Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Om stationära flöden och Gauss sats i planet"

Transkript

1 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom ett område, så gäller tt nettoflödet ut ur området ges v hur mycket som bilds och försvinner i området. Den mtemtisk formuleringen v dett går under Guss sts och är en generlisering v insättningsformeln i endim.

2 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 1 (9) 1 En ny titt på nlysens huvudsts Anlysens huvudsts säger tt om f är en C 1 funktion v en vribel definierd på ett intervll [, b], så gäller tt b f ()d = f(b) f(). Vi sk i det här vsnittet ge denn formel en tolkning som gör det möjligt för oss tt få en nturlig generlisering till nlys i fler dimensioner. Betrkt därför en endimensionell, sttionär strömning v någon vätsk. En sådn strömning krkterisers v en funktion u() som nger hstigheten v vätskn i punkten. Som konvention säger vi tt om u() > så sker rörelsen åt höger i punkten och om u() < så sker den åt vänster. Att strömningen är sttionär innebär tt hstigheten är oberoende v tiden. Vidre ntr vi tt vätskn hr en täthet ρ, som vi för enkelhets skull ntr är konstnt. Funktionen u() mäter hstigheten v vätskn i punkten (enhet: m/s) medn tätheten mäter vikt per längdenhet (enhet: g/m). Produkten f() = ρ u() klls flödet i punkten och beskriver hur mycket, och i vilken riktning, vätsk som flöder genom punkten (enhet: g/s). Betrkt nu ett litet segment [, b] v -eln. Storheten f(b) f() f() f(b) mäter då nettoflödet ut ur intervllet [, b]. Kvoten b f(b) f() b mäter därför nettoflödet ut ur intervllet per längdenhet. Om vi sätter = och b = +h och sedn låter h, så ser vi tt f () mäter nettoflödet genom punkten per längdenhet. Det innebär tt om f () >, så är punkten en käll för vätskn, eftersom vätsk tillförs i denn punkt. En punkt i vilken f () < blir på motsvrnde sätt en brunn. I en punkt där f () = finns vrken en käll eller en brunn. Ett område i vilket f () = sägs därför vr källfritt. Vi kllr f () för källtätheten för den sttionär vätskn. Anlysens huvudsts b f ()d = f(b) f() får nu en enkel tolkning: netto-flödet ut ur ett intervll [, b] (högerledet) bestäms v hur stor produktion/konsumtion v vätsk som sker inne i intervllet (vänsterledet). Denn tolkning hr nturligtvis sin motsvrighet i högre dimensioner. Hr vi en sttionär vätsk i ett pln så gäller tt nettoflödet ut ur ett område bestäms v nettoproduktionen i området. Problemet består i tt hitt en br formulering v dett uppenbr påstående. Vi sk i fortsättningen nt tt ρ = 1, så tt vi kn tolk u både som en hstighet och ett flöde.

3 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 2 (9) 2 Flödesintegrler Låt = {c(t); t b} vr ett kurvstycke i plnet och N() en normlvektor v längden 1 till som beror kontinuerligt på punkten på. Dett innebär tt N() lltid pekr åt smm sid på. En formel för N() får mn genom tt mn observerr tt vektorn ( c 2(t), c 1(t)) är vinkelrät mot tngentvektorn c (t) = (c 1(t), c 2 (t)) till i punkten = c(t). Det betyder tt N() = ± 1 c (t) ( c 2(t), c 1(t)). Då N() sk bero kontinuerligt på måste smm teckenvl gäll på hel. Antg nu tt i vrje punkt på är givet en vektor u(). T.e. kn mn tänk sig tt en vätsk strömmr i närheten v och tt u() är strömningshstighet i punkten. Betrkt integrlen (u, N)ds (1) där (u(), N()) betecknr sklärprodukten v vektorern u() och N(). Om u() tolks som strömningshstighet och om vätskns msstäthet är 1, så mäter denn integrl hur mycket som strömmr igenom per tidsenhet åt det håll som N pekr. I dett kpitel sk vi se närmre på integrler v dett slg, och börjr då med tt påminn oss tt den kn uttrycks i prmetriseringen som (u, N)ds = ± b N() ( u 1 (c(t))c 2(t) + u 2 (c(t))c 1(t))dt. (2) Här hr vi nvänt tt ds = c (t) dt. Tecknet i (2) beror på vilket vl v normlriktning vi hr gjort på. Eempel 1 Låt vr den del v ellipsen 2 + 4y 2 = 4 som ligger i först kvdrnten och N den enhetsnorml på som pekr bort från origo. Definier u(, y) genom u(, y) = ( 2 y 2, y). För tt beräkn (u, N)ds y (, y) u(, y) väljer vi först prmeterfrmställningen c(t) = (2 cos t, sin t), t π 2 för. Den enhetsnorml som pekr bort från origo hr riktningen ( c 2(t), c 1(t)) = (cos t, 2 sin t),

4 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 3 (9) vilket svrr mot minustecknet frmför integrnden i högerledet v (2). Vi får π/2 (u, N)ds = ((4 cos 2 t sin 2 t) cos t + (2 cos t sin t)2 sin t)dt = π/2 (4 sin 2 t) cos tdt = Eempel 2 Låt vr en funktionskurv y = φ(), b. Då kn mn välj som prmeter för och formeln (2) tr formen b (u, N)ds = ± ( u 1 (, φ())φ () + u 2 (, φ()))d. I det speciell fllet då u(, y) för ll är prllell med y-leln, d.v.s. då u 1 (, y) =, får mn b (u, N)ds = ± u 2 (, φ())d. Här och i den föregående formeln svrr plusteckent frmför integrlen i högerledet mot tt N är den uppåtriktde normlen på, d.v.s. tt ndrkoordinten för N är positiv. 3 Guss sts och divergensen v ett vektorfält Guss sts hndlr om integrler v formen (1) där är en eller fler enkl slutn, styckvis C 1 kurvor. Låt vr en öppen, begränsd, mängd i plnet. Mn säger tt hr C 1 rnd om består v ändligt mång enkl, slutn, kurvor 1,..., n som inte skär vrndr och om mn på vrje kurv i kn välj en kontinuerlig enhetsnorml N() som pekr ut från. (Det sist villkoret grnterr tt endst ligger på en sidn om i.) Kurvintegrlen över definiers då genom tt summer integrlern över 1,..., n. Om rndbitrn endst är styckvis C 1 definierr vi inte normlen i hörnpunktern. Sts 1 (Guss sts) Låt vr en öppen, begränsd, mängd i plnet med styckvis C 1 rnd och låt N() vr den yttre enhetsnormlen till. Om u 1 och u 2 är C 1 funktioner definierde i en omgivning v och u = (u 1, u 2 ), så är (u, N)ds = ( 1 u u 2 )ddy. (3) Innn vi diskuterr beviset för stsen, låt oss tolk den fysikliskt. I dett ligger tt ge en tolkning v integrnden 1 u u 2 i (3). Denn klls divergensen v vektorfältet u och beteckns div u. För en cirkelskiv = {; < r} gäller tt den hr ren πr 2, och eftersom integrnden är kontinuerlig hr vi tt 1 ( 1 u u 2 )() = lim r πr 2 <r ( 1 u u 2 )ddy. Vidre gäller Guss sts för en cirkelskiv, och nvänder vi den på högerledet följer tt vi hr tt 1 div u() = lim (u, N)ds. (4) r πr 2 =r

5 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 4 (9) Den först konsekvensen v den är tt divergensen inte beror v vlet v ON-system i plnet, trots tt definitionen nvänder koordintuppdelningen u = (u 1, u 2 ) och tt vi deriverr i de speciell koordintriktningrn. Men högerledet i (4) beror inte v vl v ON-system, så då kn inte divergensen gör det. Anmärkning Vi kn också se direkt tt divergensen inte beror v vilken ON-bs vi nvänder. Vi hr nämligen tt divergensen är spåret v derivtn, funktionsmtrisen u (). Låt T vr en ortogonl trnsformtion i plnet och sätt y = T. Då gäller tt vektorfältet i den ny bsen blir v(y) = T u(t 1 y), och divergensen v den fås ur kedjregeln till Sp(T u (T 1 y)t 1 ) = Sp(T 1 T u (T 1 y)) = Sp(u (T 1 y) = div u(). Det vi nvänt här är tt Sp(AB) = Sp(BA). Om mn tänker på u som strömningshstighet, säger (4) tt div u() pproimtivt kn uppftts som den vätskemängd per reenhet och tidsenhet som strömmr ut genom en liten cirkel med centrum i. T.e. kn mn tänk sig tt vtten strömmr över ett stycke mrk på så sätt tt vtten på sin ställen tränger ner i mrken och på ndr ställen sipprr ut ur mrken. Divergensen v strömningshstigheten är då positiv där vtten sipprr ut och negtiv där vtten tränger ner i mrken. Som vslutning på dett vsnitt tr vi ett eempel på hur mn kn nvänd Guss sts till tt beräkn integrlen i Eempel 1. Dett trots tt kurvn ifråg inte är rnden till ett öppet område. Det bör dock påpeks tt denn lösning på inte sätt är enklre än den tidigre. Eempel 3 Låt vr det område i först kvdrnten som begränss v koordintlrn och ellipsen 2 + 4y 2 = 4. Om är den del v som ligger på ellipsen och 1, 2 de delr v som ligger på - respektive y-lrn, så är (u, N)ds = (u, N)ds+ (u, N 1 )ds+ (u, N 2 )ds 1 2 där N 1 = (, 1) och N 2 = ( 1, ) är de utåtriktde normlern på 1 och 2. Eftersom u(, y) = ( 2 y 2, y) så är (u, N 1 ) = y = på 1 och (u, N 2 ) = y 2 2 = y 2 på 2. Vi hr lltså 1 (u, N)ds = (u, N)ds + y 2 dy = Å ndr sidn ger Guss sts = Härur följer tt div uddy = 3ddy = 1 N 2 2 y (u, N)ds y 2 ( 3d)dy = (u, N)ds = = N 1 N 3(2 2y 2 )dy = 4.

6 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 5 (9) 4 Bevis för Guss sts Vi sk nu i steg hitt ett först bevis för Guss sts som är både illustrtivt och intuitivt. Ett mer generellt bevis finns i kpitlet Differentilformer i R n. Lemm 1 Låt T vr innehållet i en rätvinklig tringel. Då gäller Guss sts för godtycklig vektorfält u som är definierde på T. Bevis. Vi hr sett tt Guss formel inte beror v vilket ortonormert koordintsystem vi väljer, så vi därför nt tt tringeln hr hörn i punktern (, ), (, ) och (, b) där, b >. På 1 = {(t, ); t 1} gäller tt N = (, 1) och ds = dt, så 1 (u, N)ds = u 2 (t, )dt, 1 och på På 2 = {(, bt); t 1} gäller tt N = (1, ), ds = bdt, så 1 (u, N)ds = bu 1 (, bt)dt. 2 Vidre gäller på 3 tt N = ( b, )/c där c = 2 + b 2. En prmetrisering ges v t t(, b), t 1 för vilken det gäller tt ds = cdt. Vi får därför 1 (u, N)ds = ( bu 1 (t, bt) + u 2 (t, bt))dt 3 y T (, b) Adderr vi integrlern får vi tt 1 (u, N)ds = (u 1 (, bt) u 1 (t, bt))bdt + 1 (u 2 (t, bt) u 2 (t, ))dt = Men vi hr tt b u 1 (, y) u 1 ( y b, y)dy + u 2 (, b ) u 2(, ))d. u 1 (, y) u 1 ( y b, y) = y/b 1 u 1 (, y)dy, u 2 (, b ) u 2(, ) = b/ 2 u 2 (, y)dy så (u, N)ds = b ( y/b = 1 u 1 (, y)d)dy + T ( 1 u u 2 )ddy. Dett visr tt Guss sts gäller för dett speciell område. b/y ( 2 u 2 (, y)d)dy Näst lemm är närmst en självklrhet (se figur)

7 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 6 (9) Lemm 2 Antg tt dels v C 1 -kurvn i två öppn delr 1 och 2. Antg tt Guss sts gäller för ll vektorfält på två v 1, 2 och. Då gäller Guss sts också i den tredje delen. N 1 N 2 2 N 1 N Bevis. Skriv i = i +, i = 1, 2 och låt N i beteckn den utåtriktde normlen på rnden till i. Enligt förutsättningrn gäller då tt div u ddy = div u ddy+ div u(, y) ddy = (u, N 1 )ds+ (u, N 1 )ds = (u, N 1 )ds + (u, N 2 )ds + (u, N 1 )ds + (u, N 2 )ds = (u, N)ds. 1 2 I den sist likheten hr vi här nvänt tt = och tt N 2 = N 1 på, så tt de två sist integrlern är lik stor men med motstt tecken. Dett visr tt Guss sts gäller för om den gäller för 1, 2. 2 Om Guss sts istället gäller för 1 och får vi tt 1 div u(, y) ddy = div u ddy div u ddy = (u, N)ds (u, N)ds = (u, N 2 )ds (u, N 1 )ds = 1 2 (u, N 2 )ds. 2 Som en direkt konsekvens v dett hr vi tt Guss sts gäller för ett godtyckligt tringelområde i plnet, inte br för rätvinklig tringlr. Och dessutom för vrje område som kn dels upp i tringlr. Den totl dubbelintegrlen är summn v ll dubbelintegrler över tringlr och integrtionen längs rndbitr som dels v två tringlr tr ut vrndr, så endst integrtion längs de ytterst rndbitrn blir kvr. Men då gäller Guss sts för vrje område som godtyckligt väl kn pproimers med områden v denn typ, vilket betyder områden med styckvis C 1 rnd. Därmed är (det intuitiv) beviset för Guss sts klrt.

8 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 7 (9) 5 Flödet ur en punktkäll Vi sk nu betrkt flödet u(, y) = (, y)/( 2 + y 2 ). Denn är inte definierd i origo utn representerr en punktkäll i denn punkt. Låt vr ett öppet, begränst område med C 1 rnd sådnt tt origo inte ligger på dess rnd. Vi sk då beräkn nettoflödet ut ur dett område. Enligt vår tidigre diskussion ges denn v integrlen (u, N)ds. Vi sk nvänd Guss sts för tt beräkn denn integrl. Vårt först mål är då tt beräkn divergensen v vektorfältet. Denn är div u(, y) = y 2(2 + y 2 ) 2 ( 2 + y 2 ) =. 2 Vi ser lltså tt denn vätskeströmning är källfritt utom i origo. Vi hr nu två fll: ) Om origo inte ligger i gäller tt området är källfritt. Det sker lltså ingen nettoinströmning ut ur, så den sökt integrlen är noll. Dett följer direkt ur Guss sts. y b) Om origo ligger i kn vi inte nvänd Guss sts rkt frm. Det beror på tt u(, y) inte är definierd i denn punkt. För tt komm förbi dett problem tr vi en liten cirkelskiv C ɛ = {(, y); 2 + y 2 ɛ} kring origo med rdien ɛ >, så liten tt den helt ligger i. Att det är möjligt tt finn en sådn cirkelskiv följer v tt är en öppen mängd. Tr vi bort denn cirkelskiv från får vi en ny öppen mängd ɛ som inte innehåller origo och i vilken flödet är källfritt.

9 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 8 (9) y ǫ Nettoflödet ur ɛ är lltså noll. Men det betyder tt inflödet till ɛ över C ɛ är precis lik stort som utflödet över. Eftesom enhetsnormlen till C ɛ som pekr in i ges v N(, y) = (, y)/ɛ, vrför vi hr tt (u, N) = ( 2 + y 2 )/ɛ 3 = 1/ɛ på C ɛ på vilken 2 + y 2 = ɛ 2. Dett medför tt (u, N)ds = (u, N)ds = C ɛ Cɛ 2 + y 2 ds = 1 ɛ 3 ɛ ds = 2πɛ C ɛ ɛ Smmnfttningsvis får vi därför tt om origo ligger i, så gäller tt (u, N)ds = 2π. = 2π. Ett nnt sätt tt säg dett är tt genom vrje enkel sluten kurv som går ett vrv runt origo är utströmningen lltid 2π. 6 Strömning och diffusion i två rumsvribler Vi betrktr nu en gs eller vätsk som rör sig i ett pln. Beteckn med u(, y, t) och ρ(, y, t) strömningshstigheten respektive tätheten i punkten (, y) tid tiden t. Storheten q(, y, t) = ρ(, y, t)u(, y, t) mäter då flödet i denn punkt vid smm tidpunkt. Vårt mål är tt härled en ekvtion som relterr ändringen i täthet med ändringen i flöde. Låt B vr en godtycklig cirkelskiv i plnet. Den totl mängden gs/vätsk i B vid tiden t ges då v M(t) = ρ(, y, t)ddy. B

10 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 9 (9) Om vi förutsätter tt ρ är kontinuerligt deriverbr får vi genom tt deriver under integrltecknet tt M (t) = t ρ(, y, t)ddy, B som betyder mssökning i B per tidsenhet. Om vi förutsätter tt substnsen inte nybilds eller ombilds till något nnt, så beror denn ökning endst på inströmningen v mteri i B över rnden B. Låt N beteckn den utåtriktde normlen på B. Integrlen (q(, y, t), N(, y))ds B mäter då den mängd substns som strömmr in i B per tidsenhet. Vi hr lltså tt t ρ(, y, t)ddy = (q(, y, t), N(, y))ds. B Om q också är kontinuerligt deriverr kn vi här tillämp Guss sts på integrlen i högerledet och får då ( t ρ(, y, t) + div,y q(, y, t))ddy =. B (div,y betecknr divergensen v funktionen som funktion v, y för fit t.) Eftersom integrnden är kontinuerlig och B är en godtyckligt vld cirkeskiv följer tt dett endst är möjligt om integrnden är noll överllt: B t ρ(, y, t) + div,y q(, y, t) =. Denn ekvtion klls kontinuitetsekvtionen för gsen eller vätskn och är lltså ett uttryck för mssns oförstörbrhet. En diffusionsprocess krkterisers v tt flödet sker mot koncentrtionsgrdienten (Fick s lg), d.v.s q(, y, t) = k grd,y ρ(, y, t). Stoppr vi in dett i kontinuitetsekvtionen får vi Här hr vi infört den s.k. Lplce-opertorn Ekvtionen t ρ = k div,y (grd,y ρ) = k ρ. ρ = 2 ρ + 2 yyρ. t ρ = k ρ klls diffusionsekvtionen (eller värmeledningsekvtionen om det rör sg om värmeströmning, i vilket fll ρ är temperturen).

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Kompletterande formelsamling i hållfasthetslära

Kompletterande formelsamling i hållfasthetslära Kompletternde formelsmling i hållfsthetslär Görn Wihlorg LTH 004 Spänningstillståndet i ett pln, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning ϕ cos ϕ+ sin ϕ + sinϕcosϕ ϕ sinϕ+ cos ϕ Huvudspänningr och huvudspänningsriktningr

Läs mer

Lödda värmeväxlare, XB

Lödda värmeväxlare, XB Lödd värmeväxlre, XB Beskrivning/nvändning XB är en lödd plttvärmeväxlre utveckld för nvändning i fjärrvärmesystem t ex, luftkonditionering, värme, tppvrmvtten. XB lödd plttvärmeväxlre tillverks med fler

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015 Tentmen i ETE Ellär och elektronik, 0/ 20 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Observer tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. g 2 v in

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log. Lektion 13, Flervariabelanals den 15 februari 2 15.1.2 Skissera vektorfältet och bestäm dess fältlinjer. F, = e + e I varje punkt, har vektorfältet en vektor med komponenter,, d.v.s. vektorn utgående från

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentmen ellär 92FY21 och 27 201-08-22 kl. 8 13 Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och eteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst

Läs mer