Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH"

Transkript

1 Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH

2 X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn smm symbol som den primitiv funktionen f(x) dx, men mn måste nog håll isär dem. I den endimensionell nlysen gäller den s.k. insättningsformeln F (x) = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (), så släktskpet är uppenbrt. Men den bestämd integrlen definiers egentligen på ett helt nnt sätt: mn kn se den som ren under grfen till f, om vi räknr ren med tecken så tt den är negtiv då ren ligger under x-xeln. På ett motsvrnde sätt definiers integrlen v funktioner v två vribler som en volym med tecken, o.s.v. Vi sk här introducer den bestämd integrlen genom insättningsformeln, eftersom det är så vi rbetr med den när vi sk bestämm den. Därefter sk vi se hur den så definierde bestämd integrlen kn tolks som en re med tecken. På vägen ser vi då tt vi till en godtycklig kontinuerlig funktion kn konstruer en primitiv funktion genom tt mät just ren under grfen och får därför tt ll kontinuerlig funktioner hr en primitiv funktion. Slutligen sk vi se lite på hur vi numeriskt kn bestämm en bestämd integrl när vi inte kn bestämm en formel för den primitiv funktionen. En ordentlig genomgång v den bestämd integrlen kräver egentligen tt mn börjr i ndr änden och definierr den som en re eller volym. Dett görs i integrtionsteorin, men det lämnr vi till en egen kurs. Efter tt vi på dett sätt hr bestämt vd en bestämd integrl är, tittr vi närmre på dess tolkning i form v ett gränsvärde v summor, s.k. Riemnnsummor. När vi gör det tittr vi också närmre på vd integrnden egentligen är för typ v objekt och vi ntyder hur tolkningen vi Riemnnsummor hjälper oss tt förstå de prktisk tillämpningrn v integrler. Slutligen generliserr vi den bestämd integrlen lite. Vi kn se den bestämd integrlen som tt vi integrerr en funktion längs ett intervll med vseende på x. Betydelsen v x är tt den mäter båglängd på dett kurvstycke. Mer precist, dx är längden v ett (infinitesimlt) liten bit v intervllet. Dett kn generlisers till tt vi integrerr funktioner (v två vribler) längs pln kurvor med vseende på båglängden, lltså längden v kurvn. Krvet är br tt kurvn är en styckvis C -kurv, så tt vi kn definier båglängden på den. Vi sk se hur dett definiers och tt den prktisk beräkningen v en sådn integrl innebär tt vi beräknr en vnlig bestämd integrl. Vi vslutr sedn med någr tillämpningr på hur mn kn beräkn volymer och reor v rottionskroppr. Den bestämd integrlen Låt f vr en funktion som är kontinuerlig i en omgivning till [] intervllet [, b]. Om F är en primitiv funktion till f i denn omgivning, kllr vi skillnden F (b) F () för den bestämd integrlen v f över intervllet [, b]. Denn beror uppenbrligen inte på vilken primitiv funktion vi väljer, ty om G är en nnn primitiv funktion till f så vet vi tt G(x) = F (x) + C för någon konstnt C. Det följer tt G(b) G() = F (b) F ().

3 X. Integrlklkyl 2 (8) Den bestämd integrlen beror därför endst v f och intervllet [, b] och vi inför därför beteckningen f(x) dx för denn. En nnn beteckning som är oft nvänd är [F (x)] b. Vi hr därför tre olik beteckningr för smm sk: f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Av dess sk vi ge den först en lterntiv tolkning i näst vsnitt medn den mellerst är en bekväm kortform v den till höger, som är vår ursprunglig definition. Exempel Vi hr tt 6 3 [ x x 2 3 dx = 3 ] 6 3 = = 63. När mn nvänder den först v beteckningrn ovn kn det vr värt tt noter tt det inte spelr någon roll vd mn kllr integrtionsvribeln. Vi hr t.ex. f(x) dx = f(u) du = f(t) dt och så vidre, eftersom i ll fllen är det tlet F (b) F () som sk beräkns. Vi tillåter fllen = och b = under förutsättning tt integrlen får mening som ett gränsvärde. T.ex. sk tolks som f(x) dx X lim f(x) dx = lim (F (X) F ()). X X Exempel 2 Vi hr tt dx x 2 = [ x ] = lim X ( X + ) = + =.

4 X. Integrlklkyl 3 (8) På smm sätt tillåter vi tt funktionen f endst är definierd och kontinuerlig på det öppn intervllet ], b[ om vi kn beräkn integrlen över ll intervll [α, β], där < α < β < b, och får ett gränsvärde när α och β b. Här behöver vi inte gör gränsövergång i en ände där integrnden f är kontinuerlig. Exempel 3 dx dx = lim = lim(2 2 α) = 2. x α α x α Vi hr lite terminologi till dett. En integrl f(x) dx där f är kontinuerlig på det öppn intervllet (, b), men inte på det slutn intervllet [, b], klls en generliserd integrl. En sådn måste lltså beräkns genom (minst) en gränsövergång. Om dett gränsvärde existerr och är ändligt sägs integrlen konverger, nnrs sägs den diverger. Anmärkning Det är oft möjligt tt vgör om en generliserd integrl är konvergent eller inte utn tt de fcto beräkn den. Speciellt enkelt är dett om integrnden är, för då finns det br två möjligheter för den generliserde integrlen, ntingen () är den konvergent, eller (2) så blir gränsvärdet. Kn mn då hitt en lite större funktion vrs integrl är konvergent, så blir också den givn integrlen konvergent. Alterntivt, om mn hittr en lite mindre funktion, vrs integrl är divergent, så blir också den givn integrlen divergent. Vi sk nu ge ett ntl räkneregler för den bestämd integrlen, vilk ll är direkt konsekvenser v dess definition: ) f(x) dx =, b) c) d) f(x) dx = b cf(x) dx = c f(x) dx, f(x) dx, (f(x) + g(x))dx = f(x) dx + g(x) dx, e) f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. c Den sist formeln är ekvivlent med tt F (b) F () = (F (c) F ()) + (F (b) F (c)). Noter tt det inte finns något krv på tt c sk ligg melln och b. En nnn viktig observtion är tt om g(x) f(x) i [, b] så gäller tt g(x) dx f(x) dx.

5 X. Integrlklkyl 4 (8) Bevis. Vi börjr med fllet tt g(x) = överllt. Då är f(x) och dess primitiv funktion är därför växnde i intervllet, vrför f(x) dx = F (b) F (). Ur dett följer sedn tt om f(x) g(x) överllt, så är Dett är påståendet. f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx. En direkt konsekvens v dett är tt om m f(x) M för x b, så gäller tt m b f(x) dx M. Till dess räkneregler kommer sedn formeln för prtiell integrtion: f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x)dx, vilken följer direkt ur motsvrnde formel för primitiv funktioner, smt Sts : Stsen om vribelsubstitution Om f är en kontinuerlig funktion och g en deriverbr och strängt monoton funktion sådn tt g(α) = och g(β) = b, så gäller tt f(t) dt = β α f(g(x))g (x)dx. Denn sts följer nturligtvis direkt ur kedjeregeln som tidigre. Hur mn prktiskt kn skriv ut räkningrn frmgår v näst exempel. Exempel 4 xdx + x 2 = t = + x 2 dt = 2xdx t() =, t() = 2 2 dt [ ] 2 2 t = t = 2. Funktionern g(x) i stsen ges lltså här v g(x) = + x 2 men nvänds som en ny vribel t.

6 X. Integrlklkyl 5 (8) Om Mclurinutvecklingr Redn i kpitlet Anlys v polynomfunktioner diskuterde vi den s.k. Tylorutvecklingen v en funktion kring en punkt. Vi sk nu se hur mn enkelt får denn formel med hjälp v prtilintegrtion och ett välkänt trick. För tt förenkl diskussionen börjr vi med tt nt tt = (Tylorutvecklingen klls då Mclurinutvecklingen). Vi ntr tt vi hr en funktion f definierd i en omgivning v origo som är så mång gånger deriverbr som resonemnget kräver, och tt ll dess derivtor är kontinuerlig. Insättningsformeln ger nu tt f(x) f() = x f (u)du = x f (xt)dt. Här hr vi i sist likheten infört ny vribel t genom smbndet u = xt (x i resonemnget är ett fixt tl). Men här kn vi skriv integrnden som f (xt) och prtilintegrer genom tt t t som primitiv funktion till :n: ) x f (xt)dt = x f (xt)d(t ) = x ([(t )f (xt)] (t )f (xt)x dt Med ndr ord, = xf () + x 2 ( t)f (xt) dt. f(x) = f() + xf () + x 2 ( t)f (xt) dt. Innebörden v dett är tt om vi pproximerr skillnden f = f(x) f() med df = f ()x så ges skillnden v uttrycket f df = x 2 ( t)f (tx)dt. Dett kn nvänds till mycket, men vi vhåller oss ifrån tt diskuter det här [2]. Istället fortsätter vi processen och betrktr integrlen ( t)f (xt)dt. Nu är ( t) 2 /2 en primitiv funktion till ( t), så vi hr tt ( t)f (xt)dt = f (xt)d( ( t)2 f (xt)xdt = f () + x Tillsmmns med formeln ovn får vi nu tt f(x) = f() + f ()x + f () x2 2 + x3 2 ] ( t)2 ( t)2 ) = [ f (xt) 2 2 ( t) 2 f (xt)dt. ( t) 2 f (xt)dt. Dett klls Mclurinutvecklingen v ordning 2 v funktionen f. Andrgrdspolynomet utgör Mclurinpolynomet medn den sist termen, den med integrlen, utgör resttermen. Upprepr vi förfrndet en gång till (gör det som övning) får vi f(x) = f() + f ()x + f () x2 2 + f () x3 6 + x4 6 ( t) 3 f (4) (xt)dt,

7 X. Integrlklkyl 6 (8) vilket då klls Mclurinutvecklingen v ordning 3 v funktionen f. Vi inser nu tt vi llmännre hr Mclurinutvecklingen v ordning n: f(x) = n k= f (k) () xk k! + xn+ n! ( t) n f (n+) (xt)dt, där polynomet klls Mclurinpolynomet v ordning n och den sist termen är resttermen. Resttermen i Mclurinutvecklingen kn lterntivt skrivs på Lgrnge s form x n+ R n+ (x) = f (n+) (θx) (n + )! där θ i llmänhet beror på x. Att så är fllet följer med hjälp v följnde sts. Sts 2: Integrlklkylens medelvärdessts Antg tt f, φ är två kontinuerlig funktioner på ett kompkt intervll [, b] sådn tt φ överllt. Då finns ett θ ], b[ sådnt tt f(t)φ(t) dt = f(θ) φ(t) dt. Bevis. Dett följer v tt f min f(t)φ(t) dt φ(t) dt f mx, där f min, f mx är minst respektive störst värdet v f på det kompkt intervllet [, b]. Men enligt stsen om mellnliggnde värden följer då tt det finns ett θ i intervllet sådnt tt kvoten ovn är lik med f(θ). För tt få Lgrnge s form på resttermen ur dett tr vi som f i stsen t f (n+) (xt) och φ(t) = ( t) n. Vi får då x n+ n! ( t) n f (n+) (xt)dt = xn+ n! f (n+) (θx) Den llmänn Tylorutvecklingen kring en punkt f(x) = n k= f (k) (x )k () k! + (x )k+ k! x n+ ( t) n dt = f (n+) (θx) (n + )!. ( t) k f (k+) ( + (x )t)dt, fås genom tt nvänd Mclurinutvecklingen på funktionen g(t) = f( + t) och sätt t = x. Nturligtvis kn resttermen skrivs på (en modifiktion v) Lgrnges form även nu.

8 X. Integrlklkyl 7 (8) Integrlen mäter en re Vi sk nu gör en geometrisk tolkning v uttrycket f(x) dx, som i sin tur sk gör det möjligt för oss tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. Vi börjr med tt gör en indelning = x < x <... < x n = b v intervllet [, b] i delintervll. Vi hr då tt F (b) F () = n (F (x k ) F (x k )). k= Ur medelvärdesstsen [3] och eftersom F = f, följer tt det i vrje intervll [x k, x k ] finns (minst) ett ξ k sådnt tt F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ). Högerledet kn tolks som ren v en rektngel med bs v bredd k x = x k x k och höjd f(ξ k ). Noter tt ren här räkns med tecken: om f(ξ k ) < blir ren negtiv. Om vi summerr ll bidrgen får vi tt f(x) dx = F (b) F () = n f(ξ k ) k x. k= Högerledet åskådliggörs i figuren nedn. y x x 2... x k ξ k x k+... b x Av figuren verkr det som tt summn v rektngelreorn är lik stor som ren under kurvn. [4] Vi vill därför tolk f(x)dx = Aren under grfen y = f(x) över [, b].

9 X. Integrlklkyl 8 (8) Vi nvänder här uttrycket ren under grfen till tt men ren melln grfen och x- xeln, räknd positiv om grfen ligger ovnför x-xeln och negtiv om grfen ligger under x-xeln. Även om vi nu gjort dett troligt, så hr vi inte vist det strängt. För det måste vi nämligen först definier vd vi menr med ren under grfen och sedn dr slutstsen tt resonemnget ovn ger resulttet. Denn diskussion lämns till en diskussion om den s.k. Riemnn-integrlen, vilket är det begrepp som fyller igen hålen i resonemngen ovn. Det vi åstdkommit är tt vi fått en definition v f(x) dx även om vi inte hr en primitiv funktion till f, under förutsättning tt ren under grfen är väldefinierd. Men nu visr det sig tt vi kn nvänd denn definition till tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. För tt gör dett låter vi f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och vi definierr S(x) = x f(t) dt, x b. () Här beräkns högerledet lltså som ren under grfen till f. Vi sk då vis tt S är en primitiv funktion till f. Sts 3: Anlysens huvudsts Om f är kontinuerlig på intervllet [, b] så gäller tt funktionen S(x) definierd v () är deriverbr med derivtn S (x) = f(x). Bevis. För tt vis tt S är deriverbr i punkten c skriver vi S(x) S(c) = x c f(t) dt = H(x)(x c), (2) där höjden H(x) är npssd så tt rektngeln som hr som bs det intervll som hr ändpunkter c och x och höjd H(x), hr smm re (räknd med tecken) som området (grått i figuren) under grfen över intervllet [c, x]. Men vi ser då tt H är en kontinuerlig funktion i x = c; dess värde i x = c är helt enkelt H(c) = f(c). Dett därför tt H(x) min [c,x] f(x) H(x) mx f(x) [c,x] c x och om f är kontinuerlig i c gäller tt mx [c,x] f(x) min [c,x] f(x) då x c. Men enligt (2) visr dett både tt S är deriverbr och tt S är en primitiv funktion till f. Dett bevisr stsen.

10 X. Integrlklkyl 9 (8) Enligt nlysens huvudsts hr lltså vrje kontinuerlig funktion en primitiv funktion, vilken kn konstruers genom tt vi beräknr ren under dess grf från en strtpunkt. Om vi byter strtpunkt ändrr vi endst funktionen med en konstnt. Anmärkning Vi kunde kortt beviset lite genom tt hänvis till integrlklkylens medelvärdessts. Exempel 5 Det går inte tt hitt en primitiv funktion till funktionen f(x) = e x2 som kn uttrycks i de elementär funktionern. Anlysens huvudsts säger emellertid tt det finns en primitiv funktion; en sådn kn definiers genom S(x) = x e t2 dt och beräkns lltså genom tt vi beräknr ren melln grfen y = e t2 över intervllet [, x]. och t-xeln Anmärkning Med integrlen definierd som ren under kurvn kn vi lltså se tt vrje kontinuerlig funktion hr en primitiv funktion. Om F = f på [, b] hr vi sett ovn tt f(x) dx = F (b) F (), (3) och därmed lltså vår ursprunglig definition. Därmed gäller utomtiskt de räkneregler som vi diskuterde i föregående vsnitt. Det är därför genom dett resonemng den riktig definitionen v den bestämd integrlen går. Upplägget här vr mest till för tt börj med tt gör kopplingen till primitiv funktioner. Formeln (3) klls nu för insättningsformeln. Vi bevisde den i börjn v dett vsnitt, där den nvändes till tt motiver definitionen v den bestämd integrlen som en re under kurvn. Mn kn också härled den enkelt ur nlysens huvudsts. Ett sätt tt definier den nturlig logritmen Det som krkteriserr den nturlig logritmen ln x är tt den är noll då x = och tt dess derivt är /x. Men det betyder tt vi hr tt ln x = x Vi kn fktiskt nvänd dett till tt definier den nturlig logritmen. Vi hr ju ovn sett tt högerledet definierr en deriverbr funktion vrs derivt är /x och funktionen är då x = eftersom vi då integrerr endst över en punkt. Vi sk nu se vilk egenskper den funktion får som vi definierr på dett sätt (mer precist sk vi se tt vi ur denn definition kn härled logritmens ll egenskper). dt t.

11 X. Integrlklkyl (8) Det först vi ser är tt ln x är positiv då x > och negtiv då x < och noll då x =. Vidre gäller tt xy dt x t = du u = ln x y vilket mn ser genom tt gör vribelbytet t = yu. Men då ser vi tt xy dt t = y dt t + xy y dt t = y dt t + Dett är inget nnt än den grundläggnde logritmlgen Vi kn vis den ndr logritmlgen på ett motsvrnde sätt: x y ln(xy) = ln x + ln y. ln x y = y ln x dt x t = yu y du x ydu = u y u där vi gjorde vribelbytet t = u y i integrlen. x = y ln x, Vi hr därmed härlett logritmens viktigste egenskper, de som gör den så nvändbr. När vi hr den nturlig inversen kn vi nturligtvis konstruer dess invers. Den så uppkomn funktionen blir exponentilfunktionen exp(x). Som invers till logritmen ser vi tt den får egenskpen tt exp = exp och tt exp() =. Vidre följer direkt ur logritmlgrn tt exp(x + y) = exp(x) exp(y) och (exp(x)) y = exp(yx). Ur dess ser vi sedn tt exp(x) = e x där e = exp(). Härigenom hr vi nu konstruert en funktion som löser problemet y (x) = y(x), y() =. dt t. Anmärkning Det kn vr intressnt tt noter tt x t α dt = xα α = eα ln x α ln x då α. Om numerisk beräkning v integrler Om vi inte kn beräkn en integrl f(x) dx genom tt finn en primitiv funktion, hur gör mn då för tt beräkn den?

12 X. Integrlklkyl (8) Det finns ett flertl numerisk metoder för dett ändmål. En enkel sådn klls trpetsmetoden och tillgår på följnde sätt. Först delr vi in intervllet i n delr: = x < x <... x n = b och inför beteckningen y k = f(x k ) för funktionsvärdet i indelningspunktern. Oft väljer mn indelningspunktern så tt vrje delintervll [x k, x k ] hr smm längd, men det är inte nödvändigt och iblnd inte ens önskvärt. y x x 2 x 3 x 4 b x Trpetsmetoden innebär nu tt mn i intervllet [x k, x k ] ersätter funktionskurvn med den rät linje som förbinder ändpunktern (x k, y k ) och (x k, y k ) (se figuren nedn). Aren v det så uppkomn prllelltrpetset är då y k + y k (x k x k ). 2 Summerr vi ll dess trpetsreor får vi tt ren under polygonkurvn blir n k= Dett ger en pproximtion v integrlen, dvs y k + y k (x k x k ). 2 f(x)dx n k= y k + y k (x k x k ). 2 Hur br denn pproximtion är, är en nnn fråg som vi inte bryr oss om här. Om delintervllen [x k, x k ] ll är lik, med intervllängd x = x k x k, blir denn formel gnsk enkel. Utom i ändpunktern förekommer y k två gånger i summn, vilket betyder tt det då gäller tt f(x)dx ( y + y n 2 n + y k ) x. k=

13 X. Integrlklkyl 2 (8) Exempel 6 Låt oss pproximtivt beräkn d (lltså ln 2) genom tt del in intervllet [, 2] i 5 lik stor delintervll och nvänd trpetsformeln på dett. Vi får då följnde värdetbell Trpetsformeln blir i dett fll dx x x k : y k : ( ) = vilket därför blir ett närmevärde på integrlen. Det exkt värdet, till tre decimler, är.693. Integrlen är en oändlig summ Vi hr sett tt integrlen f(x)dx nturligt tolks som en re. Det är emellertid för mång tillämpningr inte det sätt mn sk tolk integrlen på. I vår diskussion såg vi tt vi också hde tt n f(x)dx = f(ξ i ) i x, i x = x i x i i= för någr tl ξ i [x i, x i ]. Vi kn därför tolk integrltecknet som en uppmning tt summer uttryck på formen f(x)dx; fktum är tt integrltecknet är just ett svängt S för summ. För tt gör dett lite mer konkret sk vi försök tolk uttrycket f(x)dx. Men den stor poängen med denn diskussion är tt den hjälper oss tt se när och hur integrler dyker upp i tillämpningr. Det hndlr då om tt bygg storheter genom tt lägg ihop delr som vi kn beräkn. Ett enkelt exempel är volymen v rottionskroppr. Exempel 7 Om vi roterr grfen y = f(x), x b runt x-xeln uppstår en kropp. Dess volym kn beräkns med hjälp v en integrl på följnde sätt. Argumentet beskrivs i text nedn, och finns grfiskt illustrert i en figur efter texten. Vi tänker oss tt vi snittr kroppen med pln som går vinkelrät mot rottionsxeln (lltså x-xeln). Snittet som ligger på vståndet x från origo består v en cirkeskiv med rdien f(x) och centrum på rottionsxeln, så dess re är därför lik med A(x) = πf(x) 2. Vrje snitt tänker vi oss hr en tjocklek dx, vilken vi tr som väldigt

14 X. Integrlklkyl 3 (8) liten. Då får snittet en volym, som beräkns genom dv (x) = A(x)dx = πf(x) 2 dx. Den totl volymen v kroppen får vi genom tt summer dess skivor, vilket enligt resonemnget ovn innebär tt vi sk beräkn integrlen V = dv (x) = πf(x) 2 dx. Anmärkning Här tänker vi på det som tt vi hr tunn skivor vrs volym vi pproximerr med A(x)dx. Vi får då en pproximtion v volymen i form v en Riemnnsumm, som pproximtivt är integrlen. En pproximtion som br bli bättre om vi gör ännu tunnre skivor. Dett resonemng görs solitt i kpitlet om Riemnnintegrlen. y dx y = f(x) f(x) x x Snittets dimensioner: Are: πr 2 = π[f(x)] 2 Tjocklek: dx Volym: dv = Are tjocklek = π[f(x)] 2 dx Integrtion längs en kurv För tt vidre illustrer integrlen som en summ sk vi utvidg den till tt definier och beräkn integrtion längs en kurv i plnet. Dett kommer tt vr en generlisering v integrlen f(x) dx, men när mn de fcto sk beräkn en sådn integrl återförs problemet på tt beräkn en vnlig bestämd integrl.

15 X. Integrlklkyl 4 (8) Vi sk börj med tt definier båglängden v ett kurvstycke γ = {c(t) = (x(t), y(t)), t [, b]}. Dett är en funktion s(x, y) som mäter hur långt det är längs kurvn från en ändpunkten, säg c(), till punkten (x, y) på kurvn. Om vi tolkr t som en tid, så ges frten vid tiden t v uttrycket c (t). Frten gånger tiden är sträckn, så under ett litet tidsintervll [t, t+dt] bör vi hinn sträckn ds = c (t) dt. Summerr vi ll sådn små delsträckor får vi den totl båglängden som L = c (t) dt. Anmärkning Det finns ett ekvivlent sätt tt definier båglängden som är intressnt i sig själv. Vi börjr då med tt definier ett polygon som en kurv som består v rät delstycken. Längden v en sådn beräkns enkelt: om hörnpunktern är (x i, y i ) så ges vståndet melln (x i, y i ) och (x i, y i ) enligt Pytgors sts v L i = (x i x i ) 2 + (y i y i ) 2 och den totl längden v polygonet blir då L P = n i= L i. Om vi nu väljer dess punkter på vårt kurvstycke så tt (x i, y i ) = c(t i ), så kn vi skriv dett som L P = n (x(ti ) x(t i )) 2 + (y(t i ) y(t i )) 2. i= Men nu ger medelvärdesstsen tt x(t i ) x(t i ) = x (ξ i )(t i t i ) med t i ξ i t i, och likdnt för y. Vi ser därför tt om vi gör indelningen finre och finre så får vi tt L P x (t) 2 + y (t) 2 dt = L. Vi ser tt vi får smm integrl tt beräkn med denn (mer mtemtiskt korrekt) härledning. Exempel 8 Vi sk räkn ut längden v kurvn γ = {c(t) = (3t 2, 3t t 3 ); t 2}. Deriverr vi prmetriseringen får vi tt c (t) = (6t) 2 + (3 3t 2 ) 2 = 3 + 3t 2, så längden ges v c (t) dt = 2 γ (3 + 3t 2 )dt =. Följnde exempel visr nu vrför det kn finns nledning tt integrer en funktion m..p. båglängden.

16 X. Integrlklkyl 5 (8) Exempel 9 Vi tänker oss tt kurvstycket γ i en krt beskriver en väg i ett bergigt lndskp. Om vi vill kör en bil längs den vägen så tt vi håller frten konstnt hel tiden, kommer bensinförbrukningen (L/mil) tt vrier i olik punkter på γ: i uppförsbckr går det åt mer bensin än i nedförsbckr, och hur mycket beror v hur brnt bcken är. Om vi fixerr vilken hstighet vi sk åk med, kn vi tänk oss tt det finns en funktion, definierd på vägen men ingen nnnstns, sådn tt f(x, y) ger bensinförbrukningen i punkten (x, y) på γ. Vi vill nu beräkn den totl bensinförbrukningen längs hel vägen. Om vi kör en miniml sträck ds från punkten (x, y), så kommer bensinförbrukningen på den lill delsträckn tt vr f(x, y)ds. Om vi summerr ll sådn bidrg får vi den totl bensinförbrukningen längs vägen. Genom tt generliser diskussionen i exemplet leds vi till tt för funktioner f som är kontinuerlig på ett kurvstycke γ definier en integrl, som vi betecknr f(x, y)ds. Om γ = {c(t), t b} kn vi beräkn denn integrl med hjälp v formeln f(x, y)ds = f(c(t)) c (t) dt. Dett därför tt ds = c (t) dt. γ γ Exempel Låt oss integrer funktionen f(x, y) = x + y längs kurvstycket i föregående exempel. Då gäller tt f(c(t)) = 3t 2 +3t t 3 och eftersom c (t) = 3+3t 2 får vi tt 2 f(x, y)ds = (3t + 3t 2 t 3 )(3 + 3t 2 )dt = 8.3. γ Kort om någr ytterligre tillämpningr v integrler Vi hr ovn diskutert hur viss rottionsvolymer och båglängd kn beräkns med hjälp v integrler. I dett, sist, vsnitt sk vi kort diskuter någr ndr tillämpningr v liknnde typ. Rörformeln Vi såg ovn tt en rottionskropp som uppkommer genom tt vi roterr en kurv runt x-xeln får en volym som ges v integrlen πy 2 dx.

17 X. Integrlklkyl 6 (8) Här bestäms y v x (även om den inte måste vr given som en funktion v x [5] ). Om vi istället roterr runt y-xeln får vi en motsvrnde formel som är d c πx 2 dy där nu x bestäms v y. Den volym vi får är den volym vi får om vi roterr området melln y-xeln och kurvstycket runt y-xeln. Formeln är helt nlog med den för rottion runt x-xeln vi br byter roll på x och y. Prktiskt innebär det tt om kurvstycket är givet v y = f(x) så måste vi beräkn inversen x = f (y). Det finns ett lterntivt sätt tt beräkn en rottionsvolym runt y-xeln (som nturligtvis hr en motsvrighet för rottioner runt x-xeln). För tt introducer det betrktr vi först ett exempel. Exempel Vi vill beräkn den volym vi får om vi roterr en rektngel ett vrv runt y-xeln. Dett är illustrert i figuren nedn. y x x 2 Om rektngeln hr som bs intervllet [x, x 2 ] och höjd y blir den roterde rektngeln området melln två cirkulär cylindrr, den yttre med rdien x 2 och den inre med rdien x. Båd hr höjden y. Bsren för området är πx 2 2 πx 2, så volymen blir V = π(x 2 2 x 2 )y = π(x 2 + x )(x 2 x )y. Om vi låter x vr mittpunkten i intervllet, x = (x + x 2 )/2 och dx intervllets längd, dx = x 2 x, betyder det tt volymen är V = 2πxydx. Hur kn vi nvänd denn informtion till tt förstå hur vi kn beräkn volymen som fås om vi roterr det grå området i figuren till höger ett vrv runt y-xeln? Vi tänker oss tt vi styckr upp området melln x- xeln och kurvn i sml strimlor v bredd dx, illustrert med den blå linjen. När en sådn roters runt y-xeln blir den en cylinder vrs bsre är 2πx dx och höjd y. Genom tt summer ll dess tunn cylindrrs volymer får vi följnde formel för volymen under ytn och plnet: 2πxydx. d x dx y b

18 X. Integrlklkyl 7 (8) Denn formel klls rörformeln. Noter dock tt när vi nvänder rörformeln får vi en nnn volym än den volym vi får när vi nvänder formel π d c x2 dy ovn. Den volym vi beräknr med den senre är den volym vi får om vi roterr det gul området i figuren runt y-xeln. Anmärkning Allmänt gäller tt 2πxydx = π(b 2 d 2 c) vilket vi kn få genom en prtilintegrtion: 2πxydx = π yd(x 2 ) = π[yx 2 ] b π d c πx 2 dy, x 2 dy = π(b 2 d 2 c) Läsren kn själv identifier formeln grfiskt genom tt observer tt π(b 2 d 2 c) = π(b 2 2 )d + π 2 (d c). d c πx 2 dy. Rottionsreor Den yt vi får när vi roterr ett kurstycke runt en xel kn vi också vilj beräkn ren v. Dett är i grunden lite subtilre, och kräver en ordentlig definition v vd som mens med ren v ett ytstycke. Men utn tt h en sådn kn vi härled en formel som rimligen ger ren v en rottionsyt (och gör det, när mn gjort grundrbetet). Liksom ovn börjr vi med ett exempel: Exempel 2 Om vi roterr ett litet linjestycke runt en xel får vi en yt såsom illustrers nedn. Denn kn ses som ett bnd på en cirkulär kon som illustrers med hjälp v de streckde linjern. För tt beräkn ren v bndet klipper vi upp konen längs den röd linjen och vecklr ut den. Vi får då en cirkelsektor som i figuren till höger. y 2 y ds 2πy 2 2πy α R ds x x 2 Aren v en cirkesektor är hlv vinkeln gånger rdien i kvdrt. Med beteckningr från figuren hr vi dessutom tt αr = 2πy, α(r + ds) = 2πy 2, från vilket det följer

19 X. Integrlklkyl 8 (8) tt A = α 2 ((R2 + ds) 2 R 2 ) = α 2 (2R + ds)ds = π(y + y 2 )ds = 2πy ds. Här hr vi stt y = (y + y 2 )/2. Om vi nu roterr en kurv som är styckvis linjär runt x-xeln så ser vi tt vi sk summer ett ntl reor v typen i exemplet. En (styckvis) C kurv kn pproximers godtyckligt väl med styckvis linjär kurvor, vilket gör tt vi kn tänk oss tt när vi roterr ett sådnt kurvstycke runt x-xeln så får vi en rottionsyt uppbyggd v väldigt tunn bnd och den totl ren är summn v bndens reor. Dett leder till följnde formel för rottionsren: A = 2πy ds. Exempel 3 Om kurvstycket ges v grfen v en funktion: y = f(x), x b så sk vi i formeln sätt y = f(x) och ds = + f (x) 2 dx. Med ndr ord, ren ges v integrlen A = 2π f(x) + f (x) 2 dx. Noteringr. Alltså i ett lite större, öppet, intervll. 2. Till viss del gjorde vi det i kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 3. Se kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 4. Vilket de också är, om vi ccepterr tolkningen v integrlen som en re. I vrje rektngel gäller tt den vit ren under kurvn är precis lik stor som den grå ren ovnför kurvn. Dett p.g.. vårt speciell vl v ξ k i intervllet [x k, x k+ ]. 5. Vi kn t.ex. h en kurv given på prmeterform som vi roterr. Då blir integrlen som sk beräkns β α πy(t)2 x (t)dt.

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:

Läs mer

13 Generaliserade dubbelintegraler

13 Generaliserade dubbelintegraler Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c) Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Polynominterpolation av kontinuerliga

Polynominterpolation av kontinuerliga Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Om konvergens av funktionsföljder

Om konvergens av funktionsföljder Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Tavelpresentation grupp 5E

Tavelpresentation grupp 5E Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen

Läs mer

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur. Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på

Läs mer

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1. KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN

ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN Dett är tänkt tt vr en smmnfttning v det jg nser vr den viktigste teorin i kursen. Ing exempel ges, och det är inte lls tänkt tt på något vis vr ett substitut för kursboken.

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

14. MINSTAKVADRATMETODEN

14. MINSTAKVADRATMETODEN 4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv

Läs mer

Topologi och konvergens

Topologi och konvergens Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

Envariabelanalys, del 2

Envariabelanalys, del 2 Envribelnlys, del 2 Toms Sjödin Dett är tänkt tt vr en smmnfttning v det jg nser vr den viktigste teorin i kursen. Ing eempel ges, och det är inte lls tänkt tt på något vis vr ett substitut för kursboken.

Läs mer

Γ-funktionen En kort introduktion

Γ-funktionen En kort introduktion Institutionen för nturvetenskp och teknik Γ-funktionen En kort introduktion Rickrd Edmn och Mrkus Östberg Örebro universitet Institutionen för nturvetenskp och teknik Mtemtik C, 76 9 högskolepoäng Γ-funktionen

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Lösningsförslag till fråga 5

Lösningsförslag till fråga 5 Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering

Läs mer

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och

Läs mer

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Mat Grundkurs i matematik 1, del III Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) Contents 1. En differentilekvtion 2 2. Epsilon och delt 4 3. Den logritmisk integrlen och primtl 6 4. Fltning och tt tämj gln funktioner 8 5. Tlet e 11 6. Anlytisk

Läs mer