Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015"

Britta Sandström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten med vseende på nodpret. v 0 i 0 En ledningsn eskriven v två hlvcirkelågr med rdier r och r enligt nednstående figur eläggs med metll längs sin kortändr. Ledren hr ledningsförmåg σ och tjocklek t i normlriktningen mot ppperets pln. r σ r ) Bestäm resistnsen. ) Vd lir då r r, dvs r r = d lir mycket litet i förhållnde till r? [Tips: ln( x) x då x 0.]

2 3 I nednstående krets hr strömrytren vrit öppen under lång tid innn den sluts vid t = 0. t = 0 V 0 C C v C (t) ) Beräkn spänningen v C (t) för t > 0. ) Vd är den upplgrde energin i kpcitnsen C då t? c) Vilken effekt utveckls i resistnsen C då t? 4 En elmotor estår v en spole och drr därmed en viss ktiv och rektiv effekt. För tt undvik tt den rektiv effekten sk förses genom krftledningsnätet, görs oft en så klld fskompensering genom tt prllellkoppl en kondenstor över motorns nslutningr. Utöver sin kpcitns C, hr denn kondenstor också en läckresistns C. V 0 C C motor Låt motorns komplex effekt vid vinkelfrekvens ω ges v S m = P m (j tn ϕ). Nätspänningen V 0, vinkelfrekvensen ω, motorns ktiv effekt P m och fsvinkeln 0 < ϕ < π/ etrkts som känd. ) Vilken kpcitns C krävs för tt den totl rektiv effekten sk li noll? ) Vd lir den ktiv effekten i C? Vd är mest fördelktigt, en liten eller stor resistns C?

3 5 0 v in (V) t (ms) v in v ut () 5 V v in v in v ut v ut () (c) Diodern i ovnstående schemn är idel, och insignlen längst upp till vänster nvänds i ll fllen. it grfern för utspänningrn för kretsrn (), () och (c). Ange nog mplituder och tider. 6 Nednstående krets är en kpcitnsmultipliktor, som kn nvänds för tt ök den effektiv kpcitnsen i en krets. 3 C C Betrkt, och C som känd storheter, och OP-förstärkren som idel. Vis hur 3 och C kn väljs så tt kretsrn är ekvivlent etrktde från nodpren. Vd är C /C? 3

4 Lösningr Prolemet kn löss genom successiv trnsformtioner melln Thévenin- och Nortonekvivlenter. Omvndl den vänstr prlllellkopplingen v en resistns och en strömkäll till en Théveninekvivlent: v 0 i 0 Seriekoppling v spänningskällor och resistnser ger i 0 v 0 i 0 v 0 Prllellkopplingen // ger resistnsen =. En sist trnsformtion ger 3 3 i 0 v 0 3 vilket utgör den sökt Théveninekvivlenten. Introducer ström i, spänning v, och koordinter r c och ϕ enligt nedn: r c r σ ϕ r i v i 4

5 Symmetri ger tt strömtätheten pekr i ϕ-riktningen, med en mplitud som endst kn ero på r c : J(r) = J(r c )e ϕ E(r) = σ J(r c)e ϕ Spänningen fås genom en integrl från till : v = E(r) dr = π ϕ=0 σ J(r c)e ϕ e ϕ r c dϕ = }{{} σ J(r c)r c π J(r c ) = σ r c π v =dr Den totl strömmen i ges nu genom en integrl över tvärsnittet: i = t z=0 Dett ger resistnsen r J(r c )e ϕ e r c=r }{{} ϕ dr c dz = t σ r }{{} π v dr c r r c =J =e n ds = v i = π tσ ln(r /r ) = tσv π ln r r För tt undersök vd som händer då r r, sätter vi r = r d och undersöker gränsen d 0. Vi hr ln r r = ln r r d = ln = ln( d/r ) d, d/r 0 d/r r Dett ger πr σtd, d/r 0 vilket är det förväntde uttrycket för en lång sml tråd med längd πr och tvärsnittsyt td. π Svr: ) =. ) tσ ln(r /r ) πr då d/r σtd 0. 3 ) För t > 0 kn vi ersätt kretsen till vänster om kpcitnsen med en Théveninekvivlent. Dess tomgångsspänning ges v spänningsdelning melln C och till C V C 0, och dess inre resistns är C // = C C. Vi hr då C C C C V 0 C i C v C (t) KVL och i C = C dv C ger C C V 0 C C C dv C v C(0) = 0 dv C C C C v C = V 0 C 5

6 Denn differentilekvtion hr lösningen (där vi utnyttjr tt v C (0) = 0 på grund v tt kpcitnsen är energitom vid t = 0) v C (t) = t 0 e (t t) C V C C 0 C = V [ 0 C C C C e(t t) ] C t C C t =0 ( ) C = V 0 e t C C C C ) Då t lir v C ( ) = V C 0 C. Den upplgrde energin i kpcitnsen är då w C = Cv C( ) = ( ) V 0 C C C c) Smm spänning ligger över C som över C. Dett ger effektutvecklingen Svr: ) v C (t) = V 0 4 C C C P C = v C( ) = V0 C ( C ) ( e t C C C ). ) w C = V 0 C ( C C ). c) PC = V 0 C ( C. ) ) Den rektiv effekten i motorn är Q m = P m tn ϕ. Den rektiv effekten i kpcitnsen är Q C = Im( V I ) = Im( ) = ωc V 0. För tt erhåll Q m Q C = 0 krävs C = Pm tn ϕ ω V 0. V 0 Z C ) Smm spänning V 0 ligger över C, vilket ger den ktiv effekten P C = För tt minsk denn effekt (som är oönskd) är ett högre C ättre än ett lägre. 5 ) Dioden spärrr då v in < 0, vilket ger v ut = 0. Då v in > 0 ges v ut = v in / genom spänningsdelning. 0 v in (V) V 0 C t (ms) ) Det krävs nu v in > 5 V för tt dioden sk led. När dett sker lir v ut = v in 5 V, nnrs är v ut = 0. Kurvn lir densmm som i uppgift ). c) Då v in > 0 leder den övre vänstr och nedre högre dioden, medn de ndr spärrr. Då v in < 0 är situtionen den motstt. Vi hr lltså följnde två situtioner: 6

7 v in > 0 v in < 0 v ut v ut v ut = v in / v ut = v in / Dett medför v ut = v in /, och vi får grfen 0 v in (V) t (ms) 6 Vi örjr med tt härled förhållndet melln ström och spänning i kretsen till höger: i 3 v C Förhållndet melln ström och spänning över kpcitnsen ger i = C dv C = C d(v i 3 ) di i = dv 3 C 3 ( ) Det är inte nödvändigt tt lös denn differentilekvtion, vi ehöver r identifier motsvrnde ekvtion för kretsen till vänster. I denn krets ger negtiv återkoppling tt spänningen melln OP-ingångrn är noll, och vi kn introducer en nodpotentil v enligt nedn. 7

8 i v v v C Strömmen i är i = v v v ( v = ) (v v) Eftersom ingen ström kn gå in i plus-ingången på OP:n hr vi också v v = C dv Vi kn lös ut v från den först ekvtionen, v = v ) = C i och kominer med den ndr för tt erhåll ( v v i d = ( v Dett kn skrivs om som en differentilekvtion di ( i = C i ) dv ) = C dv Jämför vi med ekvtion ( ) identifierr vi 3 = och C = 3 C C = ( C = C ) 3 Svr: 3 = och C = C ( / ). Kvoten C /C = / kn görs stor om / görs stor. Kommentr: uppgiften kn också löss genom tt gör en Fourier- eller Lplce-trnsform v kretsrn och sätt impednsern lik för ll frekvenser. 8

Relevanta dokument

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn