Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3, p för etyg 4 och 4p för etyg 5. Förslg till lösningr kommer tt finns på kurshemsidn efter skrivningens slut. Där kommer även tidpunkten för visning v tentorn tt nslås. Lyck till!. Undersök om följnde gränsvärde existerr eller ej. Om gränsvärdet existerr, eräkn även dess värde. x y + z + z 3 (x,y,z (,, x + z. Bestäm en ekvtion för den linje i R 3 som går genom punkten (,, 3 och är vinkelrät mot tngentplnet till funktionsgrfen v i punkten som ges v (x, y = (,. 3. Bestäm störst och minst värde för funktionen f(x, y = x ln(xy f(x, y = xy + x + y i området som egränss v en tringel med hörn i (,, (, och (,. 4. Beräkn duelintegrlen D + 3x + 3y xy dxdy där D = (x, y R : (x + y + (x y }. 5. Hitt lösningr till den prtiell differentilekvtionen f x(x, y yf xy(x, y + xf xx(x, y = 8xy 3 i området där x > och y >, genom tt först yt till vrilern u = x y, v = y och sedn lös den trnsformerde ekvtionen. (I svret skll ges funktioner v x och y, som löser den givn differentilekvtionen. 6. Bestäm ll lokl extrempunkter till f : R R, som ges v f(x, y = x 6 + y 6 3 (x + y. 7. Låt,, c R sådn tt >, > och c >. Vis tt V f ( x + z c dxdydz = 4π c x f(x dx, för ll kontinuerlig funktioner f : R R där V = (x, y, z R 3 : x + z c }.

2 Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- Förslg till lösningr. Genom tt inför ny vriler u = x, v = y och w = z så får vi x y + z + z 3 u v + u + w + w 3 (x,y,z (,, x + z = u u + w = ( + u v + w 3 u u + w där u = (u, v, w. Låt oss nu undersök om gränsvärdet v den ndr termen existerr. Vi skriver u + w = u v u + w + w3 u + w och uppskttr dess två termer vr för sig: u v u + w u v u = v då (u, v, w w 3 u + w w 3 w = w då (u, v, w. Enligt stsen om instängning (och summor v gränsvärden, medför dett tt u u + w =, vilket ger tt x y + z + z 3 (x,y,z (,, x + z = ( + u v + w 3 u u + w = + u u + w =.. Enligt uppgiften sk linjen vr prllell mot normlvektorn till funktionens tngentpln i punkten (x, y = (,. Funktionsytn som ges v z = f(x, y kn skrivs som en nivåyt med hjälp v F (x, y, z = f(x, y z = x ln(xy z =. För en nivåyt ges en normlvektor v grdienten: n = F = ( F x, F y, F z = (f x, f y, = ( + ln(xy, x/y, n(, = ( + ln,,. En linje som går genom punkten (,, 3 och är prllell med denn vektor, kn ges på prmeterform på följnde sätt där t R. x(t = (,, 3 + t( + ln,,, 3. Den givn funktionen är kontinuerlig i området som egränss v tringeln (ty där är x, y >, och eftersom området är slutet och egränst (lltså kompkt så vet vi tt funktionen kommer tt nt sitt störst och minst värde inom området. Extremvärden kommer ntingen tt finns i lokl extrempunkter i området, eller på rnden till området. Eftersom funktionen är prtiellt deriverr i området, så måste vrje lokl extrempunkt vr en sttionär punkt. Låt oss därför eräkn funktionens värden i ll sttionär punkter i området. Vi finner de sttionär punktern genom f = ( y/(x y, x/(x y = (, x y = och xy =. Eftersom x = eller y = ej kn ge lösningr till ekvtionssystemet så kn vi skriv: x y = y = /x y = /x xy = x/x 4 = x 3 (x, y = (,. = Vi eräknr funktionsvärdet i denn sttionär punkt: f(, = 3. För tt undersök funktionens värden på rnden till området, så delr vi upp rnden i tre rät linjer enligt figuren nedn.

3 y γ 3 γ γ x γ : Denn del v rnden kn prmetrisers som x = t, y = för t, och funktionens värden längs linjen ges v g(t = f(t, = t + t +. Extremvärden för g(t ligger ntingen i ändpunktern v intervllet, eller i en lokl extrempunkt. Vi finner sttionär punkter vi g (t = /t + = t = t = ± Den sttionär punkt som ligger inom intervllet t ges v t = och vi eräknr g( = 3. Vi eräknr även värdet i den ndr ändpunkten: g( = 7/. γ : Denn del v rnden kn prmetrisers som x =, y = t för t, och funktionens värden längs linjen ges v g(t = f(, t = t + t +. Extremvärden för g(t ligger ntingen i ändpunktern v intervllet, eller i en lokl extrempunkt. Vi finner sttionär punkter vi g (t = t + = t = t = ±. Ingen v dess sttionär punkter ligger i intervllet t. Vi eräknr funktionens värden i ändpunktern till intervllet: g( = 7/ och g( = 7/4. γ 3 : Denn del v rnden kn prmetrisers som x = t, y = t för t, och funktionens värden längs linjen ges v g(t = f(t, t = t + t. Extremvärden för g(t ligger ntingen i ändpunktern v intervllet, eller i en lokl extrempunkt. Vi finner sttionär punkter vi g (t = t 3 + = t3 = t =. Vi eräknr g( = 3 och även g( = 7/4. De möjlig kndidter till extremvärden vi hr fått frm är: 3, 7/ och 7/4. Av dess är det minst värdet 3 och det störst värdet 7/4, vilket ger extremvärden för funktionen f i den givn tringeln. 4. Integrtionsområdet egränss v en ellips, och för tt återför området på en cirkelskiv gör vi följnde vrielsustitution: vilket ger Vi noterr vidre tt u = x + y och v = (x y, ( (u, v (x, y = u + v = 3x + 3y xy, vilket gör tt vi får följnde integrl efter vrielytet I = (x, y + u + v det (u, v dudv = E (x, y det (u, v =. E + u + v dudv, där E = (u, v R : u +v }. Området E är en cirkelskiv med rdien, och integrtionen utförs enklst med hjälp v polär koordinter u = r cos ϕ, v = r sin ϕ: I = ( π dr + r rdϕ = π r + r dr = π [ ] ln( + r = π ( π ln( ln(4 ln( =.

4 5. I området där x > och y > kn vi inverter vrielytet u = x y x = u/v v = y y = v/ och vi eräknr vidre Kedjeregeln ger oss tt u x = xy u y = x v x = v y =. f x = f uu x + f vv x = xyf u och genom tt nvänd först produktregeln och sedn kedjeregeln fås f xx = (f x x = (xyf u x = yf u + xy(f u x = yf u + xy ( f uuu x + f uvv x = yf u + 4x y f uu f xy = (f x y = (xyf u y = xf u + xy(f u y = xf u + xy ( f uuu y + f uvv y = xf u + x 3 yf uu + 4xyf uv. Genom tt nvänd dess resultt kn vi skriv om differentilekvtionen som = f x yf xy + xf xx 8xy 3 = xyf u y ( xf u + x 3 yf uu + 4xyf uv ( + x yf u + 4x y f uu = 8xy f uv 8xy 3 f uv = y vilket ger den trnsformerde ekvtionen som f uv = v f u = v 4 + g(u f(u, v = uv 4 8xy 3 + G(u + h(v där G och h är godtycklig, minst två gånger deriverr, funktioner. Dett etyder tt vi får lösningr till den ursprunglig differentilekvtionen som f(x, y = x y 3 + G(x y + h(y. 6. Eftersom funktionen är prtiellt deriverr, så måste eventuell lokl extrempunkter även vr sttionär punkter. Vi örjr därför med tt finn ll sttionär punkter: 6x 5 3(x + y = x 5 = y 5 f = 6y 5 3(x + y = 6x 5 3(x + y = x = y 6x 5 (x, y = (, eller (x, y = (, eller (x, y = (,. 6x = Låt oss nu undersök den kvdrtisk formen Q(h, k = f xxh + f yyk + f xyhk i vr och en v de tre sttionär punktern, och vi örjr med tt eräkn ndr ordningens derivtor: f xx = 3x 4 3 f yy = 3y 4 3 f xy = 3 (, : Den kvdrtisk formen i denn punkt lir Q(h, k = 7h + 7k 6hk = 7 ( h + k 9 hk = 7 ( (h 9 k 8 k + k = 7 ( (h 9 k k

5 Denn form är positivt definit eftersom Q(h, k och Q(h, k = ger tt h = k =. Alltså är punkten (, en lokl minimipunkt. (, : Derivtorn i denn punkt lir smm som för punkten (,. Alltås är även (,, en lokl minimipunkt (, : Den kvdrtisk formen i denn punkt lir Q(h, k = 3h 3k 6hk = 3(h + k + hk = 3(h + k Denn form är negtivt semidefinit (Q(h, k och Q(, =, vilket gör tt vi inte direkt kn uttl oss om huruvid (, är en lokl extrempunkt eller ej. Vi studerr därför funktionens värden kring punkten (,. Funktionsvärdet ges v f(, =, och om (, är en lokl extrempunkt så måste det finns en liten omgivning kring punkten sådn tt ll värden ntingen är större eller mindre än funktionvärdet f(, =. För tt vis tt (, inte är en lokl extrempunkt så visr vi tt ovsett hur när (, mn efinner sig, så finns det lltid punkter i vilk funktionsvärden är positiv och negtiv. Vi studerr funktionen värden längs linjern x = t, y = och x = t, y = t, som åd går genom punkten (, : g(t = f(t, = t 6 3 t = t ( t 4 3 h(t = f(t, t = t 6 Från uttrycket för h(t ser vi tt ovsett hur litet t är, så kommer funktionsvärdet lltid tt vr större än längs denn linje. För g(t gäller det tt g(t < för ll t sådn tt t < (3/ /4. Alltså ntr funktionen värden som är åde större än och mindre än funktionsvärdet i (, ovsett hur när punkten vi efinner oss. Dett medför tt (, ej är en lokl extrempunkt. 7. Integrtionsområdet är en ellipsoid, och vi gör först en vrielsustitution för tt återför området på ett klot. Alltså sätter vi u = x/, v = y/ och w = z/ c, vilket ger tt (x, y, z det (u, v, w = c = c. Integrlen kn således skrivs som I = f ( x + z c dxdydz = c f(u + v + w dudvdw V V där V = (u, v, w R 3 : u + v + w }. Genom tt yt till sfärisk koordinter u = r sin θ cos ϕ v = r sin θ sin ϕ w = r cos θ, med funktionldeterminnt r sin θ, kn vi skriv integrlen som I = ( π ( π c f(r r sin θdϕ dθ dr = π c = π ( ( π c r f(r dr = 4π c r f(r dr = 4π c vilket visr påståendet i uppgiften. sin θdθ = π [ c cos θ x f(x dx ( π ] π f(r r sin θdθ dr r f(r dr