Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS"

Transkript

1 Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på smm sätt som föreläsningrn för cmpusstudenter. Till vrje dg finns en kort introduktion om dgens innehåll, följd v en list med de relevnt vsnitten i läroboken. Till dess finns ett förtydlignde om vilk delr som är speciellt viktig, eller vilk som kn hopps över. Att lär sig mtemtik fungerr bäst som lerning by doing. Därför finns en hel del rekommenderde övningsuppgifter. De är indelde i två grupper. Först finns inlärningsuppgifter som sk hjälp dig tt beknt dig med ny begrepp och utgörs v mer eller mindre direkt nvändning v teorin. Någr v dess uppgifter är rätt enkl, ndr lite mer krävnde. Därefter följer problemlösningsuppgifter som oftst kräver lite mer eftertnke och förutsätter tt du redn hr en viss erfrenhet v uppgifter som är mer stndrdbetonde. Dess uppgifter ligger närmre problemlösningstentn i slutet v kursen. Till viss dgr finns även ytterligre kommentrer som ntingen är bserde på vår erfrenheter v vnlig fel, förtydligr viss teori eller visr på lterntiv lösningr till viss uppgifter. Dess sk du berbet extr nog, för de sknr lik tydlig motsvrigheter i boken. Kursens fokus ligger på mtemtisk metoder för problemlösning. För tt med säkerhet kunn nvänd metodern krävs förståelse för den bkomliggnde teorin! Vi rekommenderr därför tt du lltid åtminstone ögnr igenom bevisen, även när läsnvisningrn säger tt beviset kn hopps över. Vi hopps tt läsnvisningrn hjälper dig i din studier. Om du hr kommentrer skick dem gärn till Lite llmänt om tt rbet med mtemtisk texter: Att jobb med text om mtemtik kn i börjn uppftts som svårre än tt läs text om ett nnt ämne. Anledningen är tt vrje ord kn vr v stor betydelse, och tt mtemtiker oftst tycker om tt uttryck sig så kortfttt, dvs så enkelt, som möljigt. Dett gäller frmför llt definitioner och stser. När mn möter en ny definition eller en ny sts, så är det viktigt tt t sig tid! Läs igenom två, tre gånger. Fråg dig själv vd som mens med det! Oftst följs en ny definition v ett eller fler exempel. Då är det br om du efter tt h studert exemplet stnnr och går tillbk till den llmänn texten för tt koppl exemplet till definitionen. Stser förstår mn bäst genom tt nvänd dem. Du hittr mång exempel i boken som belyser hur teorin kn tillämps. Efter tt h jobbt med boken kommer den viktigste delen: Du måste själv lös uppgifter! Det först steget då är lltid tt förstå vd det är som frågn går ut på och tt koll om du vet vd ll begrepp som nvänds betyder. Om frågn är lite mer omfttnde kn det vr ett br tips tt börj med tt formuler själv frågn med egn ord. Det låter trivilt, men kn hjälp väldigt mycket! 1

2 OBS1! Läs teorin INNAN du börjr med uppgiftern! OBS! Det räcker ej tt få rätt svr! Hr mn gjort fler försök och fått rätt svr till sist sk mn tänk efter vrför det hr fungert just nu och inte i de tidigre försöken! OBS3! I smbnd med uppgiftern gäller: Men det är vägen, som är mödn värd. Dvs den störst nyttn hr du v själv processen tt jobb med uppgiftern, inte v tt få ett rätt svr på pppret! Dett sk ses som en vrning för tt jobb lltför mycket med färdig lösningr!!! Den följnde grfiken härstmmer egentligen från en nnn kurs, men om du ersätter orden kontkt mentorer med ställ frågn i hndledningsforumet ger den en rätt så br bild v hur mn helst sk jobb med uppgifter!

3 Dg 1 och Dess dgr ägns åt repetition och i viss mån fördjupning v trigonometri. Repeter kongruens- och likformighetsfllen (t.ex. från skolböckern). Avsnitt Definition v rdiner. Viktigt tt kunn uttryck vinklr i rdiner. Avsnitt 1.9. Definition v sinus och cosinus. Härledning v sinus och cosinus för vinklrn 0, π/6, π/4, π/3, π/. Grfen för sinus och cosinus. Periodicitet, jämn och udd (det sistnämnd kn eventuellt läss i smbnd med genomgång v vsnitt 1.8, dg 4). Trigonometrisk formler, trigonometrisk ekvtioner. Hjälpvinkel. Sinusstsen och cosinusstsen (utn bevis). Avsnitt Definition v tngens och cotngens. Grfen för tngens och cotngens. Trigonometrisk formler, smbndet melln sinus, cosinus, tngens och cotngens (se exempel 56 och 57). Appendix B1 Lite om mängder, läses vid behov. Kommentrer Bevis v formel (55) kn hopps över. Det nvänder sig v sklärprodukten som gås igenom senre i lgebrkursen. Mn måste kunn viss trigonometrisk formler (formelsmlingr får inte nvänds på tentorn). T.ex. behöver mn kunn formlern (55)-(58) (men det räcker tt kunn en v dem, de övrig kn härleds ur den). Observer också tt formlern (59)-(6) följer enkelt ur (55)-(58), t.ex. är sin(x) = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x. Formlern (63)-(65) kn hopps över (i vrje fll behöver de inte memorers). Även formlern (49)-(54) kn fås ur (55)-(58). T.ex. är sin(π/ x) = sin(π/) cos x cos(π/) sin x = cos x eftersom sin(π/) = 1, cos(π/) = 0. Mn bör också lägg på minnet tt sin x är positiv i 1: kvdrnten, dvs. för x melln 0 och π/ och i : kvdrnten, dvs. för x melln π/ och π, medn cos x är positiv i 1: kvdrnten (för x melln 0 och π/) och i 4:e kvdrnten, dvs. för x melln 3π/ och π. Eftersom tn x = sin x/ cos x och cot x = cos x/ sin x, följer det ur dett tt tn x och cot x är positiv i 1: och 3:e kvdrnten. Observer tt trigonometrisk ekvtioner med fördel kn övs med hjälp v WebWork. Både den först problemsmlingen och övningstentorn till etentn Elementär funktioner innehåller sådn ekvtioner. Dett stycke bör läss efter genomgången v komplex tl i lgebrkursen. Mn kn få frm formlern (56) och (57) med hjälp v komplex exponentilfunktioner. Det gäller tt e i(x+y) = e ix e iy. Definitionern och enkl beräkningr ger VL = cos(x + y) + i sin(x + y) och HL = (cos x+i sin x)(cos y +i sin y) = (cos x cos y sin x sin y)+i(sin x cos y +cos x sin y). Eftersom VL = HL, måste reldelrn och imginärdelrn vr lik. Så cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y och sin(x+y) = sin x cos y+cos x sin y. Observer dock tt det här inte är något bevis för formlern eftersom dess formler hr nvänts (i lgebrkursen) just för tt vis tt e i(x+y) = e ix e iy. Däremot är det ett br sätt tt få frm dem om mn är osäker. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS1: 1-9, 13-15; ÖPB: , (vid behov även 1.99, 1.100, 1.10, 1.106bef, 1.109) Problemlösningsuppgifter: WW PS1: 1, 16; ÖPB: 1.104,

4 Dg 3 Här repeters och i viss mån fördjups kunskper om exponentilfunktioner och logritmer. Avsnitt Definition v exponentilfunktion. Formlern (9), (31) är viktig (hopp dock över härledningen v (9)). Grfen v exponentilfunktionen. Avsnitt Definition v logritmen. Räknelgrn, inklusive formel (39) (formeln för bsbyte). Bevisen kn eventuellt hopps över. Exemplen är viktig. Avsnitt 1.7. Definition v logritmfunktionen. Grfen. Formlern (40), (41) är viktig. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS1: 18-0; ÖPB: 1.61, 1.66, 1.67, 1.69 (vid behov även 1,64, 1.65, ) Problemlösningsuppgifter: WW PS1: 1, ; ÖPB: 1.68 Dg 4 Här införs en del ny begrepp. Det som är svårst (och mycket viktigt) är begreppet invers funktion. Därefter introducers de mycket viktig invers trigonometrisk funktionern. Avsnitt 1.8 Hel vsnittet läses. Invers funktion är ett nytt och mycket viktigt begrepp. Det är viktigt tt tillgodogör sig begreppet och tt studer exemplen i delvsintt Begreppen i delvsnitten 1.8. och (smmnsättning v funktioner, växnde, strängt växnde, vtgnde, strängt vtgnde funktion, jämn funktion, udd funktion) är också viktig men borde vr enklre tt tillgodogör sig. Observer skillnden melln växnde och strängt växnde smt vtgnde och strängt vtgnde funktion. Avsnitt 1.10 Hel vsnittet läses. Arcusfunktionern (dvs. de invers trigonometrisk funktionern) är mycket viktig i mtemtiken och kommer tt spel en frmträdnde roll i kursen. Arcusfunktionern klls även iblnd för de cyklometrisk funktionern. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS1: 10, 11, 4, 5; ÖPB: 1.84, 1.85, 1.87bde, 1.89bc, 1.90b, 1.9 (vid behov även ). OBS: Övn kräver ing beräkningr och i övn. 1.90b räcker det tt skiss funktionen. Problemlösningsuppgifter: WW PS1: 3; ÖPB: 1.16, 1.18, (eventuellt även 1.91, 1.151b) 4

5 Dg 5 Som introduktion till gränsvärdesbegrepp hndlr dg 5 om gränsvärden för tlföljder: definition, räkneregler, tlet e, stndrdgränsvärden, och serier. I dett vsnitt läses utvld delr v PB, v pedgogisk skäl delvis i omvänd ordning! 1. Vd är en följd? Börj med tt beknt dig med begreppet följd, eller egentligen tlföljd. Studer exempel 8 i kpitel 1. smt exempel 64 i kpitel 1.1. Där kn du se hur en tlföljd beskrivs.. Definition v gränsvärde v en tlföljd. Även om mn knske hr en intuitiv förståelse för vd som rimligtvis mens med gränsvärde v en tlföljd, så behövs en riktig definition. Se videoföreläsningen för dg 5 för definitionen smt en motivering. 3. Hur beräknr mn gränsvärden? Oftst nvänder mn inte definitionen direkt, utn nvänder räkneregler smt redn känd gränsvärden. Exempel på räkneregler är: Om n A och b n B så gäller: n + b n A + B n b n A B n b n A B, om B 0. Fler regler kommer dg 6. Med hjälp v definitionen kn mn lätt övertyg sig om tt till exempel föjlden n = 1 n går mot 0. Tillsmmns med räknereglern kn mn redn nu räkn ut någr mer komplicerde gränsvärden. Oft förekommnde knep är tt förkort med den dominernde termen eller tt förläng med konjugtuttrycket: Exempel: Bestäm gränsvärdet v följden n = n4 +3n 3n 4 1. lltså är lim n n = 3. n = n4 + 3n 3n 4 1 = + 3 n 3 1 n = 3, Exempel: Bestäm gränsvärdet v följden b n = n + 5n n b n = n + 5n n = ( n + 5n n)( n + 5n + n) n + 5n + n = n + 5n n n + 5n + n = n lltså är lim n b n = 5. För tt kunn beräkn gränsvärden v ännu fler föjlder behövs ett större ntl känd gränsvärden. Avsnitt.3 (till och med exempel 15). Ett viktigt gränsvärde: tlet e introducers. Bevis för sts 6 och 7 hopps över (binomilstsen kommer senre i lgebrdelen v mtemtik I). 5

6 Avsnitt.4 En list med ytterligre viktig gränsvärden finns i kpitel.4. Just nu är det br formel (30)-(34) som är relevnt. Bevisen kn hopps över. Avsnitt.5.4. Det hndlr om serier, dvs oändlig summor. Observer tt det mtemtisk begreppet serie inte betyder precis smm sk som i vrdgsspråket. Serier kommer tt nvänds senre i kursen. Övningr: Inlärningsuppgifter:.30,.31c,.11,.3 34 (OBS: I.31 beräkns inget gränsvärde, utn det hndlr om tt beknt sig med följder) Problemlösningsuppgift:.48 Dg 6 Nu hndlr det mer llmänt om gränsvärden för funktioner, definitioner, räkneregler och stndrdgränsvärden. Det finns fler olik fll, beroende på vd x går mot. Avsnitt.1 Definitioner och räkneregler smt mång exempel. Bevisen v räknereglern kn hopps över, de ingår inte i kursen. Avsnitt.3 (från och med stycket efter exempel 15) och.4 Mer om tlet e och stndrdgränsvärden. Övningr: Inlärningsuppgifter:.3-5,.8bdfgil,.9,.14e,.16bc,.cd Problemlösningsuppgifter:.6,.37,.38 Anmärkning: När mn beräknr gränsvärden kn mn nvänd sig v två olik sätt tt skriv. Lå oss titt på ett enkelt exempel: eller x + x lim x x 3 = lim + 1 x x 1 3 = = x x + x x 3 = + 1 x = då x. 1 0 x Du kn välj fritt hur du vill gör, men blnd inte ihop de två skrivsätten! OBS: x + x lim x x x + 1 x 1 3 och x , x eftersom funktionen (i llmänhet) INTE är lik med gränsvärdet. x + x Mn sk inte heller skriv lim x x

7 Dg 7 Med hjälp v begreppet gränsvärde definiers en väldigt viktig egenskp hos funktioner: kontinuitet. Dg 7 hndlr huvudskligen om kontinuerlig funktioner och ders egenskper. Avsnitt. Först definiers vd som mens med tt en funktion är kontinuerlig och fler exempel ts upp. Sedn nges (utn bevis) två viktig egenskper hos kontinuerlig funktioner som kommer tt nvänds fler gånger frmöver. Avsnitt.5.1 Som en tillämpning v gränsvärden diskuters symptoter. Dess behövs senre när funktionsgrfer sk rits. Avsnitt.5. och.5.3 Dess två tillämpningr v gränsvärden rekommenders tt läs, men de ingår egentligen inte i kursen. Övningr: Inlärningsuppgifter:.17b,.19-1,.6,.8 Problemlösningsuppgifter:.18,.9 Dg 8 Begreppet derivt introducers och motivers smt räkneregler för derivtor diskuters. Avsnitt 3.1 och 3.. Här motivers det från gymnsiet välkänd begreppet derivt och sedn följer den riktig definitionen. Behndling v exempel 4 kräver kunskp v binomilstsen, men ett lterntivt sätt för härledningen kn vr tt nvänd formeln n b n = ( b)( n 1 + n b b n + b n 1 ) OBS: Härledningen v derivtn för t.ex. polynom bygger endst på derivtns definition, dvs du får nu bevis för redn beknt formler. Avsnitt 3.3 frm till exempel 13. Nu kommer mer teori kring derivt och deriverbr funktioner. Sts 1 smt efterföljnde exempel är grundläggnde! Det är mycket viktigt tt kunn nvänd kedjeregeln (sts 3), beviset kn hopps över. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS: 1-5, ÖPB: 3.1be, 3.6 Problemlösningsuppgifter: ÖPB: 3.8, 3.9, 3.40,

8 Dg 9 Nu kommer fler räkneregler för derivtn smt en först diskussion om smbndet melln derivt och lokl egenskper hos själv funktionen. Avsnitt 3.3 från och med exempel 14. Kedjeregeln nänds här för implicit derivering och sedn följer en formel för derivtn v invers funktion. Beviset kn hopps över, men nmärkningen efter beviset kn med fördel nvänds för tt komm ihåg själv regeln. Avsnitt 3.4. Derivtor till de elementär funktionern härleds. Härledningrn är så klrt viktig som byggstenr för teorin, men för tt kunn lös problem måste du kunn ll dess derivtor utntill! Sts 7 kommer vr viktig senre i smbnd med integrtion! Avsnitt 3.5 frm till sts 14. Frmöver kommer du tt se hur mn kn dr mång slutstser om själv funktionens beteende med hjälp v dess derivt. Här finns ett först exempel på det. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS: 6-15, ÖPB: 3.16, 3.17, 3.19, 3.1 (vid behov även 3.10def, 3.11hi, 3.13 b) Problemlösningsuppgifter: 3.3, 3.38, 3.44, Dg 10 Fortsättning på diskussionen v egenskper hos deriverbr funktioner. Avsnitt 3.5 från och med sts 14. Medelvärdesstsen (sts 14) är en v de viktigste stsern i hel kursen, eftersom mycket som kommer tt gås igenom bygger på just medelvärdesstsen. Försök förstå beviset för stsen (lägg särskilt märke till figurern på sidn 11 och 1), men du behöver inte kunn det utntill. Studer noggrnt exempel 0 och 1. Sts 15 kommer tt vr viktig senre i smbnd med integrtion, sts 16 kommer tt vr viktig och mycket nvändbr när mn ritr grfer till funktioner. Sts 17 kn hopps över om du inte är så intresserd v teorin. Avsnitt 3.6 Här behndls kortfttt högre derivtor. Sts 18 smt beviset kn läses efter binomilstsens genomgång i lgebrdelen. Avsnitt 3.7 Det förklrs hur mn deriverr funktioner som är komplexvärd. Exempel 7 kommer tt vr viktigt i smbnd med lösning v differentilekvtioner senre i kursen. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS: 16-0, ÖPB: 3.7, 3.8, 3.31, 3.3 (vid behov 3.37) Problemlösningsuppgifter: 3.6,

9 Dg 11 Dgen hndlr om två grundläggnde integrtionstekniker: prtiell integrtion och vribelsubstitution. Avsnitt 5.1 Mn behöver känn till de elementär primitiv funktionern, dock behöver inte formel (1) memorers. Formlern för prtiell integrtion och vribelsubstitution (formel (17) respektive (19)) är mycket viktig. Enkl exempel på prtilintegrtion är ex. 3-5 och på vribelsubstitution ex. 7, 8. Ex. 6 är viktigt - där nvänds ett speciellt knep som är svårt tt komm på själv. Ex. 9 är förberedelse till näst vsnitt. Kommentrer Eftersom 1 cos x = sin x+cos x cos x = 1 + tn x, får vi följnde vrint v formel (8) som iblnd kn vr nvändbr: (1 + tn x) dx = tn x + C. På liknnde sätt får vi en vrint v formel (9): (1 + cot x) dx = cot x + C. Formlern (13) och (14) är egentligen överflödig, de följer omedelbrt genom vribelsubstitution f(x) = t. Vid vribelsubstitution nvänder mn oftst skrivsättet f(g(t))g (t) dt = [x = g(t), dx = g (t) dt] = f(x) dx = F (x) + C = F (g(t)) + C, där F är en primitiv funktion till f. T.ex. är (med omvänd roller melln x och t) x x + 1 dx = [x + 1 = t, x dx = dt, x dx = 1 dt] = 1 t dt = 1 t 1/ dt = 1 3 t3/ + C = 1 3 (x + 1) 3/ + C. Skrivsättet dx = g (t) dt betyder egentligen tt uttrycket g (t) dt under integrltecknet ersätts med dx. Om mn så föredrr, kn mn nvänd det mer formell skrivsättet dx/dt = g (t). Iblnd behöver mn nvänd både prtilintegrtion och vribelsubstitution. Ett enkelt exempel på dett: x 3 e x dx = [x = t, x dx = dt] = 1 x e x x dx = 1 te t dt. 1 Nu kn mn prtilintegrer som i ex. 3 i boken. (Svr: (x e x e x ) + C.) OBS1! Mn kn lltid verifier om mn hr integrert rätt genom tt deriver och se om mn får tillbk integrnden. T.ex. är derivtn v 1 (x e x e x ) + C lik med x 3 e x (koll dett). OBS! Begrund övning 5.6 och svret till den i ÖPB. Övningen hndlr om ett vnligt (och mycket grovt!) integrtionsfel. Övningr: Inlärningsuppgifter: ÖPB: 5.f, 5.6, 5.9bd, 5.10g, 5.16bc, 5.17-c Problemlösningsuppgifter: ÖPB: 5.16d, 5.17d, 5.0 9

10 Dg 1 Dgen ägns åt integrtion v rtionell och trigonometrisk funktioner. Avsnitt 5. Först delen v vsnittet (frm till 1: stycket på sid. 74) hndlr om prtilbråksuppdelning. Dett skll vr beknt från lgebrkursen men bör repeters vid behov. Efter tt h prtilbråksuppdelt en rtionell funktion behöver mn kunn integrer funktioner v typ 1 4 på sid. 74. De först två fllen är enkl. Fll 3 är svårre och löses som i ex. 9 (dg 11) och ex. 15. Fll 4 (inklusive ex. 16) kn hopps över. Ex. 17 läses. Avsnitt 5.4 Hel vsnittet läses. Kommentrer Substitutionen t = tn x nvänds br i undntgsfll om inget nnt fungerr. Oft (men inte lltid) kn mn undvik den. I ex. 3 nvänds den för tt integrer 1/ sin x. Här är en lterntiv lösning: 1 sin x dx = sin x sin x dx = sin x 1 cos dx = [cos x = t, sin x dx = dt] = x dt t 1. Nu kn mn prtilbråksutveckl. Svret blir 1 (ln(1 cos x) ln(1 + cos x)) + C. Vis gärn med trigonometrisk formler tt dett är lik med ln tn x + C (som är bokens svr). Ex. 6 kn löss på ett lterntivt sätt med hjälp v en omskrivning. Mn vet från lgebrkursen tt cos θ = (e iθ + e iθ )/ och sin θ = (e iθ e iθ )/i (Eulers formler för komplex exponentilfunktioner). Så cos x sin bx = eix + e ix e ibx e ibx } {{ } } {{ i } cos x sin bx = ei(+b)x e i( b)x + e i( b)x e i(+b)x 4i Så = 1 e i(+b)x e i(+b)x 1 e i( b)x e i( b)x = 1 i i sin( + b)x 1 sin( b)x. cos x sin bx dx = 1 (sin( + b)x sin( b)x) dx, och högerledet är enkelt tt integrer. Svret kommer tt till synes skilj sig från bokens men även här kn mn med trigonometrisk formler vis tt båd svren är lik. En lterntiv lösning till ex. 8: Vi integrerr prtiellt två gånger så tt e x integrers båd gångern. F (x) = e x cos x dx = e x cos x = e x cos x + e x sin x ( e x sin x) dx = e x cos x + e x sin x dx e x cos x dx = e x (cos x + sin x) F (x) + C (på slutet behöver vi lägg till en integrtionskonstnt). Vi får F (x) = e x (cos x + sin x) + C och slutligen F (x) = 1 ex (cos x + sin x) + C, där vi erstte C / med en ny konstnt C. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS3: 1-11; ÖPB: 5.3b, 5.7b, 5.40b, 5.51 Problemlösningsuppgifter: WW PS3: 1; ÖPB: 5.3c, 5.38 (eventuellt även 5.39)

11 Dg 13 Dgen hndlr om introduktion till begreppet integrl över ett slutet och begränst intervll. Avsnitt 6.1 Här definiers Riemnnintegrlen (som är den vnlig integrlen b f(x) dx och som iblnd även klls den bestämd integrlen). Mn inför först begreppen trppfunktion och dess integrl och därefter begreppet Riemnnintegrlen för en begränsd funktion (definition 3). I slutet v vsnittet klrgörs skillnden melln en primitiv funktion (som iblnd även klls obestämd integrl) och en Riemnnintegrl. Avsnitt 6. Sts 3 är mycket viktig, bevis hopps dock över. Begreppet Riemnnsumm och sts 4 (utom bevis) bör mn känn till. Exempel 1 kn eventuellt hopps över. Avsnitt 6.3 Hel vsnittet frm till (och inklusive) sts 6 läses. Bevisen utgår. Kommentrer Intuitivt betyder integrerbrhet v en funktion f tt mn kn hitt trppfunktioner Φ och Ψ sådn tt Φ f Ψ i [, b] och den re som stängs in melln Φ och Ψ blir så liten som mn vill. Mer exkt: för vrje givet (litet) tl kn mn finn Φ och Ψ som ovn så tt ren melln dem blir mindre än det givn tlet. Observer tt Riemnnintegrlen hr definierts för begränsde funktioner på begränsde intervll. En utvidgning v begreppet integrl, som omfttr både obegränsde intervll och obegränsde funktioner, kommer i vsnitt 6.5. Som frmgår v sts 3 är kontinuerlig funktioner integrerbr över [, b]. Mång, dock inte ll, diskontinuerlig (och begränsde) funktioner är integrerbr. En (icke-obligtorisk) uppgift för den som är teoriintresserd: Vis tt funktionen { 0 om x är rtionellt, x [0, 1], f(x) = 1 om x är irrtionellt, x [0, 1] inte är integrerbr över [0, 1]. Det är viktigt tt förstå tt om f 0 och f är integrerbr, så är b f(x) dx den re som begränss v x-xeln, grfen för y = f(x) och linjern x =, x = b. Om f 0, så är b f(x) dx 0 och integrlens värde svrr mot minus ren. Om f byter tecken, så är b f(x) dx re med tecken - den re som finns ovn x-xeln kommer med plustecken och den som finns under kommer med minustecken. Riemnnsumm är ett sätt tt pproximer integrlen med summn v reor för ett ntl rektnglr, se figuren på sid För tt pproximtionen skll bli br måste rektnglrn vr tillräckligt sml. Lägg märke till formel (13) som definierr b f(x) dx för b. Med den definitionen gäller formel (1) ovsett hur, b, c är plcerde i förhållnde till vrndr. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS3: 13-18; ÖPB: 6.1be (uppgiften kn eventuellt hopps över) Problemlösningsuppgifter: WW PS3: 19, 0; ÖPB: 6.,

12 Dg 14 Dgen hndlr om beräkning v integrler och om generliserde integrler Avsnitt 6.3 Resten v vsnittet med undntg för sts 8 läses. Bevis för sts 7 utgår. Avsnitt 6.4 Hel vsnittet läses. Det är även lämpligt tt läs bevis för sts 9 och 10. Observer hur integrlklkylens medelvärdessts nvänds i beviset för sts 9. Avsnitt 6.5 Förutom definitioner och en sts innehåller vsnittet ett flertl exempel. Det är viktigt tt tillgodogör sig exemplen (exempel 1 kn dock hopps över). Resultt v exempel 1 och 14 är värd tt lägg på minnet eller snbbt kunn härled: 1/x α dx konvergerr om och endst om α > 1, /xα dx konvergerr om och endst om α < 1. Kommentrer En mycket viktig följd v sts 9 är tt för vrje kontinuerlig funktion existerr en primitiv funktion. T.ex. är x 0 et dt en primitiv funktion till e x. Mn kn dock vis (med betydligt mer vncerde metoder än de som ingår i kursen) tt det inte går tt uttryck e x dx med hjälp v ändligt mång summor, produkter, smmnsättningr osv. v elementär funktioner (dvs. det går inte tt uttryck e x dx så som vi helst skulle vilj). Följnde exempel kompletterr exemplen 4 och 5 i boken: Vi vill deriver Vi får D x x x x e t dt = D e t dt. Sätt S(x) = x e t dt + D x x e t dt (här kn mn välj vilket som helst, t.ex. = 0). e t dt = D x e t dt + D x e t dt = D(S(x)) + D(S(x )) = S (x) + S (x ) D(x ) = e x + xe (x ) = e x + xe x4. Sts 10 (insättningsformeln) utgör grunden för integrtion. Det är mycket viktigt tt noter tt integrtionsgränsern ändrs när mn gör vribelsubstitution. Tänk igenom dett i smbnd med genomgången v exempel 8. Först delen v sts 11 säger tt om g(x) dx konvergerr, så konvergerr f(x) dx. Mn kn dock inte dr någon slutsts om konvergens v g(x) dx om f(x) dx konvergerr. Om f(x) dx divergerr, så divergerr även g(x) dx enligt ndr delen v stsen (men igen, ingen slutsts om konvergens v f(x) dx kn drs om g(x) dx divergerr). Smm slutstser gäller för generliserde integrler över ett ändligt intervll och även för integrler generliserde på fler sätt. Övningr: Inlärningsuppgifter: ÖPB: 6.17, 6.6bd Problemlösningsuppgifter: ÖPB: 6.9, 6.1d (kn eventuellt hopps över), 6.15, 6.18b, 6.33de,

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral Gustfsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dgverksmhet Servicecentrl 1 På Gustfsgård uppskttr mn följnde sker: invånres välmående ett gott liv ktivt smrbete med de nhörig kompetens i gerontologisk vård personlens

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck > VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Naturresurser. Vatten. Kapitel 10. Översiktsplan 2000

Naturresurser. Vatten. Kapitel 10. Översiktsplan 2000 Kpitel 10 Nturresurser Att hushåll med jordens nturresurser är en viktig del i den översiktlig fysisk plneringen. Mål Tillgång till vtten v god kvlité sk säkrs för frmtiden. Läckge v näringsämnen och ndr

Läs mer

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 INNEHALL 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 DATORER Allmänt Digitl dtorer Orgnistion Ordmm Minnesenheten Aritmetisk enheten Styrenheten In/utenheten Avbrott Spräk och proglmm

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

KLARA Manual för kemikalieregistrerare

KLARA Manual för kemikalieregistrerare KLARA Mnul för kemiklieregistrerre Version 16.4 (2015-05-08) Utrbetd v Anders Thorén och Björn Orheim Först utgåv 2002-11-01 Innehåll Introduktion 3 Vd är KLARA? 3 Systemkrv och övrig informtion 3 Vd säger

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen 2016-05-23 Sid 1/2 Tjänsteskrivelse Dnr: LKS 2016-235 Kommunstyrelseförvltningen Leif Schöndell, 0523-61 31 01 leif.schondell@lysekil.se Pln för lik rättigheter och möjligheter i rbetslivet uppdrg till

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Laboration i matematik Envariabelanalys 2

Laboration i matematik Envariabelanalys 2 Lbortion i mtemtik Envribelnlys Per-Anders Boo Institutionen för mtemtik och mtemtisk sttistik Umeå universitet Jnuri Regler och llmän informtion om lbortionen I denn lbortion finns uppgifter som skll

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Varför är. kvinnor. mer sjukskrivna. änmän. -just här? Reflektioner och ett fortsatt lärande

Varför är. kvinnor. mer sjukskrivna. änmän. -just här? Reflektioner och ett fortsatt lärande Vrför är kvinnor mer sjukskrivn änmän -just här? Reflektioner och ett fortstt lärnde Smmnställning v vunnen kunskp och reflektioner Under tre dgr hr 29 medrbetre från sex myndigheter i norr Västmnlnd fördjupt

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer