Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Transkript

1 Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden v en vektor Itvå dimensioner u = u 2 + u2 2 I tre dimensioner u = u 2 + u2 2 + u2 3 Enhetsvektorer Bsvektorer i två dimensioner: ê = ê y = Bsvektorer i tre dimensioner: ê = ê y = ê z = (dms: ê = i ê y = j ê z = k) Enhetsvektor i riktningen v: ê v = v v Sklärprodukt Definition u v u v = = u u 2 v v + u 2 v 2 2 u v u v = u 2 v 2 = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 u 3 v 3 Egenskper u v = v u u (v + w) =u v + u w α(u v) =(αu) v = u (α v) u u = u 2 Sts : vinkel melln vektorer Om θ är vinkeln melln vektorern u och v gäller tt u v = u v cos θ. Speciellt gäller tt u v = om och endst om u och v är ortogonl (dvs vinkelrät). Ortogonl projektion Sklärprojektionen s v u på v ges v: s = u v. v Vektorprojektionen u v v u på v ges v: u v = u v v êv = u v v 2 v. Längden v vektorprojektionen är u v = s. Definition: Vektorprodukt Om u och v tillhör R 3 (dvs är tredimensionell vektorer) såär vektorprodukten u v den vektor i R 3 som uppfyller tre villkor: ) u v är ortogonl mot både u och v 2) u v = u v sin θ, där θ är vinkeln melln u och v 3) u, v och u v bildr en högerorienterd vektortrippel Sts 2: Beräkning v vektorprodukt u v u 2 v 3 u 3 v 2 u 2 v 2 = (u v 3 u 3 v ) u 3 v 3 u v 2 u 2 v Egenskper hos vektorprodukten Om u, v, w R 3 och α R sågäller. u u = 2. u v = v u 3. (u + v) w = u w + v w 4. u (v + w) =u v + u w 5. α(u v) =(αu) v = u (αv) 6. u (u v) =och v (u v) = OBS! OBS! OBS! I llmänhet gäller tt u (v w) (u v) w Determinnter b = d bc c d b c d e f = ei + bfg + cdh fh bdi ceg g h i b c e f d e f = h i b d f g i + c d e g h g h i Vektorprodukt som determinnt i j k u v = u u 2 u 3 v v 2 v 3 u = i 2 u 3 v 2 v 3 j u u 3 v v 3 + k u u 2 v v 2 Trippelprodukt Trippelprodukten melln u, v, w R 3 ges v u (v w). Den beskriver bl.. volymen v den prllellepiped som spänns upp v vektorern (sånär som på tecknet (±)). Om u, v och w ligger i smm pln är följdktligen trippelprodukten noll. Trippelprodukten kn också beräkns med en determinnt enligt u u 2 u 3 u (v w) = v v 2 v 3 w w 2 w 3 Plnets ekvtion Givet en ortsvektor som pekr på enpunkt i plnet: r = y z och ennormlvektor till plnet: n = B C såbeskrivs plnet v ll ortsvektorer r = y z som uppfyller n (r r )=. Om vi utvecklr sklärprodukten erhålls ( )+B(y y )+C(z z )=. Dett går lltid tt skriv på formen + By+ Cz= D.

2 Linjens ekvtion i tre dimensioner Givet en ortsvektor som pekr på en punkt pålinjen: r = y z och envektor som pekr i linjens rikning: v = b c såbeskrivs linjen v ortsvektorern r = y z som erhålls för ll <t< i ekvtionen Ekvtionssystem med två linjer hr ntingen en gemensm punkt, ingen gemensm punkt (ej lösbrt), eller oändligt mång gemensmm punkter = = 3 2 Ekvtionssystem med tre pln en gemensm punkt: oändligt mång gemensmm punkter: r = r + t v. Uttrycket kn också skrivs = + t y = y + bt z = z + ct. 2 2 = = 3 2 ingen gemensm punkt (ej lösbrt): P.g.. prmetern t, klls det ovnstående för prmeterform. dms är förtjust i normlform där mn eliminerr t: (t =) = y y = z z b c 2 2 = = Mtriser Det linjär ekvtionssystemet = = = 9 hr koefficientmtris och utökd mtris Mtriser dels in i rder och kolonner. Elementet 8 ovn befinner sig på rd 2 och kolonn 3. Elementär rdopertioner. dder till en rd en multipel v en nnn rd. 2. Byt plts på två rder. 3. Multiplicer ll element i en rd med en konstnt skilld från noll. Definition: Rdekvivlens Två utökde mtriser är rdekvivlent om den en kn omvndls till den ndr vi elementär rdopertioner. Om två utökde mtriser till två linjär ekvtionssystem är rdekvivlent, så hr de smm uppsättning lösningr. elementär rdopertioner Den sist utökde mtrisen motsvrr systemet =29 2 =6 3 = 3 Trppstegsform Trppstegsform Den utökde mtrisen kn omvndls till en rdekvivlent mtris på trppstegsform: Mn kn också gå vidre till reducerd trppstegsform: Det först elementet som är skillt från noll i en rd klls lednde element, eller pivåelement.. Rder som innehåller icke-nollor är ovnför rder som endst innehåller nollor. 2. Det lednde elementet i en rd ligger till höger om det lednde elementet i rden ovnför. 3. Elementen som ligger under det lednde elementet i smm kolonn är ll noll. Reducerd trppstegsform följnde villkor tillkommer De lednde elementen hr värde. 5. Det lednde elementet är det end elementet som är skillt från noll i sin kolonn. Sts Vrje mtris är rdekvivlent med endst en reducerd trppstegsmtris.

3 Vribler som tillhör trppstegsmtrisens lednde element/pivåelement klls bundn. Övrig vribler klls fri. Vi finner lösningen genom tt inför prmetrr för de fri vriblern, och lös ut de bundn vriblern med bkåtsubstitution, dvs vi börjr med sist ekvtionen och går sedn uppåt. Trppstegsformen ger följnde informtion. Om ll vribler är bundn är lösningen entydig. 2. Om någon vribel är fri, finns oändligt mång lösningr. 3. Om någon ekvtion är en flsk utsg (e. = 5), så eisterr ingen lösning. Vektorekvtioner Vektorekvtionen n n = b som tlr om vilk linjärkombintioner v, 2,..., n som ger vektorn b, hr smm lösningr som ekvtionssystemet vrs utökde mtris är 2... n b. Speciellt gäller tt b endst kn bilds v linjärkombintionen om ekvtionssystemet är lösbrt. Linjär höljet Definition Om v, v 2,...,v p ll tillhör R n, så benämns mängden v ll linjärkombintioner v v, v 2,...,v p för det linjär höljet v vektorern v, v 2,...,v p med beteckning Spn{v, v 2,...,v p}. Dvs det linjär höljet är ll vektorer som kn skrivs på formen c v + c 2 v c p v p. Observer tt lltid ingår i det linjär höljet. Mtris-vektor-multipliktion Om är en m n-mtris (dvs m rder och n kolonner), med kolonner, 2,..., n,dvs = 2... n och R n är vektorn = 2. n så definierr vi produkten enligt: = 2... n 2. n = n n dvs som en linjärkombintion v kolonnern i med elementen i som vikter. Mtrisekvtionen = b Sts 3: Mtrisekvtionen = b hr smm lösningr som vektorekvtionen n n = b och därmed också smm lösningr som det linjär ekvtionssystem som hr utökd mtris 2... n b Sts 4: Eistens v lösning Låt vr en m n-mtris. Då är de följnde påståenden ekvivlent, dvs om ett är snt så är ll snn. Ekvtionen = b hr lösning för ll högerled b R m 2. Det linjär höljet v kolonnern i är lik med mängen v ll vektorer v den dimensionen, dvs om = 2... n så är Spn{, 2,..., n} = R m 3. hr en pivåposition på vrje rd. Homogen ekvtionssystem Sts 5: Räkneregler för Om är en m n-mtris, u, v R n och c R, dågäller. (u + v) =u + v 2. (c u) =c(u) Ett linjärt ekvtionssystem är homogent om högerledet endst består v nollor, dvs = = 2 3 vilket är smm som = = = Inhomogen ekvtionssystem Sts 6: Lösningsmängd Om = b är ett lösbrt ekvtionssystem, och p är en lösning, så ges ll lösningr v = p + h,där h är ll lösningr till det homogen ekvtionssystemet =. Homogen ekvtionssystem hr lltid den trivil lösningen =. Icke-trivil lösningr eisterr om och endst om det finns fri vribler.

4 Linjärt (o)beroende En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon v dem kn beskrivs som en linjärkombintion v de ndr. Dett formulers enligt: Definition: Linjärt beroende Vetorern v, v 2,...,v p är linjärt beroende om det eisterr värden, 2,..., p som inte ll är noll, så tt v + 2 v p v p =. Om det ovnstående inte gäller, dvs v + 2 v p v p =. endst är uppfyllt om ll, 2,..., p är noll, säger vi tt vektorern är linjärt oberoende. Linjärt (o)beroende, forts Enligt definitionen v mtris-vektor-multipliktion kn villkoret omformulers enligt v v 2... v p 2 =. }{{} = p }{{} = dvs ett homogent ekvtionssystem =. Om endst den trivil lösningen = eisterr är kolonnern linjärt oberoende, nnrs är de linjärt beroende. Sts 8: Givet ett ntl vektorer v, v 2,...,v p som ll hr dimension R n : Om ntlet vektorer p är större än vektorerns dimension n, (dvs p>n) så är vektorern linjärt beroende. Sts 9: Givet ett ntl vektorer v, v 2,...,v p som ll hr dimension R n : Om en v dem är nollvektorn, dvs v k = för något k, så är vektorern linjärt beroende. Definition: Linjär vbildning En vbildning T är linjär om. T (u + v) =T (u)+t(v) för ll u, v i definitionsmängden för T. 2. T (c u) =c (T (u)) för ll u och sklärer c. Definitionen leder till följnde egenskper: T () = T (c u + d v) =ct(u)+dt(v) T (c v + c 2 v c p v p) = c T (v )+c 2 T (v 2 )+ + c p T (v p) Sts : Linjär vbildnings-mtris Låt T : R n R m vr en linjär vbildning. Då eisterr en unik mtris så tt T () =, för ll R n. Mtrisen hr dimension m n, ochkolonn k ges v T (ê k ),där ê k är kolonn k i enhetsmtrisen I n.dvs = T (ê ) T (ê 2 )... T(ê n) Definition Den linjär vbildningen T : R n R m är surjektiv (onto) om värdemängden är hel R m. Dvs om vrje y R m ges v y = T () för något R n. injektiv (one-to-one) om vrje y i vbildningen y = T () endst ges v ett R n. (Dvs T (u) =T (v) u = v.) Sts : Injektiv vbildningr Den linjär vbildningen T : R n R m är injektiv om och endst om T () = br hr den trivil lösningen =. (Dvs om och endst om kolonnern i vbildningsmtrisen är linjärt oberoende). Sts 2: Surjektiv vbildningr Den linjär vbildningen T : R n R m med vbildningsmtris är surjektiv om och endst om det linjär höljet till kolonnern i är lik med R m. Sts 4 ger då tt är surjektiv om och endst om hr en pivåposition på vrje rd. Mtriser Mtriser dels in i rder och kolonner. En m n-mtris (m rder och n kolonner) med obestämd element skrivs 2 j n j 2n =.... i i2 ij. in.... m m2 mj mn Elementet på rd i och kolonn j benämns ij. Digonlelementen, 22, 33,... bildr mtrisens huvuddigonl: = En mtris som endst består v nollor klls nollmtris och skrivs. Mtrisddition Mtriser med lik mång rder och lik mång kolonner dders elementvis. Dvs om C = + B, så bilds ll element i C v c ij = ij + b ij.e: 2 3 b b 2 b b 2 b 22 b 23 b 3 b 32 b b 4 b 42 b 43 + b 2 + b b 3 = 2 + b b b b b b b b b 43 Multipliktion med sklär Om B = k, så bilds ll element i B v b ij = k ij.e: 2 3 k k 2 k 3 k = k 2 k 22 k k 3 k 32 k 33

5 Egenskper Om mtrisern, B och C hr smm storlek, och r och s är sklärer, så gäller följnde smbnd. + B = B + 2. ( + B)+C = +(B + C) 3. + = 4. r( + B) =r + rb 5. (r + s) = r + s 6. r(s) =(rs) Mtrismultipliktion Om är en m n-mtris och B är en n p- mtris, så definierr vi produkten melln och B som en mtris C med storlek m p enligt C = B = b b 2... b p = b b 2... b p där b, b 2,...,b p är kolonnern i B. Mtrismultipliktion, smrt genväg Om C = B så kn vi beräkn elementet i C på rd i och kolonn j genom tt t sklärprodukten melln rd i i och kolonn j i B. dvs c ij = i b j + i2 b 2j + + in b nj n = ik b kj k= Egenskper Om är en m n mtris, och B och C hr lämplig storlekr, så gäller följnde smbnd. (BC) =(B)C 2. (B + C) =B + C 3. (B + C) = B + C 4. r(b) =(r)b = (rb) där r är en sklär 5. I m = = I n OBS!!! I llmänhet gäller tt B B. Trnspont Givet en m n-mtris så definierr vi trnspontet till som den n m-mtris T mn får genom tt byt plts på rder och kolonner. Eempelvis om = så ges trnspontet v 5 9 T 2 6 = Egenskper Om och B är mtriser v lämplig storlekr, så gäller följnde smbnd. ( T ) T = 2. ( + B) T = T + B T 3. (r) T = r T där r är en sklär 4. (B) T = B T T Egenskp 4. kn generlisers till, eempelvis (BCDE) T = E T D T C T B T T Mtrisinvers Vi betrktr här endst kvdrtisk mtriser, dvs mtriser med lik mång rder som kolonner. Sts 5: Linjär ekvtionssystem Om är en inverterbr n n-mtris, så hr det linjär ekvtionsystemet = b entydig lösning för ll b R n, och lösningen ges v = b Om är en n n-mtris och det eisterr en nnn n n-mtris C som uppfyller tt C = I och C = I såsäger vi tt är inverterbr och hr invers C. Inversen till beteckns vnligen och uppfyller lltså = I och = I Sts 6:. Om är inverterbr, så är inverterbr och ( ) = b. Om och B är inverterbr n n- mtriser, så är B inverterbr och (B) = B Sts 7: En n n-mtris är inverterbr om och endst om är rdekvivlent med I n. För inverterbr mtriser gäller tt vrje sekvens v elementär rdopertioner som reducerr till I n,också vbildr I n på. Mtrisen är entydigt bestämd eftersom det endst finns en invers till vrje inverterbr mtris. c. Om är inverterbr, så är också T inverterbr och ( T ) = ( ) T

6 Sts 8: Inverterbrhet Låt vr en n n-mtris. Då är de följnde påståenden ekvivlent, dvs om ett är snt så är ll snn.. är inverterbr. b. är rdekvivlent med I n. c. hr n pivåpositioner. d. Den homogen ekvtionen = hr endst den trivil lösningen =. e. Kolonnern i är linjärt oberoende. f. vbildningen är injektiv. g. = b hr lösning för vrje b. h. Kolonnern i spänner upp R n. i. vbildningen är surjektiv. j. Det finns en mtris C såttc = I n. k. Det finns en mtris D såttd = I n. l. T är inverterbr. Om är en n n-mtris som ej är inverterbr säger vi tt är singulär. Definition: determinnt Determinnten till en -mtris är mtrisens sklär värde (e. det5 = 5). Determinnten till en n n-mtris, då n 2, är en viktd summ v determinnter till n st. (n ) (n )-mtriser enligt formeln det() = det() 2 det(2)+ +( ) +n n det(n) n = ( ) +j j det(j) j= där ij är den mtris som erhålls om rd i och kolonn j ts bort från. Utveckling efter rd och kolonn Låt C ij =( ) i+j det( ij ) beteckn kofktorn för rd i och kolonn j till mtrisen. Dågäller enligt definitionen v determinnt det() = C + 2 C n C n. Dett är utvecklingen efter rd. Mn kn dock utveckl efter en godtycklig rd eller kolonn Sts Utveckling efter rd i: det() = i C i + i2 C i2 + + in C in Utveckling efter kolonn j: det() = j C j + 2j C 2j + + nj C nj Sts 2 Om är en tringulär mtris, så är det() produkten v elementen på digonlen v. Sts 3: Rdopertioner Låt vr en kvdrtisk mtris.. Om mtrisen B bilds genom tt t en multipel v en rd i och lägg till en nnn, så gäller det(b) =det(). b. Om B bilds genom tt byt plts på två rder i, sågäller det(b) = det(). c. Om B bilds genom multiplicer en rd i med k, sågäller det(b) =k det(). Sts 4 En kvdrtisk mtris är inverterbr, om och endst om det(). Sts 5 Om en kvdrtisk mtris så gäller det( T )=det() Sts 6 Om och B är n n-mtriser så gäller det(b) =det() det(b) Sts: Inverterbrhet Låt vr en n n-mtris. Då är de följnde påståenden ekvivlent, dvs om ett är snt så är ll snn.. är inverterbr. b. är rdekvivlent med I n. c. hr n pivåpositioner. d. Den homogen ekvtionen = hr endst den trivil lösningen =. e. Kolonnern i är linjärt oberoende. f. vbildningen är injektiv. g. = b hr lösning för vrje b. h. Kolonnern i spänner upp R n. i. vbildningen är surjektiv. j. Det finns en mtris C såttc = I n. k. Det finns en mtris D såttd = I n. l. T är inverterbr. t. det(). Om är en n n-mtris som ej är inverterbr säger vi tt är singulär. Sts 9 Om är en 2 2-mtris så är det() ren v prllellogrmmet som spänns upp v kolonnern i. Om är en 3 3-mtris så är det() volymen v prllellepipeden som spänns upp v kolonnern i. Låt i (b) beteckn den mtris mn får om mn byter ut kolonn i i mot vektorn b, dvs i (b) = 2... b... n pos. i Sts 7: Crmers regel Om är en inverterbr n n-mtris, och b R n,såges elementen i lösningen till = b v i = det i(b) det Kofktorn C ij ges v C ij =( ) i+j det( ij ) där ij är den mtris mn får om mn tr bort rd i och kolonn j ur. Den djungerde mtrisen till ges v C C 2 C n C dj = 2 C 22 C n2... C n C 2n C nn Observer tt rd och kolonninde hr bytt plts. Sts 8: Om är en inverterbr n n-mtris. Då är = det dj

7 Sts Låt T : R 2 R 2 vr den linjär vbildning som lstrs v 2 2-mtrisen. OmS är ett prllellogrm i R 2, såär {ren v T (S)} = det() {ren v S} Låt istället T : R 3 R 3 vr den linjär vbildning som lstrs v 3 3-mtrisen. Om S är en prllellepiped i R 3,såär {volymen v T (S)} = det() {volymen v S} Ett generellt område pproimert med prllellogrm : Linjär vbildning v pproimert område: R T T(R ) Slutsts: Sts gäller för generell begränsde områden.