Grundläggande matematisk statistik

Transkript

1 Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel som ntr slumpmässig värden, beskriver ett slumpförsök stor bokstäver: X, Y, L osv. obestämt före slumpförsöket Observtion (för en s.v.): resultt (relistion) v ett slumpförsök små bokstäver: k, x, l osv. Diskret s.v.: kn endst nt ett ändligt (eller uppräkneligt oändligt) ntl värden ögontlet vid tärningskst ; ntl kst innn mn får 2 gånger smm ögontl i rd ; ntl kunder i en kö; ntlet klienter koppld till en server ; ntlet bilolyckor per år i Sverige osv. Kontinuerlig s.v.: inte diskret! ntr reell värden ( oändligt tätt : melln två godtycklig reell värden finns oändligt mång reell tl) livslängd v en glödlmp ; vikt ; vindhstighet ; elektrisk spänning ; koncentrtion v en kemiklie ;

2 Diskret slumpvribler Diskret s.v.: kn endst nt ett ändligt (eller uppräkneligt oändligt) ntl värden ögontlet vid tärningskst ; ntl kst innn mn får 2 gånger smm ögontl i rd; ntl kunder i en kö ; ntlet klienter koppld till en server ; ntlet bilolyckor per år i Sverige osv. p X k Snnolikhetsfunktionen X : diskret slumpvribel (s.v.) k : relistion (observtion) Beteckning för snnolikheten tt s.v. X ntr värdet k : P X = k = p X k Snnolikhetsfunktion: P X = k för vrje k från Ω X Exempel: tärning s.v. X : ögontlet för en kst P X = 4 = p X 4 = 2

3 Snnolikhetsfunktionenen kn beskrivs på tre sätt: Exempel: tärning: Ω X =, 2, 3, 4, 5,. tbell: k p X k 2. formel: p X k = k =, 2,, 3. stolpdigrm Egenskper hos snnolikhetsfunktionen 0 p X k för ll k (följer från xiom ) ll k p X k = xiom 2 P Ω = P A = p X k k A xiom 3 (utfll för olik k måste vr oförenlig) summers över ll utfll som ingår i händelse A Exempel : tärning A = 2, 4, jämnt tl P A = k=2,4, p X k = p X 2 + p X 4 + p X = 3 3

4 Egenskper hos snnolikhetsfunktionen Exempel : två tärningr s.v. Z = ögonsumm Ω Z = 2, 3,, 2 p Z k k kom ihåg hur tbellen fs Hr vi gjort dett på rätt sätt? : 0 p Z k 2 p Z k = k=2 Egenskper hos snnolikhetsfunktionen Fortsättning, exempel : två tärningr händelse A : summn v ögontlet är ett jämnt tl P A = p Z k = p Z 2 + p Z p Z 2 = 2 k A händelse B : summn v ögontlet 4 P B = P Z 4 = p Z 2 + p Z 3 + p Z 4 = = 4

5 Egenskper hos snnolikhetsfunktionen Exempel, diskret slh.-funktion k Ω =, 2, 3, 4 p X k ? p X 4 = 0. xiom 2 P X = p X = 0.2 P X > = p X 3 + p X 4 = 0.5 P < X 3 = p X 2 + p X 3 = 0.7 OBS!: Ettn är inte inkluderd! För diskret s.v. är det mycket viktigt tt skilj melln < och P < X 3 Egenskper hos snnolikhetsfunktionen Exempel 2, diskret slh.-funktion k p X k 0.2 c 0.3 c 0.4 c 0.5 c Ω =, 2, 3, 4 c =? 4 k= p X k =.4 c = c = 0 4 = 5 7 (xiom 2) Smmnfttning: Snnolikhetsfunktionen nger snnolikheten för vrje utfll v en diskret slumpvribel kn representers med formel, tbell, stolpdigrmm 5

6 Fördelningsfunktionen för diskret slumpvribler Definition fördelningsfunktion: X : s.v. : reellt tl F X = P X tecknet viktigt: lik med eller mindre än! Fördelningsfunktionen kn beräkns med hjälp v snnolikhetsfunktionen: F X = P X = p X k k o Mn summerr över ll p X k vrs rgument k är lik med eller mindre än det reell tlet o (OBS: måste lltså inte tillhör utfllsrummet Ω!) o fördelningsfunktionen är en kumultiv summ. summer över dess k Fördelningsfunktionen för diskret slumpvribler Exempel : tärning utfll k Slh.funktion p X k Fördelningsfkt. F X k Fördelningsfunktionen (CDF) är lltså en kontinuerlig funktion (definerd för reell tl) F X r F X 0.3 = 0 högerkontinuerlig: F X = P(X ) = hoppr p X 3 hoppr p X 2 F X 4.5 = 2 3 F X 000 = r F X är för ll tl som är större än det störst utfllet

7 Fördelningsfunktion, egenskper 0 F X t F X t är ju själv en slh.: F X = P X ; måste vr melln 0 och (xiom ) lim F X t = 0 F X = P X : är noll vänster om det minst t värdet v Ω lim t + F X t = ll utfll måste väl vr mindre än t 2 > t F X t 2 F X t F växer monotont (icke vtgnde). Det dders ju br positiv tl. Beräkning v snnolikhetsfunktionen med hjälp v fördelningsfunktionen (t. ex. tärning): F X 3 = p X + p X 2 + p X 3 F X 4 = F X 3 + p X 4 p X 4 = F X 4 F X 3 p X k = F X k F X k F X k hoppr om p X k, se bild ovn F X är oft tbellerd möjlighet tt beräkn p X k Fördeningsfunktionen och snnolikhet för händelser X : diskret slumpvribel ; F X : dess fördelningsfunktion mycket viktigt tt nvänd tecknen korrekt! P < X b = F X b F X lltså P < X b = P(X b) P(X ) p X k p X k b < X b P(X ) P(X b) b 7

8 Fördeningsfunktionen och komplementstsen P X > = P(X ) P X > = F X p X k P(X ) P X > Kontinuerlig s.v.: Kontinuerlig slumpvribler inte diskret! utfll = reell värden ( oändligt tätt : melln två godtycklig reell värden finns oändligt mång reell tl) livslängd v en glödlmp ; vikt ; vindhstighet ; elektrisk spänning ; koncentrtion v en kemiklie ; 8

9 Täthetsfunktionenen för kontinuerlig slumpvribler En kontinuerlig slumpvribel X kn beskrivs med en täthetsfunktion f X x X : kontinuerlig slumpvribel (s.v.) x : rgument f X x Snnolikheten tt s. v. X hmnr melln de reell värden och b är lik med ren under täthetsfunktionen melln och b: P < X b = න f X x b dx = slh. tt X ligger i intervllet, b Täthetsfunktionenen Aren under en täthetsfunktion måste vr ( xiom 2 : P Ω = ) + න f X x dx = normering Anmärkningr: dett är ju slh.:en tt X hmnr melln - och +, något som med säkerhet måste inträff. Om utfllsrummet Ω är begränst till ett visst intervl u, v så kn integrlgränsern i formeln ovn ersätts med dess värden. En täthetsfunktion kn br nge slh.:en tt s.v. X hmnr melln två värden, ett enskilt värde hr snnolikhet noll! (Det finns ju oändligt mång värden, om enskild värden hde en slh. > 0 så kunde inte normeringen funger). P(X = ) finns inte för kontinuerlig s.v.! 9

10 Täthetsfunktionen Kom ihåg: en snnolikhetsfunktion för en diskret s.v. måste uppfyll krvet 0 p X k I motsts till snnolikhetsfunktionen kn en täthetsfunktion nt värden som är större n, så länge ren under hel kurvn är. Exempel: Likförmig kontinuerlig fördelning på intervllet (,.5) f X x + න f X x.5 dx = න 2 dx = 2x.5 = (mycket) enklre: = Fördelningsfunktionen för kontinuerlig slumpvribler X : kontinuerlig slumpvribel ; F X : dess fördelningsfunktion F X = P X = න f X x dx f X x En ny funktion definers för vrje värde : funktionsvärdet = ren under täthetsfunktionen vänster om. F X är den blå mrkerde ren 0

11 Smmnhnget melln täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen F X = P X = න f X x dx f X x täthetsfunktion F X x fördelningsfunktion F X = 0.3 re=0.3 Egenskper hos fördelningsfunktionen X : kontinuerlig slumpvribel ; F X : dess fördelningsfunktion lim F X = 0 F X = P(X ) (OBS!: denn nottion är inte korrekt) lim + F X = F X = P(X ) (OBS!: denn nottion är inte korrekt) Fördelningsfunktionen är monotont växnde (icke vtgnde). F X x Monotonie: 0 växnde om < 2 måste P X P X 2 lltså F X F X 2

12 Beräkning v snnolikheter med hjälp v fördelningsfunktionen X : kontinuerlig slumpvribel ; F X : dess fördelningsfunktion Kom ihåg: snnolikheten tt s. v. X hmnr melln de reell värden och b är lik med ren under täthetsfunktionen melln och b: f X x P < X b b = න f X x dx = F X b F X P < X b P < X b = F X b F X F X OBS!: tt skilj melln och < i formeln för kontinuerlig s.v. inte viktigt F X b Beräkning v snnolikheter med hjälp v fördelningsfunktionen Exempel: f X x = 2 e 2x x 0 0 x < 0 exponentilfördelning f X x exponentilfördelning P 0.25 < X 0.5 P < X.25 2

13 Beräkning v snnolikheter med hjälp v fördelningsfunktionen Exempel, fortsättning : f X x = 2 e 2x x 0 0 x < 0 + ) Koll normeringen: න f X x dx =?? + + න f X x dx = න 2 e 2x dx = 2 2 e 2x = e 2x 0 = Beräkning v snnolikheter med hjälp v fördelningsfunktionen Exempel, fortsättning: f X x = 2 e 2x x 0 0 x < 0 b) Beräkn fördelningsfunktionen: > 0 krävs! F X = න f X x dx = න 2 e 2x dx = e 2x 0 = e 2x 0 = e 2 0 F X x = e 2x x 0 0 x < 0 3

14 Beräkning v snnolikheter med hjälp v fördelningsfunktionen Exempel, fortsättning: f X x = 2 e 2x x 0 0 x < 0 F X x = e 2x x 0 0 x < 0 f X x F X x närmr sig symptotiskt till lim F X = + Beräkning v snnolikheter med hjälp v fördelningsfunktionen Exempel, fortsättning: F X x = e 2x x 0 0 x < 0 f X x exponentilfördelning P 0.25 < X 0.5 P 0.25 < X 0.5 = F X 0.5 F X 0.25 = e e 0.5 = e 0.5 e = P < X.25 P < X.25 = F X.25 F X = e 2.5 e 2 = e 2 e 2.5 =

15 ሶ Smmnhnget melln täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen F X = න f X x dx derivering F X = f X derivering v prmeterintegrl Leibniz regel: o() න u() h x dx = h o() oሶ h u() u (om integrnden inte explicit beror på ) Exempel exponentilfördelning, fortsättning: F X = e 2 för > 0 f X = F X = e 2 = 2 e 2 ( > 0) Beräkning v snnolikheter för diskret och kontinuerlig slumpvribler Diskret s.v. Kontinuerlig s.v. P < X b = F X b F X P < X b = P X b = P < X < b mycket viktig! spelr ingen roll p X k b < X b F X F X b 5

16 Beräkning v snnolikheter för kontinuerlig slumpvribler Exempel: täthetsfunktion f Y y = c y 0 < y 0 nnrs c = constnt ) Bestäm konstnten c + = න f Y y dy = න c y dy = c = c 2 c = y2 0 b) Rit upp täthetsfunktionen f Y y f Y y = 2 y 0 < y 0 nnrs Beräkning v snnolikheter för kontinuerlig slumpvribler c) Hitt fördelningsfunktionen f Y y = 2 y 0 < y 0 nnrs F Y t t = න f Y y dy = න 2 y dy = 2 = t 2 för 0 < t 0 2 y2 0 F Y t = 0 för t < 0 (se bild ovn) F Y t = för t > F Y t F Y t = 0 t < 0 t 2 0 < t t >

17 Jämförelse v diskret och kontinuerlig slumpvribler Diskret slumpvribel snnolikhetsfunktion Kontinuerlig slumpvribel täthetsfunktion slh. är noll för ett enskilt reellt värde kn bli större än Jämförelse v diskret och kontinuerlig s.v. Diskret slumpvribel fördelningsfunktion Kontinuerlig slumpvribel fördelningsfunktion monotont växnde från 0 till monotont växnde från 0 till 7