Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel"

Bo Dahlberg
för 5 år sedan
Visningar:

1 Millerindex Lösningsförslg till deltentmen i IM61 Fst tillståndets fysik Torsdgen den 15 mrs, 1 Teoridel 1. ) Millerindex för ett tompln bestäms med följnde principiell metod. i) Bestäm plnets skärningspunkter längs med strukturens tre gittervektorern 1, och (uttryckt i reltiv koordinter c 1, c och c sådn tt skärningen sker i c etc.). ii) Inverter dess tl. iii) Multiplicer med gemensm nämnre så tt ny heltl bilds. Vnligtvis är det den minst gemensmm nämnren som sk nvänds. iv) Dess heltl är Millerindex för plnet. b) Plnet (1) sk skär xlrn i punktern 1 1, 1 1 och 1. I en kubisk struktur är 1 = ˆ x, = ˆ y och = ˆ z, vilket ger skärning i punktern ˆ x, ˆ y och ˆ z (se figur). (1)-pln z x y c) Villkoret för tt vi sk kunn se en röntgentopp är tt Brggs lg uppfylls och tt strukturfktorn är skild från noll. Brggs lg uppfylls för ll (hkl), vrför vi endst behöver bry oss om strukturfktorn ( ) = f Í 1+ exp -ip ( h + k) + l S hkl È Î ˆ ˆ Denn är uppenbrligen lik med noll om och endst om ( h + k ) + l är ett udd heltl, vilket ger följnde tbell: Index (1) (1) (11) (11) (111) (h+k)/+l 4/ 1 7/ Topp (J/Nej) J Nej J J Nej

2 Einsteinmodellen. ) Värmekpciteten beräkns genom tt deriver det givn uttrycket: C v = U T = N hw exp hw ˆ ˆ -1 ( ) exp hw ˆ - hw ˆ k B T k B T = Nk hw ˆ B k B T -1 k B T Vid låg temperturer kommer exponentiltermen tt dominer och vi får tt: hw C v ª Nk ˆ B exp - hw ˆ k B T k B T exp hw ˆ k B T exp hw ˆ ˆ -1 k B T Värmekpciteten kommer således tt vt exponentiellt med temperturen vid låg temperturer. b) I Debyemodellen vtr fononerns värmekpciteten som T (Debyes T -lg) vid låg temperturer. Einsteinmodellen ger således ett mycket snbbre temperturberoende än Debyemodellen. c) Fysiken bkom denn skillnd ligger i fononerns tillståndstäthet. I Einsteinmodellen ntr vi tt ll fononer hr smm frekvens, vilket är en dålig pproximtion när temperturen går mot noll och endst de fononer som hr lägst energi är exciterde. I Debyemodellen ntr vi en kontinuerlig tillståndstäthet, vilken är vpssd till tt ge en god beskrivning v de fononer som hr lägst energi. Därför ger denn modell en bättre beskrivning vid låg temperturer. Reciprok gittret i dimensioner. ) Enligt ledningen kn vi inför en tredje reciprok gittervektor, = cˆ z, där vi låter c Æ vid beräkningrn. Dett ger oss med 1 = ˆ x och = bˆ y givn i uppgiften tt: b 1 = p 1 ( ) = p bc b = p 1 1 ( ) = p bc È Í b = p 1 Í 1 Î Í ( ) = p bc ˆ ˆ b = p bcˆ bc = p x ˆ c ˆ ˆ = p ˆ bc c = p y b ˆ c ˆ ˆ b = p ˆ bc = p c ˆ z = b Den sist räkningen visr br tt vi inte får någon tredje reciprok gittervektor längs z-xeln vid beräkningrn, vilket är helt i sin ordning enligt ntgnden. b) I Brggs lg, relterr vståndet d till längden v en reciprok gittervektor. I dimensioner är den llmänn reciprok gittervektor:

3 G ( hk) = hb 1 + kb = h p x ˆ + k p y b ˆ fi ( ) = p G ( hk) = 1 ( h ) + ( k b) d hk Fri elektrongsen 4. ) För tt omvndl en summ till en integrl behöver vi få in den minst volymen i k- rymden i summeringen, vilket kn åstdkomms genom tt förläng och förkort med fktorn Dk = p ˆ = 8p. Dett ger tt: L V p = lim 1 V Æ V ( ) Â p k = k lim 1 V Æ V V 8p Â p ( k ) 8p k V = lim 1 V Æ 8p Â p ( k ) Dk = 1 8p k Ú p( k )d k b) Energin hos en fri elektron är e = h m k och Fermienergin är e F = h m k F. Vid temperturen T = K, är ll tillstånd upp till och med Fermienergin fylld och ll tillstånd ovnför Fermienergin tomm. I vågvektorrummet betyder dett tt ll elektroner hr k k F och vi kn således få frm medelvärdet v energin per volym genom tt integrer över Fermisfären med k k F. Eftersom det finns två elektroner per k-värde (spinn upp och spinn ner), får vi tt den totl kinetisk energin blir: e = e tot N = V N 1 V h Â m k = V N 1 k FÚ h 4p m k 4pk V dk = N h p m k 5 F 5 k k F Antlet elektroner i Fermisfären ges v: N = 4pk F ( p L) = V p k F fi V N = p k F Tillsmmns ger dett tt: e = p k h F p m k 5 F 5 = 5 h k F m = 5 e F Beräkningsdel Silverkolorid, AgCl 1. Antlet tomer i den kubisk enhetscellen kn beräkns ur Fig. 1 enligt följnde: Silver, Ag: = 4 Klor, Cl: = 4 Antlet formelenheter i den kubisk enhetscellen blir således 4.

4 . Betrkt kntern hos den kubisk enhetscellen, De borde enligt jonrdiern h längden r = r Ag + r Cl = 1,6 + 1,81 Å = 6,14 Å Förhållndet melln cellvolymern blir således ( = 5,546 Å enligt tbell 1) V obs = V ber = 5,546 ˆ r 6,14 =,77 Den observerde cellvolymen är således 6,% mindre än vd som kunde förvänts från jonrdiern i 6-koordinerde jonkristller.. I den kubisk enhetscellen finns det 8 tomer. Dess befinner sig i positionern: Ag: ( ), ˆ, ˆ, ˆ Cl: ˆ, ˆ, ˆ, ˆ För en kubisk struktur är de reciprok gittervektorern: b 1 = p ˆ x ; b = p ˆ y ; b = p ˆ z fi G ( hkl) = h p x ˆ + k p y ˆ + l p z ˆ Strukturfktorn blir nu: ( ) S = Â exp -ig r j j = f Ag 1+ e + f Cl e -iph + e -ipk + e -ipl + e ( ) + e -ip h+k ( ) ˆ -ip h+k+l ( ) + e -ip h+l ( ) ˆ + -ip k+l 4. Röntgentoppr fås när både Brggs lg uppfylls och strukturfktorn smtidigt är skild från noll. Vi hr för en kubisk struktur tt Brggs lg kn teckns: d( hkl)sinq = = l fi q = rcsin l h + k + l h + k + l ˆ Dett ger följnde tbell över lägst (hkl) som kn ge toppr ( = 5,546 Å enligt tbell 1): hkl S(hkl) h + k + l q = rcsin l h + k + l ˆ 1 1 Ingen diffrktionstopp 11 Ingen diffrktionstopp f Ag - f Cl ( ) 1,9 4( f Ag + f Cl ) 4 16,1 1 5 Ingen diffrktionstopp 11 6 Ingen diffrktionstopp 4( f Ag + f Cl ) 8,1

5 5. Eftersom AgCl är en jonkristll utn fri elektroner (isoltor), ges värmekpciteten vid låg temperturer v Debyes T -lg: T ˆ C v = 4Nk B q D fi q D = T 4Nk B C v Eftersom värmekpciteten nges per mol AgCl, sk vi sätt N = N A (en Ag-tom och en Cl-tom per mol AgCl) i beräkningrn, vilket ger den förenklde ekvtionen: q D = T 468N A k B = T C v 468R C v Dett ger följnde tbell: Tempertur (K),9,158,4,574,6,86 C p (mj/(mol. K)) 8,75 9,665 1,75 16,5 17,6,41 Debyetempertur (K) 159,5 159, 158,5 159, 158,4 157,4 Medelvärdet v de beräknde Debyetemperturern blir: 159,5 +159,+158,5 +159, +158,4 +157,4 q D = K =158,7 K 6 6. I ett tredimensionellt mteril med två tomer i bsen förväntr mn sig totlt. =6 fonondispersionsreltioner ( kustisk och optisk). Med beteckningrn L för longitudinell, T för trnsversell, A för kustisk och O för optisk, fördelr sig dess som 1 LA, TA, 1 LO och TO. När de båd trnsversell modern (TA smt TO) är degenererde, dvs. fller ovnpå vrndr kommer mn tt se totlt 4 fonondispersionsreltioner i figuren. Dett är fllet här. 7. Det rör sig om en v symmetririktningrn K, L eller X. Det mximl q-värdet i figuren är: q mx ª cm -1 =15,8 1 6 cm -1 =1, m -1 fi fi K mx = p q mx = 9,9 1 9 m -1 Avståndet till X-punkten på BZ-gränsen beräkns enkelt som p =1,1 11 m -1 Symmetripunkten måste således ligg närmre centrum än denn punkt. Den end symmetripunkt som gör dett är punkten L. Avståndet till punkten L ges v: K L = 1 G( 111) = p = p = 9,81 19 m -1 Dett stämmer med figuren och symmetripunkten som söks måste vr L.

6 8. Kompressibilitetsmodulen beräkns från gitterprmetrrns tryckberoende. Det gäller således tt först bestämm derivtn dv dp ur de experimentell dt. Tbellen ger: Tryck (GP),,5,9 5, 6, 6,6 Gitterprmeter (Å) 5,546 5,461 5,418 5,8 5,57 5,46 Volym (Å ) ,86 158,67 155,89 15,45 15,79 DV (Å ) -7,75-11,9-14,71-17,16-17,8 DV Dp (Å /GP) -,1 -,6 -,8 -,76 -,7 Medelvärdet ger oss en uppskttning v derivtn: DV Dp = -,1 +,6 +,8+,76 +,7 5 Slutligen blir kompressibilitetsmodulen: Å GP -1 = -,89 Å GP -1 k = - 1 V dv dp = 1 5,546,89 GP-1 =16,9 1 - GP -1 =16,9 1-1 P -1

Relevanta dokument

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel Lösningsförslg till deltentmen i IM601 Fst tillståndets fysik Gitter och bs i dimensioner Fredgen den 18 mrs, 011 Teoridel 1. ) Den primitiv enhetscellen är den minst enhetscell som ger trnsltionssymmetri