1. f är en två gånger deriverbar funktion på intervallet (a, b) och π 1 f är dess linjära interpolant. Visa att π 1 f f L (a,b) (b a) 2 f L (a,b).

Transkript

1 Matematik Chalmer Tentamen i TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, ; KL 8:3-:3 Telefon: Martin Berglund: Hjälpmedel: Endat utdelad vänd textlappen tabell. Kalkylator ej tillåten. Uppgift 7 ger max 8p, och uppgifterna -6 ger max 7 poäng var. Betyggräner: 3: -9p, : 3-39p och 5: p- Löningar/Grankning: Se Hemidan, kurdagbok.. f är en två gånger deriverbar funktion på intervallet a, b och π f är de linjära interpolant. Via att π f f L a,b b a f L a,b.. Lö följande integro-differentialekvation med Laplacetranformation: y t y t + yt t yτdτ =, y =, y =. 3. a Betäm en a priori feluppkattning för { u + cu = f, < x <, b u = u =, i energinormen e E = e. Där är L -normen, dv w = wx dx. b För vilka c värden blir felet minimal?. Beräkna tyvhet- och ma-matri och latvektor för tyckvi linjära finitelement approximationen till randvärdeproblemet { u 3u =, < x <, u =, u =, på en partition T h : x =, x = /, x =, h = /, av intervallet [, ]. 5. Beräkna Fourier inu-erie för funktionen { x < x π/, fx = π x, π/ x < π. 6. Lö värmeledningekvationen u xx = u t, < x <, t > u x, t = u, t =, t > ux, =, < x <. 7. Via, att om funktionen f är π-periodik och tyckvi kontinuerlig på [ π, π] med de komplexa Fourierkoefficienterna C n, å gäller Beel olikhet C n π fθ dθ. π n= π LYCKA TLL! MA

2 Table of Laplace Tranform and trigonomerty ft aft + bgt tft t n ft F af + bg F n F n e at ft F + a ft Tθt T f t e T F F f f t F f f f n t t n F F fτdτ θt t n n! n+ e at + a coh at a a inh at a cobt + b b in bt + b t in bt b + b b 3 in bt bt cobt + b n n k f k k= inain b = = coa b coa + b inacob = = ina b + ina + b coacob = = coa b + coa + b

3 TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, ; KL 8:3-:3. Löningar.. See Lecture Note.. Laplacetranformering ger Y y y Y + y + Y Y =. Gemon att erätta y =, y = får vi + Y = =. Alltå 3 + Y = Y = 3 +. Men efterom 3 + = + = +, vi kan kriva Y = + = + yt = int. 3. Vi multiplicerar differentialekvationen med en tetfunktion v H, =, och integrerar över. Partial integration och randdata leder till följande variation problem: Finn u H å att u v + cu v = fv, v H. En finitelement Metod med cg formulera om: Finn U Vh å att U v + cu v = fv, v Vh H, där V h = {v : v i piecewie linear and continuou in a partition of, v = v = }. Låt e = u U, då ger - 3 e v + ce v =, v V h. A priori feluppkattning: Vi använder o av e = e =, och får e d e = dx e = e =. Så kan vi kriva e E = e e = e e + ce e = = {v = U π h u in3} = e u U + ce u U e u π h u + ce u π h u u π h u e + c u π h u e = { u π h u E + c u π h u } e E. Med Poincare: olikhet får vi e E c + u π h u E = c + u π h u c + hu. b Vi er att felet är mint då c =, dv om det inte finn någon konvektionterm.

4 . Multiplicera ekvationen med en tetfunktion v H = {v : v + v <, v = } och integrera över = [, ], u v dx [u xvx] 3 uv dx = Gemon att ätta in randdata får vi variationformuleringen: Finn u H VF u v dx 3 Motvarande finitelementmetoden är: uv dx = v dx, v H. å att v dx v, v H. Finn U V h = {v : v är kontinuerlig tyckvi linjär på T h, v = } å att FEM U v dx 3 Vi har att Ux = ξ ϕ x + ξ ϕ x där { x, x / ϕ x = x, / x Uv dx = och ϕ x = v dx v, v V h. {, x / x, / x är de hela rep. halva bafunktioner på paritionen T h, ξ = Ux och ξ = Ux. Vi ätter in ϕ x ϕ x x = x = / x = x Ux = ξ ϕ x + ξ ϕ x, v = ϕ x och v = ϕ x i FEM och får linjär ekvationytem för ξ och ξ om Mξ = b med [ M = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, ϕ ξ = ξ ξ, och b = ϕ ϕ ϕ ϕ / = / / = / / Vi räknar de numerika värdena för tyvhet-, konvektion-, rep. mamatri för ϕ och ϕ och får [ 3 h ] ξ / =, h 6 ξ / vilket lutligen ger, med h = /, att 3/ 3/ ξ ξ = = ξ = ξ = /3.. Ux = 3 ϕ x + 3 ϕ x = { 3 x, x x.

5 5. För utveckling av fx i inuerie definierar vi fx även för x å att fx blir en udda funktion. Vi har då L = π, L = π och fx b n in nx, där, b n = π π = πn = πn [ fxin nxdx = π nπ/ [ π/ π n= π xin nxdx + y in y dy + π in nxdx π π/ πn ] nπ/ in y y coy [ conπ co nπ n {, n = k = nπ in πn = k k+ π, n = k +. π/ nπ ] π xin nxdx = {nx = y} nπ/ y iny dy ] πn [ in y y coy Obervera att den expandirade π-periodika funktionen fx är kontinuerlig. Därför k fx = k + ink + x. π { S x =, S = S =, k= 6. Ekvationen är inhomogen. Vi gör följande anat: ux, t = Sx + vx, t. Då får vi att = Sx = x X = T och ] nπ nπ/ v xx = v t, v x, t = v, t =, vx, = Sx = x. Sätt vx, t = XxTt. Då är X T = λ. Man er med hjälp av randdata att endat λ < ger icke-triviala löningar. Härav får vi följande löningar för ode för X och T: { { X = λx λn = n + X = π := α n = X = X n x = con + πx := coα n =,,,..., nx. Obervera att här tartar indexen med n =. Detta innebär inte att λ n får vara e ovan! Superpoition ger att där A n ge av begynnelevillkoret: T nt = α nt n t = T n t = A n e α n t. vx, t = vx, = A n e α n t coα n x, n= n= A n coα n x = x. Dv A n är Fourierkoefficienter av funktionen x med aveende på baen {coα n x} n= över,. A n = x coα n xdx = / = [ ] x inα n x α n = α n [ ] xcoα n x α n α n x coα n xdx xin α n xdx coα n xdx = 3 α 3 n [ ] in α n x = α 3 n. n

6 Därför får vi att Slutligen 7. See Lecture Note. MA ux, t = x vx, t = n= n e α n t coα n x. n= α 3 n n [n + e [n+ π]t co π]3 n + πx.