FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK
|
|
- Patrik Per-Olof Johansson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK
2 Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som hålls vid Institutionen för Dtvetenskp, Mälrdlens Högskol. Nottionen som nvänds genomgående är densmm som den som nvänds i kurslitterturen, och definiers på näst uppslg. All uppgifter inklusive de som är märkt med hr en lösning längst k i kompendiet. Uppgifter mrkerde med är testuppgifter. Kompendiet för reguljär språk är upplgt på följnde sätt. Det finns 5 vsnitt; Mtemtisk förkunskper, Reguljär uttryck, Finit utomter, Reguljär grmmtiker smt Ickeregulritet. Vrje vsnitt örjr med någr enkl uppgifter som är r tt öv på när mn lär sig de ny egreppen. Svårighetsgrden ökr sedn stegvis, och på slutet finns testuppgifter. Någr studietips Diskuter er lösningr i gruppen! Din studiekmrter är ditt störst stöd i den här kursen, t vr på den resursen! Försök först tt lös de enkl uppgiftern i örjn på vrje vsnitt! Titt inte i fcit förrän du hr försökt lös en uppgift. Om du inte kn lös en uppgift, titt i fcit på den grundläggnde idén för tt lös uppgiften, och försök sedn igen. Du lär dig ingenting på tt skriv v en lösning! För tt försäkr sig om tt en egenskp gäller för en viss utomt, grmmtik, uttryck etc. så hjälper det tt prov sig frm med olik strängr. Försök konstruer strängr som ryter mot det du försöker vis! Eftersom redovisningsuppgiftern skll redoviss i grupp, så är smrete melln gruppern på dess uppgifter förjudet och etrkts som fusk! Däremot är det nturligtvis tillåtet tt diskuter ndr uppgifter med personer i ndr studiegrupper. Lyck till med kursen! Lennrt Slling, Formell språk, utomter och eräkningr,. Finns tt köp i studentokhndeln.
3 Innehåll Nottion 4 Mtemtisk suppgifter 5 Testuppgift LÖSNINGAR Reguljär uttryck Testuppgift LÖSNINGAR Finit utomter 7 Testuppgift, 4, LÖSNINGAR Reguljär grmmtiker 4 LÖSNINGAR Ickeregulritet 45 Testuppgift LÖSNINGAR
4 Nottion Nottion Betydelse Exempel Liktydig nottion Tecknet,,c foo Strängen "foo" r, krumelur r, foo Û Ü Ý Þ Godtycklig sträng Û ¾ Den tomm strängen Numerisk konstnt ½ ¾ Ò Ñ Numerisk vriel Ò ¾Ñ Ä Ë Språk, mängd Ä Den tomm mängden Ett lfete Û foo Mängden v ll Û som uppfyller villkoret Û Û rev Û foo repetitioner v tecknet Û repetitioner v strängen Û Û ÛÛÛ Mängden v strängr med godtycklig ½ ¾ ¾ ½½ ½¾ ¾½ ¾¾ element från mängden Kleenestjärneopertorn på ¼ ½ ¼ ½ ¼¼ ÓÓµ ÓÓ ÓÓÓÓ Plusopertorn på mängden ¼ ½ ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ Û rev Reverseringen v strängen Û ÓÓÖµ rev ÖÓÓ Û Ê Ä Komplementspråket till Ä ÄµÄ ¾ Potensmängden v ¾ ¼½ ¼ ½ ¼ ½ Antlet element i (eteckns ilnd ½ ¾ ÙØÓÑØ krdinlitet) Û Antlet :n i strängen Û ÖÖ Ò Ûµ Ûµ ÔÖ Ü Ûµ Mängden v strängr Ü där Û ÜÞ ÔÖ Ü µ ÔÔÖ Ü Ûµ Mängden v äkt prefix till Û ÔÖ Ü µ ÔÖ Ü Äµ Mängden v strängr Û så tt Û är prefix ÔÖ Ü µ i någon sträng i Ä ÙÆÜ Ûµ Mängden v strängr Ü där Û ÞÜ ÙÆÜ µ Ô ÙÆÜ Ûµ Mängden v äkt suffix till Û Ô ÙÆÜ µ ÙÆÜ Äµ Mängden v strängr Û så tt Û är suffix ÙÆÜ µ i någon sträng i Ä Unionen v och ½ ¾ ¾ ½ ¾ Snittet v och ½ ¾ ¾ ¾ ÜÝ Smmnfogningen v strängrn Ü och Ü ÓÓÝ ÖÜÝ ÓÓÖ Ý Mängden vrs element finns i men ½ ¾ ¾ ½ Ò inte i Mängden som fås genom ll komintioner v ett element ur smmnfogt med ett element ur Slut på sträng/stck Æ Mängden v nturlig tl Æ ¼ ½ ¾ Mängden v heltl ¾ ½ ¼ ½ ¾ Ê Mängden v reell tl ¼½½ ¾ Ê µ Av dett följer tt Slut på evis 4
5 Mtemtisk suppgifter Uppgift.. Konstruer potensmängden (eng. power set) för nednstående mängder. (i) (o) (ii) ¼ ½½ ¾ (iii) Þ (iv) ¼ ½ ¾ ½ (v) ¼ ½ ¾ ½ (vi) (tomm mängden) Uppgift.. Bestäm krdinliteten på följnde språk över lfetet ¼ ½ (dvs. om de är ändlig, oändlig och uppräknelig, eller oändlig och överuppräknelig). Ge informell evis för din svr. (i) ¼ (ii) (iii) ¼ ½ ¾ (iv) ¾ (v) ¾, dvs potensmängden v ll språk över. Uppgift.. Ge ett möjligt lfet för följnde språk. Ett ord foor tolks som en sträng v tecknen f, o, o,, och r. (i) Språket Ä oj fy usch (ii) Språket Ä äpple päron 47 (iii) Språket v ll inär strängr (o) (o) Uppgift.4. Beskriv vd Kleenestjärneopertionen över följnde lfeten ger. (i) ¼ ½ (o4) (ii) (iii) (det tomm lfetet) Uppgift.5. Beskriv vd -opertionen över följnde lfeten ger. (i) ¼ ½ (o5) (ii) (iii) (det tomm lfetet) 5
6 Uppgift.6. Ge lfetet för följnde språk : (o6) (i) Ä ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ ½½ ¼¼¼ ¼¼½ ¼½¼ ¼½½ (ii) Ä (iii) Ä Uppgift.7. Givet tt ¼ ½, konstruer komplementspråken (o7) (i) ¼½¼ ½¼½ ½½ (ii) ½½¼ (iii) Uppgift.8. Skriv ut följnde språk explicit, dvs. genom tt ge mängden v strängr som språket estår v. (o8) (i) ¾ ¾ (ii) ½ ¾ (iii) Ü Ü ¾ Æ Ý ¾ Æ Ý½¼ Ý ¾Üµ (Æ är mängden v ickenegtiv heltl) Uppgift.9. Låt vr ett lfet, och den tomm strängen över. (o9) (i) är i? (ii) är det snt tt? är det snt för där ¾? (iii) Låt Ü och Ý vr två strängr över. är smmnfogningen v Ü och Ý lltid smm sk som smmnfogningen v Ý och Ü? Uppgift.. En sträng är oändlig när dess längd är oändlig. Låt vr ett godtyckligt lfet. (o) (i) Innehåller någr oändlig strängr? (ii) Om vi tillåter tt vr ett oändligt lfet (vilket det egentligen inte får vr), förändrs svret? Uppgift.. Bevis tt Ò ¼ ÑÓ µ för ll heltl Ò ¾. (o74) Uppgift.. (o75) Bevis med induktionsevis tt ¾ Ë ¾ Ë (dvs. tt längden v potensmängden är lik med upphöjt till längden v ursprungsmängden) för ll finit mängder Ë. 6
7 Uppgift.. (o76) För en sträng Ü, låt Ü rev vr smm sträng fst klänges. Bevis tt Üݵ rev Ý rev Ü rev för godtycklig strängr Ü Ý över ett lfet. (Tips: försök definier Ü rev induktivt) Uppgift.4. Bevis med induktion tt för ll mängder och. TESTUPPGIFT. Bevis tt ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ Ò ¾ Ò ½ ½ för ll heltl Ò ¼. (o) (o) 7
8 Lösningr Lösning.. (i) ¾ Ë (ii) Ë ¼ ½ ¾ ¾ Ë ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ¾ (iii) ¾ Ë Þ (iv) Ë ½ ¾ Ë ½ ½ (v) Ë ¼ ¾ ¾ Ë ¼ ¾ ¼ ¾ (o) (vi) ¾ Ë Lösning.. (o) (i) ¼ µ Mängden är ändlig. (ii) ¼¼¼¼ ¼¼¼½ ¼¼½¼ ¼¼½½ ¼½¼¼ ¼½¼½ ¼½½¼ ¼½½½ ½¼¼¼ ½¼¼½ ½¼½¼ ½¼½½ ½½¼¼ ½½¼½ ½½½¼ ½½½½ µ Mängden är ändlig. (iii) Vrje mängd i den oändlig och uppräknelig serien är ändlig, och kn därför räkns, genom tt mpp den på nturlig tl. Alltså kn hel mängden li uppräknd. µ Mängden är oändlig och uppräknelig. (iv) ¾ ¼ ½ ¼ ½µ Mängden är ändlig. (v) Antg tt Ä ¾ är uppräkneligt, dvs tt det finns ett sätt tt räkn upp hel språket Ä. Vi kn t.ex gör det som följer. Vi väljer tt kod en delmängd Ô i Ä genom nge en : om motsvrnde element i finns i delmängden, och nnrs. Se nedn. (Ô µ etecknr it, motsvrnde, i delmängden Ô ). Vi räknr lltså upp elementen i Ä uppifrån och ned, där resten v rden etecknr kodningen v elementet ifråg. Tellen nedn skll lltså innehåll ll element i Ä. Det är dett vi skll motevis. Kodning v element ur Delmängd ½ ¾ Ô ½ Ô ½ µ Ô ¾ Ô ¾ µ Ô Ô µ Ô Ô µ Ô Ô ½µ Ô ¾µ Ô µ Ô µ Ô µ Vi etrktr nu delmängden i Ä som mn får, genom tt t digonlen v mtrisen för Ä, och neger vrje it i elementet. Vi kllr dett element. Eftersom fktiskt representerr en delmängd v (kodningen är korrekt) så måste finns i Ä, ntg tt den gör det på plts så tt Ô finns i språket. Undersök nu it i elementen och Ô. Kom ihåg tt vi skpde genom tt t digonlen v mtrisen, och neger vrje it. Dvs, på plts i digonlen hr vi iten Ô µ, dvs µ Ô µ 8
9 Men, eftersom vi tidigre konstterde tt Ô så får vi Ô µ Ô µ vilket är en motsägelse! är lltså ett nytt element som inte finns i uppräkningen v Ä, och dett strider mot tt hel språket Ä skulle finns i tellen! µ Mängden är oändlig och överuppräknelig. Lösning.. (o) (i) o j f y u s c h (ii) ä p l e r o n 4 7 (iii) ¼ ½ Lösning.4. (o4) (i) All inär strängr. (ii) All strängr estående v endst :n (inkl. tomm strängen). (iii) Språket innehållndes endst den tomm strängen. Lösning.5. (o5) (i) Binär strängr med minst ett tecken. (ii) Strängr v endst :n, minst ett tecken. (iii) Språket med endst den tomm strängen. Lösning.6. (o6) (i) ¼ ½ (ii) (iii) Lösning.7. (o7) (i) Ä ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ ¼¼¼ ¼¼½ ¼½½ ½¼¼ ½½¼ ½½½ ¼¼¼¼ (ii) Ä ½½¼ (iii) Ä Lösning.8. (i) (o8) (ii) (iii) ¾ ½¼ ½½ 9
10 Lösning.9. (i) Nej. (o9) (ii) J. J. (iii) Nej, se t.ex Ü Ý ÜÝ ÝÜ. Lösning.. (o) (i) Nej, även fst språket är oändligt så är de strängr som ingår i det v finit (ändlig) längd. (ii) Nej, fortfrnde är vrje symol i lfetet v ändlig längd och vrje sträng är v ändlig längd. Lösning.. Påstående: Ò ¼ ÑÓ µ för ll heltl Ò ¾. (o74) Kontroll: ¾ ßÞÐ heltl ¾½ ¾ ßÞÐ heltl ½¾ ½ ßÞÐ heltl Bssteg: Vi väljer ¾ dvs. Ò ¾som sfll, eftersom dett är det minst Ò för vilket påståendet måste gäll. Eftersom ¾ så gäller påståendet för sfllet. Induktionssteg: Vi ntr tt påståendet är snt för ett visst fll, och försöker vis tt det då är snt i näst fll också. Antg lltså tt Ô är jämnt delrt med 9, dvs. Ô för något heltl. Vi vill nu vis tt i så fll är Ô ½ för något heltl. Om Ô för något Ô och något heltl, så gäller också nednstående. Ô ½ Ô µ ßÞÐ heltl där är ett heltl Smmnfttning: Påståendet gäller för sfllet Ò ¾, och om det gäller för ett visst fll Ô så gäller det även för näst fll Ô ½. Då gäller det i smtlig fll, vilket skulle eviss. Lösning.. Påstående: ¾ Ë ¾ Ë för ll finit mängder Ë. (o75) Kontroll: ¾ ½ ¾ ¼ ¾ ¾ Ü Ü ¾ ¾ ½ ¾ Ü ¾ ÜÝ Ü Ý Ü Ý ¾ ¾ ¾ ÜÝ Bssteg: Vi väljer Ë som sfll, eftersom dett är den minst mängden för vilket påståendet ör gäll. Enligt kontrollen ovn så gäller påståendet för sfllet.
11 Induktionssteg: Vi ntr tt påståendet är snt för ett visst fll, och försöker vis tt det då är snt i näst fll också. Antg lltså tt ¾ Ë ¾ Ë för någon mängd Ë. Vi vill nu vis tt i så fll är ¾ Ëܵ ¾ ËÜ för ett godtyckligt element Ü ¾ Ë. Om ¾ Ë ¾ Ë för någon mängd Ë, så gäller också nednstående. ¾ Ëܵ ¾ Ë Ì där Ì Ø Ü Ø ¾ ¾ Ë ¾ Ëܵ ¾ Ë Ì ¾ Ë Ì eftersom ¾ Ë och Ì är disjunkt Ü ¾ Ë Ü ¾ ¾ Ë µ ¾ Ë Ø Ü Ø ¾ ¾ Ë ¾ Ë ¾ Ë ¾ ¾ Ë ¾ ¾ Ë (från induktionsntgndet) ¾ Ë ½ ¾ ËÜ eftersom Ü ¾ Ë Smmnfttning: Påståendet gäller för sfllet Ë, och om det gäller för ett visst fll Ë så gäller det även för näst fll Ë Ü där Ü ¾ Ë. Då gäller det i smtlig fll, vilket vr det som skulle eviss. Lösning.. (o76) rev för den tomm strängen. rev för en sträng med ett tecken. För en icketom sträng Ü så kn denn dels upp i två delsträngr Ü Ý där innehåller ett eller noll tecken. Vi definierr då tt ݵ rev Ý rev där ½. Vi sk nu vis tt Üݵ rev Ý rev Ü rev. Antg först tt Ü är den tomm strängen. I så fll är påståendet snt, ty ݵ rev Ý rev Ý rev. Antg nu tt Ü är en sträng med endst ett tecken. Då är påståendet också snt, ty ݵ rev Ý rev enligt definitionen. Dett är vår sfll. Vi ntr nu tt påståendet ÙÚµ rev Ú rev Ù rev gäller för två strängr Ù Ú. Dett är vår induktionshypotes. Vi vill nu vis tt ÙÚµ rev Ú rev Ù rev. ÙÚµ rev ÙÚµ rev enligt definitionen. Vidre gäller ÙÚµ rev Ú rev Ù rev enligt induktionshypotesen, vilket ger oss tt ÙÚµ rev Ú rev Ù rev, vilket vr det vi sökte. Eftersom vi hr vist tt påståendet gäller för ett (två) sfll, och tt det gäller för vrje sträng som kn forms genom tt lägg till ett tecken först i den först strängen, så gäller påståendet för ll strängr. Lösning.4. (o) för den tomm mängden och godtycklig mängd. Påståendet gäller lltså för och godtyckligt. Vi ntr nu tt påståendet gäller för två mängder och (induktionshypotes). Vi vill nu vis tt Ü Ü för ett godtyckligt element Ü ¾ (om Ü ¾ så gäller påståendet trivilt, eftersom Ü ¾ Ü ). Vi örjr med vänsterledet. För kryssprodukten gäller Ü Ü. Eftersom och Ü är disjunkt (eftersom Ü ¾ ) så gäller tt Ü Ü. För högerledet gäller tt Ü ½. Vi hr då lltså Ü ½µ. Men då gäller också tt Ü Ü, vilket skulle viss.
12 LÖSNING TESTUPPGIFT. Påstående: ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ Ò ¾ Ò ½ ½ för ll heltl Ò ¼. (o) Kontroll: ¾ ¼ ½¾ ½ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½½ ½ ½ Bssteg: Vi väljer Ò ¼som sfll, eftersom dett är det minst tl för vilket påståendet ör gäll. Enligt kontrollen ovn så gäller påståendet för sfllet. Induktionssteg: Vi ntr tt påståendet är snt för ett visst fll, och försöker vis tt det då är snt i näst fll också. Antg lltså tt ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ för något tl. Vi vill nu vis tt i så fll är ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½. Om ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ för något tl, så gäller också nednstående. ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½µ ¾ ½ (från induktionssteget) ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ Smmnfttning: Påståendet gäller för sfllet ¼, och om det gäller för ett visst tl så gäller det även för näst fll ½. Då gäller det i smtlig fll, vilket skulle viss.
13 Reguljär uttryck Uppgift.. Betrkt det reguljär uttrycket µ. (o4) (i) Ge en sträng över som mtchr uttrycket. (ii) Ge en sträng över som inte mtchr uttrycket. Uppgift.. (o) Konstruer reguljär uttryck som är ekvivlent med följnde språk, över lfetet, vrs strängr Û uppfyller följnde krv: (i) Antlet :n i Û är jämnt. (ii) Det finns ½:n i Û. ( ¼) (iii) Û.( ¼) Uppgift.. (o4) Ett reguljärt uttryck är tvetydigt när det finns en sträng som går tt konstruer på två olik sätt ur det reguljär uttrycket. Vilk v följnde reguljär uttryck är tvetydig? (i) µ µ (ii) µ (iii) Uppgift.4. Ge ett reguljärt uttryck för språket vrs strängr estår v lternernde :or och :or. (o4) Uppgift.5. (o4) Ge ett reguljärt uttryck för språket Ä över estående v strängr som innehåller exkt eller exkt :n. Uppgift.6. (o4) Ge ett reguljärt uttryck för språket Ä över lfetet estående v strängr där ntlet :n är jämnt delrt med. Uppgift.7. Beskriv med ord vilk språk följnde reguljär uttryck representerr. (o44) (i) ¼ ½µ ¼½ (ii) ½ ¼½ (iii) ½½µ (iv) ¼ ½¼ ½¼ µ (v) ¼ ½µ ¼½ ¼ ½µ
14 (vi) ½ ¼ (vii) ½¼ ¼µ ½ ½¼µ (viii) ¼ ½ ¼¼¼ µ ¼ Uppgift.8. Låt vr följnde reguljär uttryck: (o) µ µ (i) är Ä µ? (ii) är Ä µ? TESTUPPGIFT. (o45) Ge ett reguljärt uttryck som representerr mängden v strängr över som innehåller åde delsträngen och. 4
15 Lösningr Lösning.. (i) mtchr. (o4) (ii) cd mtchr inte, eftersom vrje c måste föregår v ett för tt strängen sk mtch. Lösning.. (i) µ µ ¾ (o) (ii) µ µ µ (iii) µ Lösning.. (i) Tvetydig. T.ex kn strängen fås ur åde µ och µ. (o4) (ii) Tvetydig. Strängen kn fås ur åde och. (iii) Entydig. Lösning.4. Alterntiv : (o4). ¼½µ är språket v noll eller fler.. ½ µ ¼½µ är språket v lternernde :or och :or som slutr på.. ½ µ ¼½µ ¼ µ är språket v lternernde :or och :or. Alterntiv : ¼ µ ½¼µ ½ µ enligt ovn. Lösning.5.. är mängden v strängr med exkt. (o4). är mängden v strängr med exkt.. är mängden v strängr med exkt. 4. Språket Ä lir då. Lösning.6.. är ll strängr med exkt :n. (o4). µ är då språket Ä. 5
16 Lösning.7. (i) Ett godtyckligt ntl inär tecken ( eller ) föregår delsträngen. (o44) (ii) Strängr som måste innehåll och för övrigt estår v :or. (iii) Strängr v :or vrs längd är jämnt delr med. (iv) Ett godtyckligt ntl repetitioner v en sträng estående v st :or och godtyckligt ntl :or, i godtycklig positioner. (v) Strängr som innehåller delsträngen. (vi) Strängr på formen ½½½ ¼¼¼, dvs strängr som örjr på godtyckligt ntl :or och slutr på godtyckligt ntl :or. även noll ntl :or eller :or är tillåtet. (vii) ½¼ ¼µ är ll strängr som inte innehåller delsträngen. ½ ½¼µ är ll strängr som inte innehåller delsträngen. Så smmnfogningen är ll strängr där vrje förekomst v (även ingen förekomst) kommer före vrje förekomst v. (viii) All strängr som inte innehåller delsträngen. Lösning.8. (i) Nej. Se t.ex strängen som inte går tt producer från det reguljär uttrycket. (o) (ii) J. LÖSNING TESTUPPGIFT. (o45) En sträng som innehåller delsträngen följt v godtycklig tecken, följt v, kn eskrivs med uttrycket µ. Det omvänd fllet där kommer före kn eskrivs med µ. Kominert lir dett µ µ. Dessutom skll godtycklig tecken kunn komm före och efter uttrycken vi hr konstruert., och vi får då det reguljär uttrycket µ µ µ µ 6
17 Finit utomter Uppgift.. Låt Å vr följnde DFA. (o6) strt 4 (i) Skriv ner fyr strängr som Å ccepterr, och sekvensen v konfigurtioner som visr dett. (ii) Skriv ner fyr strängr som inte ccepters v Å. Uppgift.. Låt Å vr följnde NFA. (o8) strt 5 4 (i) Skriv ner fyr strängr som Å ccepterr, och sekvensen v konfigurtioner som visr dett. (ii) Skriv ner fyr strängr som inte ccepters v Å. Uppgift.. Skp en DFA som känner igen följnde språk: (o5) Ä Û Û ¾ Û innehåller delsträngen ¼½¼½ dvs. Û Ü¼½¼½Ý för två godtycklig strängr Ü och Ý. Uppgift.4. (o6) Konstruer finit utomter, deterministisk eller ickedeterministisk, för nednstående reguljär uttryck. (i) µ (ii) ½ ½ ¼µ ¼ ¼ 7
18 (iii) ¼ ½¼ (iv) ¼ ½µ ½ ¼ ½µ (v) ¼ ½ µ¼ (vi) ¼ ½µ ¼ ½µ ¼ ½µ (vii) µ µ Uppgift.5. Definier formellt de finit utomter du hr konstruert i uppgift.4. Uppgift.6. Vilk språk ccepters v följnde utomter: (o7) (o7), (i) strt,, 4 strt, (ii), 4 (iii) strt, (iv) strt (v) strt 8
19 Uppgift.7. Ge DFA:er som ccepterr följnde språk: (o) (i) All strängr över som slutr med. (ii) All strängr över som innehåller tre på vrndr följnde :n (innehåller delsträngen ). (iii) All strängr över som inte innehåller strängen. (iv) All strängr över där vrje sträng med längden 5 innehåller åtminstone två :n. Omformulert: Språket innehåller ll strängr över som inte hr längd 5. De strängr över som hr längd 5 finns i språket om och endst om de innehåller minst två :n. (v) All strängr över där det 5:e tecknet från höger är. (vi) Mängden v ll strängr över där ll pr v :n förekommer endst direkt följt v ett pr v :n. (vii) Strängrn ¼¼½ och ¼¼¼½¼½. (viii) Strängr över ¼ ½ som örjr med en : och som, om mn tolkr dem som inär nummer, är jämnt delr med 5. Som exempel ör strängen ½¼½¼ ccepters v DFA:n, eftersom ½¼½¼ ¾ ½¼ ½¼, vilket ju är jämnt delrt med 5. Däremot ör inte strängen ½½½¼ ccepters, ty ½½½¼ ¾ ½ ½¼ vilket inte är jämnt delrt med 5. (ix) Û ¾ Û ¾Ò Û ¾Ñ Ñ Ò ¾ Æ (x) Û ¾ Û Ò Ò ¾ Æ och Û inte innehåller delsträngen. Uppgift.8. Konstruer finit utomter som ccepterr språken definierde v nednstående reguljär uttryck. (i) (ii) µ (iii) µ (o5) Uppgift.9. Konstruer en DFA som är ekvivlent med följnde reguljär uttryck: (o9) ¼¼ ½ ¼½µ ½½ ¼µ ½¼ Uppgift.. Bevis tt följnde utomt ccepterr språket Ä ½. (o9) 9
20 ,c c,,c strt,c 4 6 c c, 5 Uppgift.. (o5) Gör om följnde finit utomter till GFA:er, och t red på vilk reguljär uttryck som eskriver utomterns språk. (i) (ii), (iii) Uppgift.. Konstruer reguljär uttryck som är ekvivlent med följnde (deterministisk) finit utomter: (o7) (i) strt 4
21 (ii) strt, 4, (iii), strt 4 (iv) strt Uppgift.. Konstruer ett reguljärt uttryck som motsvrr följnde utomt. (o) strt Uppgift.4. Konverter vrje nednstående NFA till en ekvivlent DFA genom delmängdskonstruktion. (o8) (i),
22 (ii) q q q q Uppgift.5. Gör om följnde NFA till en DFA. (o65),, strt Uppgift.6. Minimer nednstående DFA genom mängdprtitionering eller dul komplementet. (o9) C, E A B D Uppgift.7. (o64) Låt Ä ½ och Ä ¾ vr språk som representers v följnde utomter. Konstruer en miniml DFA som representerr Ä ½ Ä ¾., strt Ä ½, 4 strt Ä ¾ 5 6 7
23 TESTUPPGIFT. Konstruer reguljär uttryck för utomten definierd i övning.. TESTUPPGIFT 4. Konverter nednstående NFA till en ekvivlent DFA genom delmängdskonstruktion. (o8) (o), ½ ½ 4 TESTUPPGIFT 5. Minimer följnde DFA. (o7) 7 8, 4 5 6
24 Lösningr Lösning.. (o6) Tecknet # nvänds här nednför för tt eteckn strängslut. (i) (ii). : ½ ¾. : ½. : ½ ¾ 4. : ½ ½ ¾ Lösning.. (o8) (i) (ii). : ½ ¾. : ½. : ½ ¾ 4. : ½ ¾ Lösning.. (o5), 4 Noter tt om inputsträngen Û finns i språket Ä så kommer vi till slut stöt på delsträngen i Û. Vi definierr tillstånden utifrån hur mycket v delsträngen vi hr sett: Tillstånd är strttillståndet. I det här tillståndet hr vi inte sett någon del v delsträngen ännu. I tillstånd hr vi sett den först :n i. Om det nu dyker upp en : så fortsätter vi let efter näst : i delsträngen. I tillstånd hr vi sett från. Om näst tecken är en :, så återgår vi till strttillståndet, eftersom inte är en delsträng v. I tillstånd så hr vi sett. Om vi nu läser en : till, så återgår vi till tillstånd dett eftersom denn ny : kn vr örjn till en ny delsträng. I tillstånd 4 hr vi sett hel delsträngen. Det spelr lltså ingen roll vd för mer tecken som finns på strängen, eftersom vi redn hr vgjort tt strängen finns i språket. Tillstånd 4 är därför ett ccepternde tillstånd. 4
25 Lösning.4. (o6), (i), (ii) (iii) (iv),, (v) ½, (vi),,, (vii), 4 Lösning.5. Övergångsfunktionen viss som en tell på formen (o7) Æ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ 5
26 där den överst rden är vilket tecken som konsumers vid övergången (här:, och inget tecken, dvs -övergång), den vänstr kolumnen vilket tillstånd vi är i nu, och i tellen under motsvrnde tecken vilket tillstånd vi kommer till. Om fler tillstånd nges i tellen (t.ex ¾ för tillstånd och tecken ) så finns det övergångr till ll de tillstånd som nges. I tellen finns t.ex övergångr från till åde och, där konsumers. (i) Å ½ ¾ Æ ½ µ Æ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ (ii) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ µ Æ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ (iii) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ ¾µ (iv) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ ¾µ (v) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ ¾µ (vi) Å ½ ¾ ¼ ½Æ ½ µ Æ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ¾ (vii) Å ½ ¾ Æ ½ µ Æ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Lösning.6. (i) All strängr med jämnt ntl tecken, med längd minst. (ii) Strängr där det först :et följs v ett udd ntl tecken, och som innehåller minst ett. (iii) Strängr på formen ¼ Ò ½ Ñ ÒÑ ¼. (iv) Tomm strängen och strängr som slutr på. (v) Strängr som inte örjr på. (o7) Lösning.7. (o) (i) 6
27 (ii), (iii), (iv) 5, ,, (v),,, 4, 5, (vi) 4, (vii) s, 7,
28 , (viii) s ½ ¾ ¼ (ix) 4 (x) 5 6, Lösning.8. (o5) (i) DFA:, 4 (ii) NFA: 8
29 (iii) NFA: 4 Lösning.9. Gör en NFA från en GFA. (o9). ½ ¼½µ ½½ ¼µ ½¼ ½ ¼½µ ½½ ¼µ. ½½ ¼µ ½ ¼½µ
30 Gör om NFA:n till en DFA (slå smmn de uppenrt ekvivlent tillstånden ¾ smt ). 5 4 Lösning.. (o9) Vi skpr en GFA från den finit utomten.. Eliminer tillstånd och 6, ny övergångr ½ µ ½ µ ½ µ ½ µ.,c strt,c,,c 4 c, 5. Eliminer tillstånd 4. Eftersom ing vägr finns från 4 (skräptillstånd) så kn vi t ort det helt. strt c 5. Skp ett nytt ccepternde tillstånd, nummer 7, och gör ny epsilonövergångr från de tidigre ccepternde tillstånden till 7. Vi gör dett för tt kunn eliminer tillstånd och 5.
31 strt c Eliminer tillstånd och 5. strt 7 5. Lägg ihop de två övergångrn från till 7. strt 6 Automten ccepterr lltså språket, vilket är det smm som ½, vilket skulle viss. Lösning.. (i) (o5) (ii) µ (iii) µ µ Lösning.. Konstruer GFA:er för tt skp reguljär uttryck, se Slling sid 48 och frmåt. (i) µ µ (ii) µ µ µ (o7) (iii) µ (iv) µ Lösning.. Vi örjr med tt skp motsvrnde GFA. (o) ¼ ½½ ¼ ½¼. Nytt stopptillstånd, t ort tillstånd. ½¼ strt ½½. T ort tillstånd. ¼ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ strt Vi hr nu det reguljär uttrycket ¼ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ ½½ ½¼ ¼ ½¼µ.
32 Lösning.4. Vi löser uppgiftern med metoden från Slling, sid 4. (o8), R (i) {,} {,,} {,} Steg för steg:. Strttillstånd: ½ ¾ {,},. ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ (skräptillstånd) {,} R {,,},. ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ {,} R {,,} {,}
33 , R 4. ¾ ½ ¾ ¾ ¾ {,} {,,} {,} {q,q} (ii) {q,q} {q}, {q,q,q} {q,q,q}. Strttillstånd: Õ¼Õ½. Õ¼Õ½ Õ½. Õ¼Õ½ Õ½Õ¾Õ 4. Õ½ (skräp) 5. Õ½ Õ½Õ 6. Õ½Õ Õ¼Õ½Õ 7. Õ½Õ Õ½Õ¾Õ 8. Õ¼Õ½Õ Õ½Õ¾Õ 9. Õ¼Õ½Õ Õ½Õ¾Õ. Õ½Õ¾Õ Õ½Õ¾Õ. Õ½Õ¾Õ Õ½Õ¾Õ Lösning.5. Vi nvänder delmängdskonstruktion. (o65) {} {,} {,,} {,,,} {,} {,,} Steg för steg:. Strttillstånd: ¼
34 . ¼ ¼ ½. ¼ ¼ 4. ¼ ½ ¼ ½ ¾ 5. ¼ ½ ¼ 6. ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ 7. ¼ ½ ¾ ¼ 8. ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ 9. ¼ ½ ¾ ¼. ¼ ¼ ½. ¼ ¼. ¼ ½ ¼ ½ ¾. ¼ ½ ¼ Lösning.6. Vi visr hur mn löser uppgiften med åde mängdprtitionering och dul komplementet. (o9) Mängdprtitionering: Vi nvänder minimeringslgoritmen från Slling, sid 6. Nivå Nivå Nivå Tillståndet är icke-ccepternde och tillstånden är ccepternde. Alltså särskiljs och v den tomm strängen. Tillståndet drivs till v strängen, men tillstånden drivs till tillstånd i v vilket tecken som helst. Nivå Tillståndet drivs till v strängen, men tillstånden drivs till tillstånd i v vilket tecken som helst. Nivå 4 Ing ytterligre tillstånd kn särskiljs., B, A CDE 4
35 Duel reversering: Vi nvänder den dul reverseringslgoritmen från Slling, sid 6. Först reverserr vi utomten och får en NFA Å rev. D E, C B A Näst steg är tt gör om Å rev till en DFA Å ¼ med delmängdskonstruktion.. Först skpr vi ett nytt tillstånd från mängden v tillstånd i NFA:n vi kn nå genom konsumtion v från något strttillstånd. Oserver tt det ny tillståndet får ccepterndesttus, eftersom tillstånd är ccepternde. {A,B,C,D,E}. Sedn skpr vi ett nytt tillstånd v mängden v tillstånd vi kn nå från genom konsumtion v. Vi kn nå tillstånden. {A,C,D,E} {A,B,C,D,E}. Vi ser nu vrt vi kn komm genom konsumtion v från något tillstånd i. {A,B,C,D,E} {A,C,D,E} 4. Vi fortsätter på smm sätt fst från något tillstånd i. {A,B,C,D,E} {A,C,D,E} {C,D,E} 5. Smm sk igen fst från något tillstånd i. 5
36 {A,B,C,D,E} {A,C,D,E} {C,D,E} 6. Nu hr vi en ekvivlent DFA Å ¼ eftersom ing fler övergångr ehöver undersöks. Vi reverserr nu Å ¼ och får en NFA Å ¼ µ rev. Från Å ¼ µ rev skpr vi nu en DFA Å ¼¼ som innn.. {,} {}. {,} {,,} {}. {,} {} {,,} {} 4. {}, {,} {,,} Nu är vi färdig! Oserver tt denn DFA är smm som den vi kom frm till tidigre, förrutom tt tillstånden hr ndr eteckningr. 6
37 Lösning.7. (o64) Betrkt utomtern som en NFA, och gör om denn med delmängdskonstruktion till en DFA. {,6} {,7}, {4} {,5} {,5,6} {,5} {,5,6} {4,5,6} {4,6} {4,7} {4,5} Steg för steg:. Strttillstånd: ¼. ¼ ¾. ¼ 4. ¾ 5. ¾ Vi döper om tillstånden enligt nedn
38 G, E H K C A B I D F J Minimering: Nivå ¼ À Á ÂÃ ½ Á Â À Ã Accepternde eller inte ¾ ÁÂ ÀÃ ÁÂ ÀÃ AC drivs till ABCDIJ för ll tecken, BDIJ drivs till ABCDIJ för och EFGHK för. F drivs till ABCDIJ godtyckligt tecken, men EGHK drivs till EFGHK för godtyckligt tecken. A drivs till B v, men C drivs till C ovsett tecken. Ing ndr särskiljningr. ÁÂ ÀÃ Ing ytterligre särskiljnden. Ny DFA:, {C} {A}, {B,D,I,J} {E,G,H,K} 8
39 LÖSNING TESTUPPGIFT. Vi konstruerr en GFA: (o8) strt Vi tr ort ccepterndesttus på tillstånd och genom tt gör -övergångr till ett nytt tillstånd från och. Sen tr vi ort tillstånd 4. strt Tillstånd eliminers genom tt gör ny övergångr från tillstånd till (loop), och. µ strt µ µ µ strt Vi slår först ihop de två övergångrn till tillstånd från tillstånd, och får det ny uttrycket. Vi kn nu eliminer tillstånd, och får en ny loop över tillstånd, och en ny övergång till tillstånd. Här slår vi smmn de övergångr vi hr, och får en GFA som vi kn extrher ett reguljärt uttryck ur. Det reguljär uttryck som representerr DFA:n är lltså µ µ LÖSNING TESTUPPGIFT 4. (o) {,} {,,} {,,,4} Steg för steg:. Strttillstånd: ½ ¾. ½ ¾ ¼ ½ ¾ 9
40 . ½ ¾ ½ ½ ¾ 4. ½ ¾ ¼ ½ ¾ 5. ½ ¾ ½ ½ ¾ 6. ½ ¾ ¼ ½ ¾ 7. ½ ¾ ½ ½ ¾ LÖSNING TESTUPPGIFT 5. Vi löser uppgiften med delmängdskonstruktion, Slling sid 6. (o7) Nivå ½ ¾ ËØÖØ Nivå ¾ ½ Nivå ¾ ½ Nivå ¾ ½ Tillstånden,4,6 och 8 är ccepternde och tillstånden,,5 och 7 är det inte. Tillstånden och drivs till tillstånd i ½ v strängen, men tillstånden 5 och 7 drivs till tillstånd i ¾ ovsett tecken. Tillstånden i ¾ drivs till tillstånd i ½ ovsett tecken, och kn därför inte särskiljs på denn nivå. Tillstånden och 6 drivs till tillstånd i v strängen, men tillstånden 4 och 8 drivs till tillstånd i ½ v smm sträng. Ing ndr mängder prtitioners. Nivå 4 ¾ ½ Ing ytterligre särskiljningr kn görs. Den miniml DFA:n ser ut som nedn., {4,8} {,6} {5,7} {,} 4
41 4 Reguljär grmmtiker Uppgift 4.. (o46) Försök konstruer en reguljär grmmtik som genererr språket Ò Ò Ò ¾ Æ. Förklr vrför du inte lycks! Uppgift 4.. (o48) Skp reguljär grmmtiker för följnde språk. Använd Ë som den först icketerminlen. När du hr skpt grmmtikern, konstruer motsvrnde NFA:s. (i) Û Û ¾¼ ½ Û innehåller delsträngen eller (ii) ½ ½¼ ½ ¼ Uppgift 4.. (o49) Skp NFA:s för följnde språk, och konstruer motsvrnde reguljär grmmtiker efter dess. Använd Ë som den först icketerminlen. (i) ½µ ½ ¼µ ¼½ (ii) ½ ¼µ (iii) Û Û ¾¼ ½ Û slutr inte på Uppgift 4.4. (o47) Skp en reguljär grmmtik för språket v strängr över som innehåller delsträngen och. Uppgift 4.5. Konstruer reguljär grmmtiker för följnde språk. (o5) (i) µ µ (ii) Ò Ñ Ò Ñ ¾ ½ Ò Ñ ¾ Æ Uppgift 4.6. (o77) Konstruer en reguljär grmmtik som producerr språket över lfetet estående v ll strängr med som mest :n. Vis hur strängen producers. Uppgift 4.7. Konstruer en reguljär grmmtik som producerr följnde språk över lfetet : (o78) Ä Û Û Û ½ ÑÓ µ Vis sedn hur strängen producers. 4
42 Lösningr Lösning 4.. (o46) Det är logiskt tt örj med Ë som produktionsregel. Redn här måste vi kunn generer :n för tt kunn få smm ntl :n och :n. Men ing fler terminler får förekomm i en reguljär produktionsregel. Den kontextkänslig grmmtiken Ë Ë genererr däremot språket. Lösning 4.. (o48) (i) Ë ¼Ë ½Ë ½Ì ¼Î Ì ½Í Î ¼Í Í ¼Í ½Í, S, T U V (ii) Ë Ì ½Í Ì ½Ì Í ¼Í Î Î ½Î ¼ S T U V Lösning 4.. (o49) (i) ½µ ½ ¼µ ¼½ ½ ¼µ ¼½, S T Ë ¼Ë ½Ë ¼ Ì ½Ì (ii) ½ ¼µ ½ S Ë ½Ë (iii) S T U Ë ¼Ì ½Ë Ì ¼Ì ½Í Í ¼Ì ½Ë 4
43 Lösning 4.4. (o47) Ë Ë ½ Ë ¾ Ë ½ Ë ½ Ë ½ Ë ¾ Ë ¾ Ë ¾ À À À À Lösning 4.5. (o5) (i) Ë Ë ½ Ë ¾ Ë ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ë ½ Ë ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ (ii) Konstruer strängr med udd längd estående v något ntl :n följt v något ntl :n. Ë udd udd udd jämnt jämnt jämnt udd udd udd jämnt jämnt udd Lösning 4.6. (o77) Ë Ë Ë Produktion v strängen : Ë µ Ë µ Ë µ µ µ µ µ µ 4
44 Lösning 4.7. Ë Ë Ë Strängen producers enligt nednstående. (o78) Ë µ µ Ë µ µ µ Ë µ µ Ë µ µ 44
45 5 Ickeregulritet Uppgift 5.. (o79) Vis tt om språken Ä ½ och Ä ¾ är reguljär, så är nednstående språk reguljär. Du får nvänd vilken sorts evis du vill, och nvänd evis från kursoken och/eller lektionsmterilet. (i) Ä ½ Ä ¾ (ii) Ä ½ (iii) Ä ½ Ä ¾ (iv) Ä ½, dvs. Ä ½ (v) Ä ½ Ä ¾ (vi) Ä ½ Ä ¾ (vii) Û Û ¾ Ä ½ om och endst om Û ¾ Ä ¾ (viii) ÔÖ Ü Ä ½ µ (se Nottion) (ix) ÙÆÜ Ä ½ µ (se Nottion) (x) Ð ØÖÒ Ä ½ µ där Ð ØÖÒ Äµ Û Ü Ý så tt ÜÛÝ ¾ Ä Uppgift 5.. Vilk v följnde språk är reguljär? (o68) (i) Ò Ñ ÒÑ ÒÑ (ii) Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ (iii) Ò Ñ ÒÑ ÒÑ (iv) Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ Uppgift 5.. Bevis tt om Ä är reguljärt så är Ä rev reguljärt. (o4) Uppgift 5.4. (o7) Vd kn du säg om språket Ä Û ¾ Û Û? är det den tomm mängden? är det reguljärt? Uppgift 5.5. (o) Är det snt tt ett språk inte kn vr reguljärt om det är unionen v språk som är icke-reguljär? Är motsvrnde snt för snittet? För smmnsättning? Om det är snt, evis dett. Annrs, ge motexempel. 45
46 Uppgift 5.6. (o8) Avgör om följnde språk är reguljär eller ickereguljär. Bevis tt din svr är korrekt. Du får nvänd egenskper för reguljär språk, slutenhetsegenskper över dess, sker du vet om DFA:s, NFA:s eller reguljär uttryck och grmmtiker. (i) Ò ¾Ò (ii) Û Û ¾¼ ½ Û ¼ Û ½ (iii) Û Û ¾ Û ¾Û (iv) Û rev Û ¾ Ä Ò Ñ µ (v) ÜÛÜ rev Ý Ü Û Ý ¾ (vi) Ò Ò Ñ Ñ Ñ ¾ Uppgift 5.7. Bevis tt följnde språk är ickereguljär: (o) (i) ¼ ½ Ò ¼ Ñ Ò Ñ Ò ½ (ii) ÛÛ Û ¾ ¼ ½µ (iii) ¼½µ Ò ½¼µ Ò Ò ¼ (iv) Mängden v ll strängr över ¼ ½ med smm ntl ettor och nollor. (v) Û ¾ ¼ ½µ Û Û rev (vi) ÜÜ rev Û Ü Û ¾ ¼ ½µ (vii) ¼ Ò Ò är ett primtl (viii) ¼ Ò Ò är ett smmnstt tl (ix) ¼ Ñ ½ Ò Ñ Ò Uppgift 5.8. Bevis med pumpstsen tt språket Ä Ò Ò Ò¾ Æ är ickereguljärt. Uppgift 5.9. Bevis tt språket Ä Û ¾¼ ½ Ù ÛÛÛ ÙÙ är ickereguljärt. Uppgift 5.. Låt Ä vr ett reguljärt språk. Vd kn vi säg om följnde språk? (o8) (o6) (o67) Uppgift 5.. Ä ½ Û ÛÛ rev ÛÛ rev ¾ Ä (o7) Ü är en rot till Û om Ò ¼ så tt Û Ü Ò. Vi definierr roten till ett språk Ä som ÖÓØ Äµ Ü Ò ¼Ü Ò ¾ Ä. Bevis tt för vrje språk Ä gäller tt ¾ Ä ÖÓØ Äµ. 46
47 TESTUPPGIFT 6. Avgör om följnde språk är reguljär eller inte. (o4) (i) Ä (ii) Ä ½ ÑÒ ½ ¾ µ 47
48 Lösningr Lösning 5.. (i) Reguljär språk är enligt definitionen v dess slutn över smmnfogning. (o79) (ii) Reguljär språk är enligt definitionen v dess slutn över Kleenestjärnekonstruktion. (iii) Reguljär språk är enligt definitionen v dess slutn över unionsopertionen. (iv) Om Ä ½ är reguljärt, så kn mn konstruer en DFA för språket. Antg tt Å ½ É Æ µ är en sådn DFA. Då kn mn konstruer en ny DFA Å ¼ ½ É Æ É µ som förkstr en sträng Û om och endst om Å ½ skulle ccepter Û. µ Ä Å ¼ ½ µ Ä Å ½ µ Ä ½ Ä ½. Eftersom det då finns en DFA som ccepterr språket Ä ½,såärÄ ½ reguljärt om Ä ½ är reguljärt. µ Reguljär språk är slutn över komplementet. (v) DeMorgns lg för mängder ger tt Ä ½ Ä ¾ Ä ½ Ä ¾. Eftersom reguljär språk är slutn över komplementet och union så är reguljär språk dessutom slutn över snittet. (vi) Noter tt Ä ½ Ä ¾ Ä ½ Ä ¾. Eftersom reguljär språk är slutn över snittet och komplementet, så är de slutn över mängddifferens. (vii) Noter tt Û Û ¾ Ä ½ om och endst om Û ¾ Ä ¾ Ä ½ Ä ¾ µ Ä ¾ Ä ½ µ. Eftersom reguljär språk är slutn över mängddifferens och union, så är denn mängd reguljär. (viii) Antg tt Å ½ är en NFA som ccepterr Ä ½. Konstruer en ny NFA Å ¼ ½ som är ekvivlent med Å ½ förrutom tt vi lägger till ett nytt tillstånd Õ, som är det end stopptillståndet i Å ¼ ½. Vi lägger också till -övergångr till Õ från ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något stopptillstånd i Å ½.OmÛÞ ¾ Ä ½ så konsumers Û genom de vnlig övergångrn från Å ½, och sedn ts en v de ny -övergångrn till Õ för tt simuler konsumtionen v Þ, utn tt konsumer något egentligen. Så, Ä Å ¼ ½ µ ÔÖ Ü Ä Å ½µµ ÔÖ Ü Ä ½ µ, dvs. om Ä ½ är reguljärt så är ÔÖÜ Ä ½ µ också reguljärt. (ix) Antg tt Å ½ är en NFA som ccepterr Ä ½. Konstruer en ny NFA Å ¼ ½ som är ekvivlent med Å ½ förrutom tt vi lägger till ett nytt strttillstånd Õ ¼. Vi lägger också till -övergångr från Õ ¼ till ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något strttillstånd. Om ÜÛ ¾ Ä ½ så simulers konsumtionen v Ü genom tt en övergång från den först mängden -övergångr och Û konsumers genom de vnlig övergångrn från Å ½.SåÄ Å ¼ ½ µ ÙÆÜ Ä Å ½µµ ÙÆÜ Ä ½ µ, och lltså gäller tt om Ä ½ är reguljärt, så är ÙÆÜ Ä ½ µ också reguljärt. (x) Antg tt Å ½ är en NFA som ccepterr Ä ½. Konstruer en ny NFA Å ¼ ½ som är ekvivlent med Å ½ förrutom tt vi lägger till ett nytt strttillstånd Õ ¼ smt ett nytt stopptillstånd Õ, som är det end stopptillståndet i Å ¼. Vi lägger också till -övergångr från Õ ½ ¼ till ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något strttillstånd, och -övergångr till Õ från ll tillstånd vrifrån det finns en väg till något stopptillstånd i Å ½.OmÜÛÝ ¾ Ä ½ så simulers konsumtionen v Ü genom tt en övergång från den först mängden -övergångr, Û konsumers genom de vnlig övergångrn från Å ½ och konsumtionen v Ý simulers genom en övergång från den ndr mängden -övergångr. Så Ä Å ¼ ½ µ Ð ØÖÒ Ä Å ½µµ Ð ØÖÒ Ä ½ µ, och lltså gäller tt om Ä ½ är reguljärt, så är Ð ØÖÒ Ä ½ µ också reguljärt. Lösning 5.. (o68) (i) Ej reguljärt. Dett är smm språk som Ò Ñ Ò Ñ vilket är komplementspråk till Ò Ñ Ò Ñ som ej är reguljärt (vilket ni ör h kommit frm till i uppgift 4. och skll evis i uppgift 5.8). Då komplementildning ehåller regulritet kn språket i fråg ej vr reguljärt. (ii) Reguljärt. Språket kn eskrivs v det reguljär uttrycket. 48
49 (iii) Reguljärt. Dett språk innehåller ing strängr och är därmed reguljärt. (iv) Ej reguljärt. Smm språk som det icke-reguljär språket Ò Ñ Ò Ñ. Lösning 5.. (o4) Eftersom Ä är reguljärt så finns det en som känner igen dett språk. Om vi vänder på ll ågr i denn utomt, vilket gör strttillståndet till ccepternde tillstånd och de ccepternde tillstånden till strttillstånd, så lir resulttet tt vi kör den ursprunglig utomten klänges och den ny utomten kommer då tt känn igen språket Ä rev. Då det finns en finit utomt som känner igen Ä rev är språket reguljärt. Lösning 5.4. (o7) Det är inte den tomm mängden eftersom t.ex. Û och Û uppfyller Û Û. Omvi tittr lite närmre på dett villkor så ser vi tt Û måste örj med eftersom dett är prefixet till vänster om likhetstecknet. På smm sätt måste strängrn slut med då dett är postfix till höger. Vi kn dock gör ett undntg för strängen som får funger som åde inlednde och vslutnde och så tt säg lånr sin :n från prefix- och postfixsträngrn i villkoret. Strängen uppfyller lltså villkoret då. Vi försöker nu hitt någr längre exempel. Strängrn skulle lltså örj med så vi måste lägg till ett till vår miniml sträng. Vi hde ju även krvet tt de skulle slut på men vi kn låt det vslutnde :et vr smm som det inlednde och får då strängen.omvi fortsätter tt ygg på denn sträng så leder oss krvet tt de sk slut på frm till följnde strängr. Det finns som synes en regulritet i strängrn som kn smmnftts med: strängrn estår v ett inlednde följt v noll eller fler. Eller om vi formulerr oss med ett reguljärt uttryck: µ. Eftersom det finns ett reguljärt uttryck för språket så är det reguljärt. Lösning 5.5. (o) Språk som ilds vi union v två icke-reguljär språk kn vr reguljär. Dett är t.ex. fllet med språket som ilds vi union v de två icke-reguljär språken Ò Ñ Ò Ñ och Ò Ñ Ò Ñ som eskrivs v det reguljär uttrycket. Även snittet v två icke-reguljär språk kn ge ett reguljärt språk, exempelvis de ickereguljär språken Ò Ò och Ò Ò vrs snitt endst innehåller den tomm strängen vilket är reguljärt. Smmnsättning v två icke-reguljär språk ger dock lltid ett ickereguljärt språk. Om vi ntr motstsen, dvs. tt det gick tt skp ett reguljärt språk genom smmnsättning v två icke-reguljär språk, så skulle det finns en finit utomt som ccepterde dett språk. Smmnsättning v språk motsvrr seriekoppling v de finit utomter som ccepterr respektive språk, lltså skulle det vr möjligt tt del denn finit utomten i två seprt utomter som ccepterde vrt och ett v de ursprunglig språken vilket är en motsägelse då dess språk vr icke-reguljär och det då inte kn finns någr finit utomter som ccepterr dem. Lösning 5.6. (o8) (i) Ej reguljärt. Antg tt Ä Ò ¾Ò är ett reguljärt språk. Då finns det en Å som ccepterr Ä. Skp en ny Å ¼ som ser likdn ut som Å förutom tt ll pr v övergångr Æ Õ½µ Õ¾ och Æ Õ¾µ Õ yts ut till en enskild övergång Æ Õ½µ Õ (två ågr i Å som konsumerr två :n ersätts med en övergång som konsumerr ett ). Å ¼ konsumerr hälften så mång :n som Å, Ä Å ¼ µ Ò Ò vilket då måste vr reguljärt eftersom det finns en som ccepterr dett spår vilket är en motsägelse eftersom vi vet tt Ò Ò är ickereguljärt. Alltså är även Ä ickereguljärt. (ii) Ej reguljärt. Antg tt Ä Û Û ¾¼ ½ Û ¼ Û ½ är reguljärt. Eftersom reguljär språk är slutn över komplement och snitt så är även ÄÄ ¼ ½ µ reguljärt. Men ÄÄ ¼ ½ µ ¼ Ò ½ Ò, vilket inte är reguljärt, lltså är ej heller Ä reguljärt. 49
50 (iii) Ej reguljärt. Antg tt Ä Û Û ¾ Û ¾Û är reguljärt. Från slutenhetsegenskpern över reguljär språk vet vi tt även ÄÄ µ är reguljärt. Men ÄÄ µ Ò ¾Ò, vilket inte är reguljärt, lltså är ej heller Ä reguljärt. (iv) Reguljärt. Det reguljär uttrycket eskriver dett språk. (v) Reguljärt. Det reguljär uttrycket µ µ µ µ eskriver dett språk. Noter tt Û kn vr godtyckligt lång, så den kn ät upp slutet på Ü och örjn på Ü rev. Det end egentlig krvet är tt det först tecknet i Ü (som måste innehåll minst ett tecken) förekommer längre frm i strängen. (vi) Ej reguljärt. Dett språk kn också skrivs Ä Ò Ò Ò Ò ½ Ò Ò ¾ ¾. Antg tt Ä är reguljärt. Ä måste då också vr reguljärt. Men Ä Ò Ò vilket är ickereguljärt, lltså är ej heller Ä reguljärt. Lösning 5.7. (o) (i) ¼½ Ò ¼ Ò Ñ Ñ Ò ½ ¼½ Ò ¼ Ò ¼ Ñ och då vi vet tt ½ Ò ¼ Ò och ¼ Ñ är ickereguljär och tt smmnsättning v icke-reguljär språk ger ett nytt ickereguljärt språk, så kn språket i uppgiften inte vr reguljärt. (ii) Språket är ickereguljärt. Ty vrje pr v de oändligt mång strängrn över ¼ ½µ särskiljs v språket, d.v.s. vrje pr Ü Ý ¾ ¼ ½µ där Ü Ý särskiljs då ÜÜ tillhör språket men inte ÝÜ. (iii) Att dett språk är ickereguljärt ses knske enklre om vi sätter ¼½och ½¼då vi får språket Ò Ò Ò ¼ vilket vi vet är ickereguljärt. (iv) Vi kllr språket Ä och ntr tt det är reguljärt. Då är även Ä ¼ ½ µ reguljärt, då reguljär språk är slutn över snittildning, men dett är en motsägelse eftersom Ä Ä ¼ ½ µ¼ Ò ½ Ò vilket är ickereguljärt. Alltså kn ej heller Ä vr reguljärt. (v) Dett språk särskiljer oändligt mång strängr och är därför ickereguljärt. Ty vrje pr v de oändligt mång strängrn Ü Ý ¾ ¼ ½µ, där Ü Ý, särskiljs då ÜÜ rev tillhör språket men inte ÝÜ rev. (vi) Språket måste särskilj ändligt mång strängr. Beviset är nlogt med lösningen ovn. Vrje pr v de oändligt mång strängrn Ü Ý ¾ ¼ ½µ där Ü Ý, då det finns en sträng Þ Ü rev sådn tt ÜÞÛ tillhör språket men inte ÝÞÛ, särskiljs oändligt mång strängr v språket vilket då inte är reguljärt. (vii) Även här är det lämpligt tt nvänd särskiljndestsen. Vi ehöver dock strm upp vår krv på strängrn något då det nnrs inte är uppenrt tt språket särskiljer dem åt. T två strängr Ü ¼ Ò och Ý ¼ Ò ½, ntlet sån strängr är oändligt. Då även ntlet primtl är oändligt finns det en sträng Þ ¼ Ñ sådn tt Ò Ñ är ett primtl men inte Ò ½µ Ñ (förutom för Ò Ñ ½då åde och är primtl). ÜÞ tillhör lltså språket men inte ÝÞ. Språket särskiljer då oändligt mång strängr vilket gör det ickereguljärt. (viii) Smmnstt tl är ll tl som inte är primtl. Dett språk är lltså komplementspråk till språket v primtlssträngr i föregående uppgift, vilket lltså vr ickereguljärt. Från dett smt från slutenhetsegenskpern för komplementildning vet vi tt inte heller dett språk är reguljärt. (ix) Dett språk är komplementspråk till ¼ Ò ½ Ò vilket är ickereguljärt, från slutenhetsegenskpern för komplement så vet vi då tt även dett språk är ickereguljärt. 5
51 Lösning 5.8. (o8) Vi örjr med tt t en titt på pumpstsen. Pumpstsen uttrycker egenskper som måste gäll för ll strängr i ett reguljärt språk (med oändligt mång strängr). Stsen säger tt ll strängr i ett sådnt språk, som är längre än ett visst tl, innehåller en delsträng (som inte är tom) som kn åde pumps ur en gång (ts ort) och pumps upp ett godtyckligt ntl gånger (repeters), och den resulternde strängen ligger fortfrnde i språket. Dessutom gäller tt en sådn delsträng finns i vrje delsträng v en sträng i språket, om delsträngen hr längd större än eller lik med tlet som nämndes ovn. Omformulert så gäller lltså tt ll strängr Û ¾ Ä där Û Æ kn skrivs som Û ÜÝÞ där Ý ¼, och för ll ¾ Æ så gäller tt ÜÝ Þ ¾ Ä. Dessutom gäller tt ll delsträngr v Û där Û Æ hr ett sådnt pumplock Ý. För tt evis tt ett språk är ickereguljärt med pumpstsen så är det lättst tt försök konstruer en motsägelse. Alltså örjr vi med tt nt tt språket Ä Ò Ò är reguljärt, och försöker komm frm till motstsen. Vi kommer gör dett genom tt titt på en enskild sträng i Ä och vis tt denn inte går tt pump enligt pumpstsen. Så, enligt pumpstsen så gäller tt vrje sträng i Ä som hr längd större än eller lik med ett okänt tl Æ sk h ett pumplock Ý som kn pumps. Eftersom vi inte hr en ning om vd Æ skulle kunn tänks vr, så måste vi vr försiktig och välj en sträng som grntert hr längd större än eller lik med Æ. Det end sättet vi kn gör dett på är tt välj en sträng som är prmetriserd på Æ. T.ex kn vi titt på strängen Û Æ Æ, där det grntert gäller tt Û Æ. Näst steg är tt titt på exkt vr någonstns i strängen Û ÜÝÞ pumplocket Ý ligger. Här kn vi dr nytt v tt ett pumplock måste finns i ll delsträngr v Û där Û Æ. Vi tittr på delsträngen Æ, för vilken det gäller tt Æ Æ. Alltså måste det i Æ finns ett Ý så tt Û ÜÝ Þ ¾ Æ. Vi hr lltså Û Æ Æ där Ü Æ, Ý och Þ Æ.Vi provr tt pump ur pumplocket Ý en gång, och får strängen Æ Æ där ¼. Denn sträng sk enligt pumpstsen finns i språket Ä (enligt ntgndet tt Ä är reguljärt). Men eftersom vi nu hr olik ntl :n och :n så ligger inte den pumpde strängen i språket! Vi hr hittt en motsägelse, och lltså måste vårt ntgnde tt Ä är reguljärt vr flskt. Ä är lltså ickereguljärt. Lösning 5.9. (o6) Vi nvänder oss v pumpstsen även i dett evis. Strängen Û ½¼ Æ ½½¼ Æ ½ tillhör språket, ty ÛÛÛ ÙÙ med Ù ½¼ Æ ½½¼ Æ ½½¼ Æ ½, men pumpr mn t.ex. den inlednde sekvensen v nollor, vilket enligt pumpstsen sk vr möjligt då längden på denn sträng är större eller lik med Æ, så fller strängen ur språket, d.v.s. om Û ½¼ ¾Æ ½½¼ Æ ½ så är ÛÛÛ ÙÙ. Språket är lltså inte reguljärt. Lösning 5.. (o67) Strängrn i språket estår v ett smmnstt pr v delsträngen ÛÛ rev. Strängrn är då lik ovsett om vi läser dem frm eller klänges, de är lltså så kllde plindrom. Plindromspråk är ej reguljär och som vi såg i uppgift 5.5, så kn mn inte få ett reguljärt språk genom smmnsättning v två ickereguljär språk. Lösning 5.. (o7) Vi hr ÖÓØ Äµ Ü Ò ¼Ü Ò ¾ Ä. Antg tt ¾ Ä och välj Ò ¼. Vi får då ÖÓØ Äµ Ü Ü ¼ ¾ Ä Ü ¾ Ä, och eftersom vi inte längre hr någon egränsning på vilk strängr Ü som skll ingå i ÖÓØ Äµ så är ÖÓØ Äµ. Vi hr lltså vist tt ¾ Ä µ ÖÓØ Äµ. Antg nu tt ÖÓØ Äµ. Vi vill vis tt då gäller ¾ Ä. Eftersom ¾ så måste det gäll tt Ò ¼ Ò ¾ Ä. Ovsett hur mång gånger vi än repeterr så får vi resulttet, dvs Ò ¼ Ò. Alltså måste det gäll tt ¾ Ä. Vi hr då vist tt ¾ Ä ÖÓØ Äµ, och tillsmmns med ovnstående stycke så får vi då tt ¾ Ä ÖÓØ Äµ. 5
52 LÖSNING TESTUPPGIFT 6. (o4) (i) Ä är ickereguljärt. Antg tt Ä är reguljärt. Då sk det finns ett tl Æ sådnt tt om Û ¾ Ä och Û Æ så innehåller Û en icketom delsträng Ý som kn pumps utn tt Û fller ur språket. En sådn pumpsträng finns i själv verket i vrje delsträng v Û som är minst Æ tecken lång. Se då på strängen Æ Æ ¾Æ som tillhör språket eftersom Æ Æ ¾Æ. Låt den inlednde sekvensen v :n vr vår pumpsträng Ý, vilken uppfyller villkoret i pumpstsen då Ý Æ. Om vi pumpr Ý en gång så fller strängen ur språket då ¾Æ Æ ¾Æ. Vi hr fått en motsägelse, lltså kn inte Ä vr reguljärt. (ii) Ä är reguljärt. Vrje sträng i Ä kn som mest h 8 v vrder :n, :n och :n. Dett gör ntlet strängr i Ä ändligt och språket är därmed reguljärt. 5
AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:
AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.
Läs mer1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.
UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive
Läs mer6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET
UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merListor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.
1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merFinita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.
Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merTentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.
Tentmen Progrmmeringsteknik II 014-10-4 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följnde Skriv läsligt! Använd inte rödpenn! Skriv r på frmsidn v vrje ppper. Börj lltid ny uppgift på nytt ppper. Lägg uppgiftern i ordning.
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merPROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (070-6527523) PROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p 19 mars 2004 SKRIVTID: 15-20. POÄNGGRÄNSER: 18-27 G, 28-40 VG. MOTIVERA ALLA
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merRepetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn.
1 Repetition 2.n Repetition 2 3 1. Betrt vidstående NFA. 1 2 ) Konstruer ed hjälp v delängdsonstrutionen en DFA evivlent ed NFA:n. ) Är den resulternde DFA:n inil? O ej, inier den! c) Konstruer ett reguljärt
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merIdag: Reguljära språk Beskrivs av Reguljära uttryck DFA Grammatik
Idag: Reguljära språk Beskrivs av Reguljära uttryck DFA Grammatik Först några definitioner: Alfabet = en ändlig mängd av tecken. Ex. {0, 1}, {a,b}, {a, b,..., ö} Betecknas ofta med symbolen Σ Sträng =
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merGrundläggande textanalys, VT2012
Grundläggnde textnlys, VT2012 evelin.ndersson@lingfil.uu.se Rum 9-2035 http://stp.ling.uu.se/~evelin/uv/uv12/gt/ (Tck till Sofi Gustfson-Cpkovâ för mteril.) Idg - Kurspln - Kort historik - Ändlig utomter
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merBokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning
Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merb) S Ø aa, A Ø aa» bb, B Ø aa» bc, C Ø ac» bc» 2. Låt L vara språket över 8a< som nedanstående NFA accepterar.
Salling, 070-6527523 TID : 9-14 HJÄLPMEDEL : Inga BETYGSGRÄNSER : G 18p, VG 28p SKRIV TYDLIGT OCH MOTIVERA NOGA! PROV I MATEMATIK AUTOMATEORI & FORMELLA SPRÅK DV1, 4 p 20 MARS 2002 1. Språket L över alfabetet
Läs merDatorernas matematik
Stockholms mtemtisk cirkel Dtorerns mtemtik Dniel Ahlsén Jor Bgge Institutionen för mtemtik, KTH och Mtemtisk institutionen, Stockholms universitet 2019 2020 Stockholms mtemtisk cirkel genom tidern (tidigre
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merCD5560 FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER, OCH BERÄKNINGSTEORI, 5 p 10 AUGUSTI 2007 LÖSNINGAR
CD556 FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER, OCH BERÄKNINGSTEORI, 5 p AUGUSTI 27 LÖSNINGAR REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p). DFA och reguljär uttryck (8 p) ) Konstruer en miniml DFA som ccepterr strängr över lfetet Σ = {,}
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merAlgebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )
Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn
Läs merFöreläsning 3: Strängmatchning
2D1458, Prolemlösning oh progrmmering under press Föreläsning 3: Strängmthning Dtum: 2006-09-18 Srienter: Miel Elisson, Joim Erisson oh Mts Linnder Föreläsre: Miel Goldmnn Denn föreläsning ehndlr prolemet
Läs merRåd och hjälpmedel vid teledokumentation
Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merdefinitioner och begrepp
0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merRationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merGeometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?
Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merMonteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.
1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel
Millerindex Lösningsförslg till deltentmen i IM61 Fst tillståndets fysik Torsdgen den 15 mrs, 1 Teoridel 1. ) Millerindex för ett tompln bestäms med följnde principiell metod. i) Bestäm plnets skärningspunkter
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merXIV. Elektriska strömmar
Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merNya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5
Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merEvighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969
Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8
Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merMATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?
Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr
Läs merSLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING
SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,
Läs mer