Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1"

Maja Gunnarsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell form Fordringr: 3: 7-24; 4: 25-3; 5: 32-4, inklusive onus Ugiftern: -7 ger 3 oäng vrder och 8- ger 5 oäng vrder Bonusoäng från hösten 23 får tillgodoräkns Ï x Beräkn duelintegrlen e y dy dx x Ó y x Den givn integrtionsordningen inneär följnde: Vi kstr om integrtionsordningen Då erhålles: Ï x: Æ y 2 Ó y: Æ Duelintegrlen lir då Ï x: Æ Ó y: x Æ Ï x Ï e ydy Ô y 2 x dx e ydx Ô x È x Ó y x Ô Ó x Ô dy ye y y y Î Ï x e ydy dx (ye y - y)dy ye y - e y - y2 2 x Ó y x y SVAR: Duelintegrlen lir 2 y 2 x y dy [ ] Betrkt differentilekvtionen y y (y -)(y - 3), där y y(t) och t nger tiden Anlyser vd som händer efter lång tid Studer seciellt strtvärden y() 3 resektive y() 2 Vi estämmer först de sttionär lösningrn och finner tt dess är y, resektive 3 En teckenstudie hos förstderivtn genomföres och följnde utfll erhålles: Ï y >, y > 3 Ï y växnde, y > 3 Ô y <, < y < 3 Ô y vtgnde, < y < 3 y >, < y < y växnde, < y < Ô Ô Ó y <, y < Ó y vtgnde, y < För y() 3 förlir lösningen kvr å den sttionär lösningen För y() 2 inneär det tt strtvärdet ligger i ett intervll där lösningen är vtgnde och nedåt egränsd v y SVAR: För strtvärdet y() 3 förändrs ej funktionsvärdet ty dett är en sttionär lösning För strtvärdet y() 2 kommer funktionsvärdet tt gå mot ett efter lång tid 3 En full tnk innehåller 3 liter vtten i vilket 5 grm slt är löst En nnn sltlösning med koncentrtionen 2 grm er liter ums in med en hstighet v 3 liter er minut Den vällndde lösningen ums ut med hstigheten 3 liter er minut Ställ u en differentilekvtion som eskriver dett förlo Ställ även u motsvrnde differentilekvtion då utumningshstigheten är 2 liter er minut Bestäm sltmängden vid tiden t för det fll då tnken ej srängs Låt S(t) vr sltmängden i tnken vid tiden t

2 Förändringen v sltmängden er tidsenhet lir: ds dt S(t) 3 3 ds S(t) Vid den lägre umhstigheten erhålles istället differentilekvtionen: dt 3 2 För tt tnken ej skll srängs måste inumningshstigheten och utumningshstigheten vr lik Vi löser således den först differentilekvtionen Denn är linjär v först ordningen och en llmän lösning kn erhålls som lllmänn homogen lösningen lus en rtikulärlösning Den llmänn homogen lösningen ges v S h (t) Ae - t och en rtikulärlösning är S (t) 6 Den llmänn lösningen är således S(t) S h (t) + S (t) Ae - t + 6 Vid tiden noll är sltmängden lik med 5 grm Det ger tt konstnten är lik med -55 Den sökt lösningen är S(t) 6-55e - t SVAR: Den först differentilekvtionen lir ds dt S(t) 3 3 ds S(t) Den ndr differentilekvtionen lir dt 3 2 Den sökt lösningen är S(t) 6-55e - t 4 Ange en fundmentlmängd v lösningr till differentilekvtionen x( y - 2 y + y), x > smt en rtikulärlösning till differentilekvtionen x( y - 2 y + y ) e x, x > Den givn differentilekvtionen är linjär En strtegi är tt estämm en lösning till den homogen differentilekvtionen och därefter reducer ordningen Den homogen differentilekvtionen kn omforms till följnde differentilekvtion: y - 2 y + y En lösning till denn ges v y e x Sätt nu y e x z(x ) Insättning i den inhomogen differentilekvtionen ger oss följnde differentilekvtion: e x x(( z + 2 z + z) - 2( z + z) + z) e x, vilken förenkld lir z x Integrtion ger oss z ln x + Ured integrtion ger: z x ln x - x + x + 2 Allmänn lösningen till dufferentilekvtionen är y e x z e x (x ln x - x + x + 2 ) xe x + 2 e x + e x (x ln x - x ) En rtikulärlösning är y e x (x ln x - x) En fundmentlmängd v lösningr estår v två linjärt oeroende lösningr till den homogen differentilekvtionen I vårt fll hr vi xe x,e x { }, ty dess är linjärt oeroende { } En rtikulärlösning är y e x (x ln x - x) SVAR: En fundmentlmängd v lösningr är xe x,e x 5 Lös differentilekvtionen y + 9y f (t), där f (t) 3, t 2 och noll för övrigt Vidre skll egynnelsevillkoren y() och y () 3 vr ufylld Llcetrnsformer differentilekvtionen: s 2 Y (s) - sy() - y () + 9Y (s) F(s) Insättning v egynnelsevillkoren ger Y (s) s + 3 s F(s) s För estämning v högerledets Llcetrnsform nvänder vi dess definition(heviside går också r) 2 F(s) L f (t) 3e -st dt 3(e-s - e -2s ) s { } f (t)e -st dt

3 Den sökt lösningens Llcetrnsform är Y(s) s + 3 s (e-s - e -2s ) s(s 2 + 9) Återtrnsformering ger oss vår sökt lösning: s + 3 s (e-s - e -2s )( s - y(t) cos3t + sin3t + 3 U(t -)(- cos3(t -)) - 3 U(t - 2)(- cos3(t - 2)) Här är U(t - ) Hevisidefunktionen SVAR: Den sökt lösningen är y(t) cos3t + sin3t + 3 U(t -)(- cos3(t -)) - 3 U(t - 2)(- cos3(t - 2)) Ê 6 Betrkt ett linjärt system v differentilekvtioner X AX, där X Á xˆ Ë y Låt mtrisen A vr konstnt och h egenvärden l och l 2 Avgör om lösningrn är stil eller instil smt nge ty ( nod, sdelunkt, sirl, centrum) ) l 3, l 2-2 l,2 - ± 9i c) l -4, l 2-3 ) I dett fll är egenvärden reell och med olik tecken Således är det en sdelunkt och därmed instil ) Komlex egenvärden med reldelen skild ifrån noll Dett är en sirl och negtiv reldel medför tt sirlen är stil c) Reell och skild egenvärden ger en nod och negtiv egenvärden medför stilitet SVAR: ) Sdelunkt, instil ) Stil sirl c) Stil nod s s ) 7 Bestäm den funktion, u(x,t), som ufyller differentilekvtionen u t u x och villkoret u(x,) 7e x + 5e 3x Vi nvänder vrielsertionsmetoden, dvs vi sätter u(x,t) X (x )T(t) och sätter in dett i den givn rtiell T (t) differentilekvtionen Vi får då: X (x) T (t) X (x )T(t), divider med X (x)t(t) Då erhålles T(t) X (x ) X (x ) Denn kvot är konstnt, ty vänstr ledet eror endst v t och högr ledet eror endst v x Kll konstnten för l Ï T (t) lt(t) Vi får då ett system v ordinär differentilekvtioner: Ó X (x ) lx (x) Ï T(t) Ae lt Dett system hr den llmänn lösningen Ó X (x) Be lx vilket ger u(x,t) Be lx Ae lt e l (x +t) Även linjärkomintioner v sådn lösningr är lösning till differentilekvtionen Vi skll estämm den lösning som ufyller villkoret u(x,) 7e x + 5e 3x Den sökt lösningen är u(x,t) 7e (x +t) + 5e 3(x +t) SVAR: Den sökt funktionen är u(x,t) 7e (x +t) + 5e 3(x +t) [ ] [ ] 8) Låt en oändlig ortogonl följd v funktioner vr given å intervllet, Låt vidre y f (x) vr en styckvis kontinuerlig funktion å intervllet, Bestäm f :s utveckling i den ortogonl funktionsföljden Ï, - < x < ) Utveckl f (x) Ó - x, x c) Bestäm seriens värde för x i funktionsföljden {, cos nx, sinmx}, n,2, 3,, m,2, 3,

4 { } ) Låt den givn följden v ortogonl funktioner ges v F n (x) n Skriv f (x) som en linjärkomintion v de ortogonl funktionern f (x) c F (x) + c 2 F 2 (x)++c n F n (x )+ Multilicer ekvtionen med F m (x ) och integrer över intervllet [, ] f (x)f m (x)dx c F (x )F m (x)dx + c 2 F 2 (x)f m (x)dx ++c n F n (x)f m (x )dx+ Eftersom den givn funktionsföljden är ortogonl lir vrje integrl å höger sid lik med noll utom då n m Ekvtionen lir då Den sökt utvecklingen lir f (x) f (x )F m (x)dx f (x)f m (x)dx c m F m (x)f m (x )dx, dvs c m F m (x )F m (x)dx Â c m F m (x) Â F m (x) m m f (x)f m (x)dx F m (x)f m (x )dx ) Vi estämmer koefficientern i utvecklingen f (x) c + Â n cosnx + Â m sin mx n m c n f (x )F (x )dx F (x)f (x)dx f (x)cos nxdx cos nx cos nxdx - f (x )dx - dx f (x )cosnxdx - cos 2 nxdx - ( - x ) sinnx nx [ n ] - (-)sin dx n n f (x)sin mxdx f (x)sin mxdx m m sinmx sinmxdx [ ] ( - x) -cosmx m - sin 2 mxdx ( - x)dx ( - x) cosnxdx [ - cos nx ] n 2 ( - x)sinmxdx - cosn n 2 - -cosmx - (-) dx [ m m - - sin mx ] m 2 m

5 Den sökt utvecklingen är: f (x) cosn Â n 2 cosnx + Â sin mx n m m c) Seriens värde för x erhålles som medelvärdet v funktion i dett srång f (+) + f (-) Vi får tt värdet är f (x)f m (x)dx SVAR: ) f (x) Â F m (x) ) f (x) m cosn Â n 2 cosnx + sin mx F m (x)f m (x )dx n m m 2 Â c) 9 ) Definier egreet fundmentlmtris ) Låt F vr en given fundmentlmtris till systemet X AX Bestäm utgående från dett den konstnt mtrisen A c) Härled en rtikulärlösning till det inhomogen systemet X AX+ F Vilk värden kn linjeintegrlen (y - 2x 2 y )dx + (xy 2-3x )dy nt om är en enkel sluten kurv som genomlös ett vrv i ositiv led? Vi tillämr Green s formel i lnet och erhåller då: (y - 2x 2 y )dx + (xy 2 Ï - 3x )dy x (xy 2-3x) - y (y - 2x2 y) Ó dxdy D { }dxdy D y (- 2x 2 ) Det minst värdet som integrlen kn nt erhålles då integrtionsområdet är det område där integrnden är negtiv Således ges dett v { } (x, y): 2x 2 + y 2 Ï { 4} (x,y ): x y2 4 D min (x,y ): y ( - 2x 2 ) Ó Ï x 2rcosq Vi eräknr integrlen över dett område och nvänder oss då v ellitisk koordinter: Ó y 2rsin q Integrtionselementet lir i ellitisk koordinter lik med 2 2rdrdq och integrtionsområdet eskrivs v D rq- min {(r, q): r, q < 2} Insättning i integrlen ger: (y - 2x 2 y )dx + (xy 2-3x )dy { 4r 2 sin 2 q r 2 cos 2 q) }2 2rdrdq (y - 2x 2 y )dx + (xy 2-3x )dy 2 2 4r 3 { - 4r}drdq [ r 4-2r 2 ] -4 2 r Det minst värde linjintegrlen kn nt är -4 2 Vi undersöker nu vilk värden som kn nts och etrktr en skr v elliser å formen: Insättning i integrlen ger: Ï x 2rcosq Ó y 2rsinq (y - 2x 2 y )dx + (xy 2-3x )dy { 4 2 r 2 sin 2 q r 2 cos 2 q )} 2 2 2rdrdq

6 (y - 2x 2 y )dx + (xy 2-3x )dy { 2 4r 3-4r}drdq r 4-2r 2 Vi hr en kontinuerlig funktion som ntr ll värden från det minst -4 2 och uåt SVAR: De värden som linjeintegrlen kn nt är från det minst -4 2 och oegränst uåt [ ] r

Relevanta dokument

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1 Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger