9. Vektorrum (linjära rum)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "9. Vektorrum (linjära rum)"

Transkript

1 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner, linjärt beroende, bs och dimension. 48. Beskriv hur mn, när mn vlt en bs för ett (ändligtdimensionellt) vektorrum V, kn identifier det med R n, där n dimv. 49. Oändligtdimensionell vektorrum. 5. En följd v linjärt oberoende vektorer i ett ändligtdim. vektorrum V kn lltid kompletters till en bs. 5. För två underrum, U och U, i ett vektorrum V gäller dim U +dimu dimu U +dimu U 5. Vilk egenskper tr mn som definition för sklärprodukt i ett bstrkt vektorrum? 53. Exempel på sklärprodukt på ett funktionsrum. 54. Cuchy-Schwrz olikhet och tringelolikheten i funktionsrum med sklärprodukt. 55. Ortogonlt komplement. Ortogonl projektion. Minst kvdrtmetoden. 56. Legendrepolynom 57. Bsbyte: Hur ändrs koordintern v en vektor, då mn övergår från en bs till en nnn? Om båd bsern är ortonormerde? 58. Ortogonl mtris Kolonnern i en n n-mtris utgör en ON-bs för R n om och endst om rdern hr smm egenskp. Adrien-Mrie Legendre, frnsk mtemtiker Polynomen återfinns i en vhndling från 784. Linjär rum: kommentrer Homogen linjär ekvtionssystem 59. Om vi försöker skriv upp ll lösningr till så är en möjlighet x y z 3x y +z x godtycklig s z godtycklig t y 3x +z 3s +t eller ekvivlent s 3 + t s, t godtycklig Tolkr mn ekvtionen som en beskrivning v ett pln i rummet, så bildr (, 3, ) och (,, ) en bs för vektorern i dett pln. 6. Löser vi systemet ½ x + x + x 3 + x 4 x +x x 3 +3x 4 genom tt exempelvis eliminer x ur den ndr ekvtionen, får vi x 3 x x 3 s + t x 4 s, t gidtycklig Mn kn säg tt ( 3,,, ) och (,,, ) utgör en bs för lösningrn. 6. Allmänt: Utför successiv elimintion på ett linjärt ekvtionssystem, så fås lösningr på en form som i KGA, sid., Exempel.5. (Prmetrrn, som får väljs godtyckligt, kn vr fler än.) På mtrisform kn lösningen i Ex..5 skrivs x x x 3 x 4 x s s, t godtycklig + t 8 6 Hde systemet vrit homogent, hde ing konstnt termer funnits den först kolonnmtrisen i högerledet bortfller. Återstående två vektorer i högerledet kn sägs utgör en bs för lösningrn. 8

2 Homogen linjär differentilekvtioner y (t)+y (t) m y (t) Ce t C godtycklig y +5y +6y m y C e t + C e 3t C,C godtycklig y +4y +4y m y C e t + C te t 65. Persson&Böiers, sid.365 C,C godtycklig y (4) y (3) +y y m y C e t + C te t + C 3 t e t + C 4 e t C,C,C 3,C 4 godtycklig 66. Frågr mn Mthemtic om lösningen till (n tänker vi oss vr ett givet heltl) x y (x)+xy (x)+ x n y (x) Exemplen visr tt begreppet bs på ett nturligt sätt uppträder i fler olik smmnhng i ll fllen ovn kn lösningsmängden uppftts som ett slgs pln som spänns upp v ett ntl bsfunktioner. Så snrt mn hr en mängd v objekt som kn dders och multiplicers med tl, så tt de vnlig räknereglern gäller, så kn mn definier degreppen bs och dimension. Först måste mn emellertid preciser vd som vses med de vnlig räknereglern det är där xiomen på sid.6 kommer in! Fst, även om KGA ställer upp xiom och genomför en bstrkt härledning på sid.8, så är det ldrig ktuellt med linjär rum nnt än v följnde tre typer: Geometrisk vektorer: riktde sträckor i ett pln eller i 3 dimensioner, som dders och multiplicers medtl,somisprr,kp. Tlmultiplr, d.v.s. element i R n, som dders och multiplicers med tl, som i KGA, sid.75. (En mängd v mtriser kn t.ex. också betrkts som en mängd v tlmultiplr, fst ordnde på ett nnt sätt.) Funktioner som dders och multiplicers med tl, på det nturlig sättet, som i KGA, Exempel 9. Att dditionen och multipliktionen med tl i ll de tre fllen ovn uppfyller xiomen på sid.6, inser mn en gång för ll. Frågn om en viss mängd med dess opertioner utgör ett linjärt rum, reducers då till frågn om dditionen och multipliktionen med tl ger tlmultiplr / funktioner i smm mängd eller om mn kn komm utnför i det först fllet föreligger ett linjärt rum, nnrs inte. Se exempel på näst sid. genom tt mt in DSolve[ x y [x]+x y [x]+(x -n )y[x], y[x], x ] så får mn svret BesselJ[-n, x] C[] + BesselJ[n, x] C[] vilket skll tolks som så tt lösningrn är linjärkombintionern v två funktioner de s.k. Besselfunktionern J n (x) och J n (x) som inte kn uttrycks med de elementär, utn fått ett eget nmn. 9

3 67. Avgör vilk v följnde mängder som, försedd med de nturlig räkneopertionern, utgör linjär rum. Ange i förekommnde fll även en bs, smt rummets dimension. () (b) (x,x,x 3 ) R 3 : x + x + x 3 ª (x,x,x 3 ) R 3 : x + x + x 3 ª Svr: ) J, eftersom x + x + x 3 y + y + y 3 (x + y )+(x + y )+(x 3 + y 3 ) och för ll reell λ : λx + λx + λx 3 b) Nej : ¾ (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) {n n-mtriser A med det A } {n n-mtriser A med sp A } {polynom v grd n (exkt)} {polynom p v grd n med p () } {polynom p v grd n med p () } {f C [, ] : f () + f () } f C (R) :f (), f () ª x + x + x 3 x +x +x 3 6 c) Nej det kn mycket väl gäll det A det B, men det (A + B) 6 d) J, eftersom (kontroller med definitionen!) sp (A + B) sp A + sp B sp (λa) λ sp A så gäller tt vrje summ och vrje multipel v mtriser med spår hr spår också. e)nej summnvtvåpolynomvgrdn kn h grd <n(när x n -koeff. är motstt tl) f) Nej p () (p)()6 g) J, summor v polynom och multiplr v polynom, som är v grd n och är för x, är också v grd n och för x. (j) f C (R) :f f ª (k) ½ f C [, ] : ¾ f (x) dx

4 h-k) Kontinuitets- och deriverbrhetsvillkoren gäller för vrje summ f + g och vrje multipel λf, λ reellt tl, om de gäller för f och g : Är f och g två gånger deriverbr, så är f + g det också, etc. Återstår då tt kontroller villkoren efter :-tecknet. h) J : ½ f () + f () g () + g () ½ (f + g)()+(f + g)() (λf)()+(λg)() Rummet är oändligtdimensionellt t.ex. innehåller det följnde oändlig följd v lin. oberoende funktioner: f n (x) x n ( x) n, n,, 3,... (En följd v polynom v olik grdtl måste vr linjärt oberoende kontroller med definitionen!) i) Nej, p.g.. tt f () (f) () 6 j) J summn v två lösningr och vrje multipel v en lösning är också lösning. I och med tt f (x) C e x + C e x så är rummet -dimensionellt och en bs är e x,e xª k) J: om f och g är kontinuerlig på x med integrl, så är även f + g och λf kontinuerlig, för vrje reellt tl λ, och (f + g)(x) dx (f (x)+g (x)) dx f (x) dx + + λ λ (λf)(x) dx λf (x) dx f (x) dx g (x) dx Sklärprodukt : kommentrer Definitionen på sid.4 säkerställer tt det skll gå tt räkn som i LTHs övn.smling, övn.4. : (u v) (3u + v) u (3u) v (3u)+u v v v 3u u 6v u + u v v v 3u u 5u v v v smt tt sklärprodukten v en vektor med sig själv skll vr, så tt vi nu kn utnyttj sklärprodukten till tt räkn ut något motsvrnde längder : u u u Återigen är det egentligen inte fler än tre typer v sklärproudkter, som mn behöver h i åtnke: Den ursprunglig sklärprodukten för geometrisk vektorer, definierd utifrån längder och vinklr. Sklärprodukter för tlmultiplr : x y + x y x n y n x y +x y nx n y n (KGA, sid.5)... I kp., sid.87, skll vi se tt de här sklärproduktern hr ll formen x x x... x n Q x. x n där Q är en symmetrisk mtris, med egenskpen tt mtrisprodukten ovn är > (den är ett tl!) för ll (x,x,.., x n ) 6, eller ekvivlent: ll egenvärden till Q är >. Sklärprodukter för funktioner : Integrler v typen f (x) g (x) w (x) dx där w (x) > för ll x, så tt sklärprodukten v en funktion med sig själv säkert blir : (f,f) f (x) w (x) dx eftersom f (x) w (x)

5 Övningr 9 9 Ekvivlent formulering: Vis tt det till vrje trippel v tl (, b, c) går tt hitt en och endst en trippel (x, y, z) sådn tt xp (t)+yp (t)+zp 3 (t) t + bt + c för ll t smt bestäm den trippel (x, y, z) som svrr mot (, b, c) (,, ). Denn leder till ekvtionssystemet x + y + z x +4y +6z b x +4y +9z c b c b c (b ) vrv syns tt lösning finns och en entydig. Speciellt för (, b, c) (,, ) fås y 3,z,x3. 93 Illustrerr idén på specilfllet: m 3,n. Obs. tt b c d + b + e f +c + d + +e + f 93b Underrum därför tt A, B symmetrisk A + B symmetrisk λa symmetrisk De symmetrisk mtrisern är helt bestämd v sin element på och ovnför huvuddigonlen och dess kn väljs oberoende v vrndr. En bs i fllet n 3är t.ex.,,,,, Allmänt: En bs fås genom tt för vrje pr v index j, k, j k n, t den mtris som hr en ett på pltser j, k och k, j smt resten nollor. Totlt blir det n n (n +) mtriser i bsen, vilket lltså är dimensionen v Sym(n) 93c Som för de symmetrisk mtrisern, fst digonlelementenkninteväljsfritt demåstevr. En bs får vi genom tt för vrje pr v index j, k, j<k n, t den mtris som hr Totlt blir det på plts j, k, på plts k, j smt resten nollor. n (n ) (n ) mtriser i bsen, vilket således är dimensionen. och tt tlen, b, c, d, e, f i högerledet inte kn byts ut mot ndr och ändå h summn lik med vänsterledet. En bs utgörs lltså v de mtriser som hr en end ett någonstns och resten nollor. Rummets dimension mn.

6 94 Skriver kort summ för det gemensmm värdet v ll rd-, kolonn- och digonlsummor. 94 Om M och M är kvdrter med summor s resp. s, och λ, λ är godtycklig tl, så är λ M + λ M en kvdrt med summ λ s + λ s. Därför underrum. 94b Det räcker tt undersök följnde ekvtionssystem x + +y + z [titt på först rden först] x z x + y + z x y... x y z Alltså är mtrisern linjärt oberoende. 94c Tittr mn litet närmre på mtrisern i b) och observerr tt de två senre hr summ och mittenelement m, så kn mn leds till följnde tnkegång: Om vi hr en mgisk kvdrt med summ s och från den subtrherr en multipel v en mtris med idel ettor, som den först i b), såfårvienmgiskkvdrtmedsumm. Kn vi hitt ll mgisk kvdrter med summ, så hr vi ll mgisk kvdrter! En 3 3-mgisk kvdrt med summ skll h summn v huvuddigonlen summn v den ndr digonlen summn v ndr rden summn v ndr kolonnen Adderr vi dess fyr ekvtioner, får vi vrv följer tt summn v ll element +3m m Om nu m och summn, så ser mn tt, om mn fixerr värden på två element i hörnet, så blir hel mtrisen bestämd : b b b + b + b b Vi ser tt det går br tt välj och b godtyckligt, oberoende v vrndr. Därmed hr vi vist tt vrje element i MAG 3 kn skrivs på formen s 3 + +b där tlen s, och b får vrierr fritt. Alltså är dim MAG 3 3. (Andr mtrisen här ovn differensen melln bokens ndr och tredje.) 3

7 94d I c) konstterdes tt mtris och 3 hr summ, så vi kn direkt skriv upp den först koordinten : (Den givn A hr summ 5, medn först bsmtrisen hr summ 3, därv 5/3 5) y +z Nu kn vi vläs (rd, kol. 3 : y 3 (rd, kol. : z och kontroller tt det stämmer även på övrig positioner. 94e En n n-mtris A ( jk ) bestäms v värden på sin n element jk, j, k n. De mgisk kvdrtern svrr mot lösningrn till ett ekvtionssystem med n st. obeknt jk : r r r r 3... r n r n k k k k 3... k n k n r k d r d d där vi, för överskådlightens skull, infört r j summn v elementen på rd j j + j jn k j summn v elementen i kolonn j d summn v huvuddigonlelementen d summn v elem. i den ndr digonlen n +,n n Obs. tt ekvtionssystemet är linjärt och homogent. Antlet ekvtioner är (n ) + 3 n +, ntlet obeknt är n. Lösningrn bildr lltså ett linjärt underrum i R n och dett underrum är ortogonl komplementet till rummet som systemmtrisens n + rder spänner upp. Rdrummets dimension är nturligtvis ntlet rder n +, så dimensionen v dess ortogonl komplement måste vr n (n +) Inte riktigt lik br uppskttning som i problemtexten knske beror det på tt ekvtionern inte är oberoende? Jvisst: Om vi vet tt ll rdsummor är lik sinsemelln, r, och likså tt ll kolonnsummor, k, så måste r k, ty nr summn v mtrisens ll element nk. Alltså är ekvtionen r k överflödig och vi kn ersätt n +med n i vår uppskttning. 95 Räcker med t.ex. cos t cos t sin t t 6 + t + t 4 t + ln t 6 + ln t + +ln t 4 t + 4

8 96 T.ex. så här: 9 Alt.. Utnyttj de trigonometrisk formlern (Persson&Böiers, sid.75) e t + be t + ce t3 för ll t Divider med (den för stor t dominernde funktionen) e t3 och låt t, så fås ++c Divider sedn med e t och låt t, så fås Då måste även 96b Antg b sin t + b cos t + c sin t + d cos t för ll t Deriver 4 gånger, så fås sin t + b cos t + 4 (c sin t + d cos t) för ll t Kombinerr mn dess två, fås tt sin t + b cos t för ll t och c sin t + d cos t för ll t Sätt in t,t π/ i den först, så fås genst tt b. Anlogt med den ndr. Eller tänk på hjälpvinkelomskrivningen Det finns φ : sin t + b cos t p + b sin (t + φ) cos x cos y (cos (x + y)+cos(x y)) sin x sin y (cos (x + y) cos (x y)) cos x sin y (sin (x + y) sin (x y)) Alt.. Av Eulers formler cos t e it + e it sin t e it e it i följer tt ll produkter v typen kn skrivs på formen cos kt cos nt sin ktcos nt sin ktsin nt konstnt e ikt ± e ikt e int ± e int Multilicerr vi ihop prentesern fås e i(k+n)t ± e i(n k)t ± e i(k n)t + e i(k+n)t Nu är k,n och om dessutom k 6 n, så är ll koefficientern i exponentern 6 och en primitiv funktion är e i(k+n)t i (k + n) ± ei(n k)t i (n k) ± ei(k n)t i (k n) + e i(k+n)t i (k + n) För vrje heltl är e imπ e µ im( π) ½, om m jämn, om m udd så efter insättning kommer termern tt t ut vrndr. Glöm dock inte ett fll med k n : sin kt cos kt, k > Då hr vi tt undersök e ikt + e ikt e ikt e ikt e ikt e ikt så även här fås en primitiv funktion v smm typ. (Det hde inte vrit fllet om k!) 5

9 9 ) (u u,u ) (u, u ) (u,u ) 98 I och med tt smtlig element är ntingen eller, så hr ll rder/kolonner längden q (±) +(±) (±) n 96 (u, u ) ³u, X (u, e j ) e j X (u, (u, e j ) e j ) X (u, e j )(u, e j ) X (u, e j ) (u,u ) X (u, e j ) e j, X (u, e k ) e k j k X X (u, e j )(u, e k )(e j,e k ) j b) Pythgors sts 93 k X (u, e j )(u, e j ) j X (u, e j ) u u +(u u ) u och u u ortogonl (u, u) (u,u )+(u u,u u ) (u,u )[enl.)] X (u, e j ) Därmed kommer n H tt vr en ortogonl mtris. 98b En sklärprodukt v typ (±) (±) + (±) (±) +.. +(±) (±) ± ± ±... ± kn inte bli, om ntlet termer i summn är udd! 99 Observer tt sklärprodukten v vektorern Ax och x kn skrivs som en mtrisprodukt på två olik sätt: (Ax) T x x T Ax Den först kn för skrivs om (Ax) T x x T A T x Om nu A är skevsymmetrisk, så är Därmed hr vi fått End möjligheten är tt x T A T x x T Ax x T Ax x T Ax 97 (AB) T (AB) B T A T AB B T EB B T B E A T A E det A det A T dete (det A) det A ± x T Ax d.v.s. x och Ax är ortogonl. 99b Enl. dimensionsstsen räcker det tt vis tt (E A) x endst hr den trivil lösningen x. Likheten är ekvivlent med x Ax och enl. ) skulle dess två vr ortogonl. End möjligheten är tt x Ax 6

10 99c 99d Vi sk vis tt (E + A)(E A) E + A A A (E A)(E + A) E A + A A TT t E Vi utnyttjr bl.. tt det llmänt gäller A t A t och får TT t (E A) (E + A) 9 ³ (E A) t (E + A) ³ (E A) (E + A)(E + A) t (E A) t ³ (E A) (E + A)(E A) (E A) t [enl. c)] (E A) (E A)(E + A)(E + A) EE E Vi sk vis tt A t A : A t ³(T E)(T + E) t ³ (T + E) t (T E) t ³ (T + E) t T t E T t + E T t E T + T T T T T T (E + T ) T (E T ) (E + T ) T T (E T ) (T + E) (T E) Återstår tt kontroller tt 9 9 Den först uppfyller inte riktigt positivitetsvillkoret : (f,f) f (x) dx även för ll funktioner som är konstnt på x b. Endst nollfunktionen skulle ge här! Den ndr uppfyller (f,f) f (x) dx + f () med likhet om och endst om f (f,g) (f + f,g) (g,f) (λf,g) + f (x) g (x) dx + f () g () g (x) f (x) dx + g () f () (f + f ) g dx +(f ()+f ()) g () f g dx + f () g () (f,g)+(f,g) f g dx + f () g () (λf) g dx +(λf)() g () λ f gdx + λf () g () Ã Z! b λ f gdx + f () g () λ (f,g) så den uppfyller krven på en sklärprodukt. (T E)(T + E) (T + E) (T E) Sätt S T + E så ntr den påstådd likheten formen (S E) S S (S E) SS S S S S snt 7

11 93 95 u v u v (u, u) (v,v) (u v,u v) (u, u) (u, v)+(v,v) (u, v) (u, u) (v,v) (u, v) p (u, u) p (v, v) 96 Vinkeln θ definiers ur reltionen cos θ (u, v) p (u, u) p (v, v) lltså cos θ θ π 3 94 Vi visr två inklusioner: (U + U ) U U är klrt, eftersom en vektor som är ortogonl mot ll vektorer v typen u + u, u j U j är också ortogonl mot ll vektorer i U och mot ll vektorer i U vi behöver endst t u eller u i summn u + u. Åndrsidn (U + U ) U U eftersom en vektor v som är ortogonl mot ll u U och ll u U också är ortogonl mot summn v två sådn: (u + u,v) (u,v)+(u,v) + 8

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum

Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Ett v de stor sprången frmåt i mtemtiken inträffde när Descrtes (96-60) introducerde det rätvinklig koordintsystemet Det blev möjligt tt ngrip geometrisk

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 INNEHALL 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 DATORER Allmänt Digitl dtorer Orgnistion Ordmm Minnesenheten Aritmetisk enheten Styrenheten In/utenheten Avbrott Spräk och proglmm

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel. Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Månadsrapport maj 2014. Individ- och familjeomsorg

Månadsrapport maj 2014. Individ- och familjeomsorg Måndsrpport mj Individ- och fmiljeomsorg Innehållsförteckning 1 Ekonomi och verksmhet... 3 1.1 Resultt per verksmhet... 3 1.2 Investeringsuppföljning... 3 1.3 Volymer, sttistik och kostndsnyckeltl... 4

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer