Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Transkript

1 Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2 och.27. (c) Avgör om en funktion hr ett gränsvärde eller inte. (d) Insängningsstsen. (e) Bryt ut den dominernde termen för tt beräkn där f(x) och g(x). (f) Fktoriser: Om P() = Q() = 0, så f(x) lim x g(x), P(x) lim x Q(x) = lim (x )P (x) x (x )Q (x) = lim P (x) x Q (x). (g) Förläng med konjugtet: vid differens melln två termer där en v termern är ett rotuttryck. (h) Stndrdgränsvärden: sinx i. lim =. Ur dett kn mn med ett vribelbyte vis tn x rcsin x rctn x lim = lim = lim =. ln( + x) ii. lim =. Ur dett kn mn med ett vribelbyte vis iii. lim x 0 + xα ln x = 0. (i) Hstighetstbellen: e x lim = lim( + x) x = e. x 0 ln x lim x x α = 0, lim x α x x = 0, lim n n n! = 0.

2 2. Kontinuitet () Definition v kontinuitet, Se Definition 2.2. (b) Avgör om en funktion är kontinuerlig eller inte. (c) Elementär funktionern såsom polynom, trigonometrisk, logritm, exponentil smt rcusfunktionern är kontinuerlig. (d) Stsen om mellnliggnde värden; Sts 2.. (e) Stsen om störst och minst värde; Sts Derivt () Definition v derivt; Definition 4.3 och 4.7. (b) Definition v höger och vänster derivt; Definition 4.6. (c) Avgör om en funktion är deriverbr eller inte. (d) Bestämm ekvtionen till tngenten resp. normlen till en kurv i en punkt; Definition 4.5. (e) Räkne lgr för derivt. Produkt och kvotregel. Sts 4.0. (f) Kedjeregeln: Deriver smmnstt funktioner v en yttre och en inre funktion. Sts 4.2. (g) Implicit derivering. (h) Derivt v invers funktion. Sts 5.3. (i) Derivt v rcusfunktionern. Sts 5.5. (j) Definition v monoton funktion. Sts 6.. (k) Definition v extremvärden: loklt minimivärde resp. loklt mximivärde. Definition 6.4. (l) Definition v sttionärpunkt. 4. Tillämpningr v derivt () Medelvärdesstsen. (b) I vilken punkt kn mn förvänt sig hitt störst resp. minst värde? Sts 7.6. (c) Rit grf till en funktion. (d) Vis en olikhet. (e) Bestämm ntl rötter till en ekvtion. 5. Primitiv funktioner () Definition 8. v primitiv funktion. (b) Verifier om en given funktion g är en primitiv till f. (c) Två primitiv skiljer sig på en konstnt. (d) Stndrdprimitiver Sts 8.3. (e) Räknelgrn Sts

3 (f) Vribelsubstitution Sts 8.7. Känn igen yttrefunktion, inrefunktion smt inre derivtn. (g) Prtiell integrtion. Använd :n tt integrer upp med i t.ex. lnxdx, rctn xdx. P(x) (h) Integrtion v rtionell uttryck Q(x) dx. i. Om grd P grd Q utför polynomdivision ii. Fktoriser nämnren eller kvdrtkompletter nämnren iii. Prtilbråksuppdel iv. Från F.A. A. (x )(x + 2) dx = A x + B x + 2 dx x B. x 2 + 3x + 2 dx = A x + + B x + 2 dx x + C. (x 2) 2 dx = A x 2 + B (x 2) 2 dx D. 9 + x 2 dx = 9 + (x/3) 2 dx = {t = x/3} = 9 3 rctn x 3. x + 5 E. x 2 + 4x + 5 dx = x + 5 ) 2 dx = {t = (x + )/2} =..., där den + ( x+ 2 en integrlen leder rctn och den ndr med x i täljren leder till ln. v. Integrtion v trigonometrisk uttryck, se Exempel kunn trigonometrisk :n, sin 2x, cos 2x och dditionsformeln. Eulers formel. vi. Substitutionen t = tn x, se Exempel vii. Rotuttryck; se Exempel Bestämd integrler () Trppfunktioner, övertrpp och undertrpp. (b) Definition 9.9 om integrerbrhet. (c) Medelvärdesstsen. (d) Anlysens huvudsts. (e) Insättningsformeln. (f) Sts (g) Prtiell integrtion och vribelsubstitution i bestämd integrler. (h) Definition 9.28: Generliserd i. Definition 9.30: Generliserd i 0. (i) Definition v Riemnnsumm. Sts Tillämpningr v integrler Rit figur smt härled ll element! () Are melln f och g: A = b (f(x) g(x))dx. 3

4 (b) Volym v rottionskropp kring x-xeln V = π (c) Volym v rottionskropp kring y-xeln (d) 3 typer v kurvor V = 2π b b f 2 (x)dx. xf(x)dx. i. Funktionskurv y = f(x), x b. ii. Kurv på polär form r(θ), α t β, dvs { x = r(θ)cos θ y = r(θ)sinθ α θ β. iii. Kurv på prmeterform { x = x(t) y = y(t) α t β. (e) Längd v en kurv Γ: där s = i. ds = + f (x) 2 dx om Γ är en funktionskurv. ii. ds = r 2 (θ) + r (θ) 2 dθ om Γ är en kurv på polär form. iii. ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt om Γ är en prmeterkurv. (f) Are v ett vinkelområde A = 2 β α Γ ds, r 2 (θ)dθ. (g) Aren v den rottionskropp som generers då kurvn Γ roterr ett vrv kring x-xeln ges v A = 2π y ds. Γ (h) Rottionsvolymen då området roters ett vrv kring i. linjen x = c ges v V = 2π ii. linjen y = m ges v V = π (Fllet f(x) m?) D = {(x,y) : x b, 0 y f(x)} b b (c x)f(x)d då c > b. (Fllet c <?) (f(x) m) 2 dx π b m 2 dx då f(x) m. 4

5 (i) Rottionsren då roters ett vrv kring i. x-xeln ges v A = 2π ii. y-xeln ges v A = 2π y = f(x), b b iii. linjen x = c ges v A = 2π (Fllet c <?) x b f(x) + (f (x) 2 )dx. x + (f (x) 2 ) dx. b iv. linjen y = m ges v A = 2π (Fllet f(x) m?) (c x) + (f (x) 2 ) dx då c > b. b (f(x) m) + (f (x) 2 ) dx då f(x) m. (j) Se Exempel Jämförelse melln integrler och summor. f(x) är vtgnde för x. Då gäller n n n i. f(k) f() f(x)dx f(k) f(n). k= ii. f(n) + n f(x)dx k= n f(k) f() + k= n f(x)dx. Du sk kunn vis motsvrnde för positiv växnde funktioner f. 8. Mclurin- och Tylorutveckling () Tylorutveckling v f v ordning n kring punkten : f(x) = f() + f ()(x ) + f(2) () 2! + + fn () (x ) n + fn+ (c) n! (n + )! (x )(n+). (b) Mcluringutveckling v f v ordning n: (x ) fk () (x ) k k! f(x) = f(0) + f (0)x + f(2) (0) x fk (0) x k 2! k! + + fn (0) x n + fn+ (c) n! (n + )! x(n+), där c ligger melln 0 och x. (c) Stnrdutvecklingr för e t, cos t, sint, ln( + t), rctn t och ( + t) α. (d) Mclurinutveckling v smmnstt funktioner, se Exempel 3.9, 3.2. (e) Tillämpningr i. Gränsvärden: Exempel 3.3, 4. ii. Derivtion: Exempel 4.2 iii. Approximtion v funktionsvärden: Exempel 4.3 5

6 iv. Undersökning v sttionärpunkter: Exempel 4.4 v. Numerisk integrtion: Exempel Differentilekvtioner () : ordning linjär DE: y + g(x)y = h(x). Multiplicer med Integrernde fktorn e G(x), så tt vänstr ledet i ekvtionen kn skrivs som en derivt v en produkt: Integrer båd leden: (b) Seprbel DE: d ( ) e G(x) y = h(x)e G(x). dx e G(x) y = h(x)e G(x) dx + C. g(y)y (x) = h(x). Del på y = dy och integrer vänst ledet med vseende på y och högr ledet dx med vseende på x: g(y)dy = h(x)dx + C. (c) Integrlekvtioner: Exempel 8.2. (d) 2: ordningens DE: i. Homogen DE: y (x) + (x)y (x) + b(x)y(x) = h(x). y (x) + y (x) + by(x) = 0, där och b är reell tl. Om r och r 2 är röttern till KE r 2 + r + b = 0, så ges den homogen lösningen v A. y h (x) = Ae r x + Be r 2x, om r r 2 B. y h (x) = (Ax + B)e r x, om r = r 2 C. y h (x) = e αx (Acos βx + B sin βx), om r = α + iβ och r 2 = α iβ ii. Inhomogen DE: Se Exempel 9.0 y (x) + y (x) + by(x) = p n (x) + e αx + sinβx + cos γx. A. p n (x) = polynom v grd n: Ansts y p = polynom v grd n. Om y skns: Ansts y p = x (polynom v grd n). B. e αx : Ansts y p2 = z e αx 6

7 C. sinβx = Ime iβx : Skriv ekvtionen u (x) + u (x) + bu(x) = e iβx. Ansts u = z e iβx. Då är y p3 = Imu. D. cos γx = Ree iγx : Skriv ekvtionen u (x) + u (x) + bu(x) = e iγx. Ansts u = z e iγx. Då är y p4 = Reu. Repetitionsupggifter v grundläggnde krktär: A3: 2, 3, 5, 9, 20 A4: 3, 0, 25, 32, 33, 40 B5: 7, 9, 6, 20, 22 B6: 7, 8 A6: 3, 9 B7: 6, 7, 8, 9, 4, 7, 8, 24, 25, 26 B8: 20, 24, 27, 29, 30, 3 A7: 4, 5 A8: 4, 7, 4, 7, 27, 38, 40 B9: 30 7