9 Dubbelintegralens definition

Transkript

1 Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om) x-xeln negtivt. Areor för rektnglr, som ju är bsen gånger höjden, nvänds för tt definier Riemnnintegrlen, som skisss härnäst. 9.. Integrerbrhet En begränsd funktion f(x), definierd på ett intervll [, b], är integrerbr om den kn "godtykligt nog" uppsktts med två stykevis konstnt funktioner u(x) oh ö(x). Häru(x) är en underfunktion (u(x) f(x) överllt) oh ö(x) är en överfunktion (ö(x) f(x) överllt). Krvet för integrerbrhet (betydelsen v "godtykligt nog") är tt hur litet fel ε vi än kräver så finns det en underfunktion oh en överfunktion till f(x) så tt ren melln de två inte är större än ε. Smm sk i formler: för ll ε> finns det stykevis kostnt funktioner u(x) oh ö(x) så tt u(x) f(x) överllt oh ö(x) f(x) överllt så tt (ö(x) u(x))dx < ε. Här är R b (ö(x) u(x))dx lätt tt definier som ren v en smling rektnglr, eftersom u(x) oh ö(x) är stykevis konstnt funktioner. Aren v en underohöverfunktionkllsenunder-ohöversumm. Integrlen R b f(x)dx definiers då som det tl som ligger melln ll undersummor oh ll översummor till f(x). På grund v integrerbrheten, beskriven ovn, finns det br ett sådnt tl. Eftersom ren melln u(x) oh ö(x) täker grfen till f så kn mn säg tt integrerbrhet betyder tt grfen till f sk kunn täks v rektnglr som hr hur liten totl re som helst. et är klrt tt mn i llmänhet behöver en fin indelning oh ett myket stort ntl små rektnglr för tt uppnå en myket liten sådn totl re. Mn kn vis tt ll begränsde kontinuerlig funktioner är integrerbr. Även ll stykevis kontinuerlig begränsde funktioner är integrerbr. et är inget problem om funktionen gör hopp i viss punker, ty ren över en punkt är noll, det är en rektngel med bredd noll. En mängd v en ändligt ntl enstk punkter är en nollmängd, det gör inget för integrlens värde om vi ändrr funktionsvärden på en nollmängd. Nollmängder inte är särskilt viktig för enkelintegrlen, men viktigre för dubbelintegrlen. En funktion är stykevis konstnt på intervllet [.b] om [, b] kndelsuppiändligt mång delintervll så tt funktionen är konstnt på vrje delintervll.

2 En uppräknelig mängd punkter är okså en nollmängd, men ett helt intervll [, b] v reell tl (om <b) är inte uppräknelig, oh inte en nollmängd (det finns dok överuppräknelig nollmängder). 9.. Räkneregler för integrtion Från rektngelreorn som integrtion v stykevis konstnt funktioner svrr mot, ärver integrlen ett ntl räkneregler. et finns mång räkneregler (oh därmed rbetssätt) som är nvändbr då en integrl sk studers. f(x)dx = (f(x)+g(x))dx = f(x)dx f(x)dx = Z d f(x)dx (I: linjritet ) f(x)dx + d g(x)dx (I: linjritet, horisontell uppdelning) g(x)dx om f(x) g(x) i x [, b] f(x)dx + f(x)dx (I3, monotoniitet) (I4, vertikl uppdelning) Här är intuitiv tolkningr v dess räkneregler:. Om vi multiplierr ll rektnglrs höjd med en kontnt, så multiplierr vi den totl ren med en konstnt.. Om vi plerr två rektngelsmlingr ovnpå vrndr ( f(x)+g(x)) så är ren smm som om de beräkns vr för sig. 3. Om viss rektnglrs höjd ökr, oh ingen minskr, så ökr totl ren. 4. Aren från vänster frm till en viss punkt d plus återstoden v ren är lik stor som hel ren Riemnnsummor En Riemnnsumm till en funktion f(x) på [, b] behöver inte vr en undereller översumm. et är ren v en stykevis konstnt funktion på [, b] vrs höjd för vrje delintervll är något funktionsvärde i delintervllet. ess re är därför melln vrje under- oh översumm, oh konvergerr därmed mot R b f(x)dx om indelningens finhet går mot noll. Gränsövergången är enklst om integrtionsintervllet för Riemnnsummn är indeld i lik stor delr. Om vi hr n intervll hr då vrje delintervll längden b n, oh gränsövergången betyder tt n.

3 9..4 Arefunktioner oh primitiv funktioner Om mn låter en gränsen i en integrl vrier, vi kn kll denn gräns x, så hr vi en funktion v x, som klls en refunktion tilldenfunktionsom integrers. Alltså: F (x) = R x f(y)dx är en refunktion till f(x). Mn kn okså definier en primitiv funktion F (x) till f(x) somenfunktionvrsderivt är f(x), dvs F (x) =f(x). Anlysens huvudsts säger tt om f är kontinuerlig oh R integrerbr, så är en refunktion en primitiv funktion, dvs om F (x) = x f(y)dx så är deriverbr oh F (x) = f(x). enn sts gör tt mn kn konstruer regler för hur mn bestämmer primitiv funktion till en funktion från deriveringsregler. Stndrdderivtor ger stndrdintegrler. erivering v produkt ger upphov till prtiell integrtion. Kedjeregelns motsvrighet är vribelsubstitution. I bevisen v prtiell integrtion oh vribelsubstitution är det br tt (pg nlysens huvudsts) deriver integrlern, då stsern reduers till derivering v produkt respektive kedjeregeln Generliserde integrler Om f(x) är obegränsd i punkten b i intervllet (.b), eller om intervllet är obegränst, i vilket fll b är, så kn integrlen definiers ändå i viss fll. ett är s.k. generliserde ingegrler. En sådn integrl är konvergent om gränsvärdet lim y b Z y f(x)dx är konvergent, nnrs divergent. Mn kn då exempelvis vis tt Z x dx är konvergent om oh endst om <, oh tt x dx är konvergent om oh endst om >. Så både R x dx oh R x dx är divergent, ty ln x (primitiv funktion till x ) är obegränsd både då x = oh då x. Mn kn undersök om ndr generliserde integrler är konvergent eller divergent med jämförelsestser för gränsvärden med ndr integrler, vrv R x dx oh R x dx är de viktigste tt jämför med. 9. ubbelintegrlen Vi hr sett tt en funktion f(x, y) v två vribler, definierd i ett område (x, y) f R kn tolks som en yt. å tolks funktionsvärdet f(x, y) som höjden i punkten (x, y). I prmeterform är dett punktern (x, y, f(x, y)) R 3, 3

4 då (x, y) f. En nturlig fråg är hur stor volymen är för området melln denn yt oh xy-plnet, dvs volymen v punktmängden {(x, y, z) : z f(x, y), (x, y) f } om f(x, y) är en positiv funktion. Anlogt med enkelintegrlen, så räkns volymer under xy-plnet negtivt. Mn kn konstruer dubbelintegrlen som denn volym. Konstruktionen är nlog till konstruktionen v enkelintegrlen, men olik främst på ett sätt: geometrin i plnet R kn vr väsentligt mer invekld än i R. För en enkelintegrl lever integrtionsintervllen på R. Beräkning v en dubbelintegrl reduers nästn lltid till tt beräkn två enkelintegrler. Beräkningstekniken för enkelintegrler är därför helt fundmentl för beräkning v dubbelintegrler. 9.. Riemnnsummor En Riemnnsumm för en funktion f(x, y) ienrektngel = { x b, y d} R är en indelning v rektngeln i disjunkt delrektnglr kj så tt kj kj =. Vrje delrektngel kj hr re kj oh definierr ett rätblok vrs höjd är ett funktionsvärde i en punkt x kj irutn kj : X f(x k,y j ) kj k,j Om vrje Riemnnsumm konvergerr mot smm värde då indelningens finhet går mot noll, dvs ren v den störst rutn i indelningen går mot noll, så är funktionen (Riemnn-) integrerbr. Värdet v dubbelintegrlen f(x, y)dxdy är det värde som ll Riemnnsummorn konvergerr mot. Vi illustrerr förfrndet med ett exempel. Exempel (9) Ange en Riemnnsumm för xydxdy då = { x, y }, där vrje delrut hr sid n, oh beräkn dubbelintegrlen genom tt låt n. Lösning: Här är f(x, y) =xy. Låt x = k/n, k =,..., n oh y = j/n, j =,..., n, så f(x k,y j )= k j n n. Vrje rut hr re, så kj = n för ll k oh j. å är en Riemnnsumm nx k j n n n. k,j= 4

5 enn kn dels upp i en produkt v två summor nx k,j= k j n n = n 4 nx k k= nx j. Använd nu tt P n n(n+) k= k = n =. Summn P n j= j hr givetvis smm värde. et ger nx k j n n = n(n +) n(n +) n 4 = + (n 4 n ) k,j= =. 4 ( + n ) j= Låter vi n så får vi tt + n +=. Så nx k j n n n 4 = xydxdy. k,j= en sist likheten nger tt dubbelintegrlens värde är vd Riemnnsummorn konvergerr mot. Svr: xydxdy = 4. Vilk funktioner är integrerbr? Först kn mn vis tt ll kontinuerlig oh begränsde funktioner är integrerbr. et spelr ingen roll för värdet på integrlen f(x, y)dxdy om en värden för f ändrs på en delmängd v f f som är en nollmängd. Funktionen måste därför inte vr kontinuerlig. En nollmängd i plnet är en mängd som kn täks över v rektnglr (eller irklr) vrs re är hur liten som helst. Vi hr hittills endst bektt en rektngel i R som integrtionsområde. Integrlen över ett godtykligt begränst område f definiers som integrlen över en rektngel som innehåller området oh v den funktion som är f(x, y) i f oh utnför f, men i rektngeln. Vi hr grntert ing problem om rnden till f består v en mängd reguljär kurvor (kontinuerlig funktion r(t) med derivt r (t) som existerr oh är skild från nollvektorn i nästn ll punkter). Mn tlr inte om primitiv funktioner till dubbelintegrler, blnd nnt för det inte finns något nturligt sätt tt definier refunktion. Mn kn okså integrer m..p. två olik vribler. Generliserd dubbelintegrl definiers på nlogt sätt som generliserd enkelintegrl som ett gränsvärde då den problemtisk delen v området är borttget. Under gränsvärdet krymper den borttgn delen mot en nollmängd. 5

6 9.3 Beräkning v dubbelintegrler 9.3. Rektngulärt integrtionsområde Huvudberäkning för beräkning v en dubbelintegrlen är s.k. upprepd integrtion. Vi integrerr "en vribel i tget". Vi kn beräkn volymen v en kropp genom tt skiv den i tunn skivor, beräkn ren v vrje skiv (först integrtionen), oh lägg ihop dem med en ny integrtionsproess (ndr integrtionen). I den först integrtionen förekommer oftst den ndr vribeln som en konstnt under integrtionen. Om f = { x b, y d} så betyder det de följnde två enkelintegrlern: f Z d ( f(x, y)dxdy = f(x, y)dx)dy. Här integrers lltså x först melln oh b (inre integrlen), oh därefter y melln oh d (yttre integrlen). En lterntiv möjlighet är i omvänd ordning: f Z d ( f(x, y)dxdy = f(x, y)dy)dx. Skrivsättet dx Z d f(x, y)dy förekommer okså för den itererde integrlen R b (R d f(x, y)dy)dx. ett kn h betydelse, för viss integrler kn vi br klr i den en ordningen. Om båd vägrn är frmkomlig ger de givetvis smm resultt: volymen under ytn. Iblnd skrivs en sådn integrl som Z d f(x, y)dxdy = Z d ( f(x, y)dx)dy. Utn prentes brukr de först integrtionsgränsern svr mot den först "dx". Med prentes (upprepd integrtion) skrivs således gränsern i motstt ordning. Exempel (9b) Beräkn (sin x + y os x)dxdy då = {(x, y) : x π, y π }. Lösning: f f (sin x + y os x)dxdy = ( (sin x + y os x)dx)dy. 6

7 Vi löser först den inre integrlen, som är en vnlig enkelintegrl där en konstnt y får häng med: (sin x + y os x)dx = [ os x + y sin x] π {insättning v gränser} = ( os π + y sin π ) ( os + y sin ) = +y ++=y +. Så tt f (sin x + y os x)dxdy = (y +)dy = [ y + y] π = π 8 + π. et ger smm resultt tt integrer i motstt ordning, oh skriv llt i en klkyl: (sin x + y os x)dxdy = f {y först, x är konstnt!} = = ( (sin x + y os x)dy)dx [y sin x + y os x] y= π y= )dx ( π sin x + (π ) os x)dx [ π os x + (π ) sin x] π = [ π os π + (π ) sin π ] [ π os + (π ) sin ] = π + π Integrtionsområden begränsde v kurvor På ett område som i x-led begränss v rät linjer x =konstnt men i y-led begränss v kurvor, som = { x b, φ(x) y ψ(x)},kn vi gör den itererde integrtionen i y-led först: Z ψ(x) f(x, y)dxdy = ( f(x, y)dy)dx. et finns givetvis motsvrnde formel för integrtion i x-led först, på ett område v typen = {φ(y) x ψ(y), y d}. Mång integrtionsområden kn dels upp i delr, där vrje del är v en v dess två typer. φ(x) 7

8 Exempel 3 (94) Över vilket område kn den upprepde enkelintegrlen R dx R x f(x, y)dy ses som integrtionsområde för en dubbelintegrl? x Lösning: Vi hr { x, x y x}, så området är den fyrhörning som begränss v fyr rät linjer på följnde sätt: y x Svr: Området begränss v y = x, y = x, x =oh x =. Exempel 4 (97b) Beräkn +x+y dxdy då = {y x,y }. 8

9 y x Eftersom gränsern i x beror på y kn det vr enklst tt integrer x först. Vi får då (observer tt under x-integrtionen behndls y som en konstnt) +x +y dxdy = = = = {logritmlgr} = = dy y +x +y dx [ln( + x +y)] y dy (ln( + y) ln( + y +y))dy (ln ( + y) ln((y +) ))dy (ln + ln( + y) ln(y +))dy (ln ln(y +))dy = {prtilint., ln(y +)dy} = ln [(y +)ln(y +)] + (y +) y + dy = ln ln += ln. 9

10 Integrlen kn okså förmodligen beräkns med y-integrtion först. Mn kn i ll fll skriv upp den itererde integrlen: +x +y dxdy = Z x dx +x +y dy. Observ gränsern. e kn fås genom tt studer figuren över integrtionsområdet ovn. I y-ledskvigåfrånkurvny =till y = x. ärefter måste x gå från till för tt få med hel dett område. Svr: ln.