt tt [, + [ D f i sts 1 och inte heller tt D f innehåller en omgivning v i sts 3. I sts 1 räcker det tt D f innehåller godtyckligt stor reell tl och i sts 3 tt D f innehåller punkter som ligger godtyckligt när, både till vänster och till höger. Vi vslutr dett vsnitt med ett resultt som vi kommer tt utnyttj i vsnittet om integrler. Sts 5. Låt M 1, M 2 vr två icke-tomm delmängder v R och låt M = M 1 + M 2 = {x 1 + x 2 : x 1 M 1, x 2 M 2 }. Då är sup M = sup M 1 + sup M 2 och inf M = inf M 1 + inf M 2. 3

4 4 Bevis. Vi visr br det först påståendet. Antg tt M 1 och M 2 är uppåt begränsde och låt x = x 1 + x 2, där x 1 M 1 och x 2 M 2. Eftersom x 1 sup M 1 och x 2 sup M 2, är x 1 + x 2 sup M 1 + sup M 2. Dett gäller för vrje x 1 + x 2 M. Alltså är sup M sup M 1 + sup M 2. Om sup M < sup M 1 + sup M 2, så kn vi hitt x 1 och x 2 som ligger så när sup M 1 resp. sup M 2 tt sup M < x 1 +x 2. Men eftersom x 1 +x 2 M, får vi smtidigt x 1 + x 2 sup M, vilket är en motsägelse. Alltså måste sup M = sup M 1 + sup M 2. Är minst en v mängdern M 1, M 2 obegränsd uppåt, kn inte heller M vr uppåt begränsd. Alltså är sup M = sup M 1 + sup M 2 = + (vis dett i detlj). 2. Riemnnintegrlen Riemnnintegrlen definiers i vsnitt 6.1 i [PB1]. Vi skll dock nvänd en nnn definition som bygger på begreppen supremum och infimum. Låt [, b] vr ett intervll. En trppfunktion Φ definiers genom tt mn nger en indelning = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b v [, b] och sedn låter Φ(x) = c k för x k 1 < x < x k och k = 1, 2,..., n, se vsnitt 6.1 i [PB1], där dett precisers. Integrlen v Φ definers som n Φ(x) dx = c k (x k x k 1 ) (i [PB1] nvänds beteckningen I(Φ) i stället för Φ(x) dx). Mn kn, men behöver inte tilldel Φ någr värden i indelningspunktern (värden Φ(x k ) påverkr ju ändå inte värdet Φ(x) dx). Om vi förfinr indelningen, dvs. utökr ntlet indelningspunkter utn tt ändr Φ, så ändrs inte värdet v Φ(x) dx. T.ex. om vi lägger till en ny indelningspunkt x, säg melln x 0 och x 1, får vi v c 1 (x x 0 ) + c 1 (x 1 x ) + n c k (x k x k 1 ) = k=2 n c k (x k x k 1 ) eftersom (x x 0 )+(x 1 x ) = x 1 x 0. Vänsterledet ovn är lik med Φ(x) dx beräknd med hjälp v den ny indelningen (med x som extr indelningspunkt) medn högerledet är den gml Φ(x) dx. Så Φ(x) dx är väldefinierd i den mening tt den br beror på Φ och inte på vlet v indelningen. Vi kommer tt behöv följnde (intuitivt uppenbr) resultt: Hjälpsts 1. Om Φ och Ψ är trppfunktioner sådn tt Φ Ψ på [, b], så är Φ(x) dx Ψ(x) dx. Bevis. Till Φ hör en indelning v [, b] och till Ψ en nnn (indelningrn kn, men behöver inte vr identisk). Nu gör vi en ny indelning genom tt t med ll indelningspunkter, både för Φ och för Ψ. Om den ny indelningen är = x 0 < x 1 <... < x l = b, så är Φ(x) = c k och Ψ(x) = d k för x k 1 < x < x k och k = 1,..., l. Eftersom Φ Ψ, är c k d k. Det följer tt l l Φ(x) dx = c k (x k x k 1 ) d k (x k x k 1 ) = Ψ(x) dx, vilket skulle viss.

5 Fr.o.m. nu kommer Φ och Ψ lltid tt beteckn trppfunktioner, även när dett inte sägs explicit. Definition 2. Låt f vr en begränsd funktion på intervllet [, b]. Underintegrlen f(x) dx v f över [, b] definiers som supremum v Φ(x) dx m..p. ll trppfunktioner Φ sådn tt Φ f på [, b]. Överintegrlen f(x) dx definiers som infimum v Ψ(x) dx m..p. ll trppfunktioner Ψ sådn tt f Ψ på [, b]. Alltså är f(x) dx = sup Φ f Φ(x) dx För tt förtydlig, om vi sätter { M = och f(x) dx = inf f Ψ } Φ(x) dx : Φ f, Ψ(x) dx. så är M mängden v ll värden som Φ(x) dx kn nt för ll möjlig vl v trppfunktioner Φ f. Alltså är M en uppåt begränsd delmängd v de reell tlen och f(x) dx = sup M <. Vi noterr också tt sup M nts (dvs. sup M M) om och endst om f är en trppfunktion (tänk efter vrför). Motsvrnde gäller för Sts 6. För vrje begränsd funktion f är f(x) dx Bevis. Om Φ f Ψ på [, b], så är Φ(x) dx Ψ(x) dx enligt hjälpsts 1. Eftersom dett gäller för ll sådn Φ och Ψ, är vrje Ψ(x) dx en mjornt för mängden v ll Φ(x) dx, där Φ f. Enl. definitionen v supremum är därför sup Φ f Φ(x) dx Ψ(x) dx. Det följer tt sup Φ f Φ(x) dx är en minornt för mängden v ll Ψ(x) dx sådn tt f Ψ. Alltså är infimum v tlen i högerledet ovn större än eller lik med vänsterledet, dvs. f(x) dx = sup Φ f Vi hr vist vårt påstående. Φ(x) dx inf f Ψ Ψ(x) dx = Definition 3. En begränsd funktion f på [, b] klls integrerbr (eller Riemnnintegrerbr) över [, b] om f(x) dx = Det gemensmm värdet v under- och överintegrlen klls integrlen v f över [, b] och beteckns Hjälpsts 2. Om Φ är en trppfunktion på [, b], så är Φ(x) dx = Φ(x) dx = Φ(x) dx, dvs. Φ är integrerbr över [, b]. Bevis. Enligt definitionen är Φ(x) dx = sup Φ 1 Φ Φ 1(x) dx. Dett supremum nts för Φ 1 = Φ. Alltså är Φ(x) dx = Φ(x) dx. På liknnde sätt viss tt Φ(x) dx = Φ(x) dx. Sts 7. En begränsd funktion f på [, b] är integrerbr över [, b] om och endst om det för vrje ε > 0 existerr Φ, Ψ sådn tt Φ f Ψ på [, b] och Ψ(x) dx Φ(x) dx < ε. 5

6 6 Villkoret tt det för vrje ε > 0 existerr trppfunktioner Φ och Ψ som ovn är liktydigt med definitionen v integrerbrhet i [PB1] (se definition 2 i vsnitt 6.1 där). Noter tt stsens innebörd är tt f är integrerbr enligt definition 3 ovn om och endst om den är integrerbr enligt definitionen i [PB1]. Bevis. Ant först tt f är integrerbr enligt definition 3, dvs. f(x) dx = Enligt supremums definition kn vi för vrje ε > 0 hitt en trppfunktion Φ f sådn tt f(x) dx ε 2 < Φ(x) dx På smm sätt kn vi enligt infimums definition hitt en trppfunktion Ψ f för vilken Alltså är Ψ(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx < f(x) dx + ε 2. ( Φ(x) dx < f(x) dx + ε ) ( f(x) dx ε ) = ε. 2 2 Ant nu tt det för vrje givet ε > 0 existerr Φ, Ψ sådn tt Φ f Ψ och Ψ(x) dx eller omskrivet, Φ(x) dx < ε. Eftersom f(x) dx Φ(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx och f(x) dx f(x) dx får vi genom tt dder olikhetern ovn och nvänd sts 6 0 f(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx Ψ(x) dx, Φ(x) dx, Φ(x) dx < ε. Så för vrje ε > 0 är 0 f(x) dx f(x) dx < ε. Men dett kn inträff enbrt om f(x) dx = Vi skll nu studer någr egenskper hos under- och överintegrler och sedn vis tt en kontinuerlig funktion är integrerbr. Vi genomför bevis för underintegrler. Läsren uppmns tt tänk igenom hur detljern ändrs för överintegrler. Sts 8. (i) Om f g på [, b], så är f(x) dx g(x) dx och f(x) dx g(x) dx. (ii) Om < c < b, så är f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx och f(x) dx = c f(x) dx+ c Bevis. (i) Om Φ f så är Φ g. Så mängden {Φ : Φ f på [, b]} är en delmängd v {Φ : Φ g på [, b]}. Det följer tt f(x) dx = sup Φ f Φ(x) dx sup Φ g Φ(x) dx = g(x) dx. (ii) Låt Φ vr en trppfunktion på [, b]. Om mn lägger till c som indelningspunkt är Φ, betrktd på intervllet [, c], en trppfunktion på [, c] och Φ, betrktd på intervllet [c, b], en trppfunktion på [c, b]. Givet 2 trppfunktioner, Φ 1 på [, c] och Φ 2 på [c, b], får

7 mn en trppfunktion Φ på [, b] genom tt sätt Φ(x) = Φ 1 (x) och Φ(x) = Φ 2 (x) på respektive intervll. Låt nu { c } { } M 1 = Φ(x) dx : Φ f och M 2 = Φ(x) dx : Φ f, dvs. M 1 är mängden v ll värden som c Φ(x) dx kn nt för ll möjlig vl v trppfunktioner Φ f, och motsvrnde gäller för M 2. Eftersom Φ(x) dx = c Φ(x) dx + c Φ(x) dx (tänk efter vrför), är { M = M 1 + M 2 = } Φ(x) dx : Φ f. Enligt sts 5 är sup M = sup M 1 + sup M 2. Alltså är f(x) dx = c c f(x) dx + c 7 Om vi definierr f(x) dx = 0 och f(x) dx = b f(x) dx då > b och gör motsvrnde definitioner för överintegrlen, så gäller (ii) ovn för ll, b, c, oberoende v hur de ligger i förhållnde till vrndr. Sts 9 (Integrlklkylens medelvärdessts för under- och överintegrler). Om f är kontinuerlig på [, b], så existerr ett ξ [, b] och ett η [, b] sådn tt f(x) dx = f(ξ)(b ) och f(x) dx = f(η)(b ). Bevis. Eftersom f är kontinuerlig, ntr den ett minst värde m och ett störst värde M på [, b]. Eftersom g(x) = M är en trppfunktion, är g(x) dx = g(x) dx = M(b ) enligt hjälpsts 2. Motsvrnde gäller för h(x) = m. Om vi integrerr olikheten m f(x) M, får vi lltså vilket ger m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ), m 1 f(x) dx M. b Eftersom f är kontinuerlig, ntr den ll värden melln m och M enligt stsen om mellnliggnde värden (se sts 1 i ppendix C i [PB1]). Speciellt ntr den värdet 1 b b f(x) dx i en punkt x = ξ. Så 1 b f(x) dx = f(ξ), b vilket skulle beviss. Anmärkning 2. Sts 9 gäller även om b = eller b <. Vrför? Låt f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och definier S(x) = x f(t) dt och S(x) = x f(t) dt för x [, b]. Noter tt här är övre integrtionsgränsen x och vi betrktr den som vribel. Vi hr betecknt den oberoende vribeln för integrnden med t i stället för x för tt skilj den från övre integrtionsgränsen.

8 8 Sts 10 (Anlysens huvudsts för under- och överintegrler). Om funktionen f är kontinuerlig på [, b], så är funktionern S och S deriverbr och S (x) = f(x) = S (x) för < x < b. Stsen beviss exkt på smm sätt som sts 9 i kpitel 6 i [PB1]. Läs igenom beviset där och försök tt inse vrför resonemnget går igenom för under- och överintegrler. Sts 11 (Kontinuerlig funktion är integrerbr). Om f är kontinuerlig på [, b], så är f integrerbr över [, b]. Bevis. Eftersom S (x) = S (x) för < x < b enligt sts 10, så är S(x) = S(x) + C, där C är en konstnt (se följdsts 1 i vsnitt 3.5 i [PB1]). Men eftersom S() = S() = 0, måste C vr lik med 0. Så S(x) = S(x) för ll x [, b]. Dett gäller speciellt för x = b, vilket ger Därmed är stsen bevisd. f(t) dt = S(b) = S(b) = f(t) dt. Att vi hr f(t) och inte f(x) ovn spelr ingen roll, för integrlens värde är oberoende v den bokstv med vilken mn betecknr vribeln under integrtionstecken. Så f(x) dx = f(t) dt = och detsmm gäller för överintegrler och integrler. f(u) du =... Sts 12 (Insättningsformeln). Om f är kontinuerlig på [, b] och om F är en primitiv funktion för f, så är f(t) dt = F (b) F (). Dett är sts 10 i kpitel 6 i [PB1]. Eftersom vi nu vet tt kontinuerlig funktioner är integrerbr, behöver vi inte bry oss om under- och överintegrler här. Vi skll också vis tt monoton funktioner är integrerbr, ovsett om de är kontinuerlig eller ej. Sts 13. Låt f vr en funktion som är monoton på [, b]. Då är f integrerbr över [, b]. Bevis. Antg tt f är växnde (för vtgnde f är beviset likrtt och lämns åt läsren). Eftersom f() f(x) f(b) för ll x [, b], är f begränsd. Del in intervllet [, b] i n lik lång delr. Vi får = x 0 < x 1 <... < x n = b, där x k x k 1 = (b )/n. Låt Φ(x) = f(x k 1 ) och Ψ(x) = f(x k ) för x k 1 < x < x k, k = 1,..., n (rit en figur). Eftersom f är växnde, är Φ(x) = f(x k 1 ) f(x) f(x k ) = Ψ(x) för x k 1 < x < x k.

9 9 Alltså är Φ f Ψ. Vidre är Ψ(x) dx = n Φ(x) dx = n f(x k )(x k x k 1 ) (f(x k ) f(x k 1 )) b n n f(x k 1 )(x k x k 1 ) = b n [(f(x 1) f(x 0 )) + (f(x 2 ) f(x 1 )) (f(x n ) f(x n 1 ))] = b n (f(x (b )(f(b) f()) n) f(x 0 )) =. n Låt ε > 0 vr givet. Väljer vi n tillräckligt stort, får vi Ψ(x) dx Alltså är f integrerbr enligt sts 7. Φ(x) dx = (b )(f(b) f()) n < ε. Slutligen visr vi följnde resultt: Sts 14. Låt f och g vr två begränsde funktioner på intervllet [, b]. Då gäller: (i) (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + g(x) dx och (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + g(x) dx. (ii) Om f och g är integrerbr, så är f+g integrerbr och (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx+ g(x) dx. Bevis. (i) Låt Φ 1 f och Φ 2 g. Eftersom (Φ 1(x) + Φ 2 (x)) dx = Φ 1(x) dx + Φ 2(x) dx (se uppgift 3.23 nedn), får vi = sup Φ 1 f Φ 2 g f(x) dx + g(x) dx = sup Φ 1 f (Φ 1 (x) + Φ 2 (x)) dx sup Φ f+g Φ 1 (x) dx + sup Φ(x) dx = Φ 2 g Φ 2 (x) dx (f(x) + g(x) dx. Den först och den tredje likheten ovn gäller enligt definitionen v underintegrlen. Den ndr likheten följer ur sts 5. Olikheten gäller eftersom Φ 1 f, Φ 2 g medför tt Φ 1 + Φ 2 f + g, dvs. supremum till höger ts över minst lik mång funktioner som supremum till vänster. Olikheten för överintegrler viss på liknnde sätt. Vis den som övning och lägg speciellt märke till vrför olikheten går åt ndr hållet. (ii) Eftersom f och g är integrerbr, får vi från (i) (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx g(x) dx = f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx. g(x) dx Den sist olikheten gäller eftersom underintegrlen lltid är mindre än eller lik med överintegrlen, se sts 6. Då vänsterledet är lik med högerledet, måste ll olikheter

10 10 ovn vr likheter. Alltså är f + g integrerbr och integrlen v summn är lik med summn v integrlern. Ett begrepp som är viktigt men som inte ts upp här är Riemnnsumm. Läsren hänviss till vsnitt 6.2 i [PB1]. Litterturförteckning [PB1] A. Persson och L.-C. Böiers, Anlys i en vribel, Studentlittertur 2010 (3:e upplgn). [PB2] A. Persson och L.-C. Böiers, Anlys i fler vribler, Studentlittertur 2005 (3:e upplgn).

11 11 3. Teoriövningr Annemrie Luger och Andrzej Szulkin x 3.1. Vis tt lim = 1 och lim x x + 1 x (x2 x) = genom tt nvänd definitionen på gränsvärde resp. oegentligt gränsvärde Vis: Om lim f(x) existerr, så är f begränsd för stor x, dvs. det finns ett ω x sådnt tt f är begränsd för x > ω Jämför följnde påstående med Sts 2 (6) i vsnitt 2.1 i [PB1]: lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x). x x x Är påståendet ovn helt korrekt? Om inte, vd är det som skns? Ge ett motexempel i så fll Vis tt för en föjld ( n ) n 1 gäller följnde impliktion: n då n = n då n. Gäller impliktionen åt ndr hållet? Vis den eller ge ett motexempel. Tips: Den omvänd tringelolikheten kn hjälp ) Vis följnde påstående: b) Är följnde påstående snt? 1 lim f(x) = = lim x x f(x) = 0. 1 lim g(x) = 0 = lim x x g(x) =. Ge ett bevis eller ett motexempel Formuler och bevis en motsvrighet till sts 1, sid. 1, för gränsvärdet lim f(x). x 3.7. Betrkt följnde mängder. Är de begränsde? Bestäm supremum och infimum och ifll de existerr även störst och minst värde i de ngivn mängdern. { } ) M 1 = 2 ( 1) n n : n = 1, 2, 3,... b) M 2 = { x R : x 2 < 4 } c) M 3 = { x R : x 3 8 } 3.8. Vd kn mn säg om en mängd M om mn vet tt sup M = inf M? 3.9. Vis följnde olikheter för supremum och infimum v funktioner f : R R och g : R R: sup x R (f + g)(x) sup x R f(x) + sup g(x), x R inf (f + g)(x) inf f(x) + inf g(x). x R x R x R Ge exempel på f och g för vilk olikhetern är strikt (dvs. < resp. > gäller) Om sup M = R så finns det en föjld (x n ) n 1 med x n M sådn tt x n då n. Anmärkning: Dett är en viktig egenskp hos supremum v en mängd.

12 Vis: Om två kontinuerlig funktioner överensstämmer i ll rtionell punkter, så överensstämmer de i ll punkter, dvs. f, g : R R kontinuerlig och f(x) = g(x) för ll x Q = f g. Tips: Till vrje reellt tl x 0 finns en föjld (q n ) v rtionell tl som konvergerr mot x Ge exempel på följnde två diskontinuerlig funktioner f och g på intervllet [0, 1]: ) f(0) = 0, f(1) = 1 och f(ξ) är inte lik med 1 2 för något ξ [0, 1], b) g(0) = 0, g(1) = 1 och g ntr ll värden melln 0 och 1. Vd säger dett om stsen om mellnliggnde värden? Ge exempel på en diskontinuerlig funktion f sådn tt D f = [0, 1] och värdemängden V f är ett intervll. Strider dett mot sts 4, sid. 3? Ge exempel på en kontinuerlig funktion f som inte är monoton men hr en invers. Finns det sådn funktioner om definitionsmängden D f är ett intervll? Använd derivtns definition för tt beräkn derivtor v följnde funktioner: f 1 (x) = x, f2 (x) = x 2 + 1, f 3 (x) = sin(x 2 ) Låt g vr en begränsd funktion med definitionsmängden [ 1, 1]. Sätt f(x) = x 2 g(x). Vis tt f är deriverbr i x = 0 och f (0) = Om två deriverbr funktioner f och g definierde på intervllet [ 1, 1] vet mn följnde: f( 1) > g( 1), f(0) < g(0) och f(1) > g(1). Låt h(x) = f(x) g(x). Hur mång nollställen (minst) måste h h? Finns det säkert en punkt ξ sådn tt h (ξ) = 0? Om det gör det, måste det vr ett loklt mximum, loklt minimum eller ingetder? Ge exempel på en funktion f som hr följnde egenskper: f är kontinuerlig på [, b], deriverbr på ], b[ utom i en punkt, i ingen punkt ξ ], b[ är f(b) f() = f (ξ)(b ) Ge exempel på en funktion f som uppfyller ntgnden i medelvärdesstsen och för vilken det finns oändligt mång ξ sådn tt f(b) f() = f (ξ)(b ) * Vis tt om f är två gånger deriverbr i R och f (x) > 0 för ll x, så är ntingen lim x f(x) = eller lim x f(x) =. Kn lim x f(x) =? Ge ett exempel eller vis tt dett inte kn inträff. Tips: Om f > 0, vd kn mn säg om f? * Låt f : ]0, [ R vr en funktion som är deriverbr och lik med sin invers, dvs. f(x) = f 1 (x) för ll x > 0. Vis tt f(ξ) = ξ för något ξ > 0. Vis också tt ntingen är f (ξ) = 1 eller är f(x) = x för ll x > 0. Tips: f är strängt monoton. Vd kn mn säg om f ifll f(x) > x för något x > 0? Låt funktionen f vr integrerbr över [, ] för något > 0. ) Vis: f är udd = b) Vis: f är jämn = c) Beräkn: π 2 π 2 f(x) dx = 0 f(x) dx = 2 ( x 2 + ln π + x ) cos x dx π x 0 f(x) dx

13 3.23. Vis tt om Φ och Ψ är två trppfunktioner, så är (Φ(x)+Ψ(x)) dx = Φ(x) dx+ Ψ(x) dx Vis tt om Φ är en trppfunktion, så är Φ(x) dx = Φ(x) dx (se hjälpsts 2, sid. 5) Definier funktionen f genom tt sätt f(x) = 0 då x är rtionellt och f(x) = 1 då x är irrtionellt. Beräkn f(x) dx och Är f integrerbr över intervllet [0, 1]? Vis sts 8, sid. 6 för överintegrler Vis nlysens huvudsts (sts 10, sid. 6) för under- och överintegrler Vis olikheten för överintegrler i sts 14, sid Definier funktionern f och g genom tt sätt f(x) = 0 då x är rtionellt och f(x) = 1 då x är irrtionellt smt g(x) = 1 då x är rtionellt och g(x) = 0 då x är irrtionellt. Vis tt sträng olikheter gäller i del (i) v sts 14, sid. 9 vid integrtion över intervllet [0, 1]. 13

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Om kontinuerliga funktioner

Om kontinuerliga funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel. Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009 Innehåll Sommrmtte del Mtemtisk Vetenskper 8 pril 009 5 Ekvtioner och olikheter 5. Komple tl............ 5.. Algebrisk definition, imginär rötter....... 5.. Geometrisk representtion, polär koordinter...

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Laboration i matematik Envariabelanalys 2

Laboration i matematik Envariabelanalys 2 Lbortion i mtemtik Envribelnlys Per-Anders Boo Institutionen för mtemtik och mtemtisk sttistik Umeå universitet Jnuri Regler och llmän informtion om lbortionen I denn lbortion finns uppgifter som skll

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer