TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013"

Ida Jansson
för 8 år sedan
Visningar:

1 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

2 Outline 1 Mss, moment msscentrum. Avsnitt 7.4. Mss Moment och msscentrum 2 Centroider, Pppus sts, vsnitt 7.5 Centroider Pppus sts F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

3 Punktmssor, linjedensiteters mssor Den totl mssn m v N punktmssor med mssorn m j, j = 1,...,N ges v N m = m j. Den totl mssorn v en rät tråd från x = till x = b med linjedensitet δ(x) ges v m = j=1 δ(x) dx. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

4 Ytors mssor Om ett område begränss v x b och 0 y f(x) och om ytdensiteten σ(x) beror endst v x så ges ytns mss v m = σ(x)f(x) dx. En yt som fås v tt roter grfen (x, f(x)) för x b runt x-xeln och som hr en ytdensitet som br beror v positionen i x-led hr en mss m som ges v m = 2π σ(x)f(x) 1+f (x) 2 dx F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

En yt som fås v tt roter grfen (x, f(x)) för x b runt x-xeln och som hr en ytdensitet som

5 Kropprs mssor Om en kropp hr känd snittsre A(x) för snitt genom i (x, 0, 0) vinkelrät mot x-xeln och densitet ρ(x) som br beror v positionen i x-led så ges mssn hos den del v kroppen som befinner sig melln x = och x = b v m = ρ(x)a(x) dx. En rottionskropp som fås v tt roter området x b, 0 y f(x) runt x-xeln och som hr densitet ρ(x) hr mssn m = π ρ(x)f(x) 2 dx. Hur ser uttrycket för mssn v en rottionskropp runt y-xeln ut? F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

En rottionskropp som fås v tt roter området x b, 0 y f(x) runt x-xeln och som hr densitet ρ(x) hr mssn m = π ρ(x)f(x) 2

6 Punktmssors moment Definition Om vi hr N punktmssor m j utplcerde i punktern x j, j = 1,...,N så ges mssorns moment med vseende på punkten x 0 v M x=x0 = N m j (x j x 0 ). j=1 Momentet m..p. x 0 är lltså summn v produkten v punktmsson och ders vstånd till x 0 (med tecken!) F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

7 Punktmssors msscentrum Definition Msscentrum är den punkt x för vilken M x= x = 0 Sts Msscentrum x ges v x = M x=0 m. Bevis. Det gäller tt 0 = M x= x = N m j (x j x) = j=1 N N m j x j m j x = M x=0 xm. j=1 j=1 Så m x = M x=0 x = M x=0 m. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

Det gäller tt 0 = M x= x = N m j (x j x) = j=1 N N m j x j m j x = M x=0

8 En mssfördelning kn ersätts med en punktmss En mssfördelning kn ersätts med en punktmss i momentberäkningr enligt följnde sts. Sts Det gäller tt punktmssorns moment m..p. x = x 0 ges v där x är systemets msscentrum. M x=x0 = m( x x 0 ) F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

Sts Det gäller tt punktmssorns moment m..p. x = x 0 ges v där x är systemets msscentrum.

9 Bevis v stsen ovn. Bevis. Vi hr tt M x=x0 = = N m j (x j x 0 ) = j=1 N m j (x j x)+ j=1 = 0+m( x x 0 ). N (m j (x j x)+m j ( x x 0 )) j=1 N m j ( x x 0 ) = M x= x + m( x x 0 ) j=1 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

10 Moment hos linjedensiteter En tunn rät tråd med linjedensiteten δ(x) kn ses som en oändlig mängd punktmssor där linjestycket dx innehållnde punkten x hr mssn dm = δ(x)dx och således momentet dm x=0 = xδ(x)dx med vseende på x = 0. 5 linjedensiteten δ(x) dm=δ(x)dx 0 x= dx \br{x} x=b Figur: Bild som beskriver linjdensitet... F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

$xδ(x)dx med vseende på x = 0. 5 linjedensiteten δ(x) 4 3 2 1 dm=δ(x)dx 0 x= dx \br{x} x=b 1.5 1 0.5 0 0.$

11 Det följer tt hel trådens moment ges v Trådens msscentrum ges v M x=0 = xδ(x)dx. x = M x=0 m = xδ(x)dx b δ(x)dx. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

12 Moment och msscentrum hos punktmssor i plnet Vi låter vår N punktmssor m j vr utplcerde i plnet i punktern (x j, y j ). 2 x=\br{x} y=\br{y} m 3 =1 (x j,y j )=(1,1) m 1 =1 (x j,y j )=( 1,0) m 2 =2 (x j,y j )=(1, 1) Figur: Bild som beskriver punktmssor. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

5 0 m 1 =1 (x j,y j )=( 1,0) 0.5 1 m 2 =2 (x j,y j )=(1, 1) 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.

13 Moment och msscentrum hos punktmssor i plnet, forts. Momentet m..p. linjen x = x 0 ges som förut v M x=x0 = och msscentrums x-koordint v N m j (x j x 0 ). j=1 x = M x=0 m. Vi inför nu momentet M y=y0 m..p linjen y = y 0 på smm sätt: M y=y0 = N m j (y j y 0 ). j=1 och med motsvrnde definition v msscentrums y-koodint ȳ så fås tt ȳ = M y=0 m och M y=y0 = (ȳ y 0 )m. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

j=1 x = M x=0 m. Vi inför nu momentet M y=y0 m..p linjen y = y 0 på smm sätt: M y=y0 = N m j (y j y 0 ).

14 Ytdensiteters moment I Betrkt den pln ytn som begränss v x b, 0 y f(x). Om den hr en densitet σ = σ(x) så ges den infinitessiml mssn dm ovnför dx v dm = σ(x)f(x)dx och momentet runt x = 0 som den ger upphov till v dm x=0 = xdm = xσ(x)f(x)dx så det totl mometet ges v M x=0 = xσ(x)f(x)dx. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

σ(x)f(x)dx...... och momentet runt x = 0 som den ger upphov till v dm x=0 = xdm = xσ(x)f(x)dx.

15 Ytdensiteters moment II För tt få momentet med vseende på y = 0 så konstterr vi tt msscentrum för ren ovnför dx ligger i (x, 1 2 f(x)) vrvid dm y=0 = 1 2 f(x)dm = 1 2 f(x)σ(x)f(x)dx = 1 2 σ(x)f(x)2 dx vrvid M y=0 = 1 2 σ(x)f(x) 2 dx. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

..... vrvid dm y=0 = 1 2 f(x)dm = 1 2 f(x)σ(x)f(x)dx = 1 2 σ(x)f(x)2 dx.

16 Ytdensiteters msscentrum Det gäller tt och Dessutom är x = M x=0 m = ȳ = M 1 y=0 m = 2 xσ(x)f(x)dx σ(x)f(x) dx σ(x)f(x)2 dx σ(x)f(x) dx. M x=x0 = m( x y 0 ), M y=y0 = m(ȳ y 0 ) F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

17 Kurvdensiteters moment och msscentrum Om en kurv C ges v en funktionsgrf C = {(x, f(x)) : x b} och hr densitet δ(x) så ges dess moment runt koordintxlrn v respektive M x=0 = M y=0 = Msscentrum ges sedn v xδ(x) ds = xδ(x) +f (x) 2 dx δ(x)f(x) +f (x) 2 dx. x = M x=0 m, ȳ = M y=0 m med m = δ(x) +f (x) 2 dx. Övertyg dig om dett! F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

ges sedn v xδ(x) ds = xδ(x) +f (x) 2 dx δ(x)f(x) +f (x) 2 dx.

18 Outline 1 Mss, moment msscentrum. Avsnitt 7.4. Mss Moment och msscentrum 2 Centroider, Pppus sts, vsnitt 7.5 Centroider Pppus sts F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

19 Centroid Om ett plnt område x b, 0 y f(x) hr fix densitet σ = 1 så är mssn densmm som ren v området. m = σf(x) dx = f(x) dx = A. I det här fllet klls områdets msscentrum ( x, ȳ) dess centroid och är lltså en egenskp hos det geometrisk objektet. Tlet x klls också f :s medelvärde. För ett plnt område x b, 0 y f(x) gäller lltså tt tt centoriden ges v där x = M x=0 A, ȳ = M y=0 A. M x=0 = M y=0 = 1 2 xf(x) dx, f(x) 2 dx, F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

I det här fllet klls områdets msscentrum ( x, ȳ) dess centroid och är lltså en egenskp hos det geometrisk objektet.

20 Exempel, centroider Exempel En cirkels centroid är dess centrum. Exempel Hlvcirkeln begränsd v R x R, 0 y R 2 x 2 hr centroiden i x = 0 på grund v symmetrin. Det gäller tt A = πr 2 /2 och M y=0 = 1 ( R 2 R(R 2 x 2 ) dx = 1 [ ] x 2R 3 3 R ) 2 3 R = 1 ) (2R 3 2 R3 = 2R så ȳ = 2R3 /3 πr 2 /2 = 4R 3π F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

Det gäller tt A = πr 2 /2 och M y=0 = 1 ( R 2 R(R 2 x 2 ) dx = 1 [ ] x 2R 3 3 R ) 2 3 R = 1

21 Tringelns centroid Sts (Tringelns centroid) En tringels centroid ges v skärningspunktern melln dess mediner. Bevisidé. Beviset bygger på fktumet tt msscentrum är oberoende v vl v koordintxlr. Genom tt vis tt momentet med vssende på en godtycklig medin är noll följer tt msscentrum måste ligg på vrje medin och därmed i medinerns skärningspunkt. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

22 Pppus sts Sts (Pppus sts) Om ett plnt område S ligger helt och hållet på en sidn om en linje L så ges volymen v kroppen då vi roterr S runt L v områdets re A gånger sträckn som centroiden färds under rottionen. Låt r vr det vinkelrät vståndet från centroiden ( x, ȳ) till L. Då färds centroiden sträckn 2π r och volymen V ges v V = 2π ra. F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

23 z y F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

24 Bevis v Pppus sts Bevis. Välj koordintsystem så L är y-xeln och ntg tt vår yt S är ingstängd melln x = och x = b. Då är r = x. Låt da vr ren ovnför den tunn remsn med bredd dx. Vi hr tt rottionscylinderns volym ges v dv = 2πxdA och V = 2π x da = 2πM x=0 = 2π xa = 2π ra. Pppus sts kn nvänds för tt räkn ut såväl volymer som msscentrum (hos pln ytor). Studer exempel 5-6 sid F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november / 24

Relevanta dokument

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.