TATA42: Tips inför tentan
|
|
- Maja Engström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så llt mteril som förekommer där kn så klrt dyk upp på tentn. Dessutom ingår de kurser som räkns som förkunskper även här, vilket innebär tt ni förvänts kunn hnter verktyg även från tidigre kurser. Fokus är också på uppgifter som är v krktären godkänt (med ett pr exempel som knske är för högre betyg mrkerde med ). Längd, re och volym Pln re (till exempel melln kurvor). Även på polär form! Kurvlängd för funktioner på formen y = f(x) och prmeterform x = x(t) och y = y(t). Kom ihåg bågelementet ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt. Rottionsre och rottionsvolym för rottioner kring linjer x = och y = b. Kom ihåg skiv- och rörformler och även Pppos-Guldin som hjälpmedel. Viktigste steget är tt få upp korrekt integrler i denn kurs. Rottioner kring sned xlr. Även tyngdpunkter i,2 och 3 dimensioner behöver kunn beräkns. Kom ihåg tt det går tt nvänd Pppos-Guldin bklänges för tt hitt - och 2-dimensionell tyngdpunkter. Mclurin- och Tylorutvecklingr Lär er de s.k. stndrdutvecklingrn (för e x, cos x etc) och även formeln som gäller för ll snäll funktioner kring godtycklig punkt x = : f(x) = f() + f ()(x ) + f () 2 (x ) f (n) () (x ) n + O((x ) n+ ). n! Med = 0 erhåller vi Mclurinutvecklingen. Om Tylorutveckling kring x = sökes, försök introducer en vribel t = x så tt t 0 då x. Skriv om f(x) i vribeln t och utveckl m..p. t (nvänd gärn elementär Mclurinutvecklingr här). john.thim@liu.se
2 Tillämpningr med rest på ordo-form f(x) Gränsvärden för kvoter: lim. Utveckl f(x) och g(x) och nge resten på ordo-form. x 0 g(x) Börj med nämnren och utveckl sedn täljren så du kommer förbi först termen i nämnren. Gränsvärden mot oändligheten, oft lim x ( f(x) g(x) ). Bryt ut det som dominerr och hitt ny vribler som går mot noll då x (tex t = /x). Anpss mot polynom, spec. för tt( hitt symptoter eller nnt beteende mot oändligheten. Till exempel hitt och b så lim + x2 x b ) = 0. Bryt ut det som dominerr ur x roten och Mclurinutveckl i ny vribel! Avgör om sttionär punkter är mximum eller minimum. Utveckl funktionen och studer beteendet som dominerr. Vd händer när mn flyttr sig lite från den sttionär punkten? Tänk cos x = x 2 /2 + O(x 4 ) = x 2 (/2 + O(x 2 )). Om mn flyttr sig lite från x = 0 blir tillskottet negtivt eftersom /2 dominerr O(x 2 ) i prntesen. En mxpunkt lltså! Restterm på Lgrnges form Uppsktt fel i Mclurinutvecklingr (eller Tylor) i ndr punkter än br väldigt när origo. Vnlig exempel: Funktionsvärden i en viss punkt, ex. cos 4. Vis olikheter som exempelvis tt sin x (x x 3 /3!) x 5 /20. Uppsktt numeriskt värde på integrl där vi inte hr någon känd primitiv funktion: utveckl integrnden och uppsktt felet över hel integrtionsområdet. Polynomet är enkelt tt integrer och med tillräckligt mång termer är felet litet! Differentilekvtioner Linjär ekvtioner v ordning ett Skriv om på formen y (x) + f(x)y(x) = g(x) med konstnt fktor frmför y. Integrernde fktor: e F (x) där F (x) = f(x). Multiplicer med denn och VL blir ( e F (x) y(x) ) och HL blir g(x)e F (x). Integrer och lös ut y. Seprbl ekvtioner Kom ihåg tt här ingår definitionsmängden för lösningen i svret! Dett är det störst smmnhängnde intervll där funktionen är C. Tekniken är seprtion v vribler: g(y) dy ˆ ˆ dx = h(x) g(y) dy = h(x) dx. Se upp vid divisioner! Kn dyk upp lösningr eller ge problem i definitionsmängder (y respektive x). 2
3 Linjär DE v ordning två och högre Två delr: homogen- och prtikulärlösning. Den homogen hitts genom tt hitt nollställen till det krkteristisk polynomet p(r). En prtikulärlösning hitts genom tt nsätt något lämpligt. Kom ihåg förskjutningsregeln: p(d)e x z(x) = e x p(d + )z(x). Denn förenklr mycket! Kn nvänds ovsett hur högerledet ser ut så länge det är en fktor e x med. Tbell : Anstser för prtikulärlösningr. Högerled Ansts Undntg n x n + n x n + + x + 0 b n x n + b n x n + + b x + b 0 r = 0 rot x(b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) r = 0 dubbelrot x 2 (b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) r = 0 trippelrot A sin kx + A 2 cos kx B sin kx + B 2 cos kx r = ±ik rot x(b sin kx + B 2 cos kx) r = ±ik dubbelrot x 2 (B sin kx + B 2 cos kx) r = ±ik trippelrot e x, C Be x r = rot Bxe x r = dubbelrot Bx 2 e x r = trippelrot q(x)e x z(x)e x ing undntg 2 A e αx cos βx + A 2 e αx sin βx B e αx cos βx + B 2 e αx sin βx r = α ± iβ rot B xe αx cos βx + B 2 xe αx sin βx r = α ± iβ dubbelrot Om undntgsfllet inträffr försöker vi med nstsen på näst rd. 2 Ger ekvtion för z. Nytt högerled där e x försvunnit. Hitt en lösning till denn ekvtion! Superposition Kom ihåg tt mn kn del upp prtiklärlösning i fler delr. Om HL består v, e.g., e x + 7 kn vi hitt en prtikärlösning y p som mtchr e x och en nnn y p2 som mtchr 7. Den totl fås som y p = y p + y p2. Ekvtioner v Eulertyp Ekvtioner v typen x n y (n) + xy + y = g(x), x > 0, löses genom vribelbytet t = ln x. Integrlekvtioner I denn kurs är tnken tt deriver frm en diffekv. och lös den i stället. Begynnelsevillkor fås genom tt välj någon smrt punkt x = i integrlekvtionen så integrl försvinner (om 3
4 möjligt). Kom ihåg integrlklkylens fundmentlsts som medför tt om f, g C. d dx ˆ g(x) f(x) Generliserde integrler Om 0 f(x) g(x) gäller tt och y(t) dx = y(f(x))f (x) y(g(x))g (x) g(x) dx < f(x) dx = f(x) dx < g(x) dx =. f(x) Om f, g 0, ll integrler endst är generliserde i x = b och 0 < lim x b g(x) < gäller tt f(x) dx < g(x) dx <. Vid nvändning: bryt ut det som dominerr i f(x) när x = b och räkn ut gränsvärdet för det som blir över: f(x) dx = g(x) f(x) g(x) dx. Motsvrnde sts gäller om generliseringen är i punkten x = (men br en i tget!). Finns eller uppstår problem i fler punkter: del upp integrlen! För konvergens måste ll delr vr konvergent. Om någon är divergent är hel integrlen divergent. Känd jämförelsefunktioner: och ˆ 0 ˆ x α dx < α < dx < α >. xα Serier Teorin är i mång vseenden prllell med den för generliserde integrler, men vi hr br problem i oändligheten och det finns viss ndr skillnder. Till exempel finns inget divergenstest för integrler (behöver inte punktvis gå mot noll för konvergens). Förstå hur konvergens för en serie definiers vi delsummor. Divergenstestet, i.e., om termern inte går mot noll är serien divergent. Skillnd på bsolutkonvergens och konvergens. 4
5 Jämförelsestsern för 0 k b k respektive tt k /b k L med 0 < L <. Grundprincip för gränsvärdestestet: bryt ut det som dominerr mot oändligheten och betrkt vd som blir kvr. Är gränsvärdet strikt melln 0 och är det den dominernde fktorn som vgör konvergens eller divergens (om positiv uttryck erhålls). Geometrisk serier: Känd jämförelseserier: q k = q k= om q <. Då q är serien divergent. k α < α >. Cuchys jämförelseprincip: om f(x) 0 och f(x) är vtgnde för x är ˆ f(k) < f(x) dx <. Leibniz-serier k= k där k+ och k hr olik tecken för ll k (lternernde) och 2 3 smt k 0 (vtr mot noll). Dess konvergerr lltid! Potensserier Kvot- och rottestet. En serie c k är bsolutkonvergent om Q = lim k c k+ c k eller om Q = lim c k /k <. k Om Q > är serien divergent. Om Q = vet vi inget och inte heller om inget v gränsvärden existerr. Dess test kn även nvänds för vnlig numerisk serier. T frm konvergensrdie för potensserie från kvot- eller rottestet. Testet ger en olikhet v formen Q < där Q innehåller x. Lös ut x för tt hitt R så tt x < R. Se upp om potensserien till exempel br innehåller jämn potenser (x 2k ) eller dylikt. Avgör konvergens när x = R (två fll, x = ±R, sätt in i serien och undersök som numerisk serie!). Termvis derivering och integrering (ok för x < R, konv. rdien för den ursprunglig serien). Utnyttj derivering eller integrering för tt räkn ut numerisk serier som exempelvis Kom ihåg tt x k = x om x <. 5 < k 2 k.
6 Diffekvtioner Lös differentilekvtioner genom potensseriensts. Lite bökigt men principen är enkel. Se till tt förstå hur serien kn summers om (omindexers) så det blir enklre tt mtch koefficienter. Kom ihåg också tt termer försvinner vid derivering v potensserie. 6
TATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 28 mj 209 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips
TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06 TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN
ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN Dett är tänkt tt vr en smmnfttning v det jg nser vr den viktigste teorin i kursen. Ing exempel ges, och det är inte lls tänkt tt på något vis vr ett substitut för kursboken.
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merTNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips
TNA004 Anls II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 07 TNA004, Anls II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,
Läs mery > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merSERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016
TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merFöreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation
Föreläsning, Numme K2, 72 GNM Kp 6 Integrler & GNM 8:C Richrdsonextrpoltion yc yd y y y2 yb H c d b A = H ( ) y +y 2 = H 2 { h 2 y + } A = A +A 2 +A = 2 y 2 = h 2 y +y c +y d + 2 y b 2 (y +y c )+ h 2 (y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs mer= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.
Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merRationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
Läs merLöpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab
Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merNumeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19
Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merDenna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Linjära ekvationssystem. Repetition av FN3 (GNM kap 4.
Denn föreläsning DN11 Numerisk metoder och grundläggnde progrmmering FN4 9--17 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition v FN3 (GNM kp 4.1)! Interpoltion! Minst-kvdrtnpssning! Dignostiskt prov på
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merKTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.
KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl
Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 9 ugusti, 8, kl. 14. 19., lokl: MA9A Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel. 45 6 & Anders Krlsson tel.
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merTATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs merRepetition, Envariabelanalys del
Repetition, Envariabelanalys del 2 209 Lars Alexandersson Ulf Janfalk Tomas Sjödin Johan Thim Här har vi samlat vissa grundläggande delar av kursen. Notera att detta INTE är en fullständig genomgång av
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merEnvariabelanalys, del 2
Envribelnlys, del 2 Toms Sjödin Dett är tänkt tt vr en smmnfttning v det jg nser vr den viktigste teorin i kursen. Ing eempel ges, och det är inte lls tänkt tt på något vis vr ett substitut för kursboken.
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merAddition och subtraktion
Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik
Läs mer