1. Låt u 0 och v 0 vara tvåvektorer i ett linjärt rum med skalärprodukt. Antag att följande relation gäller mellan längder av vektorer: u = 2 v = 2 3

Transkript

1 Matematik Chalmers Tentamen i TMA6 matematik fordjupning Kf, 6 8 ; KL 8:-: Telefon: Olof Giselsson: ankn 55 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel, fårutom penna och linjal, är tillåtna, ej heller rä knedosa. OBS! Motivera dina svar väl. Det är i huvudsak beräkningarna och motiveringarna som ger poäng. Udda uppgifter,, 5, 7 ger 8 poäng var, och jämna uppgifter 7 poäng var: totalt 6 poäng. Betygsgränser, : -5p, : 6-7p och 5: 8p- Lösningar/Granskning: Se Hemsidan.. Låt u och v vara tvåvektorer i ett linjärt rum med skalärprodukt. Antag att följande relation gäller mellan längder av vektorer: u = v = u v. Bestäm vinkeln α mellan u och v och visa att u, v och u v bildar en rätvinklig triangel.. Låt C [,] beteckna det reella vektorrummet av alla reellvärda två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner på intervallet [, ] med den vanliga puktvisa addition och multiplikation med reella tal. Beteckna detta vektorrum V. Bestäm de reella tal a, b, c för vilka bildar ett underrum i V. U = {f V : af+bf = c}. Låt f = fx och u vara givna data. Betrakta problemet u = f, < x <, u =, u = u. Visa att för lösningen u = ux gäller följande L -stabilitetsolikhet: u f + u. Tips: Utnyttja att u u och u u, eftersom u =.. Beräkna styvhet- och mass-matris och lastvektor för styckvis linjära finitelement approximationen till randvärdesproblemet u u =, < x <, u =, u =. på en partition T h : x =, x = /, x =, h = /, av intervallet [,]. 5. Beräkna x n sinnxdx. 6. Bestäm konvergenscentrum, konvergensradien och konvergensintervallet för serien x+5 n n + n. n= 7. Givet vektorrum V med skalärprodukt <, > och ett underrum U av V. Visa att om v V ges av z +z där z U och z U så är z och z entydigt bestämda. 8. Givet variationsproblemet: Hitta u H, så att VF axu xv xdx = fxvxdx, v H,, formulera motsvarande minimeringsproblem MP och visa att VF MP. LYCKA TILL! MA

2 VOID!

3 TMA6 matematik fordjupning Kf, 6 8 ; KL 8:-:. Lösningar.. vi har att därför är dvs u+v = u + v + < u,v >, u v = u + v < u,v >, < u,v >= u + v u v. Definitionen av vinkel och de givna relationerna mellan längder ger nu cosα = < u,v > u v = + = u v + v =. u u v u v Därmed blir vinkeln α = arccos = π. Kommentarer:Mankankonstateraattvinkelmmellanv ochu v är9graderochdenmellanuoch u v är grader. Vi har alltså en rättviknlig triangle. Men ett sådant geometriskt resonemang räcker inte för bevis, eftersom uppgiften gäller ett allmänt linjärt rum, men kan användas för kontroll.. För f, g U och α och β R gäller att αf + βg C [,] enligt kända dervieringsregler. Vi noterar att nollelementet i V ges av x =, x [, ]. Eftersom U är ett underrum i V måste U, så att det gäller a +b = c, dvs c =. För f, g U gäller att af+bf = och ag+bg =. Detta ger att α af+bf +β ag + bg =, dvs a αf+βg +b αf+βg =, dvs aαf +βg+bαf +βg =. Slutsats: U är ett underrum i V om och endast om a, b R och c =.. Multiplicera ekvationen u = f med u och integrera över I =,: fudx = u udx = u xux + u u dx = u u+ vilket m.h.a. Cauchys olikhet och tipsen ger u = u dx = u u dx, fudx+u u f u + u u f + u u. Härav följer a. Randvillkoret u = ger ux = x u ydy. Speciellt ger x = att u = u u u, där vi åter använde Cauchy s olikhet i sista ledet. Detta visar den ena olikheten. På samma sätt erhålls ux x u u u.

4 Denna ger u = vilket ger den andra olikheten. u u u dx u,. Multiplicera ekvationen med en testfunktion v H = {v : v + v <, v = } och integrera över I = [,], u v dx [u xvx] + u vdx uvdx = Gemon att sätta in randdata för vi variationsformuleringen: Finn u H så att VF u v dx+ u vdx uvdx = Motsvarande finitelementmetoden är: Finn U V h = {v : v är kontinuerlig styckvis linjär påt h, v = } så att FEM U v dx+ U vdx Vi har att Ux = ξ ϕ x+ξ ϕ x där { x, x / ϕ x = x, / x Uvdx = och ϕ x = vdx, v H. vdx v, v H. vdx v, v V h. {, x / x, / x är de hela resp. halva basfunktioner på paritionen T h, ξ = Ux och ξ = Ux. Vi sätter in ϕ x ϕ x x = x = / x = x Ux = ξ ϕ x+ξ ϕ x, v = ϕ x och v = ϕ x i FEM och får linjär ekvationssystem för ξ och ξ som Mξ = b med [ M = ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, ϕ ξ = ξ ξ ϕ ϕ ϕ, och b = ϕ ϕ ϕ ϕ / = / / = / / Vi räknar de numeriska värdena för styvhet-, konvektion-, resp. massmatris för ϕ och ϕ och får [ ] / / /6 ξ / + h =, h / / /6 / ξ / vilket slutligen ger, med h = /, att / 5/ ξ ξ = = ξ =, ξ = 6/5..

5 5. Vi noterar att Dessutom observerar vi att Ux = 6 { 5 ϕ x+ϕ x = 5 x, x 5 8x+ x. sinnxdx = [ n cosnx]π/ = cos nπ n, n. x n sinnx likformig [, π ], vilker vi ska visa nedan. Eftersom konvergensen är likformig på integrationsintervallet kan vi göra en gränsövergång under integraltecknet. Detta ger och följdaktligen får vi x n sinnxdx = x n sinnxdx = x n sinnxdx sinnx dx =. Det återstår att visa den likformiga konvergensen på [, π/]. Fixera godtyckligt ε >. Det gäller att x n sinnx π/ n för x [, π ]. Eftersom π < gäller att π/n då n och det finns N oberoende av x sådant att n M = x n sinnx < ε fö alla x [, π ]. Likformiga konvergensen på [, π ] är därmed bevisad. 6. Serien kan skrivas om som n n x+ 5 n. + n= Dormed är konvergenscentrum x = 5/. Konvergensradien ges av n+ R = L = n+ + n + = n+ + =. n n + Alltså är R = /. Serien är absolutkonvergent i intervallet 5/ / 5/+/ =, och divergent på, och,. På x = är serien n= /n + och på x = den är n= n /n +. Båda dessa serier är absolutkonvergenta. Alltså konvergensintervallet är [, ]. MA