1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 1, t > 0 y(0) = 1, y (0) = 1

Transkript

1 Matematik Calmer Tentamen i TMA68/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 8 7, kl 4:-8: Telefon: Olof Gielon, Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner, : -7p, 4: 8-p oc 5: 4-p Löningar/Grankning: Se kuremidan.. Använd Laplacetranformen för att löa differentialekvationen (5p) { y (t) + y (t) + y(t) =, t > y() =, y () =. Betäm den tyckvi linjära interpolanten till (4p) f(x) = π (x π) co (x π ) då intervallet [ π, π] dela i 4 lika tora delintervall.. a) Betäm Fouriererien till den -periodika funktionen (4p) {, < x < f(x) =, < x < b) Använd reultatet i a) för att beräkna umman (p) ( ) k S = k 4. Härled variationformulering oc finita element-formulering, amt beräkna den tyckvi linjära finita element-löningen till randvärdeproblemet 4 u (x) + u (x) u =, x (, ), u() = u () =, på en likformig partition T av intervallet [, ] med teglängd = /. (5p) 5. Lö värmeledningekvationen (5p) u xx = u t, x (, ), t >, u(, t) = u(, t) =, t >, u(x, ) =, x (, ) med jälp av variabeleparationmetoden. 6. Via att om L[f(t)]() = F () å gäller följande Laplacetranformer: (5p) a) L[f (t)]() = F () f(), b) L[f (t)]() = F () f() f (). LYCKA TILL! /TG

2 Tabell med Laplacetranformer oc trigonometrika formler f(t) af(t) + bg(t) tf(t) t n f(t) F () af () + bg() F () ( ) n F (n) () e at f(t) F ( + a) f(t T )θ(t T ) f (t) e T F () F () f() f (t) F () f() f () f (n) (t) t f(τ) dτ n F () F () θ(t) t n n! n+ e at + a co at a a in at a co bt + b b in bt + b t in bt b ( + b ) b (in bt bt co bt) ( + b ) n n k f (k ) () in a in b = co(a b) co(a + b) in a co b = in(a b) + in(a + b) co a co b = co(a b) + co(a + b)

3 TMA68/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 8 7, kl 4:-8:. Löningar.. Laplacetranformering med y() = oc y () = ger, efterom L[] = L[θ(t)] =, Y () y() y () + Y () y() + Y () = = ( + + )Y () = + + = Y () = ( + + ) = ( + )( + ) + + Partialbråkuppdelning ger ( + )( + ) = A + B + + C + där vi kan använda andpåläggning eller multiplicera iop oc få ekvationytemet A + B + C = A + B + C = A = med löningen A = /, B =, C = /. Alltå där vi använt att L[e at ] = a. Y () = = = y(t) = ( + e t ), t ( + ) +. Då intervallet [ π, π] dela in i 4 delintervall få nodpunkterna { π, π/,, π/, π}. Funktionen värde i dea punkter ge av x π π/ π/ π f(x) 4 5/4 /4 På varje delintervall [a, b] ge den tyckvi linjära interpolanten π f av π f(x) = f(a)φ a (x) + f(b)φ b (x) = f(a) b x b a + f(b)x a b a. Genom att ätta in ovantående värden för varje delintervall få ( π 4 π 4 x), x [ π, π/) ( π f(x) = π 4 x), x [ π/, ) ( π π 7 4 x), x [, π/) ( π 4 π + 4 x), x [π/, π] I figuren nedan via ur de båda funktionerna er ut.. a) Funktionen f(x) är varken jämn eller udda. Man kan direkt räkna ut co- oc in-koefficienter genom att toppa in i formlerna, men man kan ockå notera att g(x) = f(x) är en udda funktion (med värdet på intervallet (, )). Om vi gör detta får vi att f(x) = + ( ) b n in L x med b n = L ( ) g(x) in L L x dx, n =,,... n=

4 4 f x Π f x Figur. Funktionen f(x) oc den tyckvi linjära interpolanten π f(x) i uppgift Figur. Den -periodika funktionen f(x) i uppgift. där L =, dv L =. Alltå är för n =,,..., Därför är b n = n= = ( )n in (x) dx = = {, n jämnt, [ ] co (x) n udda f(x) = + ( ) n in(x) = + in((k )πx). (k )π b) Om vi ätter x = / i Fouriererien ovan, får vi = f(/) = + (k )π in ((k )π/) = π n= ( ) k k = π S, där S är den ökta umman (efterom in ((k )π/) = ( ) k kolla i enetcirkeln för k =,,,...). Vi löer ut S oc får S = π Multiplicera ekvationen med en tetfunktion v V, där V = {v : v L(,) + v L(,) <, v() = }

5 oc integrera över [, ]. Notera att Neumann-randvillkoret u () = inte ger något villkor på tetfunktionerna v. Genom partialintegration oc med änyn till randdata får vi följande variationproblem: Finn u V å att () ( 4 u v + u v uv)dx = vdx, v V. En motvarade Finita Element Metod med cg()-metoden (tyckvi linjära löningar) formulera om: Hitta U V å att () där ( 4 U v + U v Uv)dx = vdx, v V V = { v : v är tyckvi linjär oc kontinuerlig i en partition av [, ] med teglängd, v() = }. Vi anätter U(x) = ξ ϕ (x) + ξ ϕ (x) där (x x j ), x [x j, x j ) ϕ j (x) = (x j x), x [x j, x j+ ), j =,, annar är attfunktionerna varande mot nodpunkterna x j = j/, j =,. Notera att ϕ är en alv att. Vi ätter in U(x) = ξ ϕ (x) + ξ ϕ (x) i () oc väljer tetfunktioner ϕ = ϕ i, i =,. Vi får då ekvationytemet ( ) 4 A + C M ξ = b, där A är tyvetmatrien med element A ij = ϕ i ϕ jdx, i, j =,, C är konvektionmatrien med element C ij = ϕ iϕ j dx, i, j =,, oc M är mamatrien med element M ij = ϕ iϕ j dx, i, j =,. b är ögerledvektorn med element b i = ϕ idx, i =, oc ξ = (ξ, ξ ) T är löningvektorn. Beräkning av matrielementen ger (efterom φ är en alv attfunktion) att [ ] [ ] [ A =, C =, M = ] 6 För ögerledvektorn får vi b =, oc b = /. Med = / får vi alltå ekvationytemet ( [ ] + [ ] [ ]) [ ] 4 ξ = [, 4 ξ 4 ] eller [ ] [ ] /4 ξ = 5/4 / (Löningen är ξ = (, ) T.) ξ [ ] / /4 5. Vi er att ekvationen är inomogen. Anätt därför u(x, t) = v(x, t)+s(x) oc ätt in i ekvationen oc randvillkoren: v t = v xx + S (x) +, x (, ), t >, v(, t) + S() =, v(, t) + S() =, t, v(x, ) + S(x) =, x (, ). Vi er att om S(x) uppfyller { S (x) =, x (, ), t >, S() =, S() = å löer v(x, t) det omogena värmeledningproblemet v t = v xx, x (, ), t >, v(, t) =, v(, t) =, t, v(x, ) = S(x), x (, ). 6

6 Integration två gånger oc inättning av randvillkoren för S(x) ger att S(x) = x(x ). Vi ar alltå att v(x, ) = x(x ). För att betämma v(x, t), ätt v(x, t) = X(x)T (t). Inättning i differentialekvationen för v ger X T = XT eller X X = T T = λ. Vi ar ett att med omogena randvillkor är λ <. Sätt λ = µ. Detta ger { X + µ X =, T = µ T. X() = X() =. Löningen för X(x) är då X(x) = A co µx + B in µx. X() = = A = oc X() = = B in µ = = µ = (ty B = ger trivial löning). Vi ar alltå µ n =, X n (x) = B n in x, n =,,.... För T gäller då T n = µ nt n = T n (t) = Ce ()t, n =,,.... Superpoition ger den allmänna löningen v(x, t) = B n e ()t in x. Från begynnelevillkoret få att n= v(x, ) = x(x ) = B n in x, oc vi er att B n är Fourier-inu koefficienter för funktionen x(x ) på intervallet (, ): [ B n = x(x ) in x dx = x(x ) = () [(x ) in x] x= () = () [co x] x= = () (( )n ) Alltå är löningen oc v(x, t) = π n= u(x, t) = S(x) + v(x, t) = x( x) + π 6. Se Fourier-äftet, at :7. /TG n= ] co x + x= in x dx ( ) n n e n π t in x n= (x ) co x dx ( ) n n e n π t in x 4