Materiens Struktur. Lösningar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Materiens Struktur. Lösningar"

Olof Mattsson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste grnnrn, vd skulle bindningsenergin per tom vr (i enheter ev)? Den verklig bindningsenergin är,96 ev/tom. Vd tror du beror skillnden på? Konstntern: e = 1, C ɛ 0 = 8, F/m =, 8 o A = Cl - = N + Figur 1: En shemtisk bild v NCl strukturen. Lösning: Vi ser systemet i fråg i gur 1. Bindningsenergin/bindning är, då den endst beror v Coulombväxelverkn E bind = e 5, 11 ev. (1) 4πɛ 0 Dett ger oss bindningsenergin/tom som E bind/tom = 6 1 E bind 15, ev, () eftersom vrje jon hr 6 bindningr oh bindningenergin dels på två tomer. Den verklig bindingsenergin är betydligt lägre p.g.. tt vi i denn pproximtion br räknr

2 med de närmste grnnrn. Om vi går längre bort från N + jonen, som är vårt tillfällig entrum i kristllen i bilden, märker vi tt vi i näst steg upptäker N + joner som repellerr den entrl N + jonen, vilket i sin tur ger därför ett negtivt bidrg till bindningsenergin/tom. Om vi går ännu ett steg kommer det igen Cl in i bilden vilk bidrr positivt. Därför är den riktig bindningsenergin/tom i en NCl-kristll en llternernde serie med lägre värde än det vi k i en först pproximtion där vi br bektde de närmste grnnrn.. Undersök smbndet melln ämnets bindningsstyrk oh smältpunkt för följnde ämnen: Dimnt (bindningsenergi 7,4 ev/tom, smältpunkt 4100 K); kisel (4,6 ev/tom, 1685 K); järn (4,8 ev/tom; 1809 K); ntrium (1,1 ev/tom; 71 K); NCl (,96 ev/tom; 1075 K); rgon (0,080 ev/tom; 84 K); neon (0,00 ev/tom; 4 K). Räkn om smältpunkten i Kelvin till enheter v ev/tom (jämför kursen i termofysik), oh jämför dett värde med bindningsenergin. Hur myket vrierr förhållndet melln de två storhetern från ämne till ämne? Kn smbndet nses vr betydelsefullt? Konstntern: k = 1, J/K e = 1, C Lösning:. Bindningsstryk Smältpunkt Smältpunkt (i ev) Smältpunkt/Bindningsstyrk Dimnt 7,4 ev 4100 K 0,5 ev 0,047 Kisel 4,6 ev 1685 K 0,15 ev 0,0 Järn 4,8 ev 1809 K 0,16 ev 0,07 NCl,96 ev 1075 K 0,09 ev 0,0 Ntrium 1,1 ev 71 K 0,0 ev 0,07 Argon 0,08 ev 84 K 0,007 ev 0,088 Neon 0,0 ev 4 K 0,00 ev 0,1 Tbell 1: En tbell över olik ämnens bindningsstryk smt smältpunkt, där smältpunkten (i ev) räknts ut genom T sev = kt sk /e Vi ser ur tbellen tt ämnen som påminner om vrndr hr liknnde Smältpunkt/Bindningsstyrk förhållnde. Argon oh Neon, vilk båd är ädelgser hr ett förhållnde när 0,1. Kisel, järn, NCl oh Ntrium, vilk ll hr de vnligste gitterstrukturern HCP, FCC, e.t.., hr ll ett förhållnde när 0,0. Dimnt skiljer sig eftersom den hr en nnn gittersruktur, den myket strk dimentstrukturen. Mn kn okså se tt dett förhållnde vrierr br med en fktor på 4 melln de olik ämnen, vilket är myket mindre än vritionen på storleksordningr i smältpunktens temperturer för dess ämnen. Dett är en orsk tt nse tt smbndet kn nses betydnde.. Härled bsvektorn d för grt, ekvtion I.6. Tips: den end utgångsinformtion mn behöver är tt vinkeln melln grtbindningrn är 10, ll bindningr är lik lång, smt konstruktionen för enhetsellen i bild I.4. Lösning: Från gur ser vi direkt tt

3 { b { f{ 60 o 0 o e } t e k f 10 o d = x + yb Figur : Vi ser en ensm enhetsell för grt till vänster oh två bredvid vrndr till höger. All vinklr melln sidorn, som ll hr längden, hr vinkeln 10. Vi ser okså hur bsvektorn d skps v en del oh b. e = os 0 = f = sin 0 =. Dett kn vi nvänd då vi ser tt vinkeln α är densmm för sidorn t oh, smt sidorn b oh + f, vilket ger oss smbndet t = b + f t = b, () där vi stt in längden på f. Ytterligre hr vi b = ( + f) + e = = e =, vilket ger oss k = e + f k =, där vi än en gång jämfört sidor i smm tringel. Eftersom hr vi slutligen k = 1, d = b + 1. (4)

4 S } _ T M L N} _ O Q b P Figur : Vi ser hur den rätvinklig enhetsellen för grtstrukturen bilds. Avståndet följer ur föregående uppgift. 4. Sök en rätvinklig enhetsell för den tvådimensionell grtstrukturen. Ge storleken på enhetsellen smt bsvektorern som beskriver positionen v vrje tom i enhetsellen. Lösning: Den reipråk gittervektorn R bilds ur R = n + mb + d l, n, m Z +. (5) M.h.. heltlen n oh m kn vi endst uttryk positionern för tomern S, T, Q oh P i gur. För tt komm åt de ndr positionern måste vi nvänd oss v bsvektorern d l. Atomern vi behöver hitt är L, M oh N. Inte O därför tt O är i smm position som L då vi yttr gittret ett steg åt vänster. L.) Vi tr 0 steg åt vänster oh föryttr oss steg längs för tt komm till L. Eftersom = d 1 = 1. (6) N.) Vi rör oss + = längs oh till mitten v b för tt nå N. Dett ger då =, d = b (7) M.) Vi går fortfrnde till hlv b, men istället + + = 5 längs =. Dett ger

5 } 5 = 5 6 d = b. (8) Givetvis hr vi okså d 0 = 0, men denn bsvektor är underförståd. 5. Koppr hr en FCC-struktur med gitterkonstnten =, 6 Å. Beräkn tomdensiteten i ämnet, i enheter tomer/m. Konstntern: =, 6 o A { Atomen på frmsidn med 1/ innnför Atomen på bksidn med 1/ innnför Atomen på frmsidn med 1/8 innnför Atomen på bksidn med 1/8 innnför } Figur 4: Vi ser FCC-strukturen med 8st tomer i hörnen oh 6 tomer på sidorn. Lösning: Vi räknr ntlet tomer innnför strukturen i gur 4, = 4 st. (9) Dett p.g.. v tt tomern som ligger på kntern v gittret endst hr en kvdrnten innnför strukturen d.v.s. 1/8 innnför. De ndr hr 1/ innnför. Dett ger oss tomdensiteten som ρ tom = 4 8, 4 10 tomer/m. (10) 6. Kobolt hr en HCP-struktur med gitterkonstntern =, 95 Å oh = 4, 68 Å. Beräkn tomdensiteten i ämnet, i enheter tomer/m. Konstntern: =, 95 o A = 4, 68 o A Lösning: I dett fll hr vi

6 { Atomen helt innnför Atomen på frmsidn med 1/8 innnför Atomen på bksidn med 1/8 innnför { 60 o 10 o } Figur 5: Vi ser HCP-strukturen oh hur dess enhetsell inte hr en kvdrt som botten = st (11) tomer innnför strukturen (se gur 5). Bottnen på HCP-strukturen hr höjden h = sin 60 = (1) oh därmed ren A = h =. (1) Dett ger enhetsellens volym som V = A =, (14) vilket i sin tur ger oss tomdensiteten ρ tom = = 5, tomer/m. (15)

Relevanta dokument

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller