Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

Transkript

1 Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp , , 17.6, 17.9, 18..1, 18. Integrering i Mtl Använd qud eller qudl f klls för ett funktionsndtg I qud(@func,, ) I mtlfunktionen func finns integrnden definierd måste tl om för Mtl vilken integrl som sk löss qud/qudl löser sedn integrlen med numerisk metod Num integrering klls även kvdrtur Exempel (jfr l) Exempel (jfr l) Aretsgång: π Lös cos( x) dx Diskretiser, är 8 intervll Styckvis lineär interpoltion (1: grdspolynom) Beräkn ren i vrje prllelltrpets pproximerr integrl på delintervllet Klls Trpetsformeln Smm prolem Diskretiser, är duelintervll Styckvis kvdrtisk interpoltion (: grdspolynom) Klls Simpsons formel 1

2 Lösning v integrler Prolemet f xdx. Räcker om f(x) endst känd i enstk mätpunkter x k, dvs endst f(x k ) känd Gången lir Diskretiser x, del in i punkter x, x1,, xn där x oc x N Ersätt integrnden på vrje delintervll med en enklre funktion, t ex polynom Beräkn den enklre funktionens integrl exkt på vrje delintervll (kn görs med enkel formel) Summer ll delintegrler Adptivitet (jfr l) I prktiken nvänds dptiv metoder Dess eräknr diskretiseringen på egen nd så tt en viss noggrnnet erålls Indelningen vrierr där funktionen vrierr mycket krävs finre indelningen oc tvärtom Fråg: Hur kn metoden eräkn felet utn tt känn till exkt lösning? Adptiv Simpson Trpets o Simpson Trpets o Simpson Formler på ett delintervll/duelintervll: Allmänt kn mn nsätt x k + 1 f x dx ( x ) k k k k k x + + k k f ( x ) f( x ) f( x ) f( x ) x k os redden öjden x k + 1 f( x) dx ( x )( ( 1) ) 6 k+ xk f xk + f xk+ + f xk+ x k k ( f( x ) ( 1) ) k + f xk+ + f xk+ x q f xdx f( xk) k x k klls Newton-Cotes formler Formlern kn nvänds för ärledning v Trpets oc Simpson q Trpets o Simpson Trpets o Simpson Om ekvidistnt indelning, k, kn smtlig delintervll summers N 1 f x dx f( x 1) k+ + f xk k ( f ( x ) + f ( x 1) + + f ( x 1) ) N + f x N N 1 f x dx ( 1) f xk + f xk+ + f xk+ k,, ( f ( x ) + f ( x 1) + f ( x ) + + f ( x ) ( 1) ) N + f x N + f x N Kn enkelt implementers med sklärprodukt 1 f( x) 1 f( x1) f, vtr, vs f( xn 1) f( xn ) 1 1 oc integrlen eräkns T T IT v, tr f IS v s f

3 Noggrnnetsordning Noggrnnetsordning.8 x e dx Med trpetsformeln I-T (I-T())/(I-T). 1.15e-..819e e e-.17 Värde enligt Mtls qud: Noggrnnetsordning Med Simpsons formel I-S (I-S())/(I-S). -.58e e e e Överfört till grfik Noggrnnetsordning Trpets En minskning v med fktor > minskning v felet med fktor En minskning v med fktor > minskning v felet med fktor Klls metodens noggrnnetsordning Trpets Noggrnnetsordning et är v ordning Noggrnnetsordning et är v ordning O O Givet tt mn vill en viss noggrnnet kräver en metod v låg n.o. mindre > fler eräkningr än metod med ög n.o. Å ndr sidn kn vrje eräkning vr mer omfttnde

4 Feluppsktting Felet kn även ärleds nlytiskt Trpets Den lednde (dominernde) termen i felet på ett delintervll är f ( x ) 1 k + O dett leder till tt totl felet på el [ ] lir O På smm sätt felet på ett duelintervll 5 f 6 ( x ) 9 k + O leder till tt felet på [ ] lir O Kunskpern om noggrnnetsordning kn nvänds för tt uppsktt felet - dett utn tt vet den exkt integrlen För trpets gäller tt felet E T i integrleräkningen T T T() ET (Jfr lortion) där T() är eräkning v smm integrl med duel steglängd Klls tredjedelsregeln Är en uppskttning v lednde termen i felet, dvs O -termen Feluppskttning Feluppskttning För Simpson gäller tt felet E S i integrleräkningen S S S() ES Jfr lortion 15 där S() är eräkning v smm integrl med duel steglängd Klls femtondelsdelsregeln Uppskttning v den lednde termin i diskretiseringsfelet, dvs v O -termen Generellt gäller Q Q() E p 1 där p är metodens noggrnnetsordning Dett klls Ricrdsonextrpoltion Tredjedelsregeln oc femtedelsregeln är lltså specilfll v Ricrdson-extrpoltion Ricrdsonextrpoltion kn nvänds i dptiv metoder Adptiv metoder Adptiv metoder 1. Beräkn integrlvärde på intervll med steglängd > Q resp > Q(). Uppsktt felet (Ricrdsonextrpoltion). Om felet < tolerns - ccepter Q -eräkn näst intervll, om inget ytterligre intervll finns, så färdig nnrs (dvs felet > tolerns) -Kst Q - Del intervllet i två intervll - Beräkn integrl, från punkt 1, för vrt oc ett v de två ny intervllen, ges värdet / Ex) Scemtiskt ur diskretiseringen i dptiv Simpson kn se ut OK Q() Q OK (intervllet klrt) Etc tills el integrlen färdig

5 Funktionsfelet Funktionsfelet Förutom diskretiseringsfel tillkommer funktionsfel Hos trpetsmetoden T ( f( x) + f( x1) + + f( x 1) ) N + f xn pg vrundningsfel eräkns ej f x utn f x dvs T ( f ( x) + f ( x1) + + f ( x 1) ) N + f xn Om f x f x ε så kn mn få frm tt T T ( ) ε Funktionsfelet, trpets Motsvrnde för Simpson Kn dett li stort? Det eror på storleken os. T T ( ) ε Om enrt vrundningr så är litet oc diskretiseringsfelet kommer tt dominer Om f(x)-värden kommer från mätningr med stor osäkeret kn ε vr etydligt större oc få effekt på totl noggrnneten. ε ε Noggrnnet Felkällor: Kontinuerligt ersätts v diskret >diskretiseringsfel Fel i eräkning v f ( x k ) > funktionsfelet Exkt integrl: I, kvdrturformel: f xdx Q Exkt summ: Q, eräknd summ: Q Q lir då pproximtionen v I oc solut felet I Q I Q + Q Q diskretiseringsfel funktionsfel klls även trunkeringsfel 5