Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj"

Ingrid Lindgren
för 4 år sedan
Visningar:

1 Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n medför godkänd uppgift n vid tentor till (men inte med) näst ordinrie tent (högst ett år), n =,2,,5 3 5 poäng ger ett ytterligre onuspoäng till tentmen Uppgiftern 3) 5) kräver väl motiverde lösningr för full poäng Uppgiftern står inte i svårighetsordning Spr lltid återlämnde skrivningr till slutet v kursen! Skriv din lösningr och svr på smm ld som uppgiftern; nvänd ksidn om det ehövs Sid v 6

2 ) (För vrje delfråg ger rätt svr /2 p, inget svr 0 p, fel svr /2 p Totlpoängen på uppgiften runds v uppåt till närmste icke negtiv heltl) Kryss för om påståenden ) f) är snn eller flsk (eller vstå)! ) Låt R eteckn mängden v ll reell tl Strukturen (R \ {0}, ) är en grupp ) En grupp G v storleken 5 kn h en delgrupp v storleken 0 c) Ordningen v ett element i en ändlig grupp G lltid är en delre till G d) För ll grupper (G, ) gäller det tt ekvtionen =, G, hr ekt en lösning G Snt Flsk e) Permuttionen [ ] är udd f) Ordningen v permuttionen ( 3 4)(2 5 6) är 6 Upp poängsumm : Sid 2 v 6

3 2) (3p) ) (p) Ange smtlig olik sidoklsser till delgruppen {0, 3} i gruppen (Z 6, +) (Det räcker tt nge rätt svr) Svr: {0, 3}, {, 4}, {2, 5} )(p) Bestäm en delgrupp H till gruppen ( Z 7 \ {0}, ) sådn tt H =2 (Det räcker tt nge rätt svr) Svr: {0,6} c) (p) Bestäm inversen i S 7 till permuttionen π=( 3 5) (2 4) (6 7) (Det räcker tt nge rätt svr) Svr: (5 3 ) (2 4) (6 7) (Anmärkning (2 4) är smm cykel som (4 2) Smm gäller för (67) och (7 6) ) Upp 2 poängsumm : Sid 3 v 6

4 3) (3p) Betrkt gruppen G = (Z 2, +) ) (p) Bestäm en delgrupp H till G v storleken 3 ) (2p) Bestäm ll sidoklsser till H Lösning: ) Den cyklisk delgruppen som generers v tlet 4, H={0,4,8} hr storleken H =3 ) För tt få en sidoklss dderr vi ett element från Z 2 till ll element i H Noter tt H+ och H+ är ntingen identisk eller disjunkt sidoklsser Vi hr H+0=H+4=H+8={0,4,8} H+=H+5=H+9={,5,9} H+2=H+6=H+0= {2,6,0}, H+3=H+7=H+= {3,7,} Svr: Se ovn Rättningsmll: ) Rätt eller fel ) Korrekt två sidoklsser =p Allt korrekt=2p Upp 3 poängsumm : Sid 4 v 6

5 4) Låt π och σ vr följnde permuttioner v elementen i mängden {, 2, 3, 4, 5, 6} (skrivn i cykelform): π = ( 3 4)(2 5 6), σ = ( 2 4)(3 5 6) Bestäm permuttionen ϕ som uppfyller π φ π = σ Ange permuttionen ϕ på tvårdsform Lösning: Från π φ π = σ hr vi φ = π σ π Vi etrktr permuttioner som funktioner från A till A, där A={,2,3,4,5,6} Först skriver vi π, π och σ på tvårdsform Vi hr π () Från ovnstående tell får vi inversen, π : π () Från σ = ( 2 4)(3 5 6) hr vi σ () Nu är det enkelt tt estämm en tell för smmnstt funktionen φ = π σ π Till eempel π σ π 4 3 dvs φ ( ) = 3 På smm sätt estämmer vi φ( 2),, φ(6) som vi nger i tellen nedn: φ () Svr: Se ovnstående tell Rättningsmll: Korrekt till φ = π σ π ger p Korrekt inversen π (i vilken form som helst) ger +p Allt korrekt=3p Upp 4 poängsumm : Sid 5 v 6

6 5) Låt H vr en delgrupp till ändlig gruppen G Låt vidre H = { h : h H} och H = { h : h H} vr två sidoklsser till H som hr något element gemensmt Bevis tt H = H Bevis Ant ett element c ligger i åde H och H Då kn vi skriv c = h och c = h 2 för någr h och h 2 som ligger i delgruppen H Alltså gäller h = h2 (ekv ) Eftersom h och h 2 (Noter tt ll element i en grupp är inverterr) Från (ekv) hr vi = h Därför kn vrje element h i gruppen H skrivs som h = h h = h h ( ) (ekv2) Eftersom h h ( ) H (för H är en delgrupp) visr (ekv 2) tt h ligger också i H Alltså H H På smm sätt visr vi tt H H och därmed är H = H, VSB Rättningsmll: Korrekt till (ekv) ger p Korrekt till (ekv2) ger 2p Allt korrekt =3p Upp 5 poängsumm : Sid 6 v 6

Relevanta dokument

Efternamn förnamn pnr årskurs

KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr årskurs Kontrollskrivning 3A, den 2 oktber 2013, kl 11.00-12.00 i SF1610 Diskret matematik för CINTE och CMETE. Inga hjälpmedel tillåtna. Minst