x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46"

Transkript

1 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl i rutn = = + 7, =, = = =, + = 7, 7 = 7 = 7 = = = = Lös ekvtionern 7 = = 7 = = + = + = = = = = = + = + + = + = 7 = = Vilket tl ftts? Oft nvänder mn en bokstv för det okänd tlet i stället för en rut. Det okänd tlet klls obeknt. Divider båd leden. = = = = = = = = = =7 =

2 Lös ekvtionen + = Subtrher båd leden med. = = Divider båd leden med. = Lös ekvtionen = = + = = = = _ = Skriv upp vrje steg i lösningen. Lös ekvtionern + = + 9 = 9 = = 9 9 _ = 7 = _ = _ = = = = = = + = + = = =7 = = = Dr streck Multiplicer båd leden med. Lös ekvtionern + = = = = + = = = 7 = 7 = = Lös ekvtionern + = = = = _ =9 _ =9 + = + = 9 + = =9 + 9 = 7 + = 9 = = + = = _ = _ = =9 _ = _ + = + = Adder till båd leden. + = = 7 9 = = = = Hur gick det?

3 + är ett uttryck. klls vribel. Gör klrt tbellen klls konstnt. y z Sofi är 7 cm lång. y + z Kim är 7 cm lång. 7 Kims längd är +. Vi kn kll Sofis längd. I uttrycket p + klls för en koefficient. eräkn värdet v uttrycken Dr streck till rätt uttryck eräkn värdet v uttrycken om p =. fyr mer än fyr mindre än fyr gånger p + = + = + = 9 _ p = = = + en fjärdedel v = = p = Räkn ut Om r = och q = så är Gör klrt tbellen Räkn ut värdet v uttrycken. p q = = r = r q = _ = q r = _ p p 7 7 Om = och b = så är + = 7 F + b = F,,, b = R b = R p + + = r + q = _ Rätt R eller fel F? 7

4 Skriv ett förenklt uttryck Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkl. Kvdrtens omkrets är = är ett förenklt uttryck för Omkrets = p + p + p = p y y y 7z z = z y + y + y = 7y O = _ = O = _ Förenkl uttrycken z z + z + z = y y + y + y = _ + = _ p p p = _ y y y + y = _ + = b 7b b + b b = _ y y y + y + y = _ z z p p p p + p + p = p O = _ 7z z + z + 7z + z = z O = z _ Dr streck Förenkl och räkn ut p + p + p + p p + p + 9p p + p + p + 7p p + 7p + örj med tt förenkl uttrycket. Räkn sedn ut värdet v uttrycket om = och y = + 7 = + 7 = + 7 = 9 y + + y + + y + = = _ = _ Ring in Vilk uttryck kn skrivs +? = = _ = _ 7y y + + y = = _ = _ = = _ = _ + + y + + y + y = = _ = _ 9

5 Förenkl uttrycken Förenkl uttryck med prenteser y + 9 (y + ) = Addition och subtrktion med prenteser: + ( + ) = + ( ) = + = + y (y + ) = y y = y Multipliktion med en prentes: ( + ) = ( + ) = + = + Plustecken frmför en prentes: t bort prentesen. Minustecken frmför en prentes: t bort prentesen och ändr tecken i prentesen. ( ) = ( ) = = ( ) = ( ) = Räkn ut Vd sk stå i rutorn? (y + ) = y + 9 Förenkl uttrycken + + = + + ( + ) = (y + ) = 9y + ( eräkn värdet v uttrycket om p =. ) = ( ) = ( ) = ( + ) = = ( + ) = y y = y y (y + ) = = ( + ) = + = + = 9 p + = _ + = ( ) = Dr streck Skriv ett uttryck för omkretsen. y (y ) y y + (y ) y + y + ( + y) y + y (y + ) y = O = _ + = + = + = _ Förenkl uttrycket y 9 (y ) = _ Hur gick det? Förenkl och räkn ut om =.

6 Lös ekvtionen = = = = = = Lös ekvtionen + + = yt plts på vänster och höger led för tt få i vänsterledet. + + = = Adder till vrje led och förenkl. = + + = Divider vrje led med. Förenkl vänsterledet: -termer för sig och siffertermer för sig. Adder till båd leden. yt plts på leden. = = = Divider med i båd leden. Lös ekvtionern = = + = + = + = + = + = = + = = = 9 = = 7, = +, +, = 7, = = + + = = = = = = _ = + =, +, = = _ = _ = _ = _ = = = 9, + =, 9 = 9 _, =, _ = _ = _ = _ = _ 9 = = 7,, Lös ekvtionern = Ring in Vilk ekvtioner hr lösningen =,? + = 7 = +, + =,, +, =,

7 Dr streck Rätt eller fel? Rätt Fel ( ) är smm sk som =,, =, = 7 = = =, = = + = = = är lösning till ekvtionen 9 + = += = = = Ekvtionen, = + hr lösningen =, 7 = =, Ekvtionen = hr lösningen = Om p = så är (p ) = Dr streck Ekvtionern 7 = och 7 = hr smm lösning, +, = 7 9 = = 7 + = = 9 =, = 7 = = + = = = Gör klrt ekvtionern Vilket tl sk stå i rutn för tt lösningen sk bli =? = _ + = = Lös ekvtionern + 7 = = 7 = + 7 _ + 7 = _ = _ = 9 _ = = Vilk ekvtioner hr lösningen =? Ring in dem. = Hur gick det? Vilket tl sk stå i rutn för tt lösningen sk bli =? + = 7 + = 7 = = = + = _, +, = = = 7

8 Uttryck med kvdrter ² = ² = Förenkl: ² + + ² = ² + eräkn värdet v uttrycket Ett tl, eller en vribel upphöjt med två klls för en kvdrt. ² + 9² 9 = = om = + = + = 9 ²-termer för sig -termer för sig Räkn ut eräkn värdet om Förenkl uttrycken = ² + ² = b² + b + b = b + b + = + = + = _ + = + = + = b + b b² + b + b² = ² + = = = ² = _ = 9 = ² = +=+= ² + = _ + = 9 + = ² + = Dr streck ( + ) + ² ( + ) ² + ( + ) _ ² + Gör klrt tbellen ² _ + 9 ( + ) ² ² ² + + =+= = = = = = = = = + = + = Räkn ut om = och b = Ring in Vilket uttryck i rutn betyder smm som b b² _ b b b² b² b² b² _ b b² b (² + ( ) = ² + ) = ² 9 + = ² + b² = _ + = ² + b² = _ 7 + = ² + b² = _ 7 9 = b² ² = _ b b b b² _ b b² b² b² b Vd sk stå i rutorn? ² Vd sk stå i rutn? = ( + b ) = (b ) = b² + b + + ² + ² + + b + b b b + b b + + b + b + b b + + 7

9 Lös ekvtionen eräkn längden på sidn genom tt nvänd Pythgors sts och lös ekvtionen. Andrgrdsekvtioner ² = = ± = ± ² + = ² + = ² = 9 Ekvtioner som innehåller ²-termer klls ndrgrdsekvtioner. =± = 9 + Lös ekvtionern ² = 9 ² = ± = ± 9 = ± = ± = ±7 = ± = ² + = ² = ² + = 9 = _ = + _ = 9 _ = ± _ = ± _ = ± _ =± _ 9 =± _ Pythgors sts gäller för ll rätvinklig tringlr: ² + b² = c² För sträckor gäller br positiv värden. = + = ± är cm (cm) + = = = ± =±9 _ b ktet ² = + Svr: är cm (cm) ² = ² = + = = ± = ± 9 åde och är en lösning till ekvtionen ² = (cm) hyptenus c ktet är cm Förenkl följnde uttryck b + b b² b b² + b = _ = _ + ( ) + = ² = 7 ² = 7 7 = _ 7 = _ = ± _ = ± _ =± _ =± _ ² = ² = _ =± =± Räkn ut uttryckets värde om = och b = Hur gick det? 9 + = 9 ² + b = = = b = _ Lös ekvtionen ² = 9 = ± _ = ± _ 9

10 y-eln eller den lodrät eln eller den vertikl eln y Punkten A hr -koordinten och y-koordinten. Det skrivs A (,) De övrig punktern är (, ) (, ) D (, ) Vikt (kg) Pris (kr) D -eln eller den vågrät eln eller den horisontell eln Origo hr koordintern (, ) Gör klrt tbellern y (, ) (, ) A 7 D E Q (, ) S (, ) Punktern kn binds ihop till en linje. Vikt kg Q Morötter Äpplen Vikt (kg) Pris (kr) Vikt (kg) Pris (kr) Kostnd Vikt Vd kostr det tt hyr knoten i timmr? S kr Digrmmet visr vd det kostr tt hyr en knot. P kg Läs v i digrmmet y Mrker punktern R (, ) Dr de två linjern (, ) E P (, ) Mrker punktern i digrmmet Sätt ut punktern P S i koordintsystemet. Morötter kostr kr per kilo. Äpplen kostr kr per kilo. Vilk koordinter hr punktern A E? (, ) D Vrje rd i tbellen motsvrr en punkt i digrmmet. Kostnd Från tbell till digrm Skriv koordintern (7, ) A kg pottis kostr kr. Smbndet melln vikt och pris kn viss i en tbell eller i ett digrm. A Origo kr R kr kr Vd är kostnden per timme? kr Kostnd h

11 kr Kostnd körsbär Digrmmet visr smbndet melln pris och vikt för körsbär, pelsiner och äpplen. Smbndet melln kostnden och vikten för äpplen kn skrivs kilopris kostnd K = vikt i kilo där K kr är kostnden för kg K = klls för en formel. äpplen pelsiner Att ring till utlndet från Pers mobil kostr kr/min. Strtvgiften är 9 kr. Kostnden kn skrivs K = 9 + t där K kr är kostnden för smtlet och t är tiden i minuter Ett smtl på minuter kostr: K = 9 + = 9 + = 9 Ett smtl på minuter kostr 9 kr. Vikt kg Från digrm till formel Använd digrmmet i rutn. kr Vd kostr kg körsbär? Skriv formeln för smbndet melln kostnden K och vikten för körsbär. Hstighet i digrm km Sträck Kostnd (kr) min Gör klrt tbellen. Rit sedn linjen för den först formeln. Använd digrmmet här på sidn. Strtvgift s = t _ (min) Räkn med ndr mobiler En joggre springer med hstigheten km/h. Rit in linjen för joggren i digrmmet. Mrker de tre punktern i digrmmet. Dr linjen som visr smbndet. tid Skriv en formel för smbndet melln sträckn och tiden för joggren. 7 Gör klrt tbellen. K = Vd betyder t? Använd formeln i rutn och räkn ut vd ett smtl på minuter kostr. K = 9 + = 9 Skriv formeln för smbndet kostnd/vikt för pelsiner. sträck Vd betyder s? kr Kostnd K = Smbndet melln sträck och tid beror på hstigheten. För Ann på mopeden i digrmmet kn smbndet skrivs s = t. betyder hstigheten i km/h, kilometer per timme. Från formel till digrm h Kostnd per min Formel kr 9 kr K = 9t kr kr K= + t 7, kr, kr K = 7, +, t

12 Linjär smbnd finns v olik slg. Ett linjärt smbnd kn rits som en rät linje i ett digrm. All linjer i digrmmet visr linjär smbnd. km Sträck Läs v digrmmet En linje eller kurv i ett koordintsystem klls för grf. A A km på timmr? _ km på, timmr? D Ett proportionellt smbnd rits som en rät linje som går genom origo. Linjern A och visr proportionell smbnd, proportionliteter. Hur långt hinner tåg Hur lång tid tr det för tåg A h ( min) tt kör 7 km?,,, h D km Hur långt hinner tåg på timme? Formeln för tåg är s = t Olik slgs smbnd E Vilk grfer visr ett linjärt smbnd? F Skriv formlern för tåg och D. G s = t Tåg H s = t Tåg D E, G, H och I _ Välj rätt digrm Vilk visr ett proportionellt smbnd? Digrmmen visr höjden v vttnet i en swimmingpool. Vilket digrm hör ihop med vilket påstående? I E och H _ Välj rätt grf Välj rätt grf till rätt påstående. Timpriset är hel P tiden detsmm. _ För de först timmrn gäller fst pris. Därefter betlr mn per timme. Q _ Timpriset för de först timmrn är högre än vd det blir sedn. R _ Kostnd Poolen är hlvfull och töms. Poolen är tom och fylls. D Poolen är full och töms. A Poolen är hlvfull och fylls. P R Höjd Q Höjd Höjd A Höjd D

13 Rätt eller fel? Smbnd kn beskrivs på olik sätt. Med ord Fst vgift kr och timkostnd kr. K = + t (h) Kostnd (kr) kr Med en formel Om den fst kostnden är kr och kostnden per timme är kr, så blir formeln för kostnden K = + Kostnd Formeln K = + är ett proportionellt smbnd. Med ett digrm En grf går lltid genom origo. Med en tbell En linje som går genom punkten (, ) kn inte vis en proportionlitet. En joggre som springer km/h hinner km på 9 min. h De två formlern K = + t och P = + t ger smm kostnd för timmr. Smbnd och formel Skriv en formel för vrje smbnd där K kr är kostnden för t timmr. A kr/tim A: : : Grundvgift kr kr/tim kr Strtvgift kr kr/tim Kostnd Vilk koordinter hr punktern? (,) P _ t K = + t K = h Till vilket smbnd hör punkten P? K = K = + Städfirmn Hållrent tr kr Se digrmmet till höger. Hur långt hinner Ann på timmr? S R km Sträck K = + t Kostnd Pr ihop P i grundvgift och sedn kr/tim. Skriv en formel för kostnden K tt nlit firmn i t timmr. Vilket smbnd A, eller visr linjen i digrmmet? Pr ihop vrje formel med rätt linje. Q (,) Q _ Mrker punktern R (, ) och S (, ) kr y P + t K = K = + Rätt Fel h Hur gick det? km _ Vilken hstighet hr hon? km/h _ timmr 7

14 Lös problemen med hjälp v en ekvtion. Lös problemen med hjälp v en ekvtion. Alice och Luks vinner tillsmmns kr på ett lotteri. Eftersom de betlde olik mycket för lotten, så bestämmer de tt Alice sk få gånger mer än Luks. Hur mycket pengr får Alice? Vd är? Skriv svr: + + = Luks får kr. Alice får kr Teckn ekvtionen: Lös ekvtionen: En rektngel hr omkretsen cm. Den en sidn är cm längre än den ndr sidn. Hur lång är sidorn? + = + = Svr: Sidorn är cm och cm 7 = kr Alice får _ Ett tl är större än ett nnt tl. Summn v de två tlen är 7. Vilk är tlen? + + = 7 = Svr: Tlen är och = En fmilj består v ppp och tre döttrr. Det skiljer fyr år melln vrje dotter. Pppn är tio gånger äldre än den yngst dottern. Tillsmmns är fmiljen 77 år. Hur gmml är pppn? = Ett kvdrtiskt rum hr ren m². Hur lång är vrje sid i rummet? _ = Svr: Vrje sid är m _ estäm ktetens längd. + = _ Svr: Kteten är m _ (cm) = 77 = Svr: Ppp är år = + _ m = ± _ m Svr: 7 kr Svr: Stigen är m _ En liten dmm hr ren 79 dm². Hur långt är det tvärs över dmmen? r = 79 Aren = π r, = r = Lönen är kr Svr ungefär m ( dm) Pythgors sts, se sidn 9. estäm stigens längd. Skorn kostde kr. Teckn ekvtionen: _, = Krro betlr % v sin lön i sktt. % v lönen går till hyr och % v lönen går till mt och ndr inköp. Efter det hr hon kr kvr v lönen. Hur stor måndslön hr Krro? = Erko köper ett pr skor. Hn får % rbtt. Rbtten vr på kr. Hur mycket kostde skorn innn rbtten? 9

15 Förenkl följnde uttryck. Ord s 7s + 9 s = etydelse Sidn ndrgrdsekvtion En ekvtion som innehåller en term v ndr grden, t.e.. +s=s ( s) = digrm Figur som visr ett sttistiskt mteril eller ett smbnd. Ett koordintsystem som hr nmn på lrn t.e. längd, tid, ntl kn också klls för digrm. Skriv uttrycken multiplicert med summn v och. ekvtion En likhet som innehåller minst ett obeknt tl, oft nvänds. formel Ett uttryck som beskriver ett smbnd med hjälp v symboler, t.e. eller U. förenkl Att förkort ett bråk eller utför en beräkning, så tt uttrycket kn skrivs på ett enklre sätt. grf En linje eller kurv i ett digrm eller koordintsystem klls för grf. koefficient Fktorn som multiplicers med vribeln i en term. Om termen är, så är koefficienten. 7 konstnt Ett värde som inte ändrs. Den term i ett uttryck som inte innehåller en vribel. koordint Ett v de tl som nvänds för tt nge en punkts läge i ett koordintsystem. kvdrt En fyrhörning med ll sidor lik och ll vinklr 9º, eller ett tl eller en vribel som upphöjts med t.e. eller. likhet Två olik uttryck som är värd lik mycket. I mtemtiken nvänds likhetstecken för tt vis en likhet. Vänster led = Höger led linjärt smbnd Ett smbnd melln två storheter som kn viss som en rät linje i ett koordintsystem. obeknt Det obeknt tlet i en ekvtion vrs värde mn sk bestämm. proportionellt smbnd Ett smbnd som kn viss som en rät linje genom origo i ett koordintsystem. Kilopris är ett eempel på en proportionlitet. Mn säger tt kostnden ökr proportionellt med vikten. smbnd Ett mtemtiskt smbnd kn viss med en formel, med en grf, med en tbell eller beskrivs med ord., tbell En uppställning fkt som är ordnd i rder och kolumner., term En del i en ddition eller subtrktion. Additionen + innehåller termern och. uttryck Innehåller tl och vribler smt tecken för räknesätt. vribel eteckning för ett tl som kn vrier, oft. s + + s = s (s ) + ( + s)= b Skillnden melln kvdrten på och kvdrten på b. _ ( + ) Multiplicer summn v och med. + Adder till produkten v och. En rät linje går genom punktern (, ) och (, ). En nnn rät linje går genom origo och punkten (,). Ge koordintern för (,) skärningspunktern. y Firm A kostr kr i strtvgift och sedn kr/tim. Firm kostr kr/tim. Skriv en formel för K = + t Firm A: _ K = z Firm : _ timmr Vid vilken tid kostr de lik mycket? _ Skriv två olik uttryck som innehåller vribeln p. Uttryckens värde sk vr, om p =. T.e. p p 9 Skriv två olik ekvtioner som vrder innehåller en prentes i en ledet och som båd hr lösningen = 7. T.e. ( ) = ( + ) =

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm.

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm. Läa a) b) c) a) 6,8 b) 8, c) 66 a),99,09,,8,8 b) 0,0 Hon får 9 kr tillbaka. a) 00 b) 00 c) 00 6 a) 0 längder b) 7 m c) kr 7 Decimaltecknet skiljer heltalen från decimaltalen. Placeringen avgör om siffran

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 6a

Facit - Tänk och Räkna 6a Fit - Tänk oh Räkn I tlens värl - - - - - - Åttiosextusen trehunrfem Åttiosextusen trehunrfem 8 0 9 089 8 8 8 0 9 80 9 9 9 80 0 99 098 99 099 99 00 89 899 89 900 89 90 008 009 00 9 999 0 000 0 00 90 988

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna uppdrg: mtte Gunnr Kryger ndres Hernvld Hns Perssn Len Zetterqvist Mttespnrn ISN 978-9-7-0- ndres Hernvld, Gunnr Kryger, Hns Perssn, Len Zetterqvist ch Liber re d k t i n Mirvi Unge Thrsén, Mri Österlund

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 6b

Facit - Tänk och Räkna 6b Fit Tänk oh Räkn Mätning oh sttistik A. B. C. A. B. C. A. B. C. 00 s s s 0 min min min 0 h h 0 h 0... h min h min h min.,. oh. h min.0 h min h min 0. Ktrineholm 0 ygn 0 ygn 0 ygn mån mån mån 00 min gr

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi 9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Skriv meningar. Använd orden i burkarna. mus. myra. Använd bokstäverna och gör egna ord. Hitta ord. Skriv de ord som fi nns i ordet: PASS

Skriv meningar. Använd orden i burkarna. mus. myra. Använd bokstäverna och gör egna ord. Hitta ord. Skriv de ord som fi nns i ordet: PASS Fit sid. 2 5 Skriv orden till dern. Skriv meningr. Använd orden i burkrn. Lös ordflätn. Oj, här hr det blivit fel d. Det sk vr en penn. bok kk Vem är jg? Svret får du i de blå rutorn. båt fyr lego Jg tr

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3 Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik Opertivsystemets uppgifter Föreläsning 6 Opertivsystem Opertivsystemets uppgifter Historik Skydd: in- oh utmtning, minne, CPU Proesser, tidsdelning Sidindelt minne, virtuellt minne Filsystem Opertivsystemet

Läs mer

Rektangulär kanal, K. Produktbeteckning. Beteckningsexempel. Sida A (se storlekstabell) Sida B (se storlekstabell)

Rektangulär kanal, K. Produktbeteckning. Beteckningsexempel. Sida A (se storlekstabell) Sida B (se storlekstabell) K Rektngulär knl, K Produkteteckning Produkt K c d Sid A (se storlekstell) Sid B (se storlekstell) Längd 1=2000 mm 2= 1250 mm 3= 1000 mm 4= 600 mm 5= Löpnde längd nges i klrtext (mx 2500 mm) 1= Skrv i

Läs mer

RÄTTNINGSMALL TILL KEMIOLYMPIADEN 2014, OMGÅNG 2

RÄTTNINGSMALL TILL KEMIOLYMPIADEN 2014, OMGÅNG 2 RÄTTNINGSMALL TILL EMIOLYMPIADEN 201, OMGÅNG 2 Nmn: Födelsedtum: Skol: Hemdress: e-post: Uppg. Endst svr ing uträkningr Poäng L 1 b c d e f 2 2 b c d e 2,1 cm 2 0,20 mol/dm 2 b 1 kp 2 5 2ClO 2 + 2OH ClO

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Kmerobjektiv oc elokusering Zoomobjektiv Ett kmerobjektiv sk normlt vbil ett objekt som beinner sig på någr meters vstån på en ilm i en krtig örminskning. Det innebär tt okllängen på et objektiv mn sk

Läs mer

Matematisk Modellering Övning 1

Matematisk Modellering Övning 1 HH/IDE/BN Mtemtisk Modellering, Övning 0.5 0-0.5-0 4 0 4 Mtemtisk Modellering Övning Allmänt Övningsuppgiftern är eempel på uppgifter, eller delr v uppgifter, du kommer tt möt på tentmen. Undntg utgör

Läs mer

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 INNEHALL 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 DATORER Allmänt Digitl dtorer Orgnistion Ordmm Minnesenheten Aritmetisk enheten Styrenheten In/utenheten Avbrott Spräk och proglmm

Läs mer

En satsning på fritid, vetenskap och kultur i Västerås

En satsning på fritid, vetenskap och kultur i Västerås En stsning på fritid, vetenskp och kultur i Västerås Innehållsförteckning sid Reseskildring 2 Observtoriet i Bälinge 3 Observtoriern i Åkest (fotomontge) 4 Agend för möte den 2008-02-14 5 Brev till VARF's

Läs mer

Kompletterande formelsamling i hållfasthetslära

Kompletterande formelsamling i hållfasthetslära Kompletternde formelsmling i hållfsthetslär Görn Wihlorg LTH 004 Spänningstillståndet i ett pln, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning ϕ cos ϕ+ sin ϕ + sinϕcosϕ ϕ sinϕ+ cos ϕ Huvudspänningr och huvudspänningsriktningr

Läs mer

Tentamen i EDA320 Digitalteknik-syntes för D2

Tentamen i EDA320 Digitalteknik-syntes för D2 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för dtorteknik Tentmen i EDA320 Digitlteknik-syntes för D2 Tentmenstid: tisdgen den 24 ugusti 999, kl. 08.45-2.45, Sl: mg. Exmintor: Peter Dhlgren Tel. expedition

Läs mer

s mobile Gigaset SL100 /150 colour Issued by Information and Communication mobile Haidenauplatz 1 D-81667 Munich

s mobile Gigaset SL100 /150 colour Issued by Information and Communication mobile Haidenauplatz 1 D-81667 Munich BA SL100/150 colour 01.04.2004 16:04 Uhr Seite 1 s mobile Issued by Informtion nd Communiction mobile Hidenupltz 1 D-81667 Munich Siemens AG 2004 All rights reserved. Subject to vilbility. Rights of modifiction

Läs mer