Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning"

Transkript

1 Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds till och hur den sk tillämps, är det inte säkert tt din lösningr leder frm till ett korrekt svr. Oft eror dett på tt du inte är speciellt vältränd på tt hnter de uttryck, som du stt upp på ppperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklr ett lgeriskt uttryck eller löser en ekvtion. Denn färdighet är inte direkt koppld till mtemtik, vd vser strktionsförmåg och prolemlösning. Därför måste det vr speciellt tråkigt och frustrernde tt snul på tröskeln och inte lyckts vis, tt mn egentligen förstått vd mn håller på med. Med hjälp v de löst och väl kommenterde uppgifter som finns här, är det tänkt tt du sk finslip din förmåg tt räkn med okstäver. Det är tillåtet tt tyck tt dett är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kn få ut v någr timmrs tråkig träning. Att verkligen kunn vis tt mn förstått ett vsnitt i mtemtiken genom tt lös tillhörnde uppgifter. Jämför det gärn med sport. Styrke- och konditionsträning hör inte till det det roligste, men är nödvändig inslg, för tt nå toppen i mång grenr. Det torde vr omöjligt tt förvärv denn färdighet utn träning. Tidigre genertioner, som lnd ndr din lärre tillhör, hr räknt sid upp och sid ned med denn typ v förenklingsuppgifter. Läs först igenom de regler och knep som presenters här nedn. De utgör de kunskper du ehöver för tt lös de 0 uppgiftern. Vrje uppgift går ut på tt förenkl ett lgeriskt uttryck, så lång det går och det går här lltid väldigt långt. Oft är svret ett heltl eller en end okstv. Se dett som en ledtråd, som inte kn sägs gäll för uttryck i llmänhet. Lös en uppgift i tget och kontroller sedn ditt svr i den kommenterde lösningen. Även om du lyckts få rätt svr, kn det vr idé tt titt igenom lösningen. Är din lösning likdn, smrtre eller för omständlig? Om du misslyckdes i ditt först försök är det viktigt tt du får med dig något från lösningen, som du kn nvänd i kommnde uppgifter. Studer därför lösningen nog och är du mitiös kn du försök tt lös den igen, en nnn dg. Mycket, när det gäller okstvsräkning, är resultt v noggrnnhet och god dministrtionsförmåg. Egenskper mn kn h nytt v inom ndr områden. Uppgiftern här nses svår och när du känner tt du ehärskr dem väl, kn du känn dig trygg. Regler och knep vid okstvsräkning I När mn vlägsnr prentesern i uttrycket ( ) ( c) ( c) kommer termern i en prentes, som föregås v ett minustecken tt ändr tecken ( ) ( c) ( c) c c Håkn Strömerg KTH STH Hninge

2 Mtemtik II För tt förenkl uttrycket ( ) ( ) 5( ) multiplicerr mn in konstnten i prentesen. Denn lg klls den distriutiv lgen, (x y) = x y. ( ) ( ) 5( ) III När vi stöter på ett uttryck liknnde ( )( c) tvings vi oft tt multiplicer smmn dess prenteser till ( )( c) c c Dett är inget nnt än distriutiv lgen i en nnn skepnd, ()(cd) = ()c()d. Antlet termer i de två prentesern kn vr godtyckligt stort. Om till exempel den en prentesen innehåller termer och den ndr, kommer multipliktionen tt ge = termer (innn eventuell smmnslgning). IV Speciellt stöter vi oft på uttrycken Först kvdreringsregeln Andr kvdreringsregeln ( ) ( ) som mn ör kunn nvänd i åd riktningr. Det vill säg det är lik viktigt tt kunn se tt som tt snt kunn utveckl Det kn vr r tt känn till även x 0xy 5y (x 5y) (0 7) ( ) ( ) 6 Dess formler lir mindre komplicerde då mn känner till inomilkoefficienter och Pscls tringel. V Konjugtregeln ( )( ) = sk kunn nvänds i åd riktningr. Mn sk snt kunn se, tt (x 7)(x 7) kn skrivs lik väl som tt kn skrivs (x 7)(x 7) 6x (0 8)(0 8) Håkn Strömerg KTH STH Hninge

3 Mtemtik VI Ser mn i dett uttryck inte, tt mn kn ryt ut 9 i täljren och nämnren 8x 9 6x 9(x ) (x ) = kn mn inte komm vidre. Dett är tt nvänd distriutiv lgen kvägen. Även dett är ett exempel på tt ryt ut: ( ) c( ) c ( )( c) c VII Bryter vi ut ( ) ur prentesen ( ) får vi ( )( ). Dett är ett vnligt återkommnde knep som till exempel i uppgiften ( ) ( )( )) VIII Att förläng ett råk är smm sk som tt multiplicer täljre och nämnre med smm uttryck ( 0). Dess råk är ll ekvivlent: ( ) ( ) x ( )(x y) x ( )(x y) IX Addition v råk. För tt kunn skriv dess termer på smm råk, måste mn först gör liknämnigt: är den minst gemensmm nämnren för de två termern. Det är inget solut krv tt mn hittr den minst gemensmm nämnren, även om det i prktiken leder till mindre räknnde. I dett exempel är ( )( ) minst gemensmm nämnren När vi skriver de tre termern på smm råkstreck får vi ( ) ( ) ( )( ) X Division v råk. En regel som oft nvänds är: Division v två råk är smm sk, som tt multiplicer täljren med det den inverterde nämnren. Att inverter ett råk är tt yt plts på täljre och nämnre. Alltså ( ) ( ) Vi hr här ett duelråk. Vi skriver om huvudråkets täljre. Inverterr råket i nämnren och multiplicerr med täljren. Håkn Strömerg KTH STH Hninge

4 Mtemtik Uppgiftern Här följer så de 0 uppgifter, som ll sk förenkls så långt möjligt. Uppgiftern kn nses svår. Hv tålmod och ret koncentrert. Ingen nnn än du själv kn lär dig dett! Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift 5 Uppgift 6 ( 5)(8 8) ( 6)( ) ( 8) ( 6) (5 7)(5 7) ( ) ( ) ( ) ( c) d( c) (d )( c) ( )( ) ( )( ) Uppgift 7 Uppgift 8 Uppgift 9 Uppgift 0 Uppgift Uppgift (6 9) ( 9) ( 6) ( )( c) ( c)( ) (c )(c ) ( c) c c ( )( ) Håkn Strömerg KTH STH Hninge

5 Mtemtik Uppgift Uppgift Uppgift 5 Uppgift 6 Uppgift 7 Uppgift 8 Uppgift 9 Uppgift 0 Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift c c c c c 5 ( ) 9 6 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Håkn Strömerg 5 KTH STH Hninge

6 Mtemtik Uppgift 5 Uppgift 6 Uppgift 7 Uppgift 8 Uppgift 9 Uppgift 0 ( d cd )( c cd ) ( cd) c d c d (c d) ( ) ( ) ( / ) Uppgift Uppgift Kommenterde lösningr ( 5)(8 8) ( 6)( ) (6 6 0) ) Vi inleder med tt multiplicer smmn de två pren v prenteser (). Eftersom det finns ett minustecken frmför det ndr pret, tr vi det försiktigt och ehåller först prentesern (). När vi sedn tr ort dem, kommer smtlig termer inuti prentesen tt yt tecken (). Återstår tt slå smmn termer som hör ihop (). Svr: ( 8) ( 6) (5 7)(5 7) (5 9) I tur och ordning nvänder vi här först kvdreringsregeln, ndr kvdreringsregeln, och konjugtregeln (). När vi slår smmn de ått termern är det r de konstnt som inte tr ut vrndr (). Svr: 9 Håkn Strömerg 6 KTH STH Hninge

7 Mtemtik Uppgift Uppgift ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 6 ) ( 6 ) När den först prentesen kvdrers får vi före smmnslgning 9 termer. I den ndr nvänder vi ndr kvdreringsregeln (). För tt se hur de olik typern v termer tr ut vrndr sorterr vi dem efter exponentens storlek och ser tt nästn ll tr ut vrndr () Svr:. ( c) d( c) ( d)( c) ( c)( d) (d )( c) ( )( c)( d) ( )(d )( c) Uppgift 5 ( c)( d) ( d)( c) Vi inleder med tt ryt ut ( c) i täljren (). Täljre och nämnre är lik, så när som på ( d) i täljren och (d ) i nämnren (). Om vi utför multipliktionen ( )(d ) övergår prentesen till ( d). Dett kn vi åstdkomm genom tt förläng råket med ( ) (). i täljren kn lik väl skrivs frmför råket (). Vi kn nu förkort åd prentesern och kvr lir Svr:. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) När mn multiplicerr en prentes med termer med en med termer får mn totl = 6 termer. Totl sk vi här lltså hnter termer (). I () hr vi smlt ihop liknde termer. Den som hr en dministrtiv vn kn gå direkt från () till svret. Svr: Håkn Strömerg 7 KTH STH Hninge

8 Mtemtik Uppgift 6 Uppgift 7 Vi strtr med tt gör de liknämnigt i täljren och nämnren oeroende v vrndr. Nu råkr åd h smm minst gemensmm nämnre (). Nu kn vi skriv termern på smm råkstreck (). Division v två råk är smm sk som tt multiplicer det först med det ndr invertert (). Efter förkortning får vi Svr: (6 9) ( 9) ( 6) (6 6 8) ( 8 6)) ( 5) 5 8 Två gånger först kvdreringsregeln i täljren och en gång i nämnren ger (). Smmnslgning v termer ger (). I () ser vi tt det är möjligt tt ryt ut 8 i täljren som ger (). Svr: 8 Håkn Strömerg 8 KTH STH Hninge

9 Mtemtik Uppgift 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Uppgift 9 6 Vi strävr nu efter tt kunn skriv de tre råken på smm råkstreck. ( ) är en gemensm nämnre (för övrigt den minst). Vi förlänger råken med lämplig uttryck (). Nu hr vi nått först målet (). I () förenklr vi täljren till resulttet i (). I () ser vi tt det är möjligt tt ryt ut. Efter förkortning v (5) för vi Svr: ( )( c) ( c)( ) (c )(c ) ( )( c) ( ) ( )( c)( ) ( )( )( c)( c) c ( )( c)( c) c ( c)( c)( ) ( )( c)( c) 5 ( c) ( c) ( ) ( )( c)( c) c c ( )( c)( c) 0 ( )( c)( c) 6 0 Vi strtr med tt försök finn en gemensm nämnre. Det ser ut som vi kn få en estående v tre fktorer om vi på tre ställen nvänder knepet (x y) = ( )(y x), (). I ndr ter- Håkn Strömerg 9 KTH STH Hninge

10 Mtemtik Uppgift 0 men förlänger vi med ( ). Oserver tt i tredje termen ryter vi ut ( ) två gånger och får ( )( ) =. Dett är lltså ingen förlängning. I () förlänger vi de tre råken med det uttryck som inte redn finns i nämnren. Vi kn skriv llt på smm råkstreck (). Efter förenkling får vi 0 i täljren (5). Svr: 0 ( c) c c ( c) c ( ) ( c) c ( ) ( c) c c c 5 Först identifierr vi huvudråkstrecket som det längst v ll råkstreck. Sedn ser vi tt i täljren hr de två råken redn smm nämnre och kn därför enkelt skriv dem på smm råkstreck. I nämnren gör vi för enkelhetens skull ett råk v genom tt lägg till nämnren, se (). Vi håller oss fortfrnde innnför prentesern. Vi vet hur vi sk hnter division v två råk (). Vi kn förkort () och multiplicerr till sist de två prentesern () och förkortr och får Svr: Figur : Håkn Strömerg 0 KTH STH Hninge

11 Mtemtik Uppgift ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 Vi sk multiplicer en prentes med termer med en nnn som innehåller termer vilket kommer tt ge oss 6 termer med lite olik nämnre. Dett är en frmkomlig väg, men vi väljer istället tt reducer uttrycken i vrje prentes för sig. Vi gör liknämnigt genom förlängning (). Vi skriver de åd prentesern på gemensmm råkstreck (). Reducerr och ryter ut () och (). Till sist får vi Svr:. Figur : Håkn Strömerg KTH STH Hninge

12 Mtemtik Uppgift ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) = Uppgift Ett duelråk igen. Vi strtr med tt skriv om huvudråkets täljre och nämnre på gemensmt råkstreck (). I täljren är den gemensmm nämnren 6 och i nämnren (). Vi skriver om råken från en division till en multipliktion () och reducerr så långt vi kn (). Svr: c c c c c ( )( ) c ( c)( c) (c )(c ) c c c c c c c Här gäller det tt tänk en liten stund innn mn sätter igång tt hitt en gemensm nämnre. Håkn Strömerg KTH STH Hninge

13 Mtemtik Uppgift Genom tt nvänd konjugtregeln inte mindre än tre gånger kn vi skriv om uttrycket som i (). Efter möjlig förkortningr får vi ett etydligt enklre uttryck (). De två termern med nämnre tr ut vrndr och kvr lir Svr: c 5 ( ) ( )( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 5 )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( 5 )( ) ( )( ) ( ) ( 5 )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )( ) 9 En riktigt joig uppgift. Till tt örj med ser vi tt minst gemensmm nämnren är ( ) ( ) (). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre råken med lämplig uttryck () och kn slå smmn hel uttrycket till ett råk (). Vi står nu inför en mängd eräkningr vrs frmgång prägls v noggrnnhet och en dministrtiv känsl. Håller vi tungn rätt i mun kommer vi så småningom hit (7). Om vi inte visste tt smtlig svr lnd dess 0 uppgifter vr etydligt mindre komplicerde knske vi skulle stnn här. Vår end chns är nu tt utveckl nämnren (8) och se det gv frukt! Svr: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

14 Mtemtik Uppgift ( ) 9 ( ) 5 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 7 ) ( ) ( 7 7 ) ( 6 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 7 0 Åter en uppgift som kräver precision. För tt finn en lämplig gemensm nämnre ehöver mn se tt 9 6 ( ) och tt 9 = ( )() (). När väl dett är genomskådt får vi den minst gemensmm nämnren ( ) ( ) som leder till en del förlängningr innn vi kn skriv hel uttrycket på gemensmt råkstreck (). På två ställen i den ny nämnren sk tre prenteser multiplicers smmn. Med tålmod och noggrnnhet får vi först (), sedn () och (5), för tt till slut upptäck tt hel nämnren lir 0. Svr: 0. Figur : Håkn Strömerg KTH STH Hninge

15 Mtemtik Uppgift 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Division v två råk, som vi också kllr duelråk. Vi inleder med tt skriv de tre termern i täljren på gemensmt råkstreck (). Vi går över från division till multipliktion på ett numer känt sätt (). Vi upptäcker tt ( ) i () och vslutr med tt förkort. Svr: Figur : Håkn Strömerg 5 KTH STH Hninge

16 Mtemtik Uppgift 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Den här gången kräver åde täljre och nämnre i duelråket förerednde rete (). Vi övergår från division till multipliktion (). Först kvdreringsregeln och konjugtregeln ger oss möjlighet till fktorisering v två uttryck (). Återstår sedn endst tt förkort. Svr: Figur 5: Håkn Strömerg 6 KTH STH Hninge

17 Mtemtik Uppgift 8 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 5 ( ) ( ( )( ) ) 6 ( ) 7 ( ) Åter ett duelråk. Vi reducerr täljre och nämnre för sig (). Inverterr nämnren och multiplicerr med täljren (). Använder konjugtregeln för tt fktoriser först råkets täljre (). Förlänger ndr råket med ( ) (). Multiplicerr in ( ) i ( ) och får ( ) i (5). Kn nu förkort en del i (6) och får till slut Svr: ( ) Håkn Strömerg 7 KTH STH Hninge

18 Mtemtik Uppgift 9 ( ) Uppgift 0 Två råk som redn hr smm nämnre kn direkt skrivs på smm råkstreck (). Efter reducering, lämplig utrytning () och förkortning återstår Svr: ( ) 5 6 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 7 Med hjälp v först och ndr kvdreringsregeln smt med konjugtregeln fktoriserr vi de fyr nämnrn (). Vi föreslår sedn den gemensmm nämnren ( ) ( ) och förlänger på vnligt sätt sedn råken för tt erhåll denn nämnre (). I (), () och (5) retr vi sedn med tt reducer täljren, som vi sedn fktoriserr i (6). Eftersom ( ) ( ) får vi ing prolem med tt förkort uttrycket för tt till sist erhåll Svr: Håkn Strömerg 8 KTH STH Hninge

19 Mtemtik Figur 6: Uppgift ( ) ( 5) ( ) 5 ( ) ( ) ( 5) ( )( 5) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) 5 6 Här gäller det tt se tt ( ), vilket är lite ovnligre än de två ndr uttrycken som vi identifierr som uttryck i först och ndr kvdreringsregeln (). I () och () fixr vi till prentesen i ndr termens nämnre så tt det går tt förkort. Svr: 6. Håkn Strömerg 9 KTH STH Hninge

20 Mtemtik Uppgift ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 5 ( )( ) Ett duelråk där vi först hnterr täljre och nämnre för sig () och (). Nu är det dgs tt skriv om råket som en multipliktion i stället för en division. Förkortning v prentesern är ej direkt möjlig innn vi nvänder tt (x y) ( )(y x). Svr: Håkn Strömerg 0 KTH STH Hninge

21 Mtemtik Uppgift ( ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 Med den vn vi nu hr, ser vi direkt tt minst gemensmm nämnren är ( )( ). Vi förlänger de tre råken () och eftersom nämnrn redn från örjn är gnsk komplicerde får vi en del jo i (), (). I () kn det dock li stopp eftersom vi hr svårigheter tt fktoriser. Vi delr upp uttrycket i två delr och kn till sist ryt ut (). Efter förkortning får vi Svr:. Figur 7: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

22 Mtemtik Uppgift ( ) Uppgift 5 Borde nu efter ll träning vr gnsk enkelt. Den gemensmm nämnren lir. Vi förlänger och skriver uttrycket på gemensmt råkstreck () och (). Vi reducerr sedn nämnren i () och får efter förkortning Svr:. ( ) ( ) ( )( ) Uppgift 6 Smm knep som vi nvände i slutfsen v uppgift. Del upp nämnre i två lämplig delr så tt vi till sist kn ryt ut ( ) (). Därmed är täljren fktoriserd och en v fktorern visr sig finns även i nämnren (). Återstår endst tt förkort och Svr: ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) Håkn Strömerg KTH STH Hninge

23 Mtemtik Uppgift 7 Aningen svårre än i tidigre uppgifter tt känn igen kojugtuttrycket och det som härrör från först kvdreringsregeln (). När det väl är gjort är det r tt förkort Svr: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) Uppgift 8 Åter en uppgift där det gäller tt fktoriser täljre och nämnre. Uttrycket ( ) är vi inte lik vn vid, som de två ndr (). När vi förkortt råket återstår Svr: ( d cd )( c cd ) ( cd) c d c d (c d) cd d( cd) c d c( cd) c d ( cd) ( cd) (c d) (c d) cd d( cd) c d c( cd) c d cd(c d) d( cd) c( cd) c d c d cd d cd c c d c d 5 c d c d (c d) c d 6 De två prentesern måste multiplicers smmn. Vi kn redn nu se tt en v de då fyr ildde termern återfinns som sist term i uttrycket, med omvänt tecken (). Återstår tre termer, med målet tt skriv på smm råkstreck (). Den gemensmm nämnren är förstås (c d). I () och () retr vi med tt reducer täljren. Efter tt h rutit ut och förkortt i (5) får vi Svr: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

24 Mtemtik Uppgift 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Den som här direkt sätter igång tt utveckl prentesern som de ser ut får en lång väg frm till målet. Vår strtegi lir då istället, som så mång gånger tidigre, tt skriv termern i de två först prentesern på smm råkstreck (). Efter reducering ser det ännu ättre ut (). Nu kn vi låt exponentern verk på prenteserns innehåll (). Efter tt h fktorisert nämnren i den mitterst prentesern, ( ) ( ) ( ) (övertyg dig om det), är det dgs tt förkort och få Svr: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

25 Mtemtik Uppgift 0 / / ( )/ ( ) ( ) 5 6 Här måste mn håll red på vd som är huvudråkstreck de som ligger i linje med -tecknet. För tt förtydlig tt det hndlr om fyr duelråk inne i prentesen förstärker vi dem genom tt skriv till nämnren på någr (). I () låter vi råken gå över från division till multipliktion med nämnrens inverterde värde. De två först termern i prentesen tr ut vrndr. Återstår tt skriv de två ndr på gemensmt råkstreck (), () och (5). Efter förkortning återstår Svr: Tänk på tt det tr tre gånger så lång tid tt konstruer ett prolem, v den typ du sett ovn, än det tr tt lös det! Håkn Strömerg 5 KTH STH Hninge

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

============================================================

============================================================ H0009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi LINJÄRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER Någr eemel me linjär ekvtioner oh ekvtioner som kn förenkls till linjär ekvtioner. Mn kn förenkl en ekvtion me hjäl v följne

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

1. Tvätta händerna och abborrens yttre samt använd rent material. Lägg abborren på skärbrädan framför dig. Studera dess utseende.

1. Tvätta händerna och abborrens yttre samt använd rent material. Lägg abborren på skärbrädan framför dig. Studera dess utseende. 1 st färsk orre - Denn kn du köp i en livsmedelsutik som hr fiskdisk. Koll så tt den inte livit rensd (men hr de oftst inte livit). Aorren ör helst väg 250 g eller mer, nnrs kn det li lite pilligt. 1 st

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik Opertivsystemets uppgifter Föreläsning 6 Opertivsystem Opertivsystemets uppgifter Historik Skydd: in- oh utmtning, minne, CPU Proesser, tidsdelning Sidindelt minne, virtuellt minne Filsystem Opertivsystemet

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

KLARA Manual för kemikalieregistrerare

KLARA Manual för kemikalieregistrerare KLARA Mnul för kemiklieregistrerre Version 16.4 (2015-05-08) Utrbetd v Anders Thorén och Björn Orheim Först utgåv 2002-11-01 Innehåll Introduktion 3 Vd är KLARA? 3 Systemkrv och övrig informtion 3 Vd säger

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Så här gör du? Innehåll

Så här gör du? Innehåll hp dvd writer Så här gör du? Innehåll hur vet jg vilket progrm jg sk nvänd? 1 svensk hur kopierr jg en skiv? 2 hur överför jg min nd till en skiv? 4 hur skpr jg en dvd-film? 9 hur redigerr jg en video-dvd-skiv?

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Kallelse till årsstämma i Samfälligheten Askträdet

Kallelse till årsstämma i Samfälligheten Askträdet Kllelse till årsstämm i Smfälligheten Askträdet Hej, Vrmt välkomn till års stämm för medlemmrn i Smfälligheten Askträdet; Torsdg mrs 9. på Förskoln Tårpilsgränd Väl mött, Styrelsen . Vl v mötesordförnde

Läs mer

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Skapa uppmärksamhet och få fler besökare till din monter!

Skapa uppmärksamhet och få fler besökare till din monter! Skp uppmärksmhet och få fler esökre till din monter! För tt vinn den tuff tävlingen om uppmärksmheten, på en plts där hel rnschen är smld, gäller det tt slå på stor trummn och tl om tt du finns. Till en

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

KOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd

KOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd FILIPSTADS KOMMLIN Dtum 2013-03-12 För kdnnedom: Kommunstyrelsen Kommuffillmhige Revisionsrpport ngående gemensm dministrtiv nämnd Vi hr, tillsmmns med revisorem i Kristinehmns, Krlskog och Storfors kommuner

Läs mer

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck > VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

Finns det en naturmetod i matematikundervisningen?

Finns det en naturmetod i matematikundervisningen? Finns det en nturmetod i mtemtikundervisningen? Bengt Ulin är lektor vid högskoln för lärrutildning i Stockholm och mtemtiklärre vid Kristofferskoln i Bromm. Här ger hn motiv för och förslg till innehåll

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Skogstorp i framtiden

Skogstorp i framtiden I SKOGSTORP www.skogstorp.om/soildemokrtern Skogstorp i frmtiden Redovisning v enkät genomförd under perioden Novemer- Deemer 2005. 1. Tyker Du liksom fler v oss tt det ehövs yggs en förifrt utnför skogstorp?

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Rapport gällande LUS- resultat under höstterminen 2011

Rapport gällande LUS- resultat under höstterminen 2011 Rpport gällnde LUS- resultt under höstterminen 2011 Kommunen hr sedn mång år tillk eslutt tt ll låg- och mellnstdieskolor sk gör ett läsutvecklingstest (LUS) på vrje rn en till två gånger per termin. Dett

Läs mer