13 Generaliserade dubbelintegraler

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "13 Generaliserade dubbelintegraler"

Viktoria Hellström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll utvidgs, på två sätt: till till obegränsde intervll och till funktioner som inte är begränsde. 3.. Obegränsde intervll Om f() är integrerbr på ll ändlig delintervll till (, ) så kn mn definier den generliserde integrlen R f()d som gränsvärdet Z N f()d = lim f()d. N å är R f()d är konvergent om gränsvärdet lim N R N f()d eisterr som ett egentligt gränsvärde. Annrs är integrlen divergent. Mn löser lltså en vnlig integrl, R N f()d, och betrktr sedn gränsvärdet v dett då NR. På helt nlogt sätt kn vi definier den generliserde integrlen f()d. I egenskp v gränsvärde finns det för generliserde integrler jämförelsestser, vrv den enklste är den följnde: Sts Antg tt funktionern f och g är integrerbr och begränsde på ll ändlig delintervll till [, ). å gäller följnde: f()d är divergent, så är R g()d diver-. Om f() g() och R gent.. Om f() g() och R konvergent. g()d är konvergent, så är R f()d I. till eempel, är vsikten tt f() är en komplicerd funktion, som f() = sommnfårbeskedom("r f()d konvergent") med hjälp ++ v en enkel funktion, som g() =. För det måste vi h en viss olikhet, vilket gäller i dett eempel, ty ++. Följnde enkl generliserde integrler nvänds oftst tt jämför mer komplicerde integrler med ( svrr mot = ). Sts R d är konvergent om <, och hr då värdet +. Om är integrlen divergent.

2 Stsen kn lätt viss ty integrnden är lätt tt integrer. et betyder eempelvis tt R är konvergent ( = 3 ). Gränsfllet är R gnsk omöjligt tt vgör från en figur: d är divergent ( = ), men R d d,som är divergent. ett är / = = 3/ = En integrl är lltså konvergent om det finns tl som rens storlek ldrig psserr hur stort integrtionsintervll mn än tr för denn re. Integrlen är divergent om ren psserr ll gränser vid öknde integrtionsintervll. ett gäller positiv funktioner. 3.. Obegränsde funktioner Om vi hr en funktion f() som är obegränsd på intervllet (, b), men begränsd och integrerbr på ( + ε, b) för ll ε>och ε<b, så kn vi definier den generliserde integrlen R b f()d som Z b Z b f()d = lim f()d. ε +ε Om dett gränsvärde eisterr säger vi tt R b f()d är konvergent, nnrs är R b f()d divergent. På motsvrnde sätt kn en integrl vr generliserd i högerändpunkt, eller i någon nnn punkt i intervllet. en följnde integrlen är generliserd i =, och är ett vnligt jämförelseobjekt för motsvrnde jämförelsests.: Sts 3 R d är konvergent om >, integrlen hr då värdet +. Om är integrlen divergent. Således är R d konvergent men R d är divergent. Noter tt vi här hr ett nnt integrtionsintervll än ovn. 3. ubbelintegrler I dubbelintegrlfllet gör mn på nlogt sätt som för enkelintegrler.

3 3.. Obegränst område Ett område i R är begränst om det finns en cirkelskiv C R = { p + y R} (med en tillräckligt stor rdie R) såtthel ligger i cirkelskivn: C R. Ett område är obegränst om det inte är begränst. Men då är C R (punktern som ligger i både och C R ) ett begränst område, och om vi låter rdien R i C R gå mot oändligheten får vi till slut hel. Om är obegränst definierr vi den generliserde integrlen på dett sätt, lltså som ett gränsvärde v integrler på begränsde områden: f(, y)ddy = lim f(, y)ddy. R C R Om gränvärdet eisterr är den generliserde integrlen konvergent, nnrs divergent. Eempel 4 Beräkn integrlen e y ddy där är hel plnet. Här hr vi ett obegränst område hel plnet. enn integrl kn skriv som R R e y ddy. Vi nvänder polär koordinter ½ = r cos θ y = r sin θ, då vi hr ddy = rdrdθ, och får på ett cirkelområde C R = { p + y R} med + y = r : Z π Z R y ddy = dθ e r rdr C R e = π[ e r ] R = π( e R ). Men eftersom e R då R så får vi e y ddy = π. Kommentr: Som beknt sknr funktionen e en enkel primitiv funktion. Men om vi noterr tt e y ddy = e d e y dy {br olik integrtionsvribel} = ( 3 e d),

4 så följer från dett tt ( R e d) = π. Således: e d = π(. 77 5). et går lltså tt beräkn denn integrl ekt, trots tt e sknr primitiv funktion. En nnn konvergent enkelintegrl är + d = [rctn ] = π ( π )=π. y R e = π och R +d = π. Noter tt vi beräknde värdet v R e d genom tt gå vi en dubbelintegrl och nvänd polär koordinter. Fktorn r som tillkommer, funktionldeterminnten, gör tt den uppkomn integrnden hr en primitiv funktion. 3.. Obegränsde funktioner Om f(, y) är obegränsd endst i en punkt (, b) i integrtionsområdet så tr vi bort denn punkt med en cirkel C ε (, b) med liten rdie ε somhrcentrumi (, b). Vi integrerr över återstoden C ε ( "men inte" C ε, ll punkter i sominteliggeric ε ). När vi låter ε får vi hel utom möjligen punkten själv, men det spelr ingen roll eftersom en enstk punkt är en nollmängd. ett är en definition v generliserde integrl v en obegränsd funktion: f(, y)ddy = lim f(, y)ddy. ε C ε Om gränvärdet eisterr är den generliserde integrlen konvergent, nnrs divergent. För lösningsmetodern betyder inte dett mycket eftersom mn tr ställning till de gränsvärden som dyker upp vid insättning v gränsvärden. Jämfört med insättningen v gränsen ovn som är rctn = π,sårepresenterrdett nturligtvisettkortsättttskrivettgränsvärde:lim rctn = π. 4

5 Eempel 5 Beräkn ddy om = +y { + y }. Lösning: ett är en generliserd integrl ty integrnden är +y ipunkten(, ). Här är polär koordinter lämplig både för område och integrnd. Vi får: Z π Z p + y ddy = dθ r rdr = π =π. Mn kn observer tt vi i denn lösning inte behövde beräkn något gränsvärde lls. Svr: ddy =π. +y Vi studerr härnäst en något generliserd version: Eempel 6 För vilk är ( p + y ) ddy konvergent, om = { + y }? Lösning: ett är en tvådimensionell motsvrighet till integrlen R d,som är konvergent om och endst om >. ( p Z π Z + y ) ddy = dθ r rdr = π Z r + dr =π[ + r+ ] π =. ( lim + r r+ ). Eftersom vi hr + i nämnren måste vi undnt fllet + =. en undre gränsen ger här gränsvärdet lim r r + enligt definitionen v generliserd integrl. ett gränsvärde är konvergent om eponenten är positiv, dvs + >, och divergent om +<. Fllet = får vi undersök speciellt: ( p Z π Z + y ) ddy = dθ r rdr Z = π dr =π( lim ln r) r r som inte är konvergent. 5

6 Svr: ( p + y ) ddy är konvergent då > och divergent nnrs. På nlogt sätt kn mn vis tt om istället är området utnför enhetscirkeln, = { + y }, så är ( p + y ) ddy konvergent om < och inte nnrs. Eempel 7 (937c) Beräkn +( y) ddy där = { }. Lösning: Här är området en oändligt lång vertikl rems, melln de två lodrät linjern =och =. Vi tillåter lltså y och y i området. Integrnden blir nog enklre med substitutionen ½ u = v = y. Noter tt området förblir enkelt, det blir nu u eftersom u =. enn substitution hr funktionldeterminnt (u, v) (, y) = = =. Men vi behöver för dubbelintegrlen omvänd funktionldeterminnt, som är (, y) (u, v) = = (u,v). (,y) I dubbelintegrnden sätter vi in bsolutbeloppet v funktionldeterminnten, så här dyker upp, och inte. I gengäld integrerr vi från till och inte tvärtom, vilket nnrs vi borde gör i v-led eftersom v = y gör tt v då y. Vi får lltså Svr: +( y) ddy = +( y) ddy = π 4. Eempel 8 (937m) Beräkn y }. = Z Z udu u +v dudv +v dv = [u ] [rctn v] = (π ( π )) = π 4. ddy där = { 4, (4 )( y) 6

7 y Lösning: enn integrl är generliserd ty integrnden är obegränsd på två hel begränsningskurvor, på = 4och y = hr vi noll i nämnren. Här är en substitutionen v = y lämplig både för integrnden och för en v begränsningskurvorn. Så låt oss prov ½ u = v = y. Begränsningrn v området är 4 och y. en senre är olikhetern y och y, som kn skrivs y och y, dvs v. å hr vi gränsern i u och v. Vi får funktionldeterminnt (u, v) (, y) = = =, så och p (4 )( y) ddy = (, y) (u, v) = (u,v) (,y) = Z 4 Z Z 4 = 4 u v dudv 4 u du Z där är } = [ 4 u] 4 [ v] v dv = {nvänd = ( ( 4))(( )) = 4. Z v dv = v+ +, Svr: ddy =4. (4 )( y) 7

8 Eempel 9 (937o) Beräkn y, y }. +y ( +y ) e y ddy där = { + y, y Lösning: Vi hr här en cirkelbåge och två rät linjer. Vi hr också nämnren ( + y ) tt t hänsyn till när vi väljer vribelsubstitution. Med u = + y fångr vi in cirkelbågen och en besvärlig del v nämnren. Med v = y kommer gränsern tt bli konstnter. et kn vr värt tt prov. Således: ½ u = + y. v = y. Vi får funktionldeterminnt (u, v) (, y) = y = y = ( + y), lltså (, y) (u, v) = = (u,v) ( + y). (,y) Eftersom vi hr en fktor + y i integrnden kommer dess tt t ut vrndr, och vi behöver inte uttryck funktionldeterminnten i u och v. Gränsern y, y är y = v och y, lltså v. Gränsen + y blir u. Så dubbelintegrlen blir + y ( + y ) e y ddy = { + y försvinner!} = Z + y u e v ( + y) dudv u du Z e v dv Svr: = [ u ] [e v ] e ( ( ))(e ) =. +y ( +y ) e y ddy = e. 8

Relevanta dokument

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,