Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
|
|
- Anna-Karin Hedlund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att unktionen vbildr vbilds på betecknr vi eller ( ) =. Om () säger vi tt är bilden v originlen. Att är en unktion rån A till B betecknr vi på öljnde sätt : A B Mängden A är unktionens strtmängd (eng: initil set ). Mängden B är unktionens målmängd (eng: inl set trget set ) : A B Deinitionsmängden (eng: domin) D till unktionen är mängden v ll originler dvs mängden v ll på vilk tillämps (den gul mängden i gren). Värdemängden (eng: rnge) V är mängden v ll bilder som ås då genomlöper deinitionsmängden eller mer precis V ( ) : D }. { Noter skillnden melln strtmängden och deinitionsmängen; värdemängden V och målmängden B ). Generellt gäller: D Aoch V B. Sid v
2 Deinitionsmängd I envribelnls som stndrd gäller öljnde överenskommelse: Om vi inte nger på eplicit sätt deinitionsmängden ör en unktion =() menr vi tt unktionens deinitionsmängd består v ll reell ör vilk () är ett reellt tl. Dvs vi menr tt D ( i ett sådnt ll) är den störst möjlig deinitionsmängden ör (). Eempel. Låt : R R där ( ). För den här unktionen är strtmängden= R målmängden = R deinitionsmängden=[-] och värdemängden =[0] Eempel. (Ett diskret eempel) För unktionen som deiniers med hjälp v gren gäller: : A B strtmängden=a= { 4 } målmängden = B { b c d e} deinitionsmängden är D { } värdemängden är V { c}. ================================================================ I den här kursen (Envribelnls) betrktr vi reell unktioner = () v en reell vribel med ndr ord både och är reell tl. Alltså i vår kurs gäller otst : R R För tt deinier en unktion måste vi nge. unktionens deinitionsmängd D. och. ett uttrck = () ( dvs en regel som till vrje D ordnr ekt ett reellt tl () ). Lägg märke till tt vi kn beteckn vribler med ndr bokstäver: T e vi betrktr ( ) 8 R och g( t) t 8 t R som två lik unktioner Sid v
3 Deinitionsmängd Funktionens värdemängd V ärr mängden vv ll () då vrier inom deinitionsmängden dvs V { ( ) : D } D Deinitionsmängden ör unktionen ( ) i iguren till höger är ( 8 ] D medn värdemängden består v två intervll V ( 4) [68] Gren till en unktion G är mängden m vv ll punkter ( ( )) ) då vrierr inom deinitionsmängden dvs G= {( ( )) : }. Motsvrnde kurv i -plnet klls unktionskurv. För vrje i deinitionsmängden D hr vi ekt en punkt ( ()) på unktionsgren. D igur A igur B () Kurvn i igur A är en unktionskurv ( ör vrje reellt tl = hr vi högst en motsvrnde punkt på unktionskurv. [Om ligger i deinitionsmängden dåå hr vi ekt en motsvrnde punkt på unktionskurvn.] Kurvn i igur B (en ellips) ärr INTE en unktionskurv ( ör minst ett = hr vi minst två motsvrnde punkter på gren Sid v
4 Deinitionsmängd Två unktioner ( ) : D och g ( ) : D är lik om och endstt om D D och () g() ör D ll D. T e [5] och [0] är två olik unktioner. RESTRIKTION AV EN FUNKTION. Låt och g vr två unktioner med deinitionsmängder respektive B där B A. Om ( ) g( ) ör ll B säger vi tt g är restriktionen v unktionen till B. A Med ndr ord en restriktion g hr smm regel som ( uttrck ()= =g() ) men deinitionsmängd ( B A ). hr en mindre T e. Om ( ) D g med deinitionsmängden D [ 5] [ 4] då är g restriktionen v unktionen till [ 4] och g( ) med Eempel : Rit unktionen därr. Bestäm unktionens värdemängd. Lösning: Funktionens deinitionsmängd är mängden v ll reell tl sådn tt. Alltså D D { R } som vi skriver på kortre sätt D [ ). Vi ritr den del v prbeln. därr Lägg märke till tt punkten ( 4) inte tillhör gren. Vi ser tt 0 4. Därmed är unktionens värdemängd { R : 0 4} V Vi skriver på kortre sätt Eempel : V [0 4). Sid 4 v
5 Deinitionsmängd Låt. Bestäm unktionens deinitionsmängd ( dvs den störst möjlig deinitionsmängd) och värdemängd. Rit gren till unktionen.. Lösning. är ett reellt tl om och endst om 0. Funktionen ntr ll värden 0 Svr : D [ 0 ) V [ 0 ) Deinitionsmängd ör elementär unktioner. ) Följnde elementär unktioner är deinierde ör ll reell 5 7 sin cos rctn rccott där 0 t e e 5 polnom n n 0 n är ett nturligt tl. b) Funktionen c ) ln() är är deinierdd om 0 d) är deinierd om 0 deinierd om 0 e ) rcsin är deinierd om ) rccos är deinierd om g ) Potensunktionen där är ett reellt tl är deinierd åtminstone ör >0. I ) Om eponent är positivt heltl då är deinierd ör ll Sid 5 v
6 Deinitionsmängd 4 t e unktionen hr D ( ) II ) Om eponent är negtivt heltl då är deinierd ör ll 0 4 t e unktionen är deinierd ör ll 0 4 III) Om eponent är ett positivt tl men inte heltl då är t e unktionen är deinierd ör ll 0. III) Om eponent är negtivt tl men inte heltl då är / t e unktionen är deinierd ör ll 0. deinierd ör ll 0 deinierd ör ll 0 Anmärkning: Lägg märke till tt öljnde två unktioner och inte hr smm deinitionsmängd: är deinierd ör ll även negtiv t e 8 medn är deinierd ör 0. De två unktioner är lik endst ör 0. Alltså är korrekt endst om 0!!! Eempel : Bestäm deinitionsmängden till 5 8 sin 4cos e rctn rccot Svr : D ( ) R (R= mängden v ll reell tl) Sid 6 v
7 Deinitionsmängd. Funktionen u() är deinierd om u() 0. Eempel 4: Bestäm deinitionsmängdenn till Lösning. 0. Svr: D [ ) Eempel 4: Bestäm deinitionsmängdenn till Lösning. 0. ör ll. D Svr: D ( ) Eempel 5: Bestäm deinitionsmängden n till sin Lösning. sin 0 k k där k 0 Svr: Funktionen är deinierd om k k där k 0. Funktionen ln( u( )) är deinierd om u( ) 0. Eempel 6. Bestäm deinitionsmängdenn till ln( 4) Lösning. 4 0 eller Svr: D D ( ) ( ) 4. Den rtionell unktionen p( ) q( ) är deinierd om q() 0. Sid 7 v
8 Deinitionsmängd Eempel 7. Bestäm deinitionsmängden till 4 9 Svr: Funktionen är deinierd om 5. Funktionen sin tn är deinierd om cos 0 cos dvs om k 6. Funktionen cos cot är deinierd om sin 0 sin dvs om k Eempel 7. Bestäm deinitionsmängden till tn( ) Lösning. cos( ) 0 k k 6 Svr: Funktionen är deinierd om k 6 7. Funktionen rcsin( u( )) u ( ) är deinierd om 8. Funktionen rccos( u( )) u ( ) är deinierd om Eempel 8. Bestäm deinitionsmängden till rccos( ) Sid 8 v
9 Deinitionsmängd Lösning. Svr: D [ ] Eempel 9. Bestäm deinitionsmängden till unktionen 4. Lösning: 4 ) Funktionen är deinierd om ej + de Deinitionsmängden : D ( 0] ( ) Eempel 0. Bestäm deinitionsmängden ör ln(6 5 ) Lösning: b) Villkor : ( 5)( ) 0 ( 5)( ) 0( teckenstudium) 5 0 ( ) 0 ( teckenstudium) 0 eller Sid 9 v
10 Deinitionsmängd Båd villkoren är upplld ör 5. Svr: < < 5 Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln( ) rcsin( ) e sin Lösning: Villkor : 0 Villkor : Villkor och ger: Svr: Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln( ) rccos( ) 4 4 cos Lösning: Villkor : 0 Villkor : ( vi dderr +) Villkor och ger: Svr: Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln( ) e 6 Sid 0 v
11 Deinitionsmängd Svr: 4 Eempel 4. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln(50 ) sin( 4) rctn Svr: 5 Sid v
Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller avbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Läs merINLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp
rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merRELATIONER OCH FUNKTIONER
RELATIONER OCH FUNKTIONER 1 ORDNADE LISTOR (n-tipplar) Ordningen i en mängd spelar ingen roll Exempelvis {1,,3}={3,1,}={1,3,} För att beskriva listor med objekt där ordningen är viktigt använder vi rundparenteser
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.
Inversa unktion BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merHF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merAlgebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )
Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1
Läs merÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.
ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst
Läs merTaylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) optimering och iii) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR ylors ormelör evribeluktioer AYLORS FOREL FÖR FUNKIONER AV EN VARIABEL ylors ormel väds bl vid i umerisk beräkigr ii optimerig och iii härledigr iom olik tekisk och mtemtisk
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merKOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merStokastiska variabler
Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik 3 oktober 08 Innehåll Att läs innn vi börjr 7. Vrför läs mtemtik?..................... 7. Uppmning till läsren v dett häfte............. 7.3 Lärndemål
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. Mängden av alla lösningar till en ekvation kallas ekvationens lösningsmängd.
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi LINJÄRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER Inlening: Definition. Mängen v ll lösningr till en ekvtion klls ekvtionens lösningsmäng. Eemelvis är {-, } lösningsmängen
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merDagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.
Dagens teman Mängdlära orts. Relationer och unktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Deinition av de naturliga talen, Peanos axiom. Relationer och unktioner Relationer Generell deinition: En relation R på mängden
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt
Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs mervara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion SKALÄRPRODUKT. EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING. PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE Sklärprodkt i R n, R och R : Definition. Låt,,...,
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merListor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.
1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn
Arcusunktioner ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd derivatan udda/jämn arcsin() [-, ] [, ] arccos() [-, ] [ 0, ] arctan() alla reella tal (, ) arccot() alla reella tal ( 0, ) + + udda varken udda
Läs merTips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.
ASYMPTOTER Definition. Den räta linjen är en lodrät (vertikal) asmptot till funktionen om å dvs om minst en av följande påståenden gäller lim, lim, lim lim Tips : Vertikala asmptoter kan finnas bland definitionsmängdens
Läs merY=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor
Läs merSERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merarcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner
ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd arcsin( [-, ] [, ] arccos( [-, ] [00, ] arctan( alla reella tal (, arccot( alla reella tal ( 0, derivatan udda/jämn udda varken udda eller jämn udda varken udda
Läs merTillämpad Matematik I Övning 2
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning Tillämpd Mtemtik I Övning Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm, så det
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merTavelpresentation grupp 5E
Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen
Läs merNya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5
Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs mer