Kompletterande formelsamling i hållfasthetslära

Transkript

1 Kompletternde formelsmling i hållfsthetslär Görn Wihlorg LTH 004

2

3 Spänningstillståndet i ett pln, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning ϕ cos ϕ+ sin ϕ + sinϕcosϕ ϕ sinϕ+ cos ϕ Huvudspänningr och huvudspänningsriktningr U V F HG W + ± tnα tnα s + s s + s + KJ Miml skjuvspänningen i plnet är mg plnet Miml skjuvspänningen är m m ; ; F HG K J

4 Deformtionstillståndet i ett pln, vinkelrätt mot en huvudspänningsriktning ϕ + ξ ϕ + cos sin γ sinϕcosϕ γ ξη ( ϕ + )sin γ cos ϕ γ γ ξ ξη är töjningen v ett linjeelement i - riktningen " " " " " i - riktningen " " " " " i ξ- riktningen är skjuvningen v elkorset, dvs minskningen v den rät vinkeln melln - och - riktningrn är skjuvningen v elkorset ξη, dvs minskningen v den rät vinkeln melln ξ- och η- riktningrn Huvudtöjningr och huvudtöjningsriktningr U V F HG + KJ F H G γ W + ± ( ) tnα γ K J tnα ( ) γ + + Miml skjuvningen i plnet är ( γ m ) plnet

5 Smnd melln spänningr och töjningr Hookes generliserde lg ν ( + ) E E ν ( + ) E E ν ( + ) E E γ G γ G γ G eller löst med vseende på spänningrn: E ν ν + ( ν + + ) + E ν ν + ( ν + + ) + E ν ν ν + ( + + ) + G γ G γ G γ L NM L NM L NM O QP O QP O QP E är elsticitetsmodulen G är skjuvmodulen ν är Poissons tl G E + ( ν)

6 Hookes lg vid plnt spänningstillstånd En huvudspänning är noll. Välj koordintsstemet så tt denn huvudspänning är Då gäller också tt 0 0. ( ν ) E ( ν ) E γ G eller löst med vseende på spänningrn E ( + ν ) ν E ( + ν ) ν G γ Flthpoteser Skjuvspänningshpotesen c m ; e ; h Devitionsretshpotesen e ( ) + ( ) + ( ) Speciellt vid plnt spänningstillstånd kn hpotesern skrivs: Skjuvspänningshpotesen m ; ; e c h Devitionsretshpotesen + + e 4

7 Vridning M P Mv är vridmomentet i en el som överför v ω effekten P vid vinkelhstigheten ω. För miml vridskjuvspänningen M v m gäller v v m Wv är vridmotståndet (se tell). Wv För förvridningsvinkeln ϕ melln elns ändtor gäller ϕ ML v L är ellängden. GK K är vridstvhetens tvärsnittsfktor (se tell). Tvärsnitt W v K Tunnväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt med konstnt väggtjocklek πdt πdt 4 Tjockväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt F H F H π d4 d4 i K π d d 6d 4 i 4 K Mssivt cirkulärt tvärsnitt πd 6 πd 4 Mssivt liksidigt tringulärt tvärsnitt s 0 s 80 4 Mssivt rektngulärt tvärsnitt η h η h η och η estäms ur digrm Öppn tvärsnitt, smmnstt v sml rektnglr h i i m h i i Slutet tunnväggigt rörtvärsnitt v godtcklig form med vriel väggtjocklek Öppet tunnväggigt rörtvärsnitt v godtcklig form med konstnt väggtjocklek 4A At ds min t A är den v medelomkretsen omslutn ren ct ct c är medelomkretsens längd Vridmotståndet W v och vridstvhetens tvärsnittsfktor K 5

8 Blköjning Positiv definitioner på elstningsintensitet, tvärkrft och öjnde moment. För lkens totl elstning Q, riktd uppåt, gäller Q R S T dt d dm d q T L qd 0 6

9 Böjspänningr E ρ ρ är neutrlplnets krökningsrdie. M är ttröghetsmomentet kring -eln. För miml öjspänningen i ett snitt gäller För W gäller M W W är öjmotståndet. W e m e är störst vståndet från neutrlplnet till tterst fiern. Allmänt om ttröghetsmoment Yttröghetsmomentet kring - eln da Yttröghetsmomentet kring - eln da Devitionsmomentet kring elkorset D da 7

10 Steiners sts För ttröghetsmomentet kring en el prllell med en el genom tngdpunkten gäller + A A är tvärsnittsren. är vståndet melln lrn. För tröghetsrdien i gäller i A Böjskjuvspänningr i smmetrisk lktvärsnitt T S T är tvärkrften. S är sttisk momentet kring -eln för den del v sektionen som är elägen ovnför snittet (streckde tn i figuren). är ttröghetsmomentet kring -eln för hel snittet. är spänningsupptgnde redden i snittet. tn α T m µ A µ är en konstnt som eror v tvärsnittstns form. 8

11 Elstisk linjen För neutrlplnets krökningsrdie ρ gäller ρ M E är tvärsnittstns tröghetsmoment kring öjningseln. Elstisk linjens differentilekvtion är Ew M Smmnstt elstning Blk utstt för öjnde moment och normlkrft M + N A Reologisk modeller Bggelement: Elstiskt E Visköst η Räknelgr Vid seriekoppling v två element är totl töjningen lik med summn v elementens töjningr. Båd elementen är härvid elstde med smm spänning. Vid prllellkoppling v två element är den totl spänning som elstr prllellkopplingen lik med summn v elementens spänningr. Båd elementen är härvid utstt för smm töjning. 9

12 Trckkärlseräkningr enligt SS-EN 445 Tunnväggig sfärisk trckkärl för inre trck Minst erforderlig godstjockleken e i mm för ett sfäriskt kärl med inre övertrck eräkns ur P Di P De e lterntivt e 4f P 4f + P D i och D e är inner- respektive tterdimeter i mm P är eräkningstrck i N/mm (övertrck), vilket lltså är det högst övertrck som kn förekomm i kärlet f nominellt tillåten i spänning i N/mm för det ktuell mterilet, vid den högst tempertur t som mterilet kommer tt utsätts för. Eempel på eräkning v f: - för icke-ustenitisk stål Rp0,/ t Rm/0 f min ; med rottförlängning A<0 %, 5,4 - för ustenitisk stål Rp,0/ t Rp,0/ t R m/ t f m ;min ; med rottförlängning A>5 %,5, där R px/t är förlängningsgränsen med X % resttöjning vid temperturen t och R m/t är rottgränsen vid t C är strkefktorn, vilken nger strkeförhållndet melln svetsen och grundmterilet vid en svetsfog. För eräkning v den nominell godstjocklek som mterilet i trckkärlet minst måste h, skll den minst erforderlig godstjockleken e öks med korrosionstillägget c och tillverkningstolernsen δ e, dvs e e+ c+ δ n,min e Då mterilets nominell godstjocklek e n är känd görs spänningseräkningr i kärlet med det som klls för eräkningstjockleken e. e en c δe Beräkningstrcket kn estämms ur P m 4 f e D m där D m är medeldimetern i kärlet. Giltighetsområdet för formlern är e 0,6 D e 0

13 Tunnväggig clindrisk mntlr för inre trck Minst erforderlig godstjockleken eräkns (med eteckningr enligt tidigre) ur:. Beräkningstrcket eräkns ur P Di P De e lterntivt e f P f + P P m f e D m Giltighetsområdet är e 0,6 D e

14 Skruvförnd Smndet melln moment och krft i en skruv M v Fd m tn( α + ρ ) M v är åtdrgningsmomentet F är krften i skruven d m är gängns medeldimeter α är gängns stigningsvinkel µ tn ρ cosβ β är gängns hlv profilvinkel (för M- och UN-gängor är β0 ) µ är friktionskoefficienten i gängn Krftspelet melln skruv och omgivning k F F0 + F k + k F F F k f t 0 k + k f f F 0 är förspänningskrften i skruven F är miml krften i skruven F t är tätningskrften melln fläns och underlg då förndet elsts med ttre lst F är den ttre lsten på vrje skruvförnd

15 Skruvfjädrr Miml skjuvspänningen m och deformtionen δ för en skruvfjäder eror på trådtvärsnittets form, lindningens medeldimeter D, ntlet fjädervrv och krften F. Cirkulärt trådtvärsnitt 8FD 8FD m α δ π 4 d Gd d är trådens dimeter α är formfktorn enligt Bodelind-Perssons tellsmling Rektngulärt trådtvärsnitt Fr m β, g h 5 FD δ γ Gh

16 Kritisk vrvtl Utn hänsn till elmssn är kritisk vinkelhstigheten ω kr k m En slät el med mssn m och utn punktmssor hr en lägst kritisk vinkelhstighet som eror på infästningen: ) en ändpunkten hr momentinspänt lger ω kr E 5, ml ) åd ändpunktern hr momentfri lger ω kr π E ml c) åd ändpunktern hr momentinspänd lger ω kr E, 4 ml Dunkerles formel för lägst kritisk vinkelhstigheten ω kr för en el med n st punktmssor med hänsn också tgen till elmssn där n + ω ω ω kr i kr i kr ω kr i ki m i är egenvinkelhstigheten för mssn i när enrt denn mss finns i sstemet. 4

17 5