Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba."

Ulrika Fransson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser. Mängden {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} v heltl beteckns Z. Om, b och c är heltl gäller, blnd nnt, följnde räkneregler: Associtiv lgen för multipliktion: (b)c = (bc). Kommuttiv lgen för multipliktion: b = b. Knsellering för multipliktion: Om c 0 gäller det tt c = bc medför = b. Låt X vr mängden v pr v heltl (, b) där b 0. Vi inför en reltion E på mängden X genom tt säg tt (, b)e(c, d) om d = bc. Dett är en ekvivlensreltion! För tt se det, låter vi (, b), (c, d) och (e, f) vr element i X. Reflexiv: Reltionen (, b)e(, b) är lltid uppfylld eftersom b = b (kommuttiv lgen). Symmetrisk: Reltionen (, b)e(c, d) är ekvivlent med d = bc som är ekvivlent med cb = d som är ekvivlent med (c, d)e(, b). (kommuttiv lgen) Trnsitiv: Antg tt (, b)e(c, d) och (c, d)e(e, f). Då gäller d = bc och cf = de. Vi vill vis tt (, b)e(e, f), vilket är det smm som f = be. Vi gör uträkningen (f)d = (fd) = (df) = (d)f = (bc)f = b(cf) = b(de) = b(ed) = (be)d där vi nvänder kommuttiv och ssocitiv lgen. Enligt förutsättningen gäller d 0. Alltså kn vi knseller d och få f = be. Definition. Vi definierr QQ som mängden v ekvivlensklsser v X under ekvivlensreltionen E. Vi inför nottionen := [(, b)] b för ekvivlensklssen som hör till (, b) X. På mängden QQ definerr mn sedn de vnlig räkneopertionern och ordningsreltionern. Exempelvis definiers ddition som b c d + bc := d bd 1

2 och multipliktion som b c c := d bd. Mn måste kontroller tt opertionern är väldefinierde. Om vi exempelvis hr b = b, c d = c d så vill vi ju tt b c d := d + b c b d sk vr smm ekvivlensklss som d + bc. bd När mn gjort det får mn gång igång och härled räknelgrn för rtionell tl. Noter tt jg nvänder ndr symboler för ddition och multipliktion v rtionell tl än för ddition och multipliktion v heltl. Dett är för tt understryk tt vi nvänder oss v de gml opertionern för tt definier ny. När mn vist tt de ny opertionern uppfyller rätt egenskper, övergår mn till tt kll dem + och också. Vi betrktr normlt också Z som en delmängd till QQ. För tt rättfärdig det, behöver mn vis tt funktionen Z QQ som ges v n n/1 är injektiv. Smmntget är det med ndr ord en gnsk mödosm process. Det är en br träning tt prov tt gör någr v stegen nogrnnt, men sedn kn mn med gott smvete strunt i resten och vr gld tt någon nnn redn gjort jobbet. Division och rest Definition. Låt, b Z vr två heltl. Vi säger tt delr b, eller tt är en delre till b, om det existerr ett tredje heltl m sådnt tt m = b. Dett beteckns b. Dett ger en reltion på mängden v heltl, som dock inte är en ekvivlensreltion. Noter tt är just en reltion, och inte sk blnds ihop med räknesättet division. Exempel 1. Vi hr exempelvis 2 14 och Vidre gäller 0, 1 och 1 för ll Z. Sts (Divisionslgoritmen). För ll heltl, b Z finns det ett unikt pr v heltl q, r Z sådn tt = q b + r, 0 r < b 2

3 Positionssystem För tt beskriv heltl nvänds vnligtvis ett positionssystem med bs 10. Exempelvis gäller 2014 = Positionssystem nvänds även för tt beskriv tl som inte är heltl. Exempelvis 1, 45 = I llmänhet får mn oändlig decimlutvecklingr, även för rtionell tl. För rtionell tl får mn dock lltid utvecklingr som så småningom blir periodisk. Dett kn mn se om mn tillämpr lådprincipen på restern som dyker i uträkningrn. Exempel 2. Använder mn divisionslgoritmen, ser mn tt 2/11 = 0, 18. Även ndr positionssystem är möjlig. Inom dtlogin är det exempelvis oft prktiskt tt nvänd bs 2 och bs 16. Tl skrivn i bs 2 klls binär och tl skrivn i bs 16 klls hexdeciml. Exempel 3. Vi vill skriv tlet 42 i bs 2. Upprepd nvändning v divisionslgoritmen ger 42 = , 21 = , 10 = , 5 = , 2 = , 1 = , så 42 = (101010) 2. Noter tt sekvensen (101010) 2 bestämmer tlet 42 entydigt, eftersom kvot och rest i vrje steg i uträkningen är unik. Primtl och ritmetikens huvudsts Definition. Låt, b Z vr heltl, som inte båd är noll. Den störst gemensmm delren gcd(, b) definiers som det störst heltl d sådnt tt d och d b. Om gcd(, b) = 1 klls För tt hndgripligen beräkn störst gemensmm delre, nvänder mn sig v Euklides lgoritm. Den bygger divisonslgoritmen och identitern gcd(, 0) = smt gcd(, b) = gcd(q, r) om, b, q, r N sådn tt = qb + r. Eftersom gcd(, b) = gcd(, b), kn metoden tillämps på llmänn heltl. Från Euklides lgoritm följer också följnde nvändbr sts: 3

4 Sts. Låt, bz vr heltl som inte båd är 0. Då existerr heltl n, m Z sådn tt gcd(, b) = n + mb. Definition. Ett nturligt tl p > 1 klls för ett primtl om de end positiv delrn v p är 1 och tlet självt. Ett nturligt tl som inte är ett primtl klls för ett smmnstt tl. Sts (Aritmetikens huvudsts). All nturlig tl kn entydigt, upp till omordning v fktorern, skrivs som en produkt v primtl. Beviset v ritmetikens huvudsts består v två delr. Dels behöver mn bevis tt vrje nturligt tl kn skrivs som en produkt v primtl, och dels tt fktoriseringen är unik. Att en fktorisering verkligen existerr, kn mn vis med ett gnsk enkelt induktionsrgument. Trän på tt gör dett själv! För tt vis tt fktoriseringen är unik nvänder mn sig v följnde sts. Lemm. Låt p vr ett primtl och och b nturlig tl, sådn tt p b. Då gäller p eller p b. D.v.s. primtlet p delr någon v fktorern. Bevis. Om p är vi klr, så vi kn nt tt p inte delr. Då gäller gcd(p, ) = 1 eftersom p är ett primtl. Alltså finns tl n, m sådn tt np + m = 1 enligt Euklides lgoritm. Vi multiplicerr ekvtionen med b och får b = npb + mb. Enligt förutsättningrn gäller p c = b för något tl c. Alltså gäller b = b = npb + mb = npb + mpc = p(nb + mc), så p delr b, vilket visr påståendet. Exempel 4. Mn kn, med lite möd, vis tt 1999 är ett primtl. Vi visr tt det finns ett nturligt tl n, som br innehåller 1:or i sin decimlutveckling, som är delbrt med Tg de 2000 först tlen i sekvensen 1, 11, 111,.... Enligt lådprincipen måste två v dem, säg, b ge smm rest vid division med Då gäller 1999 b. Vi kn, utn inskränkning, nt tt > b. Då är b på formen och kn därmed skrivs som en produkt n 10 k för någr tl k och n, där n br hr 1:or i sin decimlutveckling. Eftersom de end primtlen som delr 10 k är 2 och 5, gäller det tt 1999 inte delr 10 k. Enligt lemmt följer det tt 1999 n, som önskt. Det är värt tt påpek tt vi egentligen inte behöver vet tt 1999 är ett primtl för tt ovnstående exempel sk funger. Det är lätt tt se tt gcd(1999, 10 k ) = 1. Nu kn mn, med smm metod som i beviset för lemmt, vis tt 1999 n 10 k medför 1999 n. För tt illustrer tt ritmetikens fundmentlsts inte är ett självklrt påstående, ger vi ett exempel på en liknnde sitution då motsvrnde sts inte gäller. 4

5 Exempel 5. Mängden Z[ 5] = {n + m 5 n, m Z} beter sig i mångt och mycket som mängden v vnlig heltl. Exempelvis kn vrje tl i denn mängden skrivs som en produkt v motsvrigheter till primtl. Men inte på ett unikt sätt! Exempelvis hr tlet 6 två distinkt fktoriseringr: 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5) Att vis dett är inte så svårt, men ligger utnför rmrn för kursen. 5

Relevanta dokument

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert