Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III"

Transkript

1 Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb)) F g)), eller så här om F = f : Vi gör vribelbytet t = gx) Då x = är t = g) och då x = b är t = gb) Eftersom dt dx = g x) är g x) dx = dt och därför blir f gx))g x) dx = gb) g) f t) dt. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59

2 Vribelbyte II Mn kn också gä ät motstt håll, dvs. om mn skll räkn integrlen f x) dx gör mn så här: Vi gör vribelbytet x = ht) Då x = är t = h ) och då x = b är t = h b) Eftersom dx dt = h t) är dx = h t) dt och därför blir f x) dx = h b) h ) f ht))h t) dt. Obs! Om mn tex. i integrlen f x) dx gör vriblebytet x = ht) så tt dx = h t) dt och får integrlen f ht))h t) dt som mn sedn räknr ut och får som svr Gt) + C skll mn sedn sätt in t = h x) för tt få f x) dx = Gh x)) + C. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Prtiell integrering f x)gx) dx = f x)gx) f x)g x) dx f x)gx) dx = / b f x)gx) f x)g x) dx Exempel Om vi skll räkn lnx) dx kn vi skriv lnx) = lnx) och välj f x) = x så tt f x) = och gx) = lnx). Då får vi lnx) dx = x ln x x x dx = x lnx) dx = x lnx) x + C. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

3 Tylorutveckling med prtiell integrering Om f är k + gånger kontinuerligt deriverbr så är f x) = f ) + f )x ) + f ) x ) + f ) x ) 3 + 3!... + f k) ) x x ) k x t) k + f k+) t) dt. k! k! Hur visr mn dett? Av nlysens huvudsts följer tt f x) = f ) + x f t) dt vilket ger ovnstående formel för k = 0. Nu kn mn integrer prtiellt så tt mn skriver = d dt x t)) och mn får f x) = f ) + x x f t) dt = f ) + / x x t))f t) dt = f ) + f )x ) + x t))f t) x x t)f t) dt, vilket är formeln för k =. Sedn fortsätter mn på smm sätt. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Integrering v rtionell funktioner En rtionell funktion f x) = px) qx) nämnrens nollställen. Exempel kn integrers förutstt tt mn hittr Räkn 0 x + 8x + 7 dx Först konstterr vi tt nämnrens nollställen är 4 ± 6 7 = 4 ± i och eftersom de är komplex kn mn gå tillväg på lite olik sätt. Ett sätt r tt kompletter kvdrten och skriv x + 8x + 7 = x + 4) + och sedn gör vribelbytet x + 4 = t så tt då x = 0 är t = 4, då x = är t = 6 och dx = dt. Den integrl vi skll räkn ut blir då 6 4 / 6 t + dt = rctnt) = rctn6) rctn4), 4 eftersom d dt rctnt) = +t. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 6 / 59

4 Hur mn hittr integrlen till en rtionell funktion Skriv funktionen i formen f x) = sx) + rx) där sx) är ett qx) polynom och grdtlet v rx) är mindre än grdtlet v qx); Skriv qx) i formen qx) = x x ) k... x x m ) k m ; Bestäm koefficientern A j,k så tt Integrer! rx) m qx) = k j j= k= A j,k x x j ) k ; Observer tt för de nollställen x j som är komplex måste mn ntingen räkn med komplex logritmer eller så skll mn kombiner uttryck med rötter som är vrndrs konjugt så tt mn får termer med kvdrter i nämnren. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 7 / 59 Exempel Om vi skll bestämm lösningen till differentilekvtionen y t) = yt) yt)), då 0 < y0) < så kn vi divider båd sidorn med yt) yt)) och integrer över 0, s) så tt resulttet blir s y t) s 0 yt) yt)) dt = dt. 0 I integrlen på vänstr sidn kn vi gör vribelbytet yt) = u så tt y t) dt = du och u = y0) då t = 0 och u = ys) då t = s. Då får vi ys) y0) du = s. u u) G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 8 / 59

5 Exempel, forts. För tt kunn räkn integrlfunktionen prtilbråksuppdelning u u) du gör vi en u u) = A u + B u, och koefficientern A och B kn vi räkn ut så tt A = lim u A u 0 u + u B ) u = lim u u 0 u u) =, B = lim u) A ) u u + u) B u = lim u u u u) =. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 9 / 59 Exempel, forts. Dett innebär tt s = ys) y0) u + ) u du = / ys) y0) lnu) ln u)) = lnys)) ln ys)) lny0))+ln y0)) = ln Av dett följer i sin tur tt ys) y0)) y0) ys)) = es, och sedn, efter diverse räkningr, tt ) ys) y0)). y0) ys)) ys) = e s y0) + e s )y0). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 0 / 59

6 Trpetsregeln Antg tt mn känner till funkionens f värden i punktern = x 0 < x <..., < x n = b och mn vill räkn f x) dx. Vd kn mn gör? Till exempel så här: Vi bildr någon enkel funktion f så tt f x j ) = f x j ) och räknr f x) dx. Hur skll vi välj f? Tex. med linjär interpolering så tt f x) = x j x x j x j f x j ) + x x j x j x j f x j ), x j x x j.. x 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Trpetsregeln, forts. Vd är f x) dx? f x) dx = n j= / xj x j xj n f x) dx = f x) dx j= x j x j x) x j x j ) f x j ) + x x j ) ) x j x j ) f x j) = n j= x j x j f xj ) + f x j ) ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59

7 Trpetsregeln: Formel Dett är också en god ide om mn känner f x) i ll punkter x och i synnerhet om delintervllen är lik lång, dvs. x j x j = n b ) och då får mn f x) T n f,, b) = b f x0 ) + f x ) +... f x n ) + f x n ) ) n = b n f x 0) + f x ) +... f x n ) + f x n) ). Observer tt mn räknr värden v funktionen f i n + punkter och den först och den sist delr på koefficienten. När ger trpetsregeln rätt svr? Åtminstone i de fll då f är kontinuerlig och f är i vrje intervll x j, x j ) där j =,..., n ett polynom med högst grdtlet, dvs. f x) = α j x + β j kun x x j, x j ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Trpetsreglen: Feluppskttning Antg tt n = och intervllet är [ h, h ]. Om nu f är tex. två gånger kontinuerligt deriverbr och om f 0 x) = f 0) + f 0)x så är f x) = f 0 x) + f x) där f x) är sådn tt för någon konstnt C gäller f x) C x. Nu är h h På smm sätt ser mn tt T f x) dx C h h x dx = C h 3. f, h, h ) C h 3 4. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

8 Trpetsreglen: Feluppskttning, forts. Eftersom h f h 0 x) dx = T f0, h, h ) så får mn med h f x) dx T f, h, h ) h h = h f 0 x) dx + h h f x) dx T f 0, h, h h h f x) dx + T ) T f, h, h ) f, h, h ) Ch 3. Om mn nvänder n delintervll skll mn dder feluppskttningrn så tt f x) dx T n f,, b) Cb b )h )3 = C n, h = b n. Med en noggrnnre nlys kn mn vis tt konstnten C kn vr mx x [,b] f x). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Trpetsregeln och extrpolering Antg tt funktionen f är sådn tt T m f,, b) f x) dx + C m. Då är T m f,, b) f x) dx + 4 C m. Dett är ett ekvtionssystem där de obeknt är f x) dx och C och m som lösning får mn då mn multiplicerr den senre med fyr och subtrherr den först från resulttet) f x) dx 4 3 T mf,, b) 3 T mf,, b). Om n är ett jämnt tl så är S n f,, b) = 4 3 T nf,, b) 3 T n f,, b) och mn får Simpsons regel! G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 6 / 59

9 Simpsons regel Om mn delr intervllet [, b] i två delr [x 0, x ] och [x, x ] där x j = + j b så skll mn enligt Simpsons regel räkn f x) dx S f,, b) = 4 3 T f,, b) 3 T f,, b) = 4 3 b 4 f x 0 + f x ) + f x ) b 3 f x 0) + f x )) = b f x0 ) + 4f x ) + f x ) ). 6 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 7 / 59 Simpsons regel, forts. Om ntlet delintervll är n där n är ett jämnt tl så får mn genom tt dder då mn skriver x j = + j b n ) f x) dx S n f,, b) = b f x0 ) + 4f x ) + f x ) 3n + 4f x 3 ) + f x 4 ) f x n ) + 4f x n ) + f x n ) ). Observer tt termern f x j ) där j är udd ges en större vikt 4 än de termer där j är jämn, vilk hr vikten bortsett från den först och den sist termen som delr på vikten. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 8 / 59

10 När ger Simpsons regel rätt svr? Antg tt n = och tt intervllet är [ h, h]. En räkning visr tt f x) = f x) = x f x) = x f x) = x 3 h h h h h h f x) dx = h och S f, h, h) = h 6 f x) dx = 0 och S f, h, h) = h 6 f x) dx = / h h 3 x 3 = h3 3 och S f, h, h) = h 6 h h ) = h3 3, h h ) = h, h h) = 0, f x) dx = 0 och S f, h, h) = h 6 h h 3 ) = 0, men om f x) = x 4 så är h h x 4 dx = h5 5 S f, h, h) = h5 3 ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 9 / 59 När ger Simpsons regel rätt svr? forts Av dett ser mn tt Simpsons regel ger rätt svr åtminstone om f är kontinuerlig och f är ett polynoim med grdtlet högst 3 på vrje intervll x j ), x j ) där j =,..., n. Simpsons regel: Feluppskttning Antg tt n = och intervllet är [ h, h]. Om nu f är tex. fyr gånger kontinuerligt deriverbr och om f 0 x) = f 0) + f 0)x + f 0)x + 6 f 0)x 3 så är f x) = f 0 x) + f x) där f x) = Ox 4 ) dvs. det finns någon konstnt C så tt f x) C x 4.Nu är h h På smm sätt ser mn tt f x) dx C h h x 4 dx = C h 5. 5 S f, h, h) C h 5 3. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 0 / 59

11 Simpsons regel: Feluppskttning, forts. Eftersom h h f 0x) dx = S f 0, h, h) får mn v föregående olikheter h f x) dx S f, h, h) h h = f 0 x) dx + f x) dx S f 0, h, h) S f, h, h) h h h f x) dx + S f, h, h) C h 5. h h Om mn nvänder n intervll skll mn räkn ihop n feluppskttningr där h = b n så tt f x) dx S n f,, b) Cb b )h4 )5 = C n 4. Med en noggrnnre nlys kn mn vis tt mn som konstnt C kn välj 80 mx x [,b] f 4) x). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Mittpunktsregeln En nnn, mycket enkel och nturlig, metod är tt del upp integrtionsintervllet i n delr som oft men inte lltid är lik lång), räkn ut funkionens värde i delintervllens mittpunkter och multiplicer dess med intervllens längd och sedn dder. Om intervllen är lik lång får mn M n f,, b) = n j=0 b n f + b ) n j + ). Mittpunktsregeln ger rätt svr om funktionen som skll integrers är ett polynom med högst grdtlet i vrje delintervll. Som feluppskttning får mn M nf,, b) f x) dx Kb )3 4n, ifll f x) K då x, b). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59

12 Obs! Det som här sägs om numerisk integrering berör inte br frågn hur mn skll räkn ut någon integrl utn också hur mn kn resoner llmänt beträffnde numerisk räkningr och pproximtioner. Feluppskttning: Grundide Mn räknr på åtminstone två tillräckligt olik) sätt och jämför resultten. I de flest fll kn bsolutbeloppet v skillnden nvänds som en övre gräns för bsolutbeloppet v felet i den bättre metoden! G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Ett numeriskt exempel Mn skll räkn integrlen I = x dx vrs exkt värde nturligtvis är I = Derivtn v funktionen x är inte begränsd i närheten v origo så mn kn inte vänt sig tt mn med de metoder som här presenterts kn få speciellt exkt resultt.med trpetsmetoden får mn följnde värden n T n T n I T n T n n T n T n I T n T n G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

13 Ett numeriskt exempel, forts. Om mn nvänder Simpsons metod för tt räkn integrlen x dx så är resultten följnde: n S n S n I S n S n n S n S n I S n S n G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Ett numeriskt exempel, forts. Vi skll ännu närmre undersök hur snbbt de pproximtioner mn får med trpetsregeln och Simpsons regel konvergerr mot integrlens värde, utn tt utnyttj det fktum tt mn kn räkn ut integrlen. Låt T n = T n x,, ) och ntg tt T n I + C T n τ, Där lltså I = t x dx. Då är så tt och T n I + C T τ n τ, T n T n τ ) C T n τ, T n T n τ ) CT n τ T n T 4n τ ) C = τ T τ n τ G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 6 / 59

14 Ett numeriskt exempel, forts. Som en pproximtion v prmetern τ får mn lltså ) Tn T n τ log. T n T 4n De numerisk värden ger följnde pproximtioner för τ: n ) Tn T n log T n T 4n n ) Tn T n log T n T 4n G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 7 / 59 Ett numeriskt exempel, forts. Skriv S n = S n x,, ) och ntg tt S n I + C S n σ. Då får mn med smm slgs resonemng och följnde numerisk värden: σ log Sn S n S n S 4n ). n ) Sn S n log S n S 4n G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 8 / 59

15 Feluppskttning, forts. Med hjälp v ovnstående räkningr och ntgnden T n I + C T n τ S n I + C S n får mn också σ T n I τ T n T n, och och S n I σ S n S n. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 9 / 59 Vribelbyte Om integrtionsintervllet är oändligt långt eller om funktionen inte är begränsd i närheten v någon eller någr punkter så kn det vr omöjligt tt nvänd trpets+ eller Simpsons regel direkt. I somlig fll kn mittpunktsregeln funger bättre.) Dessutom kn det vr så tt fst funktionen är kontinuerlig och intervllet är ändligt långt så kn dess metoder funger onödigt långsmt om f inte är tillräckligt mång gånger deriverbr. Då kn ett vribelbyte vr till hjälp men det finns mång fll då mn inte hr nytt v det. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

16 Vribelbyte: Exempel x dx =? Här är problemet tt funktionen som skll integrers inte är begränsd då x 3. Nu är 9 x = 3 + x 3 x och endst den senre fktorn skpr problem. Vi gör vribelbytet 3 x = t så tt dx = t dt, t = 3 då x = 0 och t = 0 då x = 3 och dessutom gäller x = 3 t så tt dx = 9 x t) dt t t = t dt. Nu är funktionen som skll integrers oändligt mång gånger deriverbr i integrtionsintervllet [0, 3]. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Vribelbyte: Exempel 0 dx =? + x 5 Här är problemet det tt integrtionsintervllet är oändligt långt och vi börjr med tt del upp integrlen i två integrler 0 + x 5 dx = 0 I den senre gör vi vribelbytet x = t x = och t = 0 då x = så tt 0 + x 5 dx = 0 + x 5 dx x 5 dx + + x 5 dx.. Då är dx = t dt, t = då 0 + x 5 dx + + t )5 t dt 0 t 3 t 5 + dt = Det är ing problem tt numeriskt räkn denhär integrlen. 0 + x 3 + x 5 dx. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59

17 Smmndrg Mittpunktsregeln: f x) dx M n f,, b) = b n n j=0 f + b ) n j + ). Trpetsregeln: x 0 =, x = + b n, x j = + b n j) f x) dx T n f,, b) = b f x0 )+f x )+... f x n )+f x n ) ). n Simpsons regel: f x) dx S n f,, b) = b f x0 ) + 4f x ) + f x ) 3n + 4f x 3 ) + f x 4 ) f x n ) + 4f x n ) + f x n ) ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Lplce-trnsformer Lf )s) = 0 e st f t) dt Exempel L)s) = s Le t )s) = s Lcosωt))s) = Lsinωt))s) = Obs! s s +ω ω s +ω L är en funktion vrs rgument inte är ett tl utn en funktion definerd i 0, ) och som uppfyller viss villkor) och värdet v Lf ) är en nnn funktion definierd åtminstone för ll komplex tl s med Re s) > α för något tl α). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

18 Lplce-trnsformen är linjär! Teorem Ifll Lαf + βg) = αlf ) + βlg) För vrje T > 0 är funktionen f är integrerbr i intervllet 0, T ). T lim T 0 e s0t f t) dt existerr för något tl s 0 C så gäller tt T F s) = lim T 0 e st f t) dt existerr då Re s) > Re s 0 ), F s) är nlytisk i mängden { s C : Re s) > Re s 0 ) } dvs. F s) = n=0 n! F n) s )s s ) n åtminstone då s s < Re s s 0 ). Lplce-trnsformen är entydig Om Lf )s) = Lg)s) då Re s) > α så är f t) = gt) för nästn ll t 0. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Räkneregler, derivtor mm. då F s) = Lf )s) Lf )s) = sf s) f 0) F s) = L tf t))s) ) t L 0 f τ) dτ s) = s F s) Räkneregler, förskjutningsregler mm. då F s) = Lf )s) Le t f t))s) = F s ) Lf t )ut ))s) = e s F s) där ut) = då t > 0, ut) = 0 då t < 0 och 0. L f t) ) s) = F s ), > 0 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

19 Exempel Antg tt yt) är lösningen till ekvtionen y t) + yt) = 3, y0) = 4. Om Y s) = Ly)s) så är Ly )s) = sy s) y0) = sy s) 4. Eftersom Lplce-trnsformen är linjär och L3)s) = 3 s så får mn när mn tr Lplce-trnsformen v båd sidorn i ekvtionen sy s) 4 + Y s) = 3 s, vilket betyder tt Y s) = 4 s ss + ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Exempel, forts. Om mn nu vill bestämm yt) så kn mn gör en prtilbråksuppdelning 4 s ss + ) = A s + B s +, och mn får A = lim s 0 B = lim s s A ) s + s B = lim s s + s 0 s + ) A s + s + ) B = lim s ) 4 s + + s 3 ss + ) ) s + ) 4 s + ) s + + s + ) 3 = 5 ss + ). = 3, Dett innebär tt yt) = L 3 s ) 5 + L ) = 3 s e t. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

20 Konvolution fltning) f g)t) = t 0 f t τ)gτ) dτ Lf g) = Lf )Lg) Delt-funktionlen δ T = d dt ut T ) men ut T ) är inte deriverbr så δ T är en generliserd funktion, så tt f t)δ T dt) = f T ). Lδ T )s) = e st, T 0 δ T f )t) = ut T )f t T ), T 0 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Delbrhet Ett tl delr ett tl b, dvs. b eller b är delbrt med ) om det finns ett heltl k så tt b = k. Kongruens modulo Två tl och b är kongruent modulo n vilket skrivs b mod n) eller n b om de hr smm rest då de dividers med n, dvs. om n delr b: b mod n) n b n b) = b + kn, k Z. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

21 Z n, kongruensklsser Reltionen b mod n) är en ekvivlensreltion i Z x x, x y y x, x y, y z x z) och delr upp Z i ekvivlensklsser, som klls kongruensklsser eller restklsser), dvs. delmängder {..., n, n, 0, n, n...}, {..., n +, n +,, n +, n +...},..., {..., n,, n, n,...} där ll element i smm ekvivlensklss är kongruent modulo n med vrndr. Mn kn nvänd följnde beteckningr: [k] n def = { m Z : m k mod n) } Z n def = { [k] n : k = 0,,,..., n }, om n > 0 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59 Addition, subtrktion och multipliktion i Z n Mn kn vis tt om så är mod n) och b b mod n) + b ) + b ) mod n) b ) b ) mod n) b ) b ) mod n) Därför kn mn definier räkneopertioner i Z n med [] n + [b] n = [ + b] n, [] n [b] n = [ b] n, [] n [b] n = [ b] n, och ll norml räkneregler gäller bortsett från de som gäller olikheter). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

22 Modulofunktionen mod Om n > 0 så är mod m, n) det minst icke-negtiv heltlet i kongurensklssen [m] n, dvs. mod m, n) = k om 0 k < n och m k mod n), men mod m, 0) = m och mod m, n) = mod m, n) om n < 0). Obs! mod m, n) = mod m, n) [m ] n = [m ] n Om m och n är positiv tl så är mod m, n) den rest som erhålls då mn dividerr m med n men om m < 0 är denn rest inte positiv. Obs! Oft väljer mn elementet mod m, n) för tt representer kongruensklssen [m] n så tt mn tex. kn tl om tlen 0,,,..., 5 som elementen i Z 6 istället för mängdern [0] 6, [] 6,..., [5] 6 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Exempel Om en björn går i ide en dg kl 7 och sover i 557 timmr och mn vill vet vid vilket klockslg den vknr dividerr mn först 557 med 4 och får 557 = , dvs mod 4). Därför är ) 7 + 3) mod 4) = 6 mod 4) vilket betyder tt björnen vknr kl 6. Exempel Teknolog T uppgv tt börjn på hns personnummer är Om mn skll räkn ut kontrolltecknet skll mn räknr resten då det tl som bilds v de nio först numrorn dividers med 3 så tt tlen 0,,...,30 ersätts med respektive A, B, C, D, E, F, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, U, V, W, X, Y. Nu blir mod 49895, 3) = 9, så det fullständig personnumret blir X. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

23 Exempel Om j 0 så är [0 j ] 9 = [0] j 9 = []j 9 = [j ] 9 = [] 9. Om nu x är ett tl som i decimlform är x n x n... x x 0 så är x = x x x n 0 n och [x] 9 = [x ] [x n 0 n ] 9 = [x 0 ] 9 [0 0 ] 9 + [x ] 9 [0 ] [x n ] 9 [0 n ] 9 = [x 0 ] 9 [] 9 + [x ] 9 [] [x n ] 9 [] 9 = [x 0 + x + x x n ] 9. Av dett följer den välkänd) regeln tt 9 delr x om och endst om 9 delr summn v siffrorn i decimlformen v x. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Störst gemensmm delre Om m och n är heltl som inte båd är noll så är ders störst gemensmm delre sgd m, n) = mx{ d Z : d m och d n }. sgd=störst gemensmm delre, gcd= gretest common divisor, och vnligen definierr mn sgd 0, 0) = 0) Om sgd m, n) = sägs tlen m och n vr reltivt prim. Observer tt v defintionen följer tt sgd m, n) = sgd n, m). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

24 Inverser i Z n Om [m] n Z n och det finns en kongruensklss [j] n Z n så tt [m] n [j] n = [] n, dvs m j mod n) så säger mn tt [m] n eller br m) är inverterbr i Z n och inversen är [j] n = [m] n. Dett innebär tt mn kn divider med [m] n för det är det smm som tt multiplicer med [j] n. Eftersom m j mod n) så finns det ett heltl k så tt m j = + k n. Om nu d m och d n så gäller d m j k n) dvs. d och då är d =. Därför måste sgd m, n) =. Mn kn också vis tt det omvänd gäller så mn får tt Obs [m] n är inverterbr i Z n sgd m, n) =. Om p är ett primtl så är ll element i Z p som inte är [0] p inverterbr. Exempel Kongruensklssern [] 6 och [5] 6 är de end som är inverterbr i Z 6. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Euklides lgoritm för tt räkn sgd m, n) Antg tt m > n sgd m, m) = m). Låt r 0 = m och r = n. Räkn ut q i och r i så tt 0 r i < r i och då i så länge r i 0. sgd m, n) = r k om r k = 0. Vrför fungerr Euklides lgoritm? r i = q i r i + r i Det följer v ett llmänt resultt tt om r i = q i r i + r i så är sgd r i, r i ) = sgd r i, r i ) för ll i för vilk r i 0. Eftersom d 0 för ll d gäller sgd r k, 0) = r k vilket innebär tt sgd m, n) = sgd r 0, r ) =... = sgd r k, r k ) = sgd r k, 0) = r k om r k = 0. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

25 Exempel Om vi vill räkn ut sgd 634, 36) så får vi följnde resultt: 634 = = + 4 = = = = så tt sgd 634, 36) =. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Euklides lgoritm och invers element i Z n Om mn i Euklides lgoritm vlt r 0 = m, r = n och sedn räknt q i och r i för i =,..., k med formeln r i = q i r i + r i tills r k = 0, så tt r k = sgd m, n) så kn mn räkn bklänges så tt mn strtr med ekvtionen r k 3 = q k r k + r k så får mn sgd m, n) = r k = r k 3 q k r k. Sedn sätter mn in r k ur ekvtionen r k = r k 4 q k r k 3 och uttrycker sgd m, n) med hjälp v r k 4 och r k 3 och fortsätter tills mn får sgd m, n) = m + bn. Om nu sgd m, n) = betyder dett tt [] n [m] n = [] n dvs. [] n = [m] n, och [b] m [n] m = [] m dvs. [b] m = [n] m. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

26 Exempel Om mn vill räkn [3] 67 räknr mn först ut sgd 67, 3) och får 67 = = + = 0 + = + 0 För tt uttryck sgd 67, 3) med hjälp v 67 och 3 räknr vi bklänges: sgd 67, 3) = = 0 = 0 3 ) = = ) = Dett innebär tt 3) 3 = 67 så tt 3) 3 mod 67) vilket är det smm som tt [3] 67 = [ 3] 67 = [ ] 67 = [35] 67. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Eulers ϕ-funktion ϕn) = ntlet tl i mängden { m Z : 0 m n, sgd m, n) = }, = ntlet element i Z n som hr en en invers. Eulers teorem Om sgd, n) = och n > så är ϕn) mod n). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59

27 Fermts lill teorem Om p är ett primtl och sgd, p) = så är p mod p). Potenser i Z p då p är ett primtl Om mn skll räkn ut mod m, p) då p är ett primtl får mn nturligtvis 0 om sgd, p) för då är sgd, p) = p och p eftersom p är ett primtl) och nnrs kn mn utnyttj det fktum tt p mod p) för det innebär tt m mod m,p ) mod p) vilket kn vr mycket enklre tt räkn ut. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Eulers teorem, bevis Antg tt α,..., α φn) är de invertibl elementen i Z n. Eftersom sgd, n) = hr också [] n en invers och eftersom α β är invertibelt on α och β är det, är också [] n α j invertibelt för ll j. Om nu [] n α j = [] n α k så är α j = [] n [] n α j = [] n [] n α k = α k vilket innebär tt elementen [] n α,... [] n α ϕn) är elementen α,..., α φn) eventuellt i en nnn ordning. Men produktern är de smm, dvs. [] ϕn) n Π ϕn) i= α i = Π ϕn) i= [] n α i ) = Π ϕn) i= α i. Eftersom vrje element α i är inverterbrt, kn vi divider bort ll α i och slutresulttet är tt [] ϕn) n är ett, dvs. ϕn) mod n). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

28 RSA-lgoritmen I RSA-lgoritmen nvänds en publik nyckel n, k) för kryptering och en privt nyckel n, d) för dekryptering: Kryptering: Meddelndet, som är ett tl melln 0 och n krypters till b = mod k, n). Det mottgn meddelndet b dekrypters till = mod b d, n). Ideen är den tt vem som helst kn skick meddelnden krypterde med den publik nyckeln men br den som känner till den privt nyckeln, som är svår t räkn ut br med hjälp v n och k, kn dekrypter meddelndet. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Hur skll nycklrn i RSA-lgoritmen väljs? n = pq där p och q är två olik mycket stor primtl. k är ett inte lltför litet tl så tt sgdk, m) = där m = p ) q ) och det svår med tt räkn ut d är tt bestämm p och q och därmed m om mn br känner till n). Med hjälp v Euklides lgoritm kn d bestämms så tt [d] m = [k] m. Vrför fungerr RSA-lgoritmen? Antg för enkelhets skull tt sgd, n) =. Mn kn vis tt ϕn) = m. Enligt Eulers teorem gäller m mod n) Eftersom k d = + r m är [b d] n = [ k d] n = [ +r m] n = [] n [ m ] r n = [] n [] r n = [] n, vilket betyder tt mod b d, n) = mod, n) =. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

29 Vd händer om sgd, n)? Eftersom mn ntr tt 0 < < n så är sgd, n) endst då p eller q. Ant tt p så tt = p j c där sgd c, n) = Nu är [b d ] n = [p j c) k ) d ] n = [p k ) d ] j n [c k ) d ] n och eftersom sgd c, n) = så är [c k ) d ] n = [c] n och det återstår tt vis tt [[p k ) d ] n = [p] n för då är [b d ] n = [p] j n [c] n = [p j c] n = [] n. Eftersom q är ett primtl och p q så är sgd p, q) = och därför följer det v enligt Fermts teorem tt p q mod q). Då är också p q )p )r mod q) dvs. p q )p )r = + sq och därför också p +q )p )r = p + spq dvs. [p +m r ] n = [p] n vilket visr tt [p k ) d ] n = [p] n = [] n. Algoritmen fungerr lltså också i dett fll! G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59 Exempel Om mn med RSA-lgoritmen skll krypter meddelndet 9 och nvänd den publik nyckeln 55, 3) så skll mn räkn ut mod 9 3, 55). För tt gör räkningen enklre observerr mn först tt 3 = så tt 9 3 = 9 ) ) ) 9 ) 9 9 och mn får mod 9, 55) = mod 8, 55) = 6, mod 9 ), 55) = mod 6, 55) = mod 676, 55) = 6, mod 9 ) ), 55) = mod 6, 55) = mod 56, 55) = 36, mod 9 ) ) ), 55) = mod 36, 55) = mod 9), 55) = mod 36, 55) = 3, mod 9 9, 55) = mod 6 9, 55) = mod 34, 55) = 4, mod 9 ) 9 9, 55) = mod 6 4, 55) = mod 4, 55) = 4, mod 9 ) ) ) 9 ) 9 9, 55) = mod 3 4, 55) = mod 4, 55) = 4, så tt mod 9 3, 55) = 4. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

30 Exempel, forts. Om mn vill dekrypter meddelndet 4 måste mn känn till den privt nyckeln och den är 55, 7) därför tt 55 = 5, 5 ) ) = 40 och mod 3 7, 40) = mod 6, 40) =. För dekryptering observerr mn tt 7 = så tt 4 7 = 4 ) 4 4 och mn får mod 4, 55) = mod 96, 55) = 3, mod 4 ), 55) = mod 3, 55) = mod 96, 55) = 6, mod 4 4, 55) = mod 3 4, 55) = mod 434, 55) = 49, mod 4 ) 4 4, 55) = mod 6 49, 55) = mod 6 6), 55) = mod 56, 55) = 9, så tt mod 4 7, 55) = 9. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december / 59

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II 1 Modulär- eller kongruensaritmetik Euklides algoritm RSA-algoritmen G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 2 Grupper och permutationer

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 september 20 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II 23 september 20 / G. Gripenberg

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik

100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik 38/Thoms Munther IDE-sektionen/Högskoln i Hlmstd Formelsmling Reglerteknik Smbnd melln stegsvr och överföringsfunktion ( insignlen u är nedn ett steg med mplitud = som pplicers vid t=, där är llmänt y/

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

FOURIERANALYS En kort introduktion

FOURIERANALYS En kort introduktion FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel. Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del II 17 oktober

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer