NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8"

Transkript

1 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr till uppgifter utn miniräknre 1 Del I # 1 (/0) Deriver Del I # (/0) Potensekvtion & eponentilekvtion Del I # (1/0) Terrsspunkt? Del I # 4 (/) Lös ekvtionern Del I # 5 (1/0) Vilket lterntiv? Del I # 6 (1/1) Förenkl uttrcken Del I # 7 (0/) Ränt Del I # 8 (4// ) Undersök egenskp hos etrempunkter Förslg på lösningr till uppgifter med miniräknre Del II # 9 (/1) Konisk behållre Del II # 10 (/0) Liss föräldrr spr Del II # 11 (0/1) Rtionellt uttrck Del II # 1 (1/1) Funktioner Del II # 1 (// ) Miml re Del II # 14 (// ) Jordbävningr Del II # 15 (0/) Vildsvinen ökr krftigt Del II # 16 (0/) Derivtns värde Del II # 17 (0// ) Tngent till ndrgrdspolnom Appendi 5 c G Robertsson buggr

2 Kurs plnering.se NpMC vt011 (9) Förord Uppgifter till kursen Mtemtik C duger utmärkt för träning till kurser enligt G 011. Denn version v lösningrn refererr till den FORMELSAMLING som hör till kursen Mtemtik. Provet kommer inte tt åternvänds enligt beslut från Skolverket Dnr:7-009:15. Kom ihåg Mtemtik är tt vr tdlig och logisk Använd tet och inte br formler Rit figur (om det är lämpligt) Förklr införd beteckningr Du sk vis tt du kn Formuler och utvecklr problem, nvänd generell metoder/modeller vid problemlösning. Anlser och tolk resultt, dr slutstser smt bedöm rimlighet. Genomför bevis och nlser mtemtisk resonemng. Värder och jämför metoder/modeller. Redovis välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk. c G Robertsson buggr

3 NpMC vt 011 Prov som sk åternvänds omftts v sekretess enligt 17 kp. 4 offentlighets- och sekretesslgen (009:400). Avsikten är tt dett prov sk kunn åternvänds t.o.m Vid sekretessbedömning sk dett bekts. Anvisningr Provtid Hjälpmedel Provmterilet Provet Poäng och betgsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN minuter för Del I och Del II tillsmmns. Vi rekommenderr tt du nvänder högst 90 minuter för rbetet med Del I. Del I: Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C. Observer tt miniräknre ej är tillåten på denn del. Del II: Miniräknre, även smbolhnternde räknre och Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C. Provmterilet inlämns tillsmmns med din lösningr. Skriv ditt nmn och komvu/gmnsieprogrm på de ppper du lämnr in. Lösningr till Del I sk lämns in innn du får tillgång till miniräknren. Redovis därför ditt rbete med Del I på seprt ppper. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Provet består v totlt 17 uppgifter. Del I består v 8 uppgifter och Del II v 9 uppgifter. Till någr uppgifter (där det står Endst svr fordrs) behöver br ett kort svr nges. Till övrig uppgifter räcker det inte med br ett kort svr utn det krävs tt du skriver ned vd du gör, tt du förklrr din tnkegångr, tt du ritr figurer vid behov och tt du vid numerisk/grfisk problemlösning visr hur du nvänder ditt hjälpmedel. Uppgift 8 är en större uppgift, som kn t upp till en timme tt lös fullständigt. Det är viktigt tt du försöker lös denn uppgift. I uppgiften finns en beskrivning v vd lärren sk t hänsn till vid bedömningen v ditt rbete. Försök tt lös ll uppgiftern. Det kn vr reltivt lätt tt även i slutet v provet få någon poäng för en påbörjd lösning eller redovisning. Även en påbörjd icke slutförd redovisning kn ge underlg för positiv bedömning. Provet ger mimlt 46 poäng. Efter vrje uppgift nges miml ntlet poäng som du kn få för din lösning. Om en uppgift kn ge g-poäng och 1 vg-poäng skrivs dett (/1). Någr uppgifter är mrkerde med, vilket innebär tt de mer än ndr uppgifter erbjuder möjligheter tt vis kunskper som kn koppls till MVG-kriteriern. Undre gräns för provbetget Godkänt: 1 poäng. Väl godkänt: Mcket väl godkänt: 5 poäng vrv minst 7 vg-poäng. 5 poäng vrv minst 14 vg-poäng. Du sk dessutom h vist prov på flertlet v de MVG-kvliteter som de -märkt uppgiftern ger möjlighet tt vis.

4 NpMC vt 011 Krvgränser Dett prov kn ge mimlt 46 poäng, vrv g-poäng. Undre gräns för provbetget Godkänt: 1 poäng. Väl godkänt: 5 poäng vrv minst 7 vg-poäng. Mcket väl godkänt: 5 poäng vrv minst 14 vg-poäng. Eleven sk dessutom h vist prov på minst tre olik MVG-kvliteter v de fr MVG-kvliteter som är möjlig tt vis i dett prov. De -märkt uppgiftern i dett prov ger möjlighet tt vis fr olik MVG-kvliteter, se tbellen nedn. Uppgift MVG-kvlitet 8 1b 14d 17 Formulerr och utvecklr problem, nvänder generell metoder/modeller vid problemlösning Anlserr och tolkr resultt, drr slutstser smt bedömer rimlighet Genomför bevis och/eller nlserr mtemtisk resonemng Värderr och jämför metoder/modeller Redovisr välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk 5

5 NpMC vt 011 Del I Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. 1. Deriver ) f ( ) = 5 Endst svr fordrs (1/0) + b) g ( ) = e 7 Endst svr fordrs (1/0). Lös ekvtionern och svr ekt. ) 6 5 = 4 Endst svr fordrs (1/0) b) 6 = 4 Endst svr fordrs (1/0). Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser ut. Hn ritr upp grfen på sin räknre, se figur. Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! Kn Klle, utifrån den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. (1/0) 4. Lös ekvtionern 5 ) 4 = 0 (/0) b) lg + lg = (0/)

6 NpMC vt För funktionen f gäller tt f ( ) = e Vilket v följnde påståenden A-E är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) A. f hr egenskpen tt för ll gäller tt f ( ) = f ( ) B. f är en eponentilfunktion med bsen e där e 1, 718 C. f hr en grf som går genom punkten ( 1, 0) D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 E. f hr egenskpen tt f ( 1) = 0 6. Förenkl följnde uttrck så långt som möjligt. ) b) (17 + ) ( + 17) (8 ) (4 ) 4 (1/0) (0/1) 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. Teckn ett funktionsuttrck som nger hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/)

7 NpMC vt 011 Vid bedömningen v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t hänsn till: Hur väl du utför din beräkningr Hur långt mot en generell lösning du kommer Hur väl du motiverr din slutstser Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. I den här uppgiften sk du undersök en egenskp hos etrempunktern till de k funktioner som ges v f ( ) = där k är en konstnt. Tbellen visr koordintern hos etrempunktern till funktionen f för någr olik värden på k. k Etrempunkt/er ( 0, 0) och (, 9) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) 0 ( 0, 0) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) ( 0, 0) och (,9) Kompletter tbellen genom tt beräkn koordintern för etrempunktern då k =, det vill säg då funktionen ges v f ( ) = Studer etrempunktern i tbellen. De ligger på grfen till en nnn funktion som vi kllr g. Ange det funktionsuttrck g () som du tcker är troligt och motiver ditt vl. Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det lltid gäller tt k etrempunktern till f ( ) = ligger på grfen till funktionen g. (4// )

8 NpMC vt 011 Del II Denn del består v 9 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. 9. En konisk behållre flls med vtten. Digrmmet visr hur vttennivåns höjd h i centimeter beror v tiden t i sekunder. ) Det tr 100 sekunder tt fll behållren. Med vilken medelhstighet ökr vttennivåns höjd h under tidsperioden 10 t 100? (/0) b) Tolk vd h ( 50) = 0, 0 betder i dett smmnhng, det vill säg då konen flls med vtten. (0/1) 10. Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig räntestsen är %. Föräldrrn gör den först insättningen det år Lis fller år och sätter sedn in pengr till och med det år hon fller 0 år. Hur mcket pengr kommer det tt finns på kontot direkt efter den sist insättningen? (/0) 11. Ge ett eempel på ett rtionellt uttrck som inte är definiert för = och som hr värdet då = 0 Endst svr fordrs (0/1)

9 NpMC vt Figuren visr grfern till fr funktioner p, q, r och s. Funktionen p är en polnomfunktion v tredje grden. De ndr funktionern hr bildts genom upprepd derivering v p, det vill säg: q( ) = p ( ) r( ) = q ( ) s( ) = r ( ) Pr ihop funktionern p, q, r och s med tillhörnde grf A, B, C och D. Endst svr fordrs (0/1) 1. Grfest kommun sk bgg en bollpln. Den sk vr rektngulär med stängsel runtomkring. För tt inte bollrn sk hmn ute på vägen bestämmer mn sig för tt bgg ett högre stängsel på den sid som ligger närmst vägen, se figur. Kommunen hr bestämt tt stängslet mimlt får kost 6600 kr. Det lägre stängslet kostr 75 kr/m och det högre 5 kr/m. Kostnden för stolpr och grindr ingår i priset för stängslet. Om kommunen nvänder 6600 kr till stängslet kn bollplnens re A m beräkns enligt nednstående smbnd: A( ) = 44 där m är längden på bollplnens sid närmst vägen. ) Bestäm med hjälp v derivt det värde på som ger bollplnens miml re. (/0) b) Vis tt bollplnens re A m kn skrivs A( ) = 44 (0// )

10 NpMC vt I Sverige är jordbävningr vnligre än vd mn kn tro, men oftst är de så svg tt de knppt märks. Med hjälp v Richterskln kn strkn i en jordbävning nges med mgnituden M. Mgnituden M ges v smbndet M = (lg E 4,84) där E är den frigjord energin mätt i enheten joule, J. ) Den 16 december 008 skkdes Skåne v en jordbävning som vr krftig 11 för tt vr i Sverige. Då frigjordes energin,75 10 J. Vilken mgnitud motsvrr dett på Richterskln? (1/0) b) Den krftigste uppmätt jordbävningen i Sverige klls Kosterösklvet och det inträffde den oktober Mgnituden mätte 5,4 på Richterskln. Hur mcket energi frigjordes vid Kosterösklvet? (/0) c) Utgå från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är 5 och den ndr hr en mgnitud som är 7. Hur mång gånger större är den frigjord energin hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre? (0/1) d) Utgå återigen från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är två enheter större än den ndr. Undersök generellt hur mång gånger större den frigjord energin är hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre. (0/1/ ) 15. Antlet vildsvin i Sverige ökr krftigt. Från en rpport är följnde citt hämtt: År 007 beräkndes ntlet vildsvin uppgå till cirk från Skåne och upp till Dlälven som ännu så länge utgör den nordlig gränsen för utbredningen. --- Från 1990 till 007 hr vildsvinspopultionen hft en så strk tillvät tt ntlet vildsvin i Sverige fördubblts vrt femte-sjätte år. Käll: Svensk Nturförvltning AB (008), Rpport 04, Vildsvin, jkt och förvltning Ant tt ntlet vildsvin uppsktts vid smm tidpunkt vrje år. Utifrån cittet kn mn gör olik prognoser om ntlet vildsvin i Sverige i frmtiden. Hur mång vildsvin kn det finns som mest i Sverige när mn uppskttr ntlet år 011 om tillväten fortsätter i den tkt som beskrivs ovn? (0/)

11 NpMC vt Nedn ges derivtns värde hos en funktion f i en given punkt P. (( + h) lim h ) ( h 5 + ) = 80 ) Ange funktionen f Endst svr fordrs (0/1) b) En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion. (0/) 17. Nedn viss grfen till en ndrgrdsfunktion som hr nollställen 1 = och = 4, se figur. Grfen skär -eln i punkten ( 0, p ). Ant tt vi drr en tngent till grfen i punkten ( 0, p ). Bestäm lutningen för denn tngent uttrckt i p. (0// )

12 NpMC vt 011 Del I Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del I # 1 (/0) Deriver 1. Deriver (6) ) f ( ) = 5 Endst svr fordrs (1/0) Differentil- och integrlklkl b) ( ) = e g + 7 Endst svr fordrs (1/0) Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = lim = lim h 0 h Använd FORMELSAMLINGEN. Lös ekvtionern och svr ekt. Derivtor ) 6 5 = 4 Funktion Derivt Endst svr fordrs (1/0) b) 6 = 4 n där n är ett reellt tl n 1 n ( > 0) ln Endst svr fordrs (1/0) e e. Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser ut. Hn ritr upp grfen k e på sin räknre, se figur. k k e ) Funktionen är 1 1 f() = 5 då blir derivtn f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) f () = 5 Svr Primitiv ) f () = 6 Funktion 5 funktioner k b) Funktionen är Primitiv funktion k + C n n f() = e + 7 ( n 1) + C n + 1 då blirhn derivtn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! f () = e e e + C Kn Klle, utifrån den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. k (1/0) k e Svr b) f () = e e + C k + 1 Kommentr Derivtn 4. Lös ekvtionern v konstnten 7 är 0. ( > 0, 1) + C ln 5 ) 4 = 0 (/0) b) lg + lg = (0/) c G Robertsson buggr

13 miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Regler 1. Deriver ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b ( + b)( b) = b Formler Kurs plnering ) f ( till.se ) = ntionellt 5 prov i mtemtik + b = NpMC vt011 Endst ( + b)( svr kurs fordrs b + b ) 1(9) (1/0) b = ( b)( + b + b ) b) ( ) = e Algebr g + 7 Endst svr fordrs (1/0) Del I # (/0) Potensekvtion & eponentilekvtion p p Andrgrdsekvtioner Regler p q = 0 ( + b) = + b + b = ( b± ) = q b + b b ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b. Lös ekvtionern och svr ekt. ( + b)( b) = b Aritmetik ) b = ( + b)( b + b ) = 4 Endst svr fordrs (1/0) b = ( b)( + b + b ) Prefi T G M k h d c m µ n p b) 6 = 4 Endst svr fordrs (1/0) ) I FORMELSAMLINGEN p p Andrgrdsekvtioner finns + 10p 6 följnde + q10 = 0 regler 10 = 10-1 ± q Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser Potenser ut. Hn ritr upp grfen + på = sin räknre, se = figur. 1 ( ) = = Aritmetik = = 4 1 Svr ) 4 1 lg + lg = lg lg lg = lg p 5 lterntivt 5 = b = ( b) n 4 b b n = 0 = 1 lg = p lg Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! b) Logritmer eponentilekvtionen Absolutbelopp Kn Klle, utifrån om 0 6 n Geometrisk n 1 ( k= 4 1) och nvänd FORMELSAMLINGEN för tt få ner på rden. + k = + k k = där k 1 summ den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en om < 0 k 1 terrsspunkt? Motiver ditt svr. (1/0) 4. Lös ekvtionern lg + lg = lg ( + b) = + b + b 5 ) 4 = 0 (/0) log 6 = log Absolutbelopp om 0 4 = b) log 6 lg = + log lg 4= om < 0 Skolverket (0/) log 4 = log 6 log 4 Svr b) = log 6 ( b) = b + b b ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 1 = b = ( b n n b b = 0 = 1 ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Prefi T G M k h d c m µ n p ) n Geometrisk n 1 ( k 1) Börj med tt städ, + behåll k + k i vänsterledet + k = där k 1 summ k 1 5 = 4 6 = Potenser = = ( ) = = Logritmer ( 5 ) 1 5 = = 10 = lg = e = ln Logritmer = 10 = lg = e = ln lg lg = lg lg p = p lg 1(6) c G Robertsson buggr Skolverket

14 . Lös ekvtionern och svr ekt. Kurs plnering ) 6 5 = 4 Endst svr fordrs (1/0).se NpMC vt011 14(9) b) 6 = 4 Del I # (1/0) Terrsspunkt? Endst svr fordrs (1/0). Klle hr fått i uppgift tt t red på hur grfen till en viss tredjegrdsfunktion ser ut. Hn ritr upp grfen på sin räknre, se figur. Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! Kn Klle, utifrån den bild hn ser på sin räknre, vr säker på tt grfen hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. (1/0) En terrsspunkt är en punkt där funktionens derivt är noll och där teckenvälingen är eller 0. Här hr vi inte kunskp om vd derivtn är i någon punkt. För tt kunn 4. Lös vrekvtionern säkr på vd derivtn är måste vi h derivtn på prmetrisk form (lltså en formel). I Appendi på sidn 5 finns fr olik grfer presenterde som ll ser ut tt 5 h en terrsspunkt. ) 4 Endst = 0 en hr terrsspunkt. (/0) Kommentr b) lg När + lg uppgiften = till Klle är tt t red på hur grfen till en viss (0/) tredjegrdsfunktion ser ut är Klles svr tt det ser ut som grfen hr en terrsspunkt korrekt. Frågn till Klle gällde inte vilken sorts etrempunkt som eventuellt döljer sig i grfen. För tt kunn nttj sin miniräknre måste Klle vet formeln för tredjegrdspolnomet. När Klle vet formeln för polnomet är det en stndrdprocedur tt undersök etrempunkter. Kommentr Skolverket skriver följnde i rättningsnormen Det godtgbr svret sk ntingen känneteckns v tt eleven påpekr tt det kn finns mimi- och minimipunkter som inte sns eller v tt eleven påpekr tt om det är en terrsspunkt kn Klle ändå inte vr säker på dett genom tt endst titt på sin räknre eftersom hn ldrig med blott ögt kn se om kurvns tngent är horisontell eller hr en positiv/negtiv lutning. c G Robertsson buggr

15 Algebr Regler Hn säger: Det ser ut som om grfen hr en terrsspunkt! ( + b) = + b + b ( b) = b + b b Kurs plnering.se NpMC vt011 15(9) Kn Klle, utifrån ( b) den = bild hn b + ser b på sin räknre, ( + b) vr = säker + på b tt + b grfen + b hr en terrsspunkt? Motiver ditt svr. ( + b)( b) = b (1/0) Del I # 4 (/) Lös ekvtionern + b = ( + b)( b + b ) b = ( b)( + b + b ) 4. Lös ekvtionern p p 5 + p + q = ) 4 = 0 = ± q (/0) Andrgrdsekvtioner 0 b) lg + lg = (0/) Aritmetik ) Ekvtionen är Prefi T 0 = 4 G 5 M k h d c m µ n p. ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Börj med tt fktoriser ekvtionen 0 = 10 1 ( } {{ } ) 10 6 }{{} : fktorn : fktorn 1: fktorn 0 = 4 ger två rötter 1 och =. : fktorn 0 = + 1 Potenser = = ger en trippelrot ( ) = = 0 Svr ) 1 = +, = och = 0 b = ( b) b b 1 = n n = b) Ekvtionen är lg + lg = n Geometrisk n 1 ( k 1) + k + k k = där k 1 Använd summ FORMELSAMLINGEN där finns följnde k 1 formler. 0 = 1 Logritmer = 10 = lg = e = ln lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg lg + lg = Absolutbelopp om 0 = } {{ } }{{} om < 0 lg lg 1000 Vi hr lltså = 1000 Svr b) = Skolverket c G Robertsson buggr

16 Kurs plnering.se NpMC vt011 16(9) Del I # 5 (1/0) Vilket lterntiv? NpMC vt För funktionen f gäller tt f ( ) = e Vilket v följnde påståenden A-E är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) A. f hr egenskpen tt för ll gäller tt f ( ) = f ( ) B. f är en eponentilfunktion med bsen e där e 1, 718 C. f hr en grf som går genom punkten ( 1, 0) D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 E. f hr egenskpen tt f ( 1) NpMC = 0 vt 011 A5. KORREKT För funktionen se f FORMELSAMLINGEN. gäller tt f ( ) = e B6. Förenkl Vilket fel v följnde Rättuttrck påståenden värde så ärlångt e A-E =, som är korrekt? möjligt. Endst... här svr duger fordrs,718. (1/0) C f(1) = e 1 =,718 0 D A. felf hr egenskpen (17 + ) f () = e tt > för 0 och ll därmed gäller tt är f funktionen ( ) = f ( ) vände för ll. E ) fel f ( + 17) () = e och därmed är f (1) =, Tecknet B. betder f är en eponentilfunktion inte lik med enligt interntionell med bsen e där stndrd. e 1, 718 (1/0) Svr C. b) Alterntiv f (8hr en A ) grf är korrekt som går genom punkten ( 1, 0) 4 (4 ) D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 Del I # 6 (1/1) Förenkl uttrcken E. f hr egenskpen tt f ( 1) = 0 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. (0/1) 6. Förenkl Teckn ett följnde funktionsuttrck uttrck så som långt nger som möjligt. hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/) (17 + ) ) (1/0) ( + 17) b) (8 ) (4 ) 4 (0/1) 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. c G Robertsson buggr Teckn ett funktionsuttrck som nger hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/)

17 ( b) = b + b ( + b)( b) = b Kurs plnering.se NpMC vt011 17(9) p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q ) NpMC vt 011 (17 + ) ( + 17) ( + 17)( + 17)( + 17) = = = + 17 ( + 17) ( + 17) ( + 5. För funktionen f gäller tt f ( ) = e 17)( + 17) Aritmetik Vilket v följnde påståenden A-E är korrekt? Endst svr fordrs (1/0) Svr ) Prefi A. f hr egenskpen T G tt M för ll k gäller h tt f d ( ) = fc ( ) m µ n p b) I B. FORMELSAMLINGEN f är en 10 eponentilfunktion finns 10 6 räkneregler 10 med bsen 10 för e 10 där potenser. -1 e 10 1, ( + b) = + b + b + b + b = ( + b)( b + b b = ( b)( + b + b ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko C. f hr en grf som går genom punkten ( 1, 0) + Potenser = ) = D. f är vtgnde för < 0 och vände för > 0 E. f hr egenskpen tt f ( 1) = 0 b = ( b) b = ( = 1 = n n b = ) ) 0 = 1 1 Geometrisk n 1 ( k 1) Börj = där k 1 summ 6. med Förenkl tt fktoriser följnde uttrck k (8 så ) långt k = som (4 möjligt. ). (8 ) [ (4 k 1 )] = = (4 ) = (4 ) 4 (4 ) 4 (4 ) 4 (4 ) = 8 (17 + ) (4 ) Logritmer ) = 10 = lg = e = ln 8 Svr b) (4 ). ( + 17) lg + lg = lg lg lg = lg lg (8 ) b) 4 Del I # (4 7 ) (0/) Absolutbelopp om Ränt 0 = om < 0 n p = p lg (1/0) (0/1) 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som hr en årlig räntests v r %. Räntestsen är oförändrd under den tid som pengrn finns på kontot. Kpitlet på kontot är K kr. Teckn ett funktionsuttrck som nger hur kpitlet K beror v B och r om pengrn finns på kontot i tre år. Endst svr fordrs (0/) Skolverket Procent betder hundrdel och beteckns med smbolen %, r % betder lltså Efter 1 år hr instsen ( B vät till B 1 + r ) 100 Efter år hr instsen ( B vät till B 1 + r ) ( 1 + r ) Efter år är det totl kpitlet r 100. c G Robertsson buggr

18 Kurs plnering.se NpMC vt011 18(9) Svr ( K = B 1 + r 100 ( K = B 1 + r 100 ) ) c G Robertsson buggr

19 NpMC vt 011 Vid bedömningen v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t hänsn till: Hur väl du utför din beräkningr Kurs plnering.se NpMC vt011 19(9) Hur långt mot en generell lösning du kommer Hur väl du motiverr din slutstser Del Hur I väl # du redovisr 8 (4// ) ditt rbete Undersök egenskp hos etrempunkter Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. I den här uppgiften sk du undersök en egenskp hos etrempunktern till de k funktioner som ges v f ( ) = där k är en konstnt. Tbellen visr koordintern hos etrempunktern till funktionen f för någr olik värden på k. k Etrempunkt/er ( 0, 0) och (, 9) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) 0 ( 0, 0) 1 ( 0, 0) och ( 6,6) ( 0, 0) och (,9) Kompletter tbellen genom tt beräkn koordintern för etrempunktern då k =, det vill säg då funktionen ges v f ( ) = Studer etrempunktern i tbellen. De ligger på grfen till en nnn funktion som vi kllr g. Ange det funktionsuttrck g () som du tcker är troligt och motiver ditt vl. Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det lltid gäller tt k etrempunktern till f ( ) = ligger på grfen till funktionen g. (4// ) #1 Då k = är f() = som hr etrempunkter då f () = 0 lltså c G Robertsson buggr

20 Kurs plnering.se NpMC vt011 0(9) Etrempunktern blir (0, f(0)) = (0, 0) 0 = 6 = respektive (, f()) = (, 4). Tbellen blir ( ). }{{} } {{ } =0 = k Etrempunkter - (0,0) och (-, 9) -1 (0,0) och (-6,6) 0 (0,0) 1 (0,0) och ( 6,6) (0,0) och (, 9) (0,0) och (, 4) # Rit figur. Punktern ligger på grfen till ett : grdspolnom med minimum i origo. Polnomet g() = pssr till smtlig punkter i tbellen. ( 6, 6) (6, 6) (, 9) (0, 0) (, 9) (, 4) # Undersökning för godtckligt k. Polnomet f() = k (1) hr etrempunkter då f () = 0 lltså då 0 = 6 k = }{{} (6 k ). } {{ } () 1: fktorn : fktorn 1: fktorn i ekvtion () ger lösningen 1 = 0. : fktorn i ekvtion () ger lösningen c G Robertsson buggr

21 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) = 6 k då k 0. För fllet k = 0 ger : fktorn ingen lösning eftersom : fktorn är 6 när k = 0. När k = 0 så degenerr :e grdspolnomet (1) till ett : grdspolnom som endst hr en minimipunkt (0, 0). Hur är det med f( )? Beräkn f( ) = ( ) k 6 k f( ) = 6 k 6 k k ( 6 k ) f( ) = 6 k 6 k = 6 k =. Smmnfttning För fllet k = 0 ligger den end etrempunkten (minimipunkt) (0, 0) på grfen till g() =. För fllet k 0 ligger bägge etrempunkter 1 och på grfen till g() =. Det gäller lltså oberoende v k tt etrempunktern till f() ligger på grfen till polnomet g() =. c G Robertsson buggr

22 NpMC vt 011 Kurs plnering.se NpMC Del II vt011 (9) Denn del består v 9 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del II # 9 (/1) Konisk behållre 9. En konisk behållre flls med vtten. Digrmmet visr hur vttennivåns höjd h i centimeter beror v tiden t i sekunder. ) Det tr 100 sekunder tt fll behållren. Med vilken medelhstighet ökr vttennivåns höjd h under tidsperioden 10 t 100? (/0) b) Tolk vd h ( 50) = 0, 0 betder i dett smmnhng, det vill säg då konen flls med vtten. (0/1) ) Bestäm medelhstigheten under tidsperioden 10 < t < Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig medelhstighet räntestsen är %. = h Föräldrrn t gör den först insättningen det år Lis fller år och sätter t sedn = in 100 pengr 10till och med det år hon fller 0 år. Hur mcket h pengr = kommer h det tt finns på kontot direkt efter den sist slut h strt insättningen? (/0) Avläsning v höjden då t = 100 ur figuren ger h slut = 40 och höjden då t = 10 ger h strt = 17,5 11. Ge ett eempel på ett rtionellt 40 17,5 uttrck som inte är definiert för = och medelhstighet som hr värdet då = = 0 = 0, Endst svr fordrs (0/1) Svr ) Svr b) Medelhstigheten är 0,5 cm/s. h (50) = 0,0 betder tt vttennivån ökr med 0,0 cm/s då h = 50 cm. c G Robertsson buggr

23 p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q ) Det tr 100 sekunder tt fll behållren. Med vilken medelhstighet ökr Kurs plnering vttennivåns höjd h under tidsperioden 10 t 100? (/0).se NpMC vt011 (9) Aritmetik b) Tolk vd h ( 50) = 0, 0 betder i dett smmnhng, det vill säg då konen Del Prefi II # flls 10 med (/0) vtten. Liss föräldrr spr (0/1) T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig räntestsen är %. Föräldrrn gör den först insättningen det år Lis fller år och sätter sedn in pengr + till och med det år hon fller 0 år. 1 Potenser = = ( ) = = Hur mcket pengr kommer det tt finns på kontot direkt efter den sist insättningen? (/0) 1 = Använd FORMELSAMLINGEN. b = ( b) n n b b = 0 = Geometrisk ett eempel på ett rtionellt uttrck n 1 som ( k inte 1) + k + k k = är där definiert k 1 för = och summ som hr värdet då = 0 k 1 Endst svr fordrs (0/1) Noter Logritmer hur n 1 och = n10 förekommer = lg i formeln = för e summ = ln v geometrisk serie. Vänsterledet i formeln hr n stcken termer numrerde från 0 till n 1. I Liss fll blir termern lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg 1000 (1,0 9 1) = 1,0 1 }{{} , ,0 8. } {{ } } {{ } Absolutbelopp Lis om 0 0år Lis 9 år Lis år = 1,0 om < 0 0 1,0 1 1,0 8 Högerledet i serien ovn hr 9 termer numrerde från 0 till 8. Miniräknren ger 1000 (1,0 9 1) = ,0 1 Svr kr. n Kommentr I problem v denn tp är det viktigt tt vr noggrnn. Det är lätt tt gör fel på ntlet termer Skolverket c G Robertsson buggr

24 10. Liss föräldrr sätter in 1000 kr i slutet v vrje år på ett konto. Den årlig räntestsen är %. Föräldrrn gör den först insättningen det år Lis fller Kurs plnering år och sätter sedn in pengr till och med det år hon fller 0 år. Hur mcket.se pengr kommer det tt NpMC finns på vt011 kontot direkt efter den sist 4(9) insättningen? (/0) Del II # 11 (0/1) Rtionellt uttrck 11. Ge ett eempel på ett rtionellt uttrck som inte är definiert för = och som hr värdet då = 0 Endst svr fordrs (0/1) Ett rtionellt tl är kvoten v två heltl, eempelvis p där p och q är heltl. Tlet q får q inte vr 0, då det inte går tt divider med noll. Ett rtionellt uttrck är kvoten v två polnom, eempelvis P () Q() där P () och Q() är polnom. Uttrcket är definiert för ll utom de där Q() = 0. Det går inte tt divider med noll. Vi sk skp ett rtionellt uttrck som inte är definiert för =. Det rtionell uttrcket P () är inte definiert för = och hr värdet P (0) 0 då = 0. Enligt uppgiften sk vi skp ett rtionellt uttrck som hr värdet då = 0. Välj lämpligt P (). Det finns mång möjligheter eempelvis P () = 6 eller P () = 6. Svr Uttrcket 6 uppfller de två krven. c G Robertsson buggr

25 Kurs plnering.se NpMC vt011 5(9) Del II # 1 (1/1) Funktioner NpMC vt Figuren visr grfern till fr funktioner p, q, r och s. Funktionen p är en polnomfunktion v tredje grden. De ndr funktionern hr bildts genom upprepd derivering v p, det vill säg: q( ) = p ( ) r( ) = q ( ) s( ) = r ( ) Pr ihop funktionern p, q, r och s med tillhörnde grf A, B, C och D. Endst svr fordrs (0/1) p C Endst kurvn C i bilden är en :e grdsfunktion 1. q = p Grfest A Derivtn kommun sk v bgg :e grdsfunktion en bollpln. Den ärsk :vr grdsfunktion. rektngulär med stängsel runtomkring. Kurvn För Att ärinte en bollrn : grdsfunktion sk hmn med ute på ett vägen minimum. bestämmer mn sig för tt r = p bgg D ett Derivtn högre stängsel v enpå :den grdsfunktion sid som ligger äenärmst 1: grdsfunktion, vägen, se figur. lltså en linjär funktion. Kurvn D är en linjär funktion med lutning. s = r B Derivtn v en linjär funktion med konstnt lutning är konstnt. Kurvn B är en konstnt funktion Svr se ovn. Kommunen hr bestämt tt stängslet mimlt får kost 6600 kr. Det lägre stängslet kostr 75 kr/m och det högre 5 kr/m. Kostnden för stolpr och grindr ingår i priset för stängslet. Om kommunen nvänder 6600 kr till stängslet kn bollplnens re A m beräkns enligt nednstående smbnd: c G Robertsson buggr A( ) = 44 där m är längden på bollplnens sid närmst vägen. ) Bestäm med hjälp v derivt det värde på som ger bollplnens miml re. (/0) b) Vis tt bollplnens re A m kn skrivs A( ) = 44

26 Funktionen p är en polnomfunktion v tredje grden. De ndr funktionern hr bildts genom upprepd derivering v p, det vill säg: q( ) = p ( ) r( ) = q ( ) Kurs plnering s( ) = r ( ).se NpMC vt011 6(9) Pr ihop funktionern p, q, r och s med tillhörnde grf A, B, C och D. Endst svr fordrs (0/1) Del II # 1 (// ) Miml re 1. Grfest kommun sk bgg en bollpln. Den sk vr rektngulär med stängsel runtomkring. För tt inte bollrn sk hmn ute på vägen bestämmer mn sig för tt bgg ett högre stängsel på den sid som ligger närmst vägen, se figur. Kommunen hr bestämt tt stängslet mimlt får kost 6600 kr. Det lägre stängslet kostr 75 kr/m och det högre 5 kr/m. Kostnden för stolpr och grindr ingår i priset för stängslet. Om kommunen nvänder 6600 kr till stängslet kn bollplnens re A m beräkns enligt nednstående smbnd: A( ) = 44 där m är längden på bollplnens sid närmst vägen. ) Bestäm med hjälp v derivt det värde på som ger bollplnens miml re. (/0) (6) b) Vis tt bollplnens re A m kn skrivs Differentil- och integrlklkl A( ) = 44 (0// ) ) Deriver funktionen Derivtns definition f ( + h) f ( ) A() = 44 f ( ) = lim = lim h 0 h Använd FORMELSAMLINGEN där finns f ( ) f ( ) Derivtor Funktion Derivt n där n är ett reellt tl n 1 n ( > 0) ln A () = 44 Derivtn är noll vid etremvärden. e Lös ekvtionen e 0 = 44 4 k k e k e som ger 1 1 c G Robertsson buggr f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) Primitiv Funktion Primitiv funktion

27 Kurs plnering.se NpMC vt011 7(9) = 11. Med teckentbell konstters tt A(11) är en mimipunkt. = 10 = 11 = 1 A () + 0 A() väer m-punkt vtr Alterntivt kn mn konstter tt ett : grdspolnom hr ekt en etrempunkt som ntingen är ett mimum eller minimum. När koefficienten frmför är negtiv som i dett fll så hr polnomet ett mimum. Svr ) = 11 ger miml re till bollplnen. b) Plnens re A = där är längden v sidn (kortsid) enligt uppgiftens figur och är ndr sidn (långsid). Kostnden för stängslet är 6600 kr = } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } hög kortsidn långsid kortsid långsid 6600 = = = + = 44 A() = (44 ) = 44 Svr b) Plnens re kn skrivs A() = 44. Kommentr Bollplnens miml re A(11) = 4 m men denn uppgift efterfrågdes inte. Vr nog! Svr lltid på det som frågs efter. c G Robertsson buggr

28 Hur mång vildsvin kn det finns som mest i Sverige när mn uppskttr ntlet år 011 om tillväten fortsätter i den tkt som beskrivs ovn? (0/) Kurs plnering.se NpMC vt011 8(9) Del II # 14 (// ) Jordbävningr NpMC vt I Sverige är jordbävningr vnligre än vd mn kn tro, men oftst är de så svg tt de knppt märks. Med hjälp v Richterskln kn strkn i en jordbävning nges med mgnituden M. Mgnituden M ges v smbndet M = (lg E 4,84) där E är den frigjord energin mätt i enheten joule, J. ) Den 16 december 008 skkdes Skåne v en jordbävning som vr krftig 11 för tt vr i Sverige. Då frigjordes energin,75 10 J. Vilken mgnitud motsvrr dett på Richterskln? (1/0) b) Den krftigste uppmätt jordbävningen i Sverige klls Kosterösklvet och det inträffde den oktober Mgnituden mätte 5,4 på Richterskln. Hur mcket energi frigjordes vid Kosterösklvet? (/0) c) Utgå från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är 5 och den ndr hr en mgnitud som är 7. Hur mång gånger större är den frigjord energin hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre? (0/1) d) Utgå återigen från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är två enheter större än den ndr. Undersök generellt hur mång gånger större den frigjord energin är hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre. (0/1/ ) ) Beräkn mgnituden M för energin E =, J. 15. Antlet vildsvin i Sverige ökr krftigt. Från en rpport är följnde citt hämtt: }{{} M = stopp in År 007 (lg {}}{ E 4,84) plock ut beräkndes ntlet vildsvin uppgå till cirk från Skåne och upp till Dlälven som ännu så länge utgör den nordlig gränsen för M utbredningen. = ( lg(, ) 4,84 ) --- M Från = 1990 (11,44 till 007 hr 4,84) vildsvinspopultionen = 4,40 hft en så strk tillvät tt ntlet vildsvin i Sverige fördubblts vrt femte-sjätte år. Svr ) M = 4,40 Käll: Svensk Nturförvltning AB (008), Rpport 04, Vildsvin, jkt och förvltning Ant tt ntlet vildsvin uppsktts vid smm tidpunkt vrje år. b) Beräkn energin E för mgnituden M = 5, 4. stopp in {}}{ M = (lg }{{} E 4,84) plock ut Möbler om så tt lg E blir fritt. c G Robertsson buggr Utifrån cittet kn mn gör olik prognoser om ntlet vildsvin i Sverige i frmtiden.

29 Potenser = + = ( ) = = 1 Kurs plnering.se NpMC 1 = vt011 9(9) b = ( b) n n b b = 0 = 1 Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs lg E = M + 4,84 n (1) Geometrisk n 1 ( k 1) + k + k k = där k 1 Nu summ vet vi lg E men behöver E. Använd FORMELSAMLINGEN k 1 där finns följnde. Algebr Logritmer = 10 = lg = e = ln Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b b lg + lg = lg lg lg = lg lg p ( b) = b + b ( + b) = + b + b = p + lg b ( + b)( b) = b E = 10 Absolutbelopp + b = ( + b)( b + b ) om 0 lg = E = 10 M+4,84 b = ( b)( + b + b ) () Stopp in M = 5,4 i ekvtion om (). < Vi 0 får E = 10 5,4+4,84 = 10 1,94 = 8, J p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q Svr b) E = 8, J. 1(6) c) Jämför energin för mgnituden M = 5 och M = 7. Använd den tidigre formeln (). Aritmetik Låt E 5 beteckn energin för mgnituden 5 och E 7 beteckn energin för mgnituden 7. Bestäm Prefi kvoten Skolverket E 7 = 10 T 7+4,84 G M k h d c m µ n p E ter ,84 gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Använd FORMELSAMLINGEN och 10 6 förenkl kvoten Potenser = + = ( ) = = 1 b = ( b) b 1 = n n b = 0 = 1 Geometrisk E n 1 ( k 1) 7 + k + k k = där k 1 summ = ,84 = 10( 7+4,84 5+4,84) E 5+4,84 k 1 = 10 ( 7 5) = 10 () 5 Svr c) Logritmer gånger = 10 större. = lg = e = ln d) Jämför energin lg för + lgmgnituden = M och lg M lg +. = Använd lg den tidigre lg p formeln (). Låt = p lg E M beteckn energin för mgnituden M och E M+ beteckn energin för mgnituden M +. Bestäm kvoten E Absolutbelopp M+ om 0 = 10 = (M+)+4,84 = 10 E M 10 M+4,84 = 10. om < 0 n Svr d) 1000 gånger större. c G Robertsson buggr Skolverket

30 c) Utgå från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är 5 och den ndr hr en mgnitud som är 7. Hur mång gånger större är den frigjord energin hos den krftigre jordbävningen jämfört med den frigjord energin hos den svgre? (0/1) Kurs plnering.se NpMC vt011 0(9) d) Utgå återigen från två olik jordbävningr där den en hr en mgnitud som är två enheter större än den ndr. Undersök generellt hur mång gånger större den frigjord energin är hos den krftigre jordbävningen jämfört med den (4) frigjord energin hos den svgre. (0/1/ ) Del II # 15 (0/) Vildsvinen ökr krftigt 15. Antlet vildsvin i Sverige ökr krftigt. Från en rpport är följnde citt hämtt: År 007 beräkndes ntlet vildsvin uppgå till cirk från Skåne och upp till Dlälven som ännu så länge utgör den nordlig gränsen för utbredningen. --- Från 1990 till 007 hr vildsvinspopultionen hft en så strk tillvät tt ntlet vildsvin i Sverige fördubblts vrt femte-sjätte år. Käll: Svensk Nturförvltning AB (008), Rpport 04, Vildsvin, jkt och förvltning Ant tt ntlet vildsvin uppsktts vid smm tidpunkt vrje år. Utifrån cittet kn mn gör olik prognoser om ntlet vildsvin i Sverige i frmtiden. Hur mång vildsvin kn det finns som mest i Sverige när mn uppskttr ntlet år 011 om tillväten fortsätter i den tkt som beskrivs ovn? (0/) Vildsvinen fördubbls på 5 6 år. Vi väljer tt beskriv popultionens ökning med följnde eponentilekvtion C = C t som beskriver hur polultionen ökr från C till C under tidsintervllet t. Med t = 5 år får vi = 5 där kn skrivs på någr olik sätt. = 1 5 = 0, = 5 = 1,1487 Fördubbling på tidsintervllet 6 år ger ett något mindre värde på. För tt beräkn det ntl vildsvin som mest kn finns efter 4 år ( ) nvänder vi det störst värdet på och beräknr m ntl = , Svr M ntl vildsvin år 011 kn uppsktts till c G Robertsson buggr

31 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Del II # 16 (0/) Derivtns värde... NpMC vt Nedn ges derivtns värde hos en funktion f i en given punkt P. (( + h) lim h ) ( h 5 + ) = 80 ) Ange funktionen f Endst svr fordrs (0/1) b) En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion. (0/) (6) Använd FORMELSAMLINGEN där finns derivtns definition. Differentil- och integrlklkl 17. Nedn viss grfen till en ndrgrdsfunktion som hr nollställen 1 = och = 4, se figur. Grfen skär -eln i punkten ( 0, p ). Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = lim = lim h 0 h Svr ) f() = 5 + Derivtor Funktion Derivt b) Punkten P hr -koordinten n = och -koordint n 1 f() = 5 + = 5. Punkten P där n är ett reellt tl n är lltså (, 5). Den sökt tngenten är en rät linje som går genom punkten (, 5) och hr riktningskoefficienten k = ( 80. > 0) 5 80 ln {}}{ {}}{ = k + }{{} m e 15 k e k e Svr b) Tngentens ekvtion är = Ant tt vi drr en tngent till grfen i punkten ( 0, p ). Bestäm lutningen för denn tngent uttrckt i p. (0// ) f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) e k Primitiv funktioner Funktion k Primitiv funktion k + C n ( n 1) + 1 n + C n + 1 c G Robertsson e buggr e + C k e e + C k k ( > 0, 1) + C

32 (( + h) lim h ) ( h 5 + ) = 80 ) Ange funktionen f Endst svr fordrs (0/1) Kurs plnering.se NpMC vt011 (9) b) En tngent drs i punkten P. Bestäm tngentens ekvtion. (0/) Del II # 17 (0// ) Tngent till ndrgrdspolnom 17. Nedn viss grfen till en ndrgrdsfunktion som hr nollställen 1 = och = 4, se figur. Grfen skär -eln i punkten ( 0, p ). Ant tt vi drr en tngent till grfen i punkten ( 0, p ). Bestäm lutningen för denn tngent uttrckt i p. (0// ) Lutningen för en tngent är derivtn i punkten, här är det punkten (0, p) som är ktuell. För tt kunn deriver måste funktionen vr känd. I dett problem är : grdsfunktionen inte känd. Börj med tt bestämm : grdsfunktionen. Funktionen går genom tre olik punkter. Det finns olik möjligheter tt bestämm funktionen. Lösning, vrint ABC Tngentens lutning i punkten (0, p) är derivtn till : grdspolnomet i punkten. Antg tt polnomet beskrivs med () = A + B + C då blir derivtn () = A + B och derivtn i den efterfrågde punkten (0, p) blir (0) = B Vi hr tre okänd A, B, C och smtidigt känner vi tre olik punkter (0, p), (, 0), (4, 0) som grfen går genom. Bild tre ekvtioner. p = A 0 + B 0 + C (1) ekvtion (1) ger 0 = A + B + C () 0 = A 4 + B 4 + C () c G Robertsson buggr

33 Kurs plnering.se NpMC vt011 (9) C = p. Ekvtion () och () ger med lösningen (4) p = A 4 + B (5) p = A 16 + B 4 (6) Eliminer den icke intressnt A ur ekvtionern (5) och (6). Ekvtion (6)-4 (5) ger p = B ( 4). Den efterfrågde derivtn (0) i punkten (0, p) är lltså B = p 4. (4) Lösning, vrint nollställen Det finns mång olik : grdsfunktioner som hr nollställen = och = 4. Vrje värde på K i polnomet = K ( )( 4) ger ett polnom med nollställen = och = 4. Vi sk välj K så tt polnomet går genom punkten (0, p). Dett betder tt p = K (0 )(0 4) vilket ger K = p 8. (0, 8) = ( )( 4) (0, p) = p ( )( 4) 8 4 c G Robertsson buggr

34 Kurs plnering.se NpMC vt011 4(9) = p ( )( 4) 8 = p 8 ( 6 + 8) = p ( 6) 8 (0) = p p ( 0 6) = 8 4 Svr Lutningen för tngenten i punkten (0, p) är p 4. c G Robertsson buggr

35 Kurs plnering.se NpMC vt011 5(9) Appendi Här presenters fr olik grfer som ll ser ut tt h en terrsspunkt. Funktionern är f() = och tre vrinter. Endst f() = hr terrsspunkt med teckenvälingen Med δ = 0, får vi följnde fr grfer. A f() = f() B f() = ( δ) f() terrsspunkt m min 0 0, f(0) = 0 f(0) = 0 f(0,) = 0,004 C f() = ( δ) ( + δ) f() D f() = ( + δ ) f() m min 0,17 0,17 f( 0,17) = 0, 01 f( 0,17) = 0, 01 etrempunkter skns f () 0, c G Robertsson buggr

36 Kurs plnering.se NpMC vt011 6(9) A Terrsspunkt Studer fllet med en trippelrot för = 0 f() =. Bestäm etrempunkter, deriver. f () = Bestäm där f () = 0. 0 = Derivtns hr en dubbelrot för 1, = 0. Andrderivtn är f () = 6. = 0 f() 0 terrsspunkt f () f () 0 Andrderivtn f (0) = 0 duger inte för tt vgör etrempunktens tp. c G Robertsson buggr

37 Kurs plnering.se NpMC vt011 7(9) B M- & min-punkt Studer fllet med en dubbelrot för = 0 och en tredje rot för = δ f() = ( δ) f() = δ Bestäm etrempunkter, deriver. f () = δ f () = ( δ) Bestäm där f () = 0. 0 = ( δ) Derivtns nollställen är 1 = 0 och = δ. f(0) = 0 f( δ) = ( δ ) ( 1 Andrderivtn är f () = 6 δ. ) δ = 4 7 δ = 0 = δ f() δ m min f () f () δ δ När det fungerr är det enklre tt nttj ndrderivtn för tt vgör etrempunkterns tp än teckentbell. I dett fll fungerr det utmärkt med tt nttj ndrderivtn. Här är f (0) = δ < 0 och punkten (0, 0) är lltså en m-punkt. Kom ihåg tt för figurern på på sidn 5 är δ = 0,, vi hr positiv δ. För den ndr etrempunkten gäller tt f ( δ) = δ > 0 och punkten ( 4 δ, 7 δ ) är lltså en min-punkt. c G Robertsson buggr

38 Kurs plnering.se NpMC vt011 8(9) C M- & min-punkt, vrint Studer fllet med en enkelrot för = 0 och två rötter enligt = ±δ f() = ( δ) ( + δ) f() = ( δ ) f() = δ Bestäm etrempunkter, deriver. f () = δ Bestäm där f () = 0. 0 = 1 δ Derivtns nollställen är 1 = δ och = +δ. f( δ ) = δ 9 f( +δ ) = 9 Andrderivtn är f () = 6 δ f() = δ = +δ δ δ 9 9 m min f () f () δ δ Här är f ( δ ) = δ < 0 och punkten ( δ, 9 δ ) är lltså en m-punkt. Kom ihåg tt för figurern på på sidn 5 är δ = 0,, vi hr positiv δ. För den ndr etrempunkten gäller tt f ( δ ) = δ > 0 och punkten ( δ, 9 )δ är lltså en min-punkt. c G Robertsson buggr

39 Kurs plnering.se NpMC vt011 9(9) D Etrempunkter skns Studer fllet med en enkelrot för = 0 och två komple rötter enligt = ±iδ f() = ( + δ ) f() = + δ Bestäm etrempunkter, deriver. f () = }{{} + δ δ 0 Funktionen f() sknr etrempunkter. Funktionen hr positiv derivt för ll och är därför strikt vände. Bonusfråg Är kurvn nedn en del v en rät linje eller en del v cirkel med mcket stor rdie? c G Robertsson buggr

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN uppgifter med miniräknare 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN uppgifter med miniräknare 3 freeleaks NpMaD ht000 för Ma (8) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 000 6 uppgifter med miniräknare 3 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tdlig och logisk Använd tet och inte

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 freeleaks NpMaB ht000 () Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 000 Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar 7 Del

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3 freeleks NpMB ht006 1(31) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 NpMB HT 006 LÖSNINGAR 3 Del I: Digitl verktg är INTE tillåtn 3 Del 1 # 1 (/0) Lös ekvtionen....................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaB ht2002 1(7) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2002 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5 Förord Skolverket har endast

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaB vt2001 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2001 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 Förord Skolverket har endast

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt999 för Ma4 (7) Innehåll Förord Kursprov i matematik, kurs E vt999 Del I: Uppgifter utan miniräknare Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tdlig och

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Månadsrapport september 2013. Individ- och familjeomsorg

Månadsrapport september 2013. Individ- och familjeomsorg Måndsrpport september 2013 Individ- och fmiljeomsorg Innehållsförteckning 1 Ekonomi och verksmhet... 3 1.1 Resultt per verksmhet... 3 1.2 Volymer, sttistik och kostndsnyckeltl... 5 Individ- och fmiljeomsorg,

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt00 lämpliga för Ma4 1(9) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 00 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi 9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet

Läs mer

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: BInnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Ntionell prov från tidigre år Mtteoken.se Pluggkuten.se

Läs mer

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Meknik 2008 05 20 Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, 2008 05 20 Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaE vt2000 för Ma4 1(6) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 2000 2 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 5 Förord Kom ihåg Matematik är att vara

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen 2016-05-23 Sid 1/2 Tjänsteskrivelse Dnr: LKS 2016-235 Kommunstyrelseförvltningen Leif Schöndell, 0523-61 31 01 leif.schondell@lysekil.se Pln för lik rättigheter och möjligheter i rbetslivet uppdrg till

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Månadsrapport juni 2014. Social- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsavdelningen

Månadsrapport juni 2014. Social- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsavdelningen Måndsrpport juni 2014 Socil- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsvdelningen 1 Ekonomi och verksmhet 1.1 Resultt per verksmhet 1.1.1 Resultt juni 2014 Intäkter Kostnder Verksmhet Kom. ers. Fsg v verksm.

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E ht Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

Kursprov i matematik, kurs E ht Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaE ht1997 för Ma4 1(6) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E ht1997 2 Del I: Uppgifter utan miniräknare Del II: Uppgifter med miniräknare 5 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tydlig

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 reeleks NpMD ht006 ör M4 19 Innehåll Föror 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 006 Del I, 9 uppgiter utn miniräknre 3 Del II, 8 uppgiter me miniräknre 6 Föror Kom ihåg Mtemtik är tt vr tylig

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

KOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd

KOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd FILIPSTADS KOMMLIN Dtum 2013-03-12 För kdnnedom: Kommunstyrelsen Kommuffillmhige Revisionsrpport ngående gemensm dministrtiv nämnd Vi hr, tillsmmns med revisorem i Kristinehmns, Krlskog och Storfors kommuner

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt2011 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011 2 Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5 Förord Skolverket har endast

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer