Matris invers, invers linjär transformation.

Transkript

1 Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts.., sid. ) A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A c(a + B) = ca + cb (r + c)a = ra + ca r (ca) = (rc) A Algebrisk regler för mtrisprodukt (Ly Sts.., sid. 5) Låt A vr en m n mtris och mtriser /B och C h storlekr sådn tt produkter och summor i formler som följer är välde nierde. ) A(BC) = (AB)C b) A(B + C) = AB + AC c) (B + C)A = BA + CA d) r(ab) = (ra)b = A(rB) e) I m A = A = AI n där r är ett godtyckligt tl, och I n är en kvdrtisk n n mtris som hr på digonlen och ll ndr elementen lik med noll. Enhetsmtris I n är kvdrtisk v storlek n n som hr ettor på digonlen och nollor på 0 0 ll ndr pltser, till exempel I = : 0 0 Kvdrtisk mtriser A och B v smm storlek n n kn multiplicers med vrndr i vilken som helst ordning: både AB och BA hr mening. Men mtriser kommuterr inte (som reell och komplex tl): AB 6= BA. En skillnd till melln mtriser och reell tl är tt mtrisekvtionen AB = I behöver inte h en lösning, d.v.s. mtrisen A och mtrisen B behöver inte h invers: De nition En n n mtris A är inverterbr (eller hr invers) om det nns en mtris C sådn tt AC = I; CA = I

2 där I = I n är enhetsmtrisen v storlem n n. Entydigheten v invers mtrisen. Invers mtrisen är entydig i fll den existerr. Om B är ndr invers mtris till A; då gäller enkl beräkningr: B = BI = B(AC) = (AB) C = IC = C och C = B. Inver mtrisen till A, beteckns med A i fll den existerr. De nition. En mtris X sådn tt den uppfyller ekvtionen AX = I X klls höger invers till mtrisen A. Mn de nierr på liknnde sätt begreppet vänster invers till mtrisen A som mtris Y sådn tt Y A = I Formeln för inver mtrisen för mtriser. Sts..4, sid. i Ly Låt A = c b d A = c b d b = d (d bc) c Mtrisen A är inverterbr om och endst om () d bc 6= 0: De nition Uttrycket d bc = det(a) b är determinnten v mtris : c d Mtrisen A är inverterbr om och endst om () det(a) 6= 0: Bevis (Exercises 5, 6) (krävs inte på tentn) Den formeln kn beviss med direkt lösning v mtrisekvtionen för invers mtrisen C: AC = I Den mtrisekvtionen är ekvivlent med två vnlig vektorekvtioner för först och ndr kolonnen i invers mtrisen C = [c ; c ]: Ac = e Ac = e

3 där e och e är kolonnern i enhetsmtrisen I. Dess system hr utvidgde mtriser b b 0 ; c d 0 c d och löss med hjälp v Guss elimintion. Vi löser först systemet b b b + c d 0 0 d bc c c b (d bc) 0 (d bc) c " # 0 + c b (d bc) 0 + bc (d bc) 0 d bc+bc (d bc) (d bc) 0 c 0 (d bc) c 0 (d bc) c " # 0 d (d bc) 0 d (d bc) 0 d (d bc) c 0 (d bc) c 0 (d bc) c 0 (d bc) d c = (d bc) c Andr systemet löss med exkt smm steg i Guss elimintionen förutom det tt högerkolonnen utvidgde mtrisen är i i det fllet. Vi får dålösningen på formen 0 c = (d bc) och önskt resultt. Exempel 4 Beräkn invers mtrisen till mtrisen A = : Lösning. det(a) = det = = 8 0 = 6= 0. Inversen existerr A = = ( ) 5 5= = Sts..5, sid. i Ly. Om är en inverterbr mtris v storelek n n då måste ekvtionen Ax = b h en entydig lösning för vrje b ur R n och x = A b Bevis. (krvävs inte på tentn) Det är enkel övning på de nitionen v invers mtrisen. Sätt uttrycket x = A b in i uttrycket Ax : A A b = AA b = Ib = b som visr tt A b är en lösning. Om vi förutsätter tt det nns en nnn lösning u, så tt Au = b, och multiplicerr den ekvtionn med A från vänster, så följer det tt b A Au = A b Iu = A b u = A b

4 ll ndr lösningr måste vr lik med A b: Användning v A för tt uttryck lösningr till linjät systemekvtioner är lämplig mest för tt genomför teoretisk nlysitsk beräkningr. Gusselimintion är mycket mer e ektiv för tt lös ett konkret system med ett högerled då ntlet ekvtioner n >. Stsen om beräkningr med invers mtriser. Sts..6, sid. i Ly. Låt A och B vr inverterbr mtris n n. Följnde tre lgebrisk formler gäller ) A = A b) produkt AB v två inverterbr mtriser A och B är också inverterbr mtris och (AB) = B A Bevis till dett påstående kn krävs på tentn c) A T - trnspontmtris v en inverterbr mtris A är också inverterbr och A T = A T Bevis. till b) som kn krävs på tentn. Beräkn produkt v AB med "mistänkt inversen" B A (visr tt den är vänster invers) B A (AB) = B A A B = B (I) B = B B = I Beräkn produkt v AB med "mistänkt inversen" B A i motstt ordningen (vis tt den är höger invers): (AB) B A = A BB A = A (I) A = AA = I Bevis. till c) som inte krävs på tentn men föreslås som exercise i Ly. Koll direkt tt (A ) T är både vänster och höger invers till A T A T A T A T A T = AA T = I T = I = A A T = I T = I Slutsts. (Väldigt lämplig sts senre!) Kvrdtisk mtrisen A är inverterbr om och endst om A T är inverterbr. Den följer direkt från påståendet c) från föregående stsen. 4

5 En prktisk beräkning v invers mtrisen A Beräkningen v inver mtrisen till en "stor" kvdrtisk nn mtris kn genomförs på smm sätt som vi gjorde för en lmän mtris i börjn. Invers mtrisen A = X, där X = [x ; x ; :::; x n ] måste uppfyll mtrisekvtionen AX = I Den mtrisekvtionen är enligt de nitionen på mtrisprodukten ekvivlent med n "vnlig" vektorekvtioner eller linjär ekvtionssystem Ax = e ; Ax = e ; :::; Ax n = e n där e ; e ; :::e n ; är kolonner från enhetsmtrisen I n. Betrkt motsvrnde utvidgde mtriser till dess system: [A; e ] ; [A; e ] ; :::; [A; e n ] ; I fll mtrisen A hr n pivotelement, kn dess utvidgde mtriser trnsformers genom rdopertioner i reducerde trppstegsmtriser [I n ; x ] ; [I n ; x ] ; :::; [I n ; x n ] ; genom Guss-rdopertioner. Vektorer x ; x ; :::; x n där är kolonnvektorer i X. Det är lätt tt se tt smm Guss elimintionen och Jordn-Guss tillbk substitutionen kunde istället genomförs på mtrisen [A; I n ] stället. Som resultt v dess rdopertioner får mn en mtris där det står enhetsmtrisen i vänster och invers mtrisen X i höger: [A; I n ] Guss! [I n ; X] Vi hr fått metoden som låter för en given n n mtris A hitt en unique mtris X sådn tt den uppfyller ekvtionen AX = I X är en entydig höger invers till mtrisen A. Den är entydig eftersom mtrisen A i den beräkningen är rdekvivlent med enhetsmtrisen I n. Vi kommer tt vis nu tt en unique höger invers till A måste vr också vnlig invers, nämligen den måste stis er också ekvtionen Sts om unique höger mtrisinvers. XA = I Låt X vr en unique högerinver till en n n mtris A. Då måste X vr invers till A: Bevis. (den frågn betrkts på ett mer komplicert sätt i Ly) beviset krävs inte på tentn 5

6 Betrkt en mtris Y de nierd som Y = XA + X I och betrkt produkten AY : Dett medför tt AY = A (XA + X I) = (AX) A + AX A = = IA + I A = I AY = I Dett medför tt Y = X, eftersom X vr en unique lösning till mtrisekvtionen AX = I. Följktligen X = Y = XA + X I och det gäller tt XA = I d.v.s. X är en invers till A eftersom både XA = I och AX = I som gäller. Metoden för tt beräkn mtrisinvers som är introducerd här, hr en del lämplig slutstser. En del i stsen om inversmtrisen. Sts...8, sid. 0 i Ly. A är en iverterbr mtris om och endst om ett v följnde påståenden är snt. Dess påståenden är i sin tur ekvivlent med vrndr enligt tidigre teori för linjär ekvtionssystem. b) A är rdekvivlent med enhetsmtrisen I n : c) A hr n pivotpositioner. d) Ekvtionen Ax = 0 hr br trivil lösningr. Exempel. Bestäm om följnde mtris är inverterbr: A = Guss 4 5 Guss = I 5 Guss Mtrisen hr tre pivot positioner och är inverterbr, kn dessutom rdredusers till enhetsmtrisen. 6

7 Följnde sts smlr er kriterier om existensen v invers mtris till en given mtris A: Sts. Inversmtrisstsen, Sts...8, sid. 0 i Ly. Låt A vr en n n mtris. Följnde påståenden är ekvivlent (snn eller flsk smtidigt) ) A är en iverterbr mtris. b) A är rdekvivlent med enhetsmtrisen I n : c) A hr n pivotpositioner. d) Ekvtionen Ax = 0 hr br trivil lösningr. e) Kolonner i A är linjärt oberoende. f) Linjär trmsformtionen T (x) = Ax är injektion (one to one - in English) g) Ekvtionen Ax = b hr en lösning för vrje b ur R n : h) Kolonnern ur A spänner hel R n. i) Linjär trmsformtionen T : R n! R n ; T (x) = Ax är surjektiv (on to - in English) j) Det nns en n n mtris C sådn tt CA = I: k) Det nns en n n mtris B sådn tt AB = I: l) A T är en inverterbr mtris. Kort kommentr till bevis. (krävs inte på tentn) Observer först tt metoden för beräkningen v invers mtrisen ovn, medför ekvivlensen v ) och b). Det tt mtrisen A är kvdrtisk v storlek n n, medför tt b) och c) är ekvivlent. Egenskper hos vektorekvtioner och mtrisekvtioner medför tt d) till h) är ll ekvivlent med b). Ekvivlensen v i) och h) är en del v tidigre stsen.9. om krkterisering v linjär vbildningr. impliktioner ) =) j), ) =) k), ) =) k) är trivil. Impliktioner j) =) g), k) =) ) och l) =) ) följer från stsen..6 om beräkningslegler för infers mtriser. Vi nger här bevis till två v dess impliktioner eftersom de skns i Ly (står som exercises) Bevis till j) =) g) Låt C vr en n n mtris C sådn tt CA = I: En lösning till ekvtionen Ax = b kn frmställs som x = Cb med tt multiplicer ekvtionen med C från vänster: CAx = Cb. Om det skulle nns en nnn lösning y till smm ekvtion: Ay = b, så frmställes den med smm formeln: CAx = Cb = CAy (CA) x = (CA) y x = y Bevis till k) =) ) Låt B vr en n n mtris B sådn tt AB = I. 7

8 Del b) i sist stsen formulers också som Sts..7, s. 5. i Ly som krävs med bevis på tentn. Mtrisen A v storlek n n är inverterbr om och endst om den är rdekvivlent med enhetsmtrisen (identitetsmtrisen) v smm storlek. Bevis. Mn kn lär beviset med hjälp v elementär mtriser i Ly. Vi nger här en kortre bevis som inte nvänder begreppet elementär mtriser. Om A är rdekvivlent med en enhetsmtris, så hr systemet Ab = p en entydig lösning för vilket som helst högerled p R n. Följktligen hr mtrisekvtionen AB = I en entydig lösning, med kolonner i B som är entydig lösningr till ekvtioner Ab k = e k ; k = ; :::n: Mtrisen B är då högerinvers till A. Det är påståendet j) i Inversmtrisstsen. Vi skll vis tt dett medför inverterbrheten v A. Vårt resonemng är bsert på tidigre bevist egenskp tt A och A T är inverterbr br smtidigt. Betrkt trnspont v ekvtionen AB = I : (AB) T = I T Dett medför enligt regler för trnspont v produkt tt B T A T = I T = I: Det betyder tt B T är vänster invers till A T (!!!) Observer här tt vänsterinvers är mycket lämpligre än högerinvers. Det är lätt tt se tt vänsterinversen B T till A T måste smtidigt vr högerinvers till A T eftersom ekvtionen A T Q = I för högerinvers Q löses genom vänstermultipliktion med B T och hr en lösning Q = B T A T B T = I Så mtrisen A T är inverterbr och A T = B T : Men mtrisen A som är trnspont v A T och måste också vr inverterbr, och A = B enligt stsen om beräkningsregler för invers mtriser: Beviset åt motstt håll är mycket lättre. Om mtrisen A är inverterbr så hr ekvtionen Ax = p en entydig lösning x =A p för godtycklig högerled p. Det är möjligt br om mtrisen A är rdekvivlent med enhetsmtrisen I enligt tidigre utveckld teori för linjär ekvtionssystem. 8

9 Sts..9. sid. i Ly Låt T : R n! R n är linjär trnsformtion med stndrt mtris A. Linjär trnsformtionen T är bijektion och hr invers om och endst om (()) A är inverterbr mtris. Trnsformtionen S(x) = A x är invers vbildningen till T : S = T Påståendet om vänster och höger inverser till kvdrtisk mtriser. (i en gul(grön?) rut på sid. 0 i Ly) I de nitionen för invers mtrisen introducerdes direkt en infers mtris C som uppfyller smtidigt två reltioner med givn mtrisen A (båd kvdrtisk n n) CA = I; AC = I Det gäller följnde påstående. Låt A och B vr kvdrtisk n n mtriser sådn tt AB = I Då hr de båd en invers mtris och B = A och A = B: Dett påstående följer från ekvivlensen v j),k)och ) i föregående stsen. 9