Introduktion till Laplacetransformen

Transkript

1 Introduktion till Lplcetrnformen J A S, ht-5 Lplcetrnformen En vnligt förekommnde idé i nlyen (och i mtemtik i tört llmänhet) är tt förök lö ett problem genom tt fört trnformer det till ett nnt (enklre) problem, lö dett och edn förök dr lutter om löningen till det urprunglig problemet. Före dtorieringen vr det t.ex. en olutig uppgift tt multiplicer tl om.442 och För ådn problem nvände därför logritmer (och logritmtbeller eller räknetickor) efterom logritmering omvndlr (trnformerr) en produkt till en enkel ddition: ln( ) = ln(.442) + ln(3.46) Genom tt lå i en logritmtbell kunde edn vret vlä. Vnlig trnformer om förekommer inom nlyen är t.ex. Fouriertrnformen, Z-trnformen och Lplcetrnformen. Den enre ger en krftfull metod tt lö differentilekvtioner med begynnelevärden om uppkommer i t.ex. meknik, elektronik och reglerteknik.. Lplcetrnformen Definition. Om f(t) är en funktion definierd för t >, å definier Lplcetrnformen L[f]() (eller f()) v L[f]() = f() = f(t)e t dt. Det förekommer ockå tt mn kriver f(t) g() eller g() f(t) om g() är Lplcetrnformen till f(t) (dv om g() = L[f]()). I tillämpningr kn mn äg tt f(t) är på tididn och g() på trnformeller frekvenidn. Oberver tt den (generlierde) integrlen innehåller prmetern ; olik värden på ger olik värden på integrlen å tt vi får en funktion om beror på. Det kn inträff tt den generlierde integrlen inte är konvergent (eller inte exiterr) för något end värde på. I å fll hr f(t) ingen Lplcetrnform. Vi k återkomm till kriterier om grnterr exiten v trnform v f(t) trx. Oberver ockå tt två funktioner f (t) och f 2 (t) om är lik för ll t kommer tt h mm Lplcetrnform. Om vänt kn mn vi tt under rimlig omtändigheter är två funktioner om hr mm Lplcetrnform lik för ll t. I dett mmnhng tänker mn därför oftt tt funktionern br är definierde för t även om den nturlig definitionmängden är törre. Exempel. e t när > Dett kn ockå kriv L[e t ]() = /( ). Oberver peciellt tt / (välj = ). Integrering ger nämligen L[e t ]() = [ e e t e t ( )t dt = ] = =

2 om > (å tt e ( )t, när t ). Exempel.2 co bt 2 + b 2 när > eller L[co bt]() = /( 2 + b 2 ). Vi hr när > tt L[co bt]() = co(bt)e t dt = { PI } = [ in(bt)e t] + in(bt)e t dt = { PI } = b b = + ( [ co(bt)e t] ) co(bt)e t dt = b b b b 2 2 L[co bt](), b2 om ger Med prtiell integrtion på liknnde vi får mn ) L[co bt]() ( + 2 b 2 = b 2 och L[co bt]() = 2 + b 2. Exempel.3 in bt b 2 + b 2 när > De två it exemplen kn ockå med fördel beräkn med den komplex exponentilfunktionen. Från fört exemplet får mn co bt + i in bt = e ibt /( ib) = ( + ib)/( 2 + b 2 ) och identifiering v reloch imginärdel ger reultten. Vi ngriper nu problemet tt hitt kriterier för när en funktion hr en Lplcetrnform. Ett exempel på en funktion om knr Lplcetrnform är f(t) = e t2. Vi hr nämligen, med kvdrtkomplettering i exponenten, tt e t2 e t dt = e 2 /4 e (t /2)2 dt och efterom e (t /2)2, när t (ovett vd är), kommer den generlierde integrlen tt vr divergent för ll värden på. Lplcetrnformen v f(t) är lltå inte definierd något end värde på vilket betyder tt den inte finn. Av käl om dikter v tillämpningr inom t.ex. elektroniken vill mn inte begrän ig till tt betrkt funktioner f(t) om är kontinuerlig. Det vir ig tt mn behöver behndl ockå å kllt tyckvi kontinuerlig funktioner definierde när t. En funktion f(t) är tyckvi kontinuerlig på [, b] om den är kontinuerlig utom i ett ändligt ntl punkter i intervllet, men hr (ändlig) höger- och väntergränvärden i de punkter. (Om f(t) inte är kontinuerlig i eller b är br ett v de gränvärden ktuellt.) Funktionen f(t) är tyckvi kontinuerlig på [, [ om den är tyckvi kontinuerlig på [, b], för vrje b >. Om f(t) är tyckvi kontinuerlig på [, b] och x, x 2,..., x n mt möjligen och b är de punkter där den inte är kontinuerlig definier b ( x h f(t) dt = lim f(t) dt + h +h x2 h x +h b h ) f(t) dt + + f(t) dt. x n +h 2

3 Om f(t) är tyckvi kontinuerlig på [, [ är den generlierde integrlen f(t) dt konvergent med värdet om gränvärdet finn. Annr är den divergent. f(t) dt = lim b b f(t) dt En funktion f(t) är v exponentiell ordning på [, [ om f(t) växer långmmre än en exponentiellt växnde funktion när t. Ett ätt tt uttryck dett är tt äg tt det finn kontnter C, α > å tt f(t) < Ce αt för ll t. Om nu f(t) är tyckvi kontinuerlig och v exponentiell ordning på [, [ gäller tt f(t) e t dt < Ce t(α ) dt = C α när > α och efterom f(t) f(t) 2 f(t) 2Ce αt ( f(t) f(t))e t dt < 2Ce t(α ) dt = 2C α när > α De två funktionern f(t) och f(t) f(t) är båd poitiv, å v olikhetern ovn följer tt vänterleden båd är konvergent när > α. Dett tillmmn med f(t) = f(t) ( f(t) f(t)) ger nu tt f(t)e t dt = = f(t) e t dt ( f(t) f(t))e t dt är konvergent när > α. Vi hr lltå motivert: St. Om f(t) är tyckvi kontinuerlig och v exponentiell ordning på [, [ å är Lplcetrnformen L[f]() definierd för ll tillräckligt tor värden på. Utn vidre motivering nämner vi följnde för tillämpningr viktig t: St.2 Antg tt f(t) och g(t) är tyckvi kontinuerlig och v exponentiell ordning på [, [ och tt der Lplcetrnformer L[f]() repektive L[g]() är lik för ll tillräckligt tor. Då är f(t) = g(t) för ll t, möjligen med undntg för dikontinuitetpunkter..2 Egenkper ho Lplcetrnformen Om f(t) och g(t) hr Lplcetrnformer f() repektive g() å gäller tt f(t) + bg(t) f() + b g(), Bevi. för godtycklig kontnter och b. (f(t) + bg(t))e t dt = f(t)e t dt + b g(t)e t dt = f() + b g(). Exempel.4 Betäm Lplcetrnformen till (e bt + e bt )/2. 3

4 Vi hr från exempel. tt e bt /( b) och e bt /( + b), å e bt 2 + e bt 2 2( b) + 2( + b) = 2 b 2. Mn kn vi tt om en funktion f(t) om är kontinuerlig när t hr en derivt f(t) om är tyckvi kontinuerlig v exponentiell ordning när t, å är f(t) ockå v v exponentiell ordning. Det betyder tt f hr en Lplcetrnform och tt f(t)e t, när t, om är tillräckligt tort. Accepterr vi dett hr vi Antg tt f(t) är är kontinuerlig när t och hr en derivt f (t) om är tyckvi kontinuerlig v exponentiell ordning när t. Då gäller tt f (t) f() f(), om f(t) f(). Bevi. Prtiell integrtion ger f (t)e t dt = [f(t)e t] + f(t)e t dt = f() + f(t)e t dt eller f (t) f() f(). Upprepd nvändning ger tt Om f(t), f (t),..., f (n ) (t) ll är kontinuerlig när t och f (n) (t) är tyckvi kontinuerlig v exponentiell ordning när t, å gäller tt f (n) (t) n f() n f() f (n 2) () f (n ) (). Med denn regel i hmn kn vi illutrer nvändningen v Lplcetrnformen för tt lö differentilekvtioner med givn begynnelevärden. Exempel.5 Lö begynnelevärdeproblemet y y =, y() =, y () =. Det är nturligtvi ingen törre kont tt lö denn ekvtion med teorin för ndr ordningen linjär ekvtioner med kontnt koefficienter, men vi k nu trot det gör det på ett helt nnt ätt. Låt o kriv ỹ för Lplcetrnformen till y. Vi hr då y ỹ y() = ỹ y (ỹ) y () = 2 ỹ Lplcetrnformering v det urprunglig problemet ger o (tbell: /) lltå 2 ỹ ỹ = Vi löer ut ỹ, gör en prtilbråkuppdelning och får ( ) ỹ = 2 + = + ( 2 ) = ( ) = et, y(t) = e t. Mn kn vi tt om f(t) är tyckvi kontinuerlig och v exponentiell ordning å kn mn flytt in derivering med veende på under integrltecknet i definitionen v f(): 4

5 å tt och generellt om f(t) f() d f d () = d d (f(t)e t ) dt = tf(t) d f d () t n n dn f f(t) ( ) d n () tf(t)e t dt, Från exempel. hr vi e t /( ) å vi får t n e t ( ) n D n ( ) = n!/( ) n+. Om peciellt = ger dett t n n! n+ Vi vlutr vnittet med tre egenkper om är nvändbr vid prktikt räknnde. Fört förkjutningregeln Om f(t) f() å gäller e t f(t) f( ). Multipliktion med fktorn e t på tididn motvr en förkjutning enheter åt höger på frekvenidn (trnformidn). Bevi. Definition och omkrivning ger u(t) e t f(t)e t dt = f(t)e ( )t dt = f( ) Innn vi tr upp den ndr förkjutningregeln definierr vi tegfunktionen u(t) enligt { när t < u(t) = när t Funktionen kll unit tep function eller Hevidefunktionen. Om är en kontnt är u(t ) en funktion om hr värdet när t och nnr. f(t) u(t )f(t ) Andr förkjutningregeln För en given funktion f(t) kn u(t )f(t ) bekriv om tt mn förkjuter f(t) enheter åt höger och ätter funktionen till till vänter om. Mn kn kll u(t )f(t ) en fördröjning v f(t). Denn typ v funktioner dyker upp om tidförkjutn indt till fyiklik ytem och är v vevärd prktik betydele. Om f(t) f() å gäller u(t )f(t ) e f(). En fördröjning enheter på tididn motvrr multipliktion med fktorn e på frekvenidn (trnformidn). 5

6 Bevi. Vribelbytet t = τ ger τ(t )f(t )e t dt = e f(t )e (t ) dt = e f(τ)e τ dτ = e f(). I mång mmnhng är indt till mtemtik modeller periodik funktioner. Att f(t) är periodik med perioden p betyder tt en förkjutning v f(t) p enheter (åt höger eller vänter) inte förändrr funktionen. Det betyder tt f(t + p) = f(t) för ll värden på t. Om f(t) är periodik med perioden p å hr f(t) Lplcetrnformen f() = e p f(t)e t dt. Bevi. Periodiciteten, vribelubtitution och geometrik ummn ger f(t) = = f(t)e t dt + 2p p f(t)e t dt + 3p 2p f(t)e t dt + = f(t)e t dt + e p f(t)e t dt + e 2p f(t)e t dt + = ( ) + e p + e 2p + f(t)e t dt = e p f(t)e t dt Exempel.6 Betäm Lplcetrnformen till { in(t) när t b f(t) = nnr Med funktionen u(t) kn vi kriv om hr Lplcetrnformen f(t) = ( u(t b)) in(t) = in(t) u(t b) in(t b + b) = = in(t) u(t b)(in(t b) co(b) + co(t b) in(b)) f() = 2 + e b co(b) 2 e b in(b) Invertering Lplcetrnformen I tillämpning v Lplcetrnformering är det viktigt tt kunn återvinn en funktion på tididn från in trnform. Om mn hr en funktion φ() på frekvenidn å är den i llmänhet inte trnform till en funktion f(t) på tididn. Om däremot dett kulle vr fllet, å tt φ() = f(), å äger t.2 tt f(t) i llt väentligt är entydigt betämd v φ() och mn kn med (vit) fog kriv f(t) = L [φ()](t). Det vir ig tt det är möjligt tt kriv upp en å klld inverionformel om utgående från f() betämmer f(t) (i llt väentligt). Denn formel utnyttjr emellertid komplex integrtion och fller utnför vd om är möjligt tt genomför i denn kur, å vi nöjer o med tt nvänd det vi känner till från tidigre vnitt för tt i enkild fll betämm L [φ()](t). Här följer någr typik exempel. Exempel.7 Vilken funktion hr Lplcetrnformen e ? 6

7 Vi börjr med en omkrivning v det rtionell uttrycket = + 2 ( + 2) 2 + ( + 2) 2 + Från känd beräkningr (tbell) vet vi tt å fört förkjutningregeln ger Andr förkjutningregeln ger nu tt co t in t e 2t co t e 2t in t u(t 3)e 2(t 3)( ) co(t 3) in(t 3) e Exempel.8 Vilken funktion hr Lplcetrnformen Prtilbråkuppdelning ger + 2 ( 2 + )? + 2 ( 2 + ) = Från känd beräkningr (tbell: t n n!/ n+ ) hr vi /, t / 2, co t /( 2 + ) och in t /( 2 + ), å tt vret blir + t co t in t Exempel.9 Vilken funktion hr Lplcetrnformen 2 ( + ) 3? Från känd beräkningr (tbell: t n n!/ n+ ) hr vi t 2 /2 / 3. Fört förkjutningregeln ger e t t 2 /2 /( + ) 3. Derivering två gånger ger nu i tur och ordning: d dt (e t t 2 /2) = e t (t t 2 /2) d dt (e t (t t 2 /2)) = e t ( 2t + t 2 /2) ( + ) 3 2 ( + ) 3.4 Begynnelevärdeproblem och Lplcetrnformen Vi hr redn i exempel.5 ett hur Lplcetrnformering kn nvänd för tt lö en differentilekvtion med begynnelevärden. I dett vnitt k vi e ytterligre exempel på hur egenkpern ho Lplcetrnformen kn nvänd i dett mmnhng. En mmnfttning v den procedur om nvänd er ut å här. Beräkn Lplcetrnformen v de båd leden i differentilekvtionen. 7

8 2. Dett leder till en (enkel lgebrik) ekvtion med ỹ() om obeknt. Lö ut ỹ(). 3. Löningen till den urprunglig ekvtionen är nu y(t) = L [ỹ()](t). Exempel. Lö begynnelevärdeproblemet y (t) + 2y(t) = 2e 3t, y() = 3. Lplcetrnformering leder till ekvtionen ỹ 3 + 2ỹ = 2/( 3). Vi löer ut ỹ och får med prtilbråkuppdelning ỹ = ( ) = ( + 2)( 3) = = 3/ / e 2t e3t. Löningen är lltå y(t) = 3e 2t /5 + 2e 3t /5. Exempel. Lö begynnelevärdeproblemet y (t) + 4y (t) + 3y(t) =, y() = 3, y () =. Lplcetrnformering ger 2 ỹ 3 +4(ỹ 3)+3ỹ =. Vi löer ut ỹ och får med prtilbråkuppdelning ỹ = = = ( + )( + 3) = e t 2e 3t Löningen är lltå y(t) = 5e t 2e 3t. Exempel.2 Lö begynnelevärdeproblemet y (t) y(t) = in 2t, y(π) =, y (π) =. Om vi fört erätter t med t + π och edn ätter z(t) = y(t + π) blir ekvtionen z (t) z(t) = in 2(t + π) = in 2t, z() =, z () =. Lplcetrnformering v denn ekvtion ger. Vi löer ut z och får med prtilbråkuppdelning 2 z + z = 2/( ) ( z = 2 2 ) = + 4 ( )( + )( 2 + 4) = = 5/2 + 3/ et /2 + 3e t /2 + 2 in 2t. Dett ger vret y(t) = z(t π) = 5e t π /2 + 3e (t π) /2 + 2 in 2t. Exempel.3 Lö begynnelevärdeproblemet y (t) + 2y (t) + 2y(t) = ( u(t π)) in t, y() = y () =. 8

9 I högr ledet ingår u(t π) in t = u(t π) in(t π). Det betyder tt högr ledet i differentilekvtionen är in t+u(t π) in(t π). Lplcetrnformering v ekvtionen ger därför ( )ỹ = (+e π )/( 2 +). Vi löer ut ỹ och får med prtilbråkuppdelning ỹ = ( + e π ) ( )( 2 + ) = ( + e π ) ( ( + ) ) 2 + Efterom får vi därför ( + ) = 2( + ) ( + ) ( + ) e t (2 co t + in t) 2 co t + in t y(t) = (/5)e t (2 co t + in t) (2/5) co t + (/5) in t + ( ) + u(t π) (/5)e (t π) (2 co(t π) + in(t π)) (2/5) co(t π) + (/5) in(t π). eller { y(t) = 5 e t (2 co t + in t) 2 5 co t + 5 in t när t < π 5 e t ( + e π )(2 co t + in t) när π t.5 Fltning och Lplcetrnformen I å väl teoretik om prktik mmnhng dyker den å kllde fltningen (f g)(t) v två funktioner f(t) och g(t) upp. Dett vnitt hndlr om del hur Lplcetrnformen kn nvänd för tt beräkn fltningen, del hur fltning kn nvänd för tt kriv upp löningr till differentilekvtioner med begynnelevärden. Om vi förutätter tt f(t) och g(t) br är definierde när t (om brukligt när vi nvänder Lplcetrnformen) definier fltningen v (f g)(t) = t f(t ξ)g(ξ) dξ. För vrje pecifikt värde på t ger integrlen i högr ledet ett tl, å tt f g blir en funktion v t. (Mn kn definier fltningen v funktioner om är definierde på hel reell xeln ockå, men då er definitionen lite nnorlund ut.) Exempel.4 Betäm t co t. (I vårt mmnhng är co t br definierd när t.) Vi hr enligt definitionen t co t = t (t ξ) co ξ dξ = { PI } = [(t ξ) in ξ] t + t in ξ dξ = [ co ξ] t = co t. Det finn ett nmärkningvärt mbnd melln fltning och Lplcetrnformering. Om f(t) f() och g(t) g() å gäller tt (f g)(t) f() g(). Fltning på tididn motvr lltå v multipliktion på trnformid (frekvenidn). Mn kn lltå betämm fltningen med hjälp v Lplcetrnformen. Exempel.5 Betäm t co t. (Smm om tidigre.) 9

10 Vi hr å Alltå är t co t = co t. t co t 2 t 2 och co t 2 +, 2 + = ( 2 + ) = 2 + co t. Mn kn nvänd fltning för tt kriv upp uttryck för löningen till en differentilekvtion. Här är ett exempel på dett, där vi hr problem tt lö uppgiften med ren Lplcetrnformering för tt vi inte känner trnformen v högerledet. Exempel.6 Lö ekvtionen y + y = ln( + t), y() = y () = när t. Vi låter φ() beteckn Lplcetrnformen till ln( + t) (om vi inte känner från tbellen). Ekvtionen trnformer till 2 ỹ + ỹ = φ(), å En formel för löningen är lltå ỹ = 2 φ() in t ln( + t). + y(t) = t in(t ξ) ln( + ξ) dξ. Ett uttryck om ger tillräcklig kontroll över löningen för tt vi t.ex. k kunn rit grfen till den med hjälp v MATLAB..6 Uppgifter. Betäm Lplcetrnformen till ) t 5 b) co 3t c) 3 co 2t 8e 2t d) te t e) t 2 in t f) t co 3t g) t 2 e 3t+4 h) e 3t co 4t i) ( u(t ))t n (n heltl > ) j) in t k) (( ) [t] + )/2, där [t] är heltldelen v t (dv tört heltlet t) l) f(t) = (e t )/t (Betäm fört trnformen till tf(t)!) 2. Vilken funktion hr följnde funktion om Lplcetrnform? 4 + ) 2 b) + 4 ( ) 2 c) 2 d) f) ( 2 + 9) 2 g) + e 3 ( 2 + 4) 2 h) ( + 3 ) j) ln (Deriver fört!) + 2 e 2 ( )( + 3) i) e) ( + ) 2 + e 3. Lö följnde differentilekvtioner med Lplcetrnformering ) y + 2y + y =, y() =, y () = b) y + 2y + y = in t, y() =, y () = c) y 9y = 8e t, y() =, y () = d) y + y = 3 co 2t, y() =, y () =

11 e) y + 25y = (co 5t 2 in 5t), y() =, y () = 2 f) y + y + y = t co 3t, y() = y () = g) y + 9y = u(t ), y() = y () = h) y + 4y + 4y = e 2 t u(t 2), y() =, y () = i) y + 2y + 2y = ( u(t π)) in t, y() = = y () j) y + y = t 2 +, y(π) = π 2, y (π) = k) y y = in 2t, y(π) =, y (π) = 4. Betäm (med Lplcetrnformering) ) e t e bt b) t co t c) in t co bt d) t 2 in t e) t n t m (n, m heltl > ) f),, etc. 5. Lö följnde (f(t) är en godtycklig kontinuerlig funktion). ) y + y + 24y = f(t), y() =, y () = b) y 8y + 2y = f(t), y() = 3, y () = 2 c) y 3y + 6y 8y = f(t), y() = y () = y () = Förlg till vr. ) g) n! n+ b) 2e 4 ( 3) 3 h) k) e e 2 l) ln c) i) n! n+ e (när > ) d) e) ( ) 2 n n! j) (n k)! k+ k= ( 2 + ) 3 f) 2 9 ( 2 + 9) 2 + e π ( + 2 )( e π ) 2. ) (/2) in 2t b) 4te t c) ( t)e 2t d) ( e t ) 2 /2 e) e 2t (co 3t + (/ 3) in 3t) f) (/6)t in 3t g) (/6) in 2t (t/8) co 2t + (/6) in 2(t 3) ((t 3)/8) co 2(t 3) u(t 3) h) u(t 2)(e t 2 e 3t+6 )/4 i) e t te t + u(t ) j) (e 2t e 3t )/t 3. ) ( + 2t)e t b) (3/2)( + t)e t (/2) co t c) e 3t 2e 3t + e t d) co t co 2t e) co 5t + t(2 co 5t + in 5t) f) 2/ 3 + t 2 / + (2/ 3 ) co t om och om = g) (/9)u(t )( co 3(t )) h) ( + t)e 2t + e 2 t ( + ( t)e 2 t )u(t 2) i) y(t) = (/5)(in t 2 co t) + (/5)e t (in t + 2 co t) när t (/5)e t ( e π )(in t + 2 co t) när t > π 4. ) j) t 2 co t + 2π in t k) 2 in 2t + (3/2)e (t π) (5/2)e t π b (et e bt ) när b och te t när = b b) 2 ( co t) när och t2 /2 när = c) (co t co bt) när b och (t/2) in t när = b d) b 2 2 n!m! e) (n + m)! tn+m+ f) t, t 2 /2, t 3 /3! etc. 5. ) (/2)f(t) e 6t + (/2)f(t) e 4t 2e 6t + 3e 4t b) (/4)f(t) e 6t (/4)f(t) e 2t + 2e 6t 5e 2t c) (/5)f(t) e 3t (/5)f(t) co 6t (/(5 6))f(t) in 6t

12 .7 Tbell f(t) f() f (t) f() f() f (n) (t) n f() n f() n 2 f () f n 2 () f n () t n f(t) ( ) n f (n) () (f g)(t) f() g() f(t + p) = f(t) för ll t u(t )f(t ) där > e p e f() f(t)e t dt e t f(t) f( ) t n n! n+ e t co bt 2 + b 2 in bt b 2 + b 2 2