Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017"

Birgit Viklund
för 4 år sedan
Visningar:

1 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn Thèveninekvivlenten med vseende på nodpret. r σ α r Figuren ovn visr ett område egränst v en cirkelsektor med öppningsvinkel α, rdiern r och r och med tjocklek d in i ppperet, smt ledningsförmåg σ. De tjock linjern vid nslutningrn och är metllelgd. Beräkn resistnsen.

2 3 V in (ω) V ut (ω) Två filter kskdkoppls enligt ovn. ) Beräkn överföringsfunktionen H(ω) = V ut (ω)/v in (ω). ) Vilket v nednstående digrm svrr mot denn överföringsfunktion? Motiver ditt svr tydligt genom tt identifier egenskper i digrmmet som kn koppls till ditt svr i ). 0 log 0 (ω) log 0 (ω) H(ω) db H(ω) db Digrm Digrm log 0 (ω) log 0 (ω) H(ω) db H(ω) db Digrm 3 Digrm 4

3 4 V DD D v in (t) i v ut (t) Kpcitnsern i ovnstående krets är kopplingskpcitnser och kn ersätts med kortslutningr för småsignlen. Ant tt småsignlprmetrrn för trnsistorn är känd. ) it småsignlschemt för kretsen. ) Beräkn förstärkningen v ut /v in. 5 t = 0 V 0 e t/t 0 L v ut (t) Opertionsförstärkren är idel, kretsen är energitom för t < 0, och strömrytren sluts vid t = 0. Bestäm v ut (t) för t > 0. 3

4 6 t = 0 L v (t) L v (t) v(t) v(t) v (t) v (t) () () Spänningskälln ges v v(t) = V 0 cos ωt, och kretsprmetrr och frekvens är vld så tt ω = och ωl/ =. ) Beräkn v (t) och v (t) för kretsen i figur () ovn. ) Beräkn v (t) och v (t) för t > 0 i för kretsen i figur () ovn, där strömrytren är sluten för t < 0 och öppns vid t = 0. Om du inte klrt ) får du yt spänningskälln till en likspänningskäll, v(t) = V 0, i denn deluppgift. 4

5 Lösningr Vi löser prolemet genom successiv ekvivlentomvndlingr. Först görs Norton-ekvivlenten längst ut till vänster om till Thèvenin: v 0 i 0 Seriekopplingen i länken till höger kn förenkls till i 0 v 0 Länken längst ut till vänster görs om till Norton: i 0 v 0 Prllellkopplingen lir = /3. En sist omvndling till Thèvenin ger nu i 0 v 0 3 i 0 v 0 3 Svr: Se ovn. 5

6 Symmetri ger tt strömmen går längs cirkelnor (konstnt rdie), och vi kn del upp geometrin i fler prllell rör enligt nedn: r α r σ dr r Ett sådnt rör hr konduktns dg = σ ds l = σd dr rα där ds = d dr är tvärsnittsytn på röret och l = rα är dess längd. Smtlig rör är prllellkopplde melln och, vrför vi får r σd dr G = dg = r=r rα = σd r dr α r = σd α [ln r]r r = σd α ln r = r G = α σd ln(r /r ) Svr: = 3 α σd ln(r /r ). ) Sätt ut en nodpotentil V och jord enligt nedn: r V in (ω) jω V jω V ut (ω) KL i den högr noden ger V ut V KL i den mitterst noden ger V ut jω = 0 V = ( jω)v ut V V in vilket efter multipliktion med kn skrivs V jω V V ut = 0 ( jω)v V ut = V in 6

7 Insättning v V = ( jω)v ut ger V in = ( jω)( jω)v ut V ut = ( 3jω (ω) )V ut vilket ger överföringsfunktionen H(ω) = V ut V in = ) Vi noterr de symptotisk eteenden (ω) 3jω H(ω) ω 0 H(ω) ω (ω) I db-skl etyder dett tt mplituden är 0 db för låg frekvenser, och vtr med 40 db per frekvensdekd för hög frekvenser. Dett stämmer med Digrm 3, medn inget v de ndr digrmmen överensstämmer med dett eteende. 4 Svr: ) H(ω) = V ut V in =. ) Digrm 3 stämmer med H(ω). (ω) 3jω ) Småsignlschemt fås genom tt ersätt ll kopplingskpcitnser och likspänningskällor med kortslutningr, smt ersätt trnsistorn med sin småsignlmodell. Vi får då D v in (t) i G g m v gs D S r d v ut (t) Vi renritr enligt v in i G v gs D S g m v gs r d D v ut 7

8 ) Vi finner nu tt Utspänningen är Förstärkningen är då v gs = i v in = i /( ) = i (/ / ) v in g m v ut = (r d D )g m v gs = /r d / D i (/ / ) v in v ut g m = v in /r d / D i (/ / ) Svr: ) Se figur ovn. ) Förstärkningen är v ut g m = v in /r d / D i (/ / ). 5 Att kretsen är energitom för t < 0 etyder tt strömmen genom induktnsen är noll vid t = 0. Introducer nodpotentil v vid OP:ns ingångr (smm potentil vid åd ingångrn eftersom negtiv återkoppling nvänds). t = 0 v V 0 e t/t 0 v L i L v L v ut (t) Eftersom ingen ström kn gå in vid opertionsförstärkrens ingångr kn den vänstr delen v kretsen nlysers fristående. Spänningsdelning ger v = V 0e t/t 0 esistnsen koppld till OP:ns negtiv ingång ger tt i L = v/. Vi hr sedn den totl utspänningen som summn v spänningen över resistnsen och induktnsen, v ut = v v L = v L di L dt = V 0e t/t 0 LV 0 d dt et/t 0 = V ( 0 L ) e t/t 0 t 0 Svr: Utspänningen är v ut (t) = V 0 ( L ) e t/t 0 för t > 0. t 0 8

9 6 ) Källn är tidshrmonisk så vi löser prolemet i frekvensdomänen för de komplex mplitudern V och V : jωl V Z V V 0 jω V V 0 Z V Impednsern ges v prllellkopplingr, ω = och ωl/ =, Z = Z = De komplex mplitudern är V = Z Z Z V 0 = jωl jωl = /(jω) /(jω) = j j V 0 = V = Z Z Z V 0 = j V 0 = De tidseroende spänningrn lir då jωl jωl/ = j j jω = j j( j) ( j)( j) = j V 0 = ejπ/4 V 0 j ( j)( j) = j V 0 = ejπ/4 V 0 v (t) = e{v e jωt } = V 0 cos(ωt π/4) v (t) = e{v e jωt } = V 0 cos(ωt π/4) ) Då strömrytren slås v kn ingen ström flöd melln slingorn, och de kn etrkts oeroende v vrndr: L v v i L i espektive krets lddr ur sin upplddde energi svrnde mot egynnelsevärden i L (0) och v (0) vi ett exponentiellt tidsförlopp. Dett kn härleds genom de konstitutiv reltionern för induktnsen, kpcitnsen och resistnsen (noter minustecknen som uppstår på grund v referensriktningrn): v = L di L dt = i L i = dv dt = v 9

10 Lösningrn till dess differentilekvtioner är i L (t) = i L (0)e t/l v (t) = i L (t) = i L (0)e t/l v (t) = v (0)e t/() Begynnelsevärden kn eräkns från lösningen i ). strömmen ges v Den komplex mplituden för med tidseroendet I L = V jv0 jωl = j j = V 0 j = j V 0 = ejπ/4 V 0 i L (t) = e{i L e jωt } = V 0 cos(ωt π/4) Eftersom strömmen genom en induktns är kontinuerlig, och spänningen över en kpcitns är kontinuerlig, så får vi egynnelsevärden (där vi nvänder tt cos(±π/4) = / ) i L (0) = V 0 v (t) = V 0e t/l, t > 0 v (0) = V 0 v (t) = V 0e t/(), t > 0 Om spänningskälln i stället hde vrit tidskonstnt, v(t) = V 0, hde vi fått i L (0) = V 0 / och v (0) = V 0, eftersom induktnsen då ser ut som en kortslutning och kpcitnsen som ett vrott för t < 0. Svr: ) v (t) = e{v e jωt } = V 0 cos(ωt π/4) v (t) = e{v e jωt } = V 0 cos(ωt π/4) respektive ) v (t) = V 0e t/l, t > 0 v (t) = V 0e t/(), t > 0 För en tidskonstnt käll v(t) = V 0 är svret till -uppgiften v (t) = V 0 e t/l, t > 0 v (t) = V 0 e t/(), t > 0 0

Relevanta dokument

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten