Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Transkript

1 Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF1) och F3 (ETE55) Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl , lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson, tel Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i elektromgnetisk fältteori smt klkyltor. Betygsättning: Vrje uppgift ger mimlt 1 poäng. Slutetyget på tentn ges v heltlsdelen v (totlt ntl poäng)/1, dock högst 5. Prolem 1 En cirkulärpolriserd elektromgnetisk våg i vkuum hr följnde elektrisk fält: där k = ω/c. E(r, t) = E {cos (k y ωt) ẑ + sin (k y ωt) ˆ} ) Bestäm vågens utredningsriktning ˆk ) Bestäm mgnetfältet H(r, t) c) Bestäm strålningsvektorn S(r, t) = E(r, t) H(r, t) Prolem 2 En tunn, rk stv v längd 2l är upplddd med en jämnt fördeld totllddning Q. Prllellt med stvens symmetriel, på vståndet från stvens centrum i O ( = ), finns en punktlddningen q, se figur. Hur stort yttre rete W e krävs för tt för punktlddningen till vståndet från stvens centrum (pilen visr förflyttningen (l < < )). l O Q l q Prolem 3 En horisontell elektrisk dipol p = pˆ efinner sig i punkten r = (,, h) ovn ett oändligt stort jordt metllpln, =. I hlvrymden > är det vkuum. Bestäm krften, till storlek och riktning, på en punktlddning q, som efinner sig i punkten (,, 2h). Metll h q p 2h

2 2 Prolem 4 En kvdrtisk sling med sid och resistns R ligger fierd i --plnet med en sidn prllell med en rk ledre. Slingns närmste knt ligger på vståndet från ledren, se figur. Ledren är orienterd längs - eln och för strömmen I(t) = I sin ωt. ) Bestäm det mgnetisk flödet, Φ(t), genom slingn som funktion v tiden. I(t) ) Bestäm den inducerde emk:n, V(t), i slingn som funktion v tiden. c) Bestäm den inducerde strömmen, I Sling (t), (åde storlek och riktning) i slingn som funktion v tiden. d) Bestäm krften, F Sling (t), (åde storlek och riktning) på slingn som funktion v tiden. Det är denn krft som måste motverks (genom en yttre krft) för tt håll slingn på plts. Slingns självinduktns får försumms. Prolem 5 En mgnetisk dipol med dipolmomentet m = ẑm efinner sig i origo. En yt spänns upp v de två hlvcirklrn r = (cos φ, sin φ, ) där φ π och r = (cos ψ,, sin ψ) där ψ π, se figur. ) Bestäm flödet genom ytn genom tt nvänd den mgnetisk flödestätheten och en ytintegrl. m ) Bestäm flödet genom ytn genom tt nvänd vektorpotentilen och en linjeintegrl. y Ledning: Stokes sts säger tt om B = A så gäller ˆn B ds = A dl S C där C är rndkurvn till ytn S. Du finner uttrycken för B och A i formelsmlingen. Prolem 6 En koilkel estår v två metllisk ledre med rdiern och, se figur. Melln ledrn finns en potentilskillnd V. Området melln ledrn är till hälften fyllt med luft (ɛ r = 1) och till hälften med ett dielektrikum med reltiv dielektricitetskonstnt ɛ r, Beräkn systemets elektrosttisk energi per längdenhet uttryckt i ngivn storheter. ɛ r = 1 ɛ r

3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl , lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson. Lösning prolem 1 ) En llmän tidshrmonisk, pln elektromgnetisk våg hr rums- och tidseroendet k r ωt, där k är vågvektorn och ˆk = k/ k är utredningsriktningen. I vårt fll gäller k r = k y där k = ω/c, och därmed är k = k ŷ. Det ger utredningsriktningen ˆk = ŷ Kontroll: ˆk E(r, t) = ŷ E {cos (k y ωt) ẑ + sin (k y ωt) ˆ} = ) Mgnetfältet ges v regeln om högersystem Dett ger H(r, t) = 1 η ˆk E(r, t) = 1 η ŷ E(r, t) H(r, t) = E η {cos (k y ωt) ˆ sin (k y ωt) ẑ} c) Strålningsvektorn ges v S(r, t) = E(r, t) H(r, t) Dett ger S(r, t) = E2 η { cos 2 (k y ωt) ŷ + sin 2 (k y ωt) ŷ } S(r, t) = E2 η ŷ Kommentr: Vågen är en cirkulärpolriserd plnvåg, och då skll gäll tt strålningsvektorn är riktd i utredningsriktningen, och hr en mplitud, som är konstnt i rum och tid.

4 2 Lösning prolem 2 Potentilen i en punkt > l på -eln ges v Aretet W e lir V () = 1 Q 4πɛ 2l l l = Q ln ( + l) W e =q(v () V ()) = = Qq ln d = Q l l Q ln ( l) = ( + l)( l) ( l)( + l) = Qq ln d Q ln + l 8πɛ l Qq ln + l l Qq ln + l l ( 1 + 2l( ) ( + l)( l) ) Lösning prolem 3 q h p 2h p q Vi speglr dipolen i plnet =. Det ger upphov till en spegeldipol p = pˆ i punkten r = (,, h). Vidre ger punktlddningen själv upphov till en spegellddning q i punkten r = (,, 2h). Krften på punktlddningen ges v F = qe(,, 2h) där E(,, 2h) är det elektrisk fältet från dipolen, dess spegeldipol och spegellddningen. Formeln för det elektrisk fältet från en dipol i origo är E = p ( 2ˆr cos θ + 4πɛ r ˆθ ) sin θ 3 där vinkeln θ räkns från positiv -eln. Bidrgen till det elektrisk fältet i (,, 2h) från dipolen är (r = h och θ = π/2) E 1 = p 4πɛ h ˆ 3 och fältet från dess spegeldipol är (r = 3h och θ = π/2) med summ E 2 = p 1 4πɛ h 3 27 ˆ E 1 + E 2 = p 26 4πɛ h 3 27 ˆ

5 3 För spegellddningen gäller tt vståndet 4h. Därmed lir idrget från spegellddningen E 3 = q 1 4πɛ h 2 16ẑ till det elektrisk fältet. Dett ger totlt krften F = qp 26 4πɛ h 3 27 ˆ q2 4πɛ h ẑ Lösning prolem 4 Mgnetisk flödestätheten från en lång, rk ledre ges v B = µ I 2πρ ˆφ, där ρ nger vståndet till ledren. I --plnet är ˆφ = ŷ. I en punkt (,, ), där >, lir den mgnetisk flödestätheten B(,,, t) = µ I(t)ŷ 2π ) Flödet Φ(t) lir (välj ˆn = ŷ, som sedn estämmer positiv omloppsriktning på den inducerde strömmen medurs i figuren) Φ(t) = Sling ) Den inducerde emk:n ges v B(,,, t) ˆn ds = µ I(t) 2π + d = µ I(t) ln + 2π V(t) = dφ(t) dt = µ ωi cos ωt 2π ln + c) Den inducerde strömmen är I Sling (t) = V(t) R och den positiv riktningen är medurs. = µ ωi cos ωt 2πR ln + d) Krften fås v BIL-formeln 1. De åd sidorn som går i -led ger inget net- 1 BIL-formeln är en enämning på krften på slingn L F Sling (t) = I dl B L

6 4 toidrg till krften. De två ndr sidorn ger Lösning prolem 5 Formelsmlingen ger F Sling (t) = I Sling (t)ẑ (B(,,, t) B( +,,, t)) = I Sling (t) µ ( I(t) 1 2π + 1 ) ˆ = µ I(t)I Sling (t) 2 2π( + ) B = µ m (2 cos θˆr + sin θˆθ) 4πr3 A = µ m r 4πr 3 ˆ = µ2 3 ωi 2 sin ωt cos ωt ln + 4π 2 R( + ) = µ m sin θ 4πr 2 ) Eftersom B = kn vi välj en godtycklig yt tt integrer över. Det är enklst tt integrer över ytn v en kvrtssfär: För denn gäller ˆn = ˆr. Ytintegrlen lir Φ = π π/2 µ m 4π 2 cos 3 θ2 sin θ dθ dφ = µ m 4π π ˆφ π/2 ˆ 2 cos θ sin θ dθ = µ m 4 ) Linjeintegrlen kn skrivs Φ = C A dl = π A ˆφ dφ + π A ˆψ dψ Den ndr integrlen är noll eftersom A är vinkelrät mot ˆψ. Därmed fås Lösning prolem 6 Φ = µ m 4 Det elektrisk fältet i området melln ytter- och innerledre hr v symmetri- och rndvillkors-skäl följnde utseende E = E(r c )ˆr c där r c är vståndet till koilkelns centrumlinje. Funktionseroendet hos E(r c ) ges v Guss lg (ntg tt en fri lddning Q/l.e. eisterr på innerledren). Per längdenhet får vi följnde (S en cylinderyt med rdie r c ): Q D ˆn d = Q = πr c ɛ E(r c ) + πr c ɛ ɛ r E(r c ) = Q = E(r c ) = πr c ɛ (1 + ɛ r ) S

7 5 och potentilskillnden V = V (innerledre) V (ytterledre) lir innerledre V = E dl = Q ln(/) ytterledre πɛ (1 + ɛ r ) = E(r c) = Den totl elektrosttisk energin per längdenhet lir W e = 1 2 E D dv = 1 2 V r c ln(/) V 2 ɛ (1 + ɛ r ) rc(ln(/)) πr 2 2 c dr c = V 2 πɛ (1 + ɛ r ) 2 ln(/)