SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER"

Transkript

1 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = = I det först fllet är det lätt tt, med hjälp v formeln för geometris summor, övertyg sig om tt svret bör bli : N ( ) ( ) N+ (3) = när N. I det ndr fllet går det ocså tt övertyg sig om tt summn bör bli oändlig: (4) = + ( ) ( ) ( ) + 6 } {{ } } {{ } } {{ } 4 = 4 8 = 8 6 = ( ) 3 } {{ } 6 3 = ( ) 64 } {{ } 3 64 = = n, där n n väljs hur stort som helst om vi br grupperr ihop tillräcligt mång termer. Men hur gör vi med följnde oändlig summor? Eempel 3. (5) eller ( ) =

2 MARTIN TAMM Eempel 4. (6) ( ) = I Eempel 3 går det nppst tt tl om något värde lls på summn. I Eempel 4 n mn, som vi s återomm till senre, summer västerledet till precis vilet reellt tl som helst om mn br lägger ihop termern i lämplig ordning (Se Kpitel 6)! Dess svårigheter hänger ihop med tt ddition v oändligt mång tl inte är något som är definiert i de tlsystem som vi nvänder. Ovnstående resonemng är därför i princip inte legitim, utn bygger på någon sorts intuitiv generlisering, bserd på vår unsper om ändlig summor. I mtemtien n den här typen v släpphänthet få tstrofl onsevenser. Vi n omöjligt ccepter metoder som iblnd leder rätt och iblnd fel, utn tt vi vet vrför. Därför är vi, för tt omm vidre, tvungn tt ersätt den intuitiv idén om oändlig summor med en strit definition: Definition. Ett uttryc på formen definiers som s = lim om dett gränsvärde eisterr. s N = = lls för en serie. Seriens summ s N N N =, = lls för seriens N:te prtilsumm. Mn n lltså säg tt vi återför begreppet oändlig summ på begreppet gränsvärde, som vi redn hr en br teori för. Det är vitigt tt noter tt definitionen fungerr li br för omple tlföljder { } = som för reell, även om vi här huvudsligen ommer tt disuter det sistnämnd fllet. För den llmänn teorin spelr det nästn ldrig någon roll vd är. Smm typer v resonemng fungerr för t e serier v följnde typer: (7), = 5, eller. =7 I fortsättningen formulerr vi de flest stser så tt indeeringen börjr från eller, och överlåter den trivil generliseringen till mer llmänn inde åt läsren. Som en först onsevens n vi noter tt serier lltså inte är summor utn gränsvärden. Med dett synsätt blir det ocså helt nturligt tt viss serier onvergerr (och tt vi då n tl om ders gränsvärden som summor), medn ndr serier divergerr (och därför snr summ). I prtien är det ocså ändmålsenligt tt tl om en series (oändlig) summ om s N ±. Om vi smmnfttr vår eempel ovn så gäller tt serien i Eempel ovn verligen hr summ medn seriens i Eempel är divergent (s = ). Serien i Eempel 3 är divergent och snr summ, eftersom vrnnn prtilsumm blir och vrnnn blir. I Eempel 4 medför definitionen ovn tt seriens summ blir

3 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 3 ln. Dett viss enlst med hjälp v McLurin-utveclingen v ln( + ) (se []): N ( ) + (8) ln( + ) = + ( ) N ( + θ) N+ n +, < θ <. Om vi nu sätter = och låter N, så ser vi tt resttermen går mot och tt högerledet därför onvergerr mot den givn serien, medn vänsterledet är li med ln. Det finns mång eempel på serier som går tt berän et, men det finns ingen systemtis metod för hur dett s görs. Eempel 5. Eempel n lätt generlisers till en godtyclig serie v typen (9) = om <. Observer tt även n vr omplet. Serien i Eempel 5 är ett eempel på en potensserie: () f() = ( ). Potensserier n i viss mening betrts som polynom v oändligt grdtl, och det finns mång liheter med vnlig polynom (men även oliheter). n vr en reell vribel, men det är ännu vnligre (och vitigre) tt studer potensserier där vribeln och även oefficientern får vr omple. Vi återommer till teorin för potensserier i ursen Anlys B. Eempel 6. Ett nnt eempel som vi lätt n berän är serien () ( + ). Vi gör observtionen () vilet ger (3) (( lim ) + N ( + ) = +, ( + ) = lim ( ) N N ( ( N N + Den tillsynes närbeslätde serien (4) = π 6 ) = + )) = lim N ( ) =, N + är det emellertid betydligt svårre tt omm åt (en vnlig metod är tt nvänd Fourier-nlys, men det finns ocså elementär bevis, se t e []). Men oft är inte den vitigste frågn tt et bestämm värdet på en serie. I mång fll räcer det tt vet om serien onvergerr eller divergerr. För tt vgör dett finns det förhållndevis effetiv metoder, och det är frmför llt dess som ommer tt ts upp i de följnde pitlen.

4 4 MARTIN TAMM. Integrler som är generliserde i + Det finns en när nlogi melln serier och generliserde integrler v typen f(). På smm sätt som serier egentligen inte s betrts som summor utn som gränsvärden (v summor), så s generliserde integrler inte heller betrts som integrler utn som gränsvärden (v integrler). För en integrl som är generliserd i + är definitionen Definition. f() = lim f(), R om dett gränsvärde eisterr ändligt. Den generliserde integrlen säges då vr onvergent, nnrs säges den vr divergent. Om gränsvärdet eisterr oegentligt så säger mn oft tt den är li med + eller. Eempel 7. (5) + = lim R + = lim R [rctn ]R = lim R rctn R = π. Den generliserde integrlen är lltså onvergent med värdet π/. I det här fllet n vi tol det som tt ren v det område i först vdrnten som ligger under grfen är ändlig med ren just π/. Eempel 8. (6) + = lim R + = lim R [ln( + )]R = lim ln( + R) =. R Den generliserde integrlen är lltså divergent (= + ), och ren v det område i först vdrnten som ligger under grfen är oändlig. Eempel 9. (7) cos = lim R cos = lim R []R = lim sin R. R Det sist gränsvärdet eisterr vren egentligt eller oegentligt så den generliserd integrlen är divergent (och det är lönlöst tt försö tl om något värde). Eempel. (8) = lim R I det här fllet visr det sig tt gränsvärdet ftist eisterr och är li med π/ (för onvergensen, se Sts 4 i Kpitel 7). Men det går inte tt tol resulttet som någon re. Det här eemplet påminner i mycet om Eempel 4 i Kpitel, men det är betydligt svårre tt utför beräningen v integrlen. En metod (som bygger på nlytis funtioner) gås igenom i Anlys B. Det n ocså påpes tt vi här behndlr integrlen som generliserd endst i oändligheten. Men vd händer egentligen när? Där blir ju integrnden ocså odefinierd? Ftum är tt den här typen v generlisering i stort sett är helt och hållet problemfri, eftersom funtionen ftist går tt utvidg till en funtion som är ontinuerlig även i origo. I fortsättningen ommer vi inte tt uppmärsmm

5 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 5 sådn singulriteter utn behndlr sådn generliserde integrler som om de hde hft ontinuerlig integrnder redn från börjn. Det finns mycet som är gemensmt i metodern för tt vgör onvergens och divergens hos serier och generliserde integrler. Men det finns ocså, som vi ommer tt upptäc, en del sillnder som är värd tt observer. 3. Generell egensper hos serier och generliserde integrler Innn vi går vidre med specifi riterier för onvergens och divergens så n det vr värt tt noter någr generell egensper. Lemm. (α + βb ) = α + β b, Dett är egentligen en trivil tillämpning v ränereglern för gränsvärden v tlföljder på följdern v prtilsummor. Precis som för vnlig gränsvärden s lemmt tols som tt om seriern i högerledet onvergerr så onvergerr även vänsterledet och lihet gäller. Anmärning. Mn n ocså formuler vrinter v lemmt som t e säger tt summn v en onvergent och en divergent serie är divergent, men detljern lämns åt läsren. Det är även värt tt observer tt (den formell) summn v två divergent serier mycet väl n vr onvergent, t e ( (9) ( ) + ( ) + = ( ) + ( ) +) = =. Här är det lltså i vänsterledet inte frågn om tt vi lägger ihop två tl, utn det hndlr om en rent formell opertion på serier. Motsvrnde lemm för generliserde integrler ser ut så här: Lemm. (αf() + βg()) = α f() + β g(). En nnn vitig egensp tt noter är tt en serie endst n onverger om termern går mot noll: Sts. Om är onvergent så följer tt. Dett följer v definitionen v prtilsumm i Definition ovn. Vi n helt enelt sriv = s s och noter tt om serien är onvergent med summn s så blir lim = lim s lim s = s s =. Sts n ftist vr ett nvändbrt riterium för tt vis tt viss serier inte onvergerr. I viss fll då inget nnt verr funger n det vr värt tt ontroller tt termern verligen går mot noll.

6 6 MARTIN TAMM Eempel. Serien! är divergent eftersom () =! = = Mn s t sig för tt tro tt villoret är ett tillräcligt villor för onvergens. T e går termern i serien i Eempel ovn mot noll, utn tt serien för den sull sulle onverger. Det visr sig tt nlogin till Sts för generliserde integrler är fls: Det finns eempel på generliserde integrler som är onvergent, trots tt integrnden inte går mot noll. Ett eempel på en sådn är () sin ( ). I själv veret övergår integrlen efter vribelbytet t = i () sin t t dt, som n viss onverger med smm metoder som vi senre ommer tt möt i Sts 4 i Kpitel Positiv serier En positiv serie är en serie sådn tt för ll. För en sådn serie utgör följden {s N } v prtilsummor en monotont vände tlföljd. Enligt stsen om monoton onvergens finns det därmed br två lterntiv: ntingen är följden v prtilsummor begränsd och serien är onvergent, eller så är den obegränsd och serien divergerr (hr summ + ). Oft nvänder mn därför för positiv serier betecningrn (3) < respetive = för tt mrer om de är onvergent eller divergent. Däremot s mn inte nvänd dem för serier som inte är positiv. Motsvrnde gäller för övrigt även generliserde integrler. Teorin för positiv serier är betydligt enlre än det llmänn fllet. Det visr sig tt om ll termer är positiv så leder vår intuitiv uppfttning om oändlig summor oss för det mest rätt. Dessutom n mn i mång fll nvänd positiv serier för tt dr slutstser om serier som inte är positiv med hjälp v Sts 5 nedn. Hur s mn gå tillväg för tt vgör om en positiv serie onvergerr? Om vi inte n berän serien et så n vi försö hitt en enlre serie tt jämför med: Sts (Jämförelseriterium I). Antg tt b för =,,... () Om b är onvergent så är även onvergent. () Om är divergent så är även b divergent.

7 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 7 Bevis: Dett är en diret följd v disussionen innn stsen: om b är onvergent så finns en övre begränsning B till seriens prtilsummor. Men eftersom N N (4) b B så blir smm B en övre begränsning till prtilsummorn till serien ger tt, vilet onvergerr. Andr hlvn viss på linnde sätt, genom tt tillämp lgen om oliheter för gränsvärden på en först oliheten i (4): Om så följer ju tt även N b. N Anmärning. Ett ändligt ntl termer i börjn v en serie n ldrig påver frågn om onvergens eller divergens. Därför räcer det i princip tt oliheten b är uppfylld för ll N för något visst N. En nnn observtion är tt det räcer tt vis tt cb för någon positiv onstnt c >, eftersom serien b onvergerr om och endst om cb gör det. Eempel. Serien + (5) och är onvergent. Dett beror på tt +, är onvergent enligt Eempel. + Eempel 3. Även serien är onvergent. Dett n i princip ocså viss med Jämförelseriterium I om vi t e observerr tt ( ) + (6), 3 + / ( ) för stor. Dett följer v tt = + 3 ( ) stället jämför med som ocså är onvergent. 3 ( ) 3. Vi n då i 4 Den här tillämpningen änns nse något mindre nturlig än föregående; vi måste själv gör viss överläggningr innn vi n tillämp stsen. Nedn s vi se tt det finns en lång rd med oli vrinter v Sts som pssr för oli situtioner.

8 8 MARTIN TAMM Sts 3 (Jämförelseriterium II). Antg tt <, b för ll stor, och ntg vidre tt lim = A, där < A <. Då gäller tt är onvergent om b och endst om b är onvergent. Beviset följer v Jämförelseriterium I: om tillämpr gränsvärdesdefinitionen på gränsvärdet lim = A med ɛ = A/ så följer tt b (7) A b < A A < < 3 A för N, b för något visst N. Det följer nu tt b (/A) för N, vilet enligt Sts och Anmärning ger tt om onvergerr så onvergerr även b. På linnde sätt ser vi tt 3 Ab, vilet ger tt om onvergerr även. Eempel 4. Avgör om serien + = + + b onvergerr så är onvergent. De dominernde termern i täljre respetive nämnre är respetive. Därför bör serien för stor bär sig åt ungefär som b =. Vi observerr tt (8) b = vilet enligt jämförelseriterium II medför tt om b gör det. Men lltså för., onvergerr om och endst är enligt Eempel divergent, så detsmm gäller Det är vitigt tt både och b förutsätts vr positiv i Jämförelseriterium II, vilet frmgår v följnde Eempel 5. Betrt de båd seriern (9) = ( ), = ) ln ( + ( ).

9 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 9 Eftersom ln( + ) för när, så verr det rimligt tt förmod seriern borde h smm onvergensegensper. Om vi som i Sts 3 betrtr gränsvärdet (3) lim = lim b ( ) ( ) =, ln + ( ) så verr dett stödj vår förmodn. Men den först serien är onvergent medn den ndr är divergent! Det är lltså inte orret tt dr någon slutsts v (3) i det här fllet eftersom seriern inte är positiv. Konvergensen v den först serien s vi vis lite senre i Sts 8. Här s vi br noter en orret tillämpning tt Sts 3 ger tt båd seriern inte n vr onvergent, eftersom sillnden melln dom ftist är en divergent serie. För tt se dett observerr vi tt McLurin-utvecling ger tt ln(+) = +O( 3 ), vilet med = ( ) / ger tt (3) = ( ) ln = ( + ( ) ) = = ( ( )) + O, 3/ där serien i högerledet är positiv för stor och därmed divergent, eftersom vi n nvänd jämförelseriterium II för tt jämför med serien i Eempel.. En nnn rftfull metod för tt vgör om en positiv serie onvergerr är tt jämför med integrler. Eftersom vi hr tillgång till integrllylens huvudsts så är det mycet lättre tt et berän integrler än tt berän summor. Men för tt unn nvänd dett måste vi ocså unn jämför summor med integrler. Den idé som gör dett möjligt är tt vi n uppftt ändlig summor som integrler v trppfuntioner. Om vi speciellt betrtr en positiv och vtgnde funtion f() på intervllet [, [ så är det lätt tt övertyg sig om tt (3) n+ f() f() + f() f(n). Högerledet n ju tols som integrlen över intervllet [, n + ] v den trppfuntion Ψ() f() som definiers v tt Ψ() = f() på [, + [. Se den övre grfen i Figur. Å ndr sidn hr vi ocså tt (33) f() + f(3) f(n) n f(), eftersom vänsterledet n uppftts som integrlen över [, n] v den trppfuntion Φ() f() som definiers v tt Φ() = f() på [, [. Se den undre grfen i Figur. Om vi sätter ihop dess oliheter får vi (34) n+ f() f() + f() f(n) f() + Ur dett ser vi tt prtilsummorn s n = om och endst om integrlern hr därmed bevist n n f(). n f() är uppåt begränsde (då n ) f() är uppåt begränsde (då n ). Vi

10 MARTIN TAMM Figur. Jämförelse melln trppfuntionerns och f():s integrler Sts 4 (Cuchys integrlriterium). För en positiv vtgnde funtion på [, [ gäller tt (35) f() onvergent f() onvergent. Eempel 6. För vil värden på α > onvergerr serien α? Enligt integrlriteriet gäller dett för precis smm α som för vil motsvrnde integrl onvergerr. Men (36) { α = (α ) om α >, om α. Vi drr slutstsen tt serien onvergerr om och endst om α >. (Vi n för övrigt observer tt det är trivilt tt serien divergerr för α, eftersom termern då inte går mot.)

11 Eempel 7. Serien (37) SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER = ln ln = lim N. är divergent eftersom integrlen N ln = lim N [ln(ln )]N =. Noter tt vi här som en vrition hr nvänt integrlriteriet på intervllet [, [ i stället. Integrlriteriet och jämförelseriterium II n vr mycet effetiv i ombintion med Tylor-utvecling: ( Eempel 8. Avgör om serien = sin sin ) är onvergent. Vi börjr med tt Mclurin-utvecl sin() = 3 + O( 5 ), eller med = /: (38) = sin sin = ( ) 3 + O 5. Vi vet nu tt serien för stor bär sig åt ungefär som serien b = 3 som enligt integrlriteriet ovn är onvergent. Det ligger därför när till hnds tt jämför just med denn. Vi observerr därför tt + O ( ) (39) = 3 5 b, 3 vilet enligt jämförelseriterium II medför tt om b gör det. är lltså onvergent. onvergerr om och endst 5. Andr onvergensriterier En fundmentl sts som återför en stor del v teorin för llmänn serier på teorin för positiv serier är följnde: Sts 5. Om onvergerr så onvergerr även. Bevis: Antg först tt serien är reell och låt + = m(, ) och = m(, ). Då gäller tt +,, och = +. Det följer tt (4) = +, eftersom seriern i högerledet är positiv och onvergent enligt jämförelseriterium I. Stsen följer därför v Lemm. Om = u + iv är omple så observerr vi tt u, v, vilet ger tt u och v är onvergent enligt jämförelseriterium I, vrefter den

12 MARTIN TAMM först delen v beviset ger tt u och är onvergent enligt Lemm. Om en serie hr egenspen tt v är onvergent och slutligen tt onvergerr så lls serien bsolutonvergent. Stsen ovn n därför smmnftts som tt bsolutonvergens för en serie medför onvergens. Serier som är onvergent utn tt vr bsolutonvergent lls betingt onvergent. För sådn serier n mycet märlig ser inträff. Vi återommer till dett i Kpitel 6. Ett eempel på ett mer specifit onvergensriterium, men som smtidigt oft är lätt tt nvänd är Sts 6 (Cuchys rotriterium). Antg tt serien är sådn tt (4) lim / = A för något A [, ]. Om A < så är serien bsolutonvergent. Om A > så är serien divergent. Idén bom stsen är mycet enel: förutsättningen säger tt A, dvs serien bär sig åt ungefär som en geometris serie med voten A, som ju är onvergent då A < och divergent då A >. För tt gör resonemnget precist nvänder vi gränsvärdesdefinitionen och jämförelseriterium I: Bevis: Om A < så n vi välj ett tl r så tt A < r <. Välj ett heltl N så stort tt N / < r. Då blir r för N, vilet betyder tt serien n uppstts med en onvergent geometris serie. Påståendet i stsen följer därför v jämförelseriterium I. I fllet A > så ger gränsvärdesdefinitionen i stället tt för ll N för något tl N. Därmed n inte termern gå mot noll och divergensen följer v Sts. Om vi nu återvänder till Eempel 3 så ser vi tt rotriteriet är ett mycet effetivre hjälpmedel än jämförelseriterium I för tt vis onvergens. Det räcer nu tt observer tt ( ) / + (4) / ( + )/ = = < när. Ett nnt eempel där rotriteriet fungerr väl är Eempel 9. Avgör om serien fll tt (43) / = ( ) är onvergent eller ej. Vi ser i dett ( ) < när, e vilet enligt rotriteriet visr tt serien är onvergent.

13 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 3 Å ndr sidn finns det mång fll där rotriteriet inte går tt nvänd. En vnlig typ v fll är då gränsvärdet A ovn blir, och rotriteriet inte ger någon slutsts lls. Dett gäller t e för ll serier v typen α. Ett riterium som hr linnde nvändningsområde som rotriteriet är följnde Sts 7 (d Alemberts votriterium). Antg tt serien för ll och är sådn tt + (44) lim = A för något A [, ]. Om A < så är serien bsolutonvergent. Om A > så är serien divergent. Idén i stsen är precis densmm som i Cuchys rotriterium, nämligen tt gränsvärdesvilloret medför tt bär sig åt ungefär som en geometris serie med voten A. Bevis: Om vi ntr tt A < n vi, precis som i beviset v rotriteriet, välj r så tt A < r < och med hjälp v gränsvärdesdefinitionen hitt N så tt (45) + < r för N, dvs + < r för ll N, vilet för ett godtycligt > N ger tt (46) < r < r <... < r N N+ < r N N. Vi n lltså (bortsett från de N + först termern) uppstt den givn serien med en onvergent geometris serie vilet ger påståendet. I fllet A > ger gränsvärdesdefinitionen i stället tt det finns N så tt för > N så måste (47) + >. Men då är + > för > N, vilet betyder tt följden { } =N är vände och lltså inte n gå mot. Oft är det en sms om mn vill nvänd rot- eller votriteriet. Men i viss fll n det en riteriet ge betydligt enlre räningr än det ndr. Eempel. Vi undersöer onvergensegenspern hos serien hjälp v votriteriet: (48) + (!) ()! = (( + )!) ()! (!) (( + ))! = ( + ) ( + )( + ) = + ( + ) 4 <, med vilet visr tt serien är onvergent. Observer tt det hde gått tt vis smm s med rotriteriet, men då hde vi behövt uppstt (!) / och (()!) /, t e med hjälp v Stirlings formel.

14 4 MARTIN TAMM 6. Betingt onvergent serier En serie som är onvergent men inte bsolutonvergent lls, som tidigre nämnts, betingt onvergent. Ett enelt eempel på en sådn är den så llde lternernde hrmonis serien i Eempel 4. Vi hr ju vist tt seriens summ är ln, men ocså tt motsvrnde serie när vi tr bsolutbeloppen v ll termer (den hrmonis serien i Eempel ) är divergent. Dett är ett eempel på en mer generell typ v betingt onvergent serier: Sts 8 (Leibniz onvergensriterium för lternernde serier). Låt { } vr en positiv vtgnde tlföljd sådn tt då. Då är serien ( ) + onvergent. Eempel. Seriern (49) är båd (betingt) onvergent. Bevis v stsen: Låt s N = ( ) + och ( ) + ln( + ) N ( ) + som vnligt betecn seriens prtilsummor. Vi tittr först på följden {s m } v prtilsummor med ett jämnt ntl termer. Denn följd är monotont vände eftersom (5) s (m+) s m = m+ m+, där vi i det sist steget nvänt tt följden är vtgnde. Följden är positiv eftersom den är vände och s =, men följden är ocså uppåt begränsd, eftersom (5) s m = m + m m = ( 3 ) ( 4 5 )... ( m m ) m } {{ } } {{ } } {{ } }{{} för ll m =,,... Enligt en änd egensp hos monoton tlföljder betyder dett tt följden {s m } onvergerr mot ett tl s som uppfyller s. Men även följden {s m+ } m= v prtilsummor med udd ntl termer onvergerr mot s, eftersom s m+ = s m + m+ s + = s. Ur dett följer tt hel följden {s N } N= onvergerr mot s, vilet bevisr stsen. Som tidigre nämnts hr betingt onvergent tlföljder gns ptologis egensper. För tt illustrer dett definierr vi en omordning η v de positiv heltlen Z + som en bijetiv vbildning η : Z + Z +. Givet en sådn omordning η n vi nu även definier motsvrnde omordning v en godtyclig tlföljd { }, som den ny tlföljden { η() }, och v en godtyclig serie som den ny serien η(). Sts 9 (Riemnns omordningssts). En reell betingt onvergent serie n lltid omordns så tt den ny seriens summ blir li med vilet på förhnd givet reellt tl som helst (eller li med + eller ).

15 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 5 Dett märlig resultt sll jämförs med följnde Sts. Om en bsolutonvergent serie hr summn s så hr även ll omordningr v serien summ s. Så fort vi släpper rvet på bsolutonvergens så blir lltså den ddition som serien ger sig ut för tt representer i llr högst grd ice-ommuttiv! Det är bl därför som det är bättre tt inte se sådn serier som ddition utn helt enelt som gränsvärden. Ingen v ovnstående stser är speciellt svår tt vis. Men för tt förstå idén med Riemnns omordningssts n det ändå vr bättre tt titt på ett onret eempel. Vi vet redn tt den lternernde hrmonis serien ( ) (5) = är onvergent med summn ln. Hur s vi ordn om termern om vi i stället vill tt summn s bli t e? Vi börjr med tt del upp termern i positiv och negtiv, och noterr tt dess bildr divergent serier: (53) (54) = = +, = =. Dett n enelt viss, t e genom tt jämför med den vnlig hrmonis serien i Eempel och nvänd Jämförelseriterium II. Men det följer ocså v generell egensper för betingt onvergent serier: Om den en v seriern (53) och (54) vore onvergent och den ndr vore divergent så sulle ju ders summ (5) ocså vr diverent (vilet vi vet är flst). Om å ndr sidn både (53) och (54) vore onvergent så sulle den vnlig hrmonis serien vr bsolutonvergent, eftersom denn just är sillnden melln (53) och (54) (vilet ocså är flst enligt Eempel ). Om vi vill tt summn s bli men smtidigt se till tt ll termer i båd seriern ommer med så är en nturlig strtegi tt välj en ordning där vi går igenom den övre följden i snbbre tt. Vi börjr därför med tt ploc så mång termer ur denn som behövs för tt ders summ s bli större än två. Det visr sig tt det behövs ått termer: (55) >. 5 Nu är det dgs tt stopp in den först negtiv termen: (56) <. Därefter fyller vi på med positiv termer tills summn blir större än igen: (57) >. 4

16 6 MARTIN TAMM Vi lägger nu till näst negtiv term /4 och därefter ytterligre positiv termer tills summn återigen blir större än : (58) >. 69 Efter ytterligre en negtiv term och tillräcligt mång positiv får vi: (59) >. Det är inte svårt tt se tt om vi fortsätter på dett sätt så ommer summorn tt onverger mot, och vi ommer ocså tt så småningom inluder ll termer i den ursprunglig serien, även om de positiv termern ts med i en betydligt snbbre tt. 7. Oli typer v generliserde integrler I Kpitel hr vi infört generliserde integrler v typen f() som hr mycet gemensmt med serier. Men det finns mång oli typer v generliserde integrler. En integrl n vr generliserd därför tt integrtionsintervllet är oändligt eller för tt integrnden är obegränsd, ntingen i det inre v integrtionsområdet eller då vi närmr oss någon v ändpuntern. Här följer någr eempel: Eempel. (6), e, π tn. Gemensmt för ovnstående eempel är tt de är odefinierde som vnlig integrler, men n ges mening som gränsvärden: = lim ɛ + ɛ [ ] = lim = lim ( ) ɛ + ɛ ɛ =, ɛ + (6) e = lim e = lim R R R [e ] R = lim ( e R ) =, R π tn = lim ɛ + π ɛ tn = lim ɛ + [ ln(cos )] π ɛ = lim ɛ + ( ln(cos( π ɛ) ) =. Men det är inte lls ovnligt tt integrler n vr generliserde på fler sätt t e: (6) e, ( )( ). Grundregeln för sådn generliserde integrler är tt mn s del upp dem i integrler över oli intervll, som vr och en endst innehåller en generlisering (en gränsövergång) i någon v intervllets ändpunter. Och den generliserde

17 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 7 integrlen är onvergent om och endst om ll delrn är det. tol den först integrlen som (63) e = = lim R e + R e = e + lim R e. Således n vi Att vi här vlt tt del upp integrtionsintervllet just i origo spelr ingen roll. Det är lätt tt övertyg sig om tt vi sulle få smm onvergensegensper och numeris värde om vi hde delt i någon nnn punt. När det gäller den ndr integrlen sulle motsvrnde indelning unn se ut så här (64) lim ɛ + / ɛ ( )( ) = + lim ɛ + ɛ / + lim ɛ + / 3/ +ɛ + / + lim ɛ + + 3/ ɛ 3/ + 3/ = lim + lim ɛ + +ɛ R I dess två fll visr det sig tt ll de ingående delrn är onvergent, vilet lltså betyder tt båd de generliserde integrlern i (6) onvergerr. Mn n fråg sig om det inte vore enlre tt t e tol den först generliserde integrlen i (6) som ett end gränsvärde? (65) e = lim R R e. Just i det här fllet sulle det inte spel någon som helst roll; vi sulle få et smm numeris värde med denn definition som med den i (63). Men så är inte lltid fllet. Jämför t e med följnde: (66) är divergent men lim R R =. Det som gör tt vi får lihet i (65) är, grovt tlt, tt integrnden är positiv. Motsvrnde gäller även under något llmännre villor, men vi går inte in på et villor här. Gränsvärdet till höger i (65) lls principlvärdet v den generliserde integrlen. Sådn principlvärden n vr mycet intressnt i mång tillämpningr, men mn bör omm ihåg tt de inte lltid betyder detsmm som motsvrnde generliserde integrler. Hur går mn då tillväg för tt vgör om en generliserd integrl onvergerr i de fll då den inte går tt berän et? Vi n börj med tt onstter tt de båd jämförelseriteriern för serier diret går tt översätt till integrler: Sts (Jämförelseriterium I). Antg tt f(), g() är ontinuerlig och f() g() för [, [. () Om () Om g() är onvergent så är även f() är divergent så är även f() onvergent. g() divergent. 3.

18 8 MARTIN TAMM Sts (Jämförelseriterium II). Antg tt f(), g() är ontinuerlig och < f() f(), g() för [, [, och ntg vidre tt lim = A, där < A <. Då g() gäller tt f() är onvergent om och endst om g() är onvergent. Här hr riteriern formulerts för fllet då integrlern är generliserde i +, men det går lätt tt översätt dem till ndr typer v generliseringr. Vi vstår från eplicit formuleringr, men se Eempel 4 nedn. Bevisen är ocså mycet snrli motsvrnde för serier och utelämns här. sin Eempel 3. Vi undersöer om den generliserde integrlen är + onvergent. Integrlen är generliserd i och eftersom sin är det nturligt tt uppstt integrnden med /( + ): (67) sin + + sin <, + enligt jämförelseriterium I, eftersom vi redn vet från Eempel 7 tt onvergerr. Eempel 4. Vi undersöer om den generliserde integrlen + är onvergent. Integrlen är generliserd i och i närheten v denn punt vet vi tt. Det ligger då när till hnds tt jämför integrnden med / : f() (68) lim + g() = lim + = lim + =, vilet ger tt den generliserde integrlen onvergerr enligt jämförelseriterium II, eftersom vi redn vet från Eempel tt integrlen v / är onvergent. När det gäller rotriteriet och votriteriet så finns det ingen nturlig motsvrighet för generliserde integrler. Däremot n begreppen bsolutonvergens och betingd onvergens lätt överförs på integrler: Sts 3. Om f() onvergerr så onvergerr även f(). Precis som för serier finns det gott om eempel där den först integrlen divergerr, medn den ndr onvergerr. Lisom för serier lls dett fenomen för betingd onvergens. Vi nöjer oss med tt nlyser ett eempel: Sts 4. Den generliserde integrlen En tenist reltivt enel bevismetoden ser ut så här: är betingt onvergent. Bevis: Vi måste både vis tt den generliserde integrlen onvergerr och tt motsvrnde med bsolutbelopp divergerr. Vi observerr först tt det inte spelr någon roll för onvergensen om vi i stället betrtr integrlen, eftersom integrnden är begränsd på [, ]. Vi

19 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 9 Figur. De reor som svrr mot. n nu prtilintegrer: (69) N = [ cos ] N N cos. Den först termen i högerledet onvergerr mot cos när N. Den ndr termen hr ocså ett ändligt gränsvärde eftersom observtionen cos och = < ger tt den är bsolutonvergent enligt Jämförelseriterium I. För tt vis tt = + observerr vi tt sin, vilet ger tt (7) (7) N N N sin = N cos = ln N 4 N [ sin cos ] N 4 N = sin, eftersom den sist integrlen är bsolutonvergent v smm säl som gällde för den sist termen i (69). Ovnstående rgument är nse det tenist enlste för tt vis stsen, men det ger ingen djupre insit i vrför integrlen ftist är betingt onvergent. Här följer ett lterntivt bevis som bygger på observtionen tt integrlen i stsen hr stor liheter med de summor som föreommer i Leibniz riterium för lternernde serier (Sts 8). Alterntivt bevis: Vi börjr med tt noter tt (7) s N = Nπ N = ( ) +, där = π ( )π där vi hr nvänt tt är positiv på [( )π, π] om är udd och negtiv om är jämnt (se Figur ). För tt vis tt följden {s N } N= onvergerr räcer det enligt Leibniz riterium för lternernde serier tt vis tt följden är vtgnde.,

20 MARTIN TAMM Figur 3. En uppsttning nedåt v integrlen v f(). Dett följer lätt genom ett vribelbyte, t = + π: (73) π (+)π sin(t π) = = dt t π ( )π π (+)π π sin t t dt = +. Strängt tget hr vi br vist tt lim eisterr när R ntr värden R π. För tt vis tt gränsvärdet eisterr när R är en godtyclig reell vribel, räcer det tt observer tt π (74) = R + π, där är det störst heltlet med egenspen tt π R. Den först termen i högerledet onvergerr enligt vd vi just vist, medn den ndr går mot noll eftersom (75) π R π π π π = då R. För tt vis tt integrlen divergerr noterr vi tt (76) π+5π/6 π+π/6 ( + )π π 3 = 3( + ). Här hr vi nvänt tt på ll intervll [π + π/6, π + 5π/6], oberoende v, och tt ( + )π på smm intervll, smt tt intervllets längd är π/3. Oliheten i (76) svrr i själv veret mot tt vi hr uppsttt integrlen med ren v motsvrnde retngel i Figur 3. Intervllen I = [π + π/6, π + 5π/6], =,,... är disjunt och är ll innehålln i [, [, vilet medför tt (77) 3( + ) = 3 = + enligt Eempel, vilet visr påståendet. I

21 SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER 8. Övningr 8.. Serier. Avgör om följnde serier onvergerr eller divergerr: ) d) g) j) m) + b) ( ) ln( + ) e) ( )! h) cos π + ) (ln(!)) n) = + 3 c) ( ) ln( + ) f) ( ) 3! i) ln( + ) ln l) ( ) o) + = ( cos ) ( ) + 4! ln(!) = (ln ) Svr: b, c, e, g, i, j,, m, n, o är onvergent, övrig divergentn. 8.. Generliserde integrler. Avgör om följnde generliserde integrler onvergerr eller divergerr: ) d) g) b) 3 + e) e h) ln( + ) c) ln( + ) ( ) f) ln e / + i) 3 π π π e cos ln() Svr:, b, c, g är onvergent, övrig divergent. Litterturförtecning [] Apostol The Mthemticl Intelligencer, September 983, Volume 5, Issue 3, pp 59-6 [] Persson & Böiers, Anlys i en vribel, Studentlittertur (3:e upplgn).

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

a k . Serien, som formellt är följden av delsummor Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

RAPPORT. Kontroll av dricksvattenanläggningar 2009/2010. Tillsynsprojekt, Miljösamverkan Östergötland. DRICKSVATTEN

RAPPORT. Kontroll av dricksvattenanläggningar 2009/2010. Tillsynsprojekt, Miljösamverkan Östergötland. DRICKSVATTEN DRICKSVTTEN RPPORT Kontroll v dricsvttennläggningr 2009/2010. Tillsynsprojet, Miljösmvern Östergötlnd. Bgrund Ett behov v ompetensutvecling och smsyn vid ontroll v dricsvttennläggningr hr påtlts v flertlet

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

1 Föreläsning 14, följder och serier

1 Föreläsning 14, följder och serier Föreläsning 4, följder och serier. Följd I en följd {a n } n= sriver vi istället elementen som f(n). Följden {sin(n)} n= är begränsad, ty sin n. Följden {/ n} n= är onvergent mot 0: { Följden 2n 2 3n }

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer

Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsekvationer Om användning av potensserier på ombinatori och reursionsevationer Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmailcom Sammanfattning Vid analys av både ombinatorisa problem och för att lösa reursionsevationer

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel. Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06 TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik

100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik 38/Thoms Munther IDE-sektionen/Högskoln i Hlmstd Formelsmling Reglerteknik Smbnd melln stegsvr och överföringsfunktion ( insignlen u är nedn ett steg med mplitud = som pplicers vid t=, där är llmänt y/

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3 Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Laboration 1a: En Trie-modul

Laboration 1a: En Trie-modul Lbortion 1: En Tri-modul 1 Syft Progrmmring md rfrnsr, vlusning, tstning, kt m.m. Vi hr trolign int hunnit gå ignom llt, viss skr får ni br cctr så läng. S ävn kodxml å kurssidn. 2 Bkgrund Vi skll undr

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys

Lösningar till Matematisk analys Lösningar till Matematis analys 0820. Stationära punter. f (x, y) = 8x(x 2 y), f 2(x, y) = 4(y x 2 )). Vi ar alltså att f (x, y) = f 2(x, y) = 0 { x(x 2 y) = 0 y x 2 = 0. Första evationen ovan är uppfylld

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng Tentmen i Eleffektytem C40 4 poäng Ondgen 5 december 004 kl 4.00-9.00 (Frågetund: 5.00, 6.00 och 7.30) Hjälpmedel: En hndkriven A4-id, Bet eller Joefon, fickräknre. Endt en uppgift per bld! Teern lämn

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Erfarenheter av projekt och program i Västra Götaland

Erfarenheter av projekt och program i Västra Götaland Utvärderingsrpporter 2012:04 Regionl utveckling Erfrenheter v projekt och progrm i Västr Götlnd En metnlys v utvärderingr v projekt och progrm inom tillväxtrbetet i Västr Götlnd. Anlysen är genomförd v

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER. L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER Läs avsnitten 73 och 8-82 Lös övningarna 78-75, 82, 84a,b, 85a,c, 89, 80 samt 8 Avsnitt 73 L Hospitals regel an ibland vara till en viss nytta, men de flesta gränsvärden

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men

Läs mer