Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
|
|
- Andreas Bergström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH
2 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) Introduktion Fourieranalys handlar om att bryta ner en periodisk funktion i komponenter i form av sinus- och cosinusfunktioner (om än ofta i form av den komplexa exponentialfunktionen) och sedan, omvänt, försöka sätta ihop bitarna igen till den ursprungliga funktionen. Härigenom får man insikt i många periodiska system. Ett känt exempel är, varför låter samma ton från en trumpet och ett piano olika? Tonen definieras av dess svängningsfrekvens, som i sin tur är uppbyggd av en svit harmoniska toner (d.v.s. sinusoch cosinusfuktioner) från en övertonsserie. Det är hur dessa övertoner vägs ihop som definierar klangen. Men musik är långt ifrån det enda tillfälle man vill bryta ner en periodisk funktion i harmoniska svängningar. Här ska vi dock inte titta på sådana tillämpningar, utan fokusera på själva den matematiska uppdelningen av en funktion som är T -periodisk. För att reducera komplexiteten i formlerna antar vi att T =, så att de harmoniska svängningarna är rena sinus- och cosinusfunktioner. Det är naturligtvis ingen reell inskränkning: det handlar bara om hur vi mäter tiden! Egenskaper hos Fourierkoefficienterna Vi ska i detta kapitel nämare diskutera det ortonormerade systemet e n (x) = e inx, n Z, i rummet R([, ]; C) av komplexvärda, Riemannintegrerbara funktioner med pseudoskalärprodukten (u, v) = u(x)v(x)dx. Om u R([, ]; C) så definierar vi dess Fourierkoefficienter genom c n = (u, e n ), d.v.s. () c n = c n (u) = u(x)e inx dx, n Z. När vi nu ska undersöka egenskaper hos Fourierkoefficienterna är det bekvämt att betrakta u som en -periodisk funktion definierad på hela R, ty e inx är en sådan och man kan då integrera över en godtycklig period i (). T.ex. gäller att Bessels olikhet säger att () c n = u(x)e inx dx. c n (u) u(x) dx = u, vilket visar dels att c n (u) u för alla n, dels att (3) c n (u) då n. Några andra viktiga egenskaper hos Fourierkoefficienterna ges i nästa lemma.
3 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) Lemma Om u är kontinuerlig med period och styckvis C gäller att (4) c n (u ) = inc n (u). Om u är en -periodisk, Riemannintegrerbar funktion gäller att (5) c n (e ix u) = c n (u), (6) c n (τ a u) = e ina c n (u) där (τ a u)(x) = u(x a). Anmärkning Man säger att en funktion u är C på intervallet [α, β] om dess derivata u existerar och är en kontinuerlig funktion på [α, β]. (I ändpunkterna α och β definieras u (x) som höger- respektive vänsterderivatan.) Man säger att u är styckvis C på [α, β] om det finns en indelning α = x < x <... < x k = β och C funktioner u j på intervallen [x j, x j ], j =,..., k, sådana att u(x) = u j (x) då x j < x < x j. Observera att u inte måste vara kontinuerlig i punkterna x, x,..., x k. Derivatan u är inte heller entydigt definierad i dessa punkter. Däremot är Fourierkoefficienterna c n (u ) väldefinierade eftersom de endast beror på u :s värden i de öppna intervallen (x j, x j ). Bevis. Om u är C på hela R ger en partialintegration att c n (u ) = u (x)e inx dx = [ u(x)e inx] = in u(x)e inx dx = inc n (u), u(x)( in)e inx dx eftersom u()e i = u()e i p.g.a. periodiciteten. Om u bara är styckvis C men kontinuerlig får vi (4) genom att summera bidrag från delintervall (x j, x j ) i vilka u är C. Formeln (5) följer direkt ur c n (e ix u) = Slutligen har vi att e ix u(x)e inx dx = u(x)e i(n )x d = c n (u). c n (τ a u) = vilket är (6). u(x a)e inx dx = a a u(y)e in(y+a) dy = e ina c n (u), Om u är en given -periodisk funktion kallas den formella serien c n e inx för u:s Fourierserie. En sådan serie kallas konvergent om serierna c n e inx och c n e inx
4 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 3 (3) båda är konvergenta och summan definieras då som summan av dessa seriers summor. Fourierserien till en given funktion behöver inte konvergera i varje punkt. Det finns kontinuerliga funktioner sådana att deras Fourierserier divergerar i en icke-uppräknelig mängd punkter. Det finns till och med funktioner vars Fourierserier divergerar i varje punkt! Ur Bessels olikhet () får vi emellertid följande resultat. Lemma Om u är en kontinuerlig, -periodisk funktion som är styckvis C gäller att c n (u) <. Speciellt konvergerar Fourierserien under lemmats förutsättningar likformigt på hela den reella axeln. Vi skall i nästa avsnitt se att den konvergerar mot u. Bevis. Derivatan u är Riemannintegrerbar eftersom den är begränsad och styckvis kontinuerlig. Bessels olikhet ger att n c n (u) = c n (u ) u = u (x) dx. Här använde vi (4) i första likheten. För n gäller att c n = n n c n ( n + n c n ) (aritmetisk-geometriska olikheten) och det följer att c n är konvergent eftersom n är konvergent. 3 Fouriers inversionsformel Vi skall nu använda egenskaperna i föregående avsnitt till att visa följande viktiga sats. Sats Antag att u är en -periodisk, styckvis C funktion. Då gäller att (7) u(x) = c n e inx förutsatt att u är kontinuerlig i punkten x. Bevis. Låt oss först visa (7) i x = och dessutom anta att u() =. För att verifiera (7) skall vi då visa att c n =. För detta skriver vi u(x) = v(x)( e ix ), där v(x) = u(x) x x e ix är styckvis kontinuerlig och -periodisk. Notera att, eftersom u är kontinuerlig i x = med u() =, så gäller att u(x)/x u (+) då x och u(x)/x u ( ) då x. Enligt (5) har vi att c n (u) = c n (v) c n (v),
5 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 4 (3) varför det följer att N c n (u) = M N (c n (v) c n (v)) = c N (v) c M (v) M och c N (v) och c M (v) går mot noll då N respektive M går mot oändligheten enligt (3). Detta visar att c n(u) = om u() =. Om u() kan vi betrakta u (x) = u(x) u(). Då är { c n (u) då n c n (u ) = c (u) u() då n = och enligt vad vi redan visat är c n(u ) =. Det betyder precis att varför vi har visat (7) i x =. u() = c n (u), Slutligen, om u(x) är kontinuerlig i x = a blir w(x) = u(x + a) kontinuerlig i och enligt vad vi redan visat gäller då att Med hjälp av (6) får vi w() = c n (w). u(a) = w() = c n (w) = c n (u)e ina. Detta fullbordar beviset. Exempel Låt u(x) vara den -periodiska fyrkantsvågen {, om x < u(x) =, om x <. Om n gäller då att c n (u) = u(x)e inx dx = ( ( )e inx dx + e inx dx) = in ( ( )n ) = {, om n = k /in, om n = k +. Notera att c n = c n. Eftersom c = blir u:s Fourierserie därför c n e inx = (c n e inx + c n e inx ) = ic n sin nx
6 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 5 (3) = 4 (k + ) sin(k + )x = 4 (sin x + 3 sin 3x + sin 5x +...). 5 Enligt Sats gäller i alla punkter i det öppna intervallet (, ) utom att u(x) = 4 sin(k + )x, (k + ) d.v.s. Om vi speciellt tar x = / får vi att { /4, < x < sin(k + )x = k + /4, < x <. 4 = ( ) k k + = Observera i Exempel ) att för x =, och är Fouriersumman ic n sin nx lika med noll, vilket är det aritmetiska medelvärdet av u:s höger- och vänstergränsvärden i dessa punkter. Detta är ett generellt fenomen som vi ska återkomma till nedan. 4 Parsevals formel Sats {e inx } n Z är en ortonormerad bas för R([, ]; C). Bevis. Till varje funktion u R([, ]; C) och varje ɛ > finns en kontinuerlig, styckvis C funktion v på intervallet [, ] sådan att (8) u v < ɛ/. Man kan välja v så att v() = v(). Då blir den -periodiska utvidgning av v kontinuerlig och styckvis C. Men Fourierserien till v konvergerar likformigt mot v, så om vi sätter N v N (x) = c n (v)e inx, N så kan man till varje ɛ > välja N sådan att sup x v(x) v N (x) < ɛ/. Det följer att v v N = v(x) v N (x) dx sup v(x) v N (x) < ɛ/. x Om man sätter ihop detta med (8) och använder triangelolikheten får man att u v N u v + v v N < ɛ om N är tillräckligt stor. Det följer att funktionerna e inx bildar en ON-bas för R([, ]; C). Som en direkt konsekvens av detta får vi
7 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 6 (3) Sats 3 Om u, v R([, ]; C) så gäller att (9) u(x)v(x)dx = c n (u)c n (v). Speciellt har vi Parsevals formel () u(x) dx = c n (u). Exempel Använder vi () på fyrkantsvågen i Exempel får vi d.v.s. Om vi istället betraktar funktionen för vilken blir Parsevals formel och vi får att dx = 4 (k + ), 8 = (k + ) = c n (u) = n u(x) = x då x < xe inx dx = i( )n, c (u) =, n n = x dx = 3, 6 = n = Anmärkning Låt c n vara Fourierkoefficienterna till funktionen u R([, ]; C) och sätt u M,N (x) = N c n e inx. M Att det ortonormerade systemet {e inx } n Z är en ON-bas för R([, ]; C) innebär att u u M,N = u(x) u M,N (x) dx då M, N. Däremot behöver u M,N inte konvergerar mot u(x) för varje x. Endast då u är kontinuerlig, -periodisk och styckvis C vet vi att så är fallet.
8 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 7 (3) 5 Cosinus- och sinusserier Om man ersätter e inx med cos(nx) + i sin(nx) i Fourierserien u(x) = c n e inx övergår denna i en serie av formen () u(x) = a + a n cos nx + b n sin nx. Tvåan i nämnaren på den konstanta termen är till för att ge enhetliga formler för koefficienterna. För att bestämma dessa observerar vi först att funktionerna (), cos x, sin x, cos x, sin x,... är sinsemellan ortogonala och alla har längden / m.a.p. den vanliga pseudoskalärprodukten i R([, ]; C). Om vi multiplicerar den vanliga skalärprodukten med och bildar (3) (u, v) = u(x)v(x)dx, så blir alltså funktionerna i () en ON-bas i R([, ]; C). Formlerna för koordianterna m.a.p. en ON-bas ger nu att (4) a n = (5) b n = Vi sammanfattar det ovanstående i följande sats. u(x) cos(nx)dx, n =,,,... u(x) sin(nx)dx, n =,,... Sats 4 Funktionerna i () bildar en ON-bas i R([, ]; C) m.a.p, pseudoskalärprodukten i (3). Om u är en -periodisk funktion som är styckvis C och a n, b n definieras av (4), (5), så gäller () i varje punkt x där u är kontinuerlig. Bevis. Det första påståendet är redan bevisat. Det andra följer av Sats och omskrivningen ovan. Då u är en reellvärd funktion kan det ibland vara fördelaktigt att skriva Fourierserier på formen () eftersom koefficienterna a n, b n då blir reella tal. Andra situationer när () kan vara att föredra är när u är en jämn funktion (d.v.s. u( x) = u(x) för alla x) eller en udda funktion (u( x) = u(x) för alla x). Om u är en jämn funktion blir integralerna i högerledet av (5) lika med noll, eftesom integranden är en udda funktion, och () blir en ren cosinusserie u(x) = a + a n cos(nx).
9 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 8 (3) I detta fall är även integranden i högerledet av (4) en jämn funktion, så integralen från till är lika med två gånger integralen från till : (6) a n = u(x) cos(nx)dx, n =,,... Om u är en udda funktion försvinner istället koefficienterna a n och () blir en sinusserie där (7) b n = u(x) = b n sin(nx) u(x) sin(nx)dx, n =,,... Med hjälp av dessa observationer kan vi bevisa följande sats. Sats 5 Låt u vara kontinuerlig och styckvis C på intervallet [, ]. Då kan u utvecklas i en cosinusserie (8) u(x) = a + a n cos(nx) x, där koefficienterna a n ges av (6) och a n <. Om dessutom u() = u() = kan u även utvecklas i en sinusserie (9) u(x) = b n sin(nx) där b n ges av (7) och b n <. Bevis. För att härleda (8) utvidgar vi först u till en jämn funktion på intervallet [, ] och därefter till en -periodisk funktion (se figuren) x Den utvidgade funktionen blir då en kontinuerlig och styckvis C funktion. Enligt Lemma är Fourierserien för denna funktion absolutkonvergent och eftersom funktionen är jämn kan Fourierserien skrivas som en cosinusserie. Detta bevisa (8). På liknande sätt kan man härleda (9). Här börjar man med att utvidga u till en udda funktion på intervallet [, ] och sedan till en -periodisk funktion. Enda skillnaden är att man nu måste kräva att u() = u() = för att den utvidgade funktionen ska bli kontinuerlig i punkterna, ±, ±,...
10 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 9 (3) Anmärkning Notera att man enligt första delen av satsen kan utveckla t.ex. funktionen sin x i en cosinusserie på [, ]: sin x = a + a n cos(nx), x. Likheten gäller emellertid inte för < x <. Istället blir summan där sin x, eftersom sin x är en jämn funktion. Funktionerna () /, cos x, cos x, cos 3x... bildar ett ortonormerat system m.a.p. skalärprodukten () (u, v) = u(x)v(x)dx. Detta följer direkt av att de är jämna funktioner och utgör ett ortonormerat system m.a.p. (3). Eftersom det för varje Riemannintegrerbar funktion u på intervallet [, ] och varje ɛ > finns en kontinuerlig, styckvis C funktion v sådan att () u(x) v(x) dx < ɛ så medför Sats 5 att funktionerna i () är en ON-bas för R([, ]; C) med pseudoskalärprodukten (). På liknande sätt följer att funktionerna sin x, sin(x), sin(3x),... är en ON-bas för R([, ]; C) m.a.p. pseudoskalärprodukten (). Enda skillnaden är att man måste välja funktionen v i () så att v() = v() =. Parsevals sats för dessa ON-baser kan formuleras på följande sätt. Sats 6 Låt u vara en Riemannintegrerbar funktion på intervallet [, ]. Då gäller att u(x) dx = a + ( a n + b n ), där a n ges av (6) och b n ges av (7). Vi avslutar detta avsnitt med ett till Sats 5 och den efterföljande diskussionen närbesläktat resultat. Sats 7 Om u är en kontinuerlig och styckvis C funktion på intervallet [, /] som uppfyller u() =, så gäller att u(x) = b k sin(k + )x, x, där och b k <. b k = 4 / u(x) sin(k + )x dx
11 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) Specielt följer att funktionerna sin x, sin 3x, sin 5x,... är en ON-bas för R([, ]; C) försett med pseudoskalärprodukten (u, v) = 4 / u(x)v(x)dx. Bevis. Vi utvidgar först u till en kontinuerlig funktion på [, ] genom att utvidga den som en jämn funktion kring x = /, d.v.s. vi sätter u(x) = u( x) för x [/, ]. Den utvidgade funktionen, som blir kontinuerlig och styckvis C, uppfyller då u() = u() =, så enligt andra delen av Sats 5 kan u utvecklas i en absolutkonvergent sinusserie: u(x) = b n sin nx, x, där b n ges av (7). Eftesom u( x) = u(x) då x har vi att { b n = / } u(x) sin nx dx + u(x) sin nx dx { = / u(x) sin nx dx + = ( ( )n ) / / / u( x) sin n( x) dx u(x) sin nx dx. Det följer att b n = om n = k är ett jämnt tal. Sista delen av satsen följer som tidigare genom att vi approximerar en godtycklig Riemannintegrerbar funktion på [, /] med en kontinuerlig, styckvis C funktion som är noll i x =. } 6 Gibbs fenomen Exempel 3 Låt s(x) vara den -periodiska funktion som definieras av s(x) = ( x), x <. 3
12 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) En kort räkning visar att denna har Fourierserien sin kx. k Från Sats vet vi att denna är lika med s(x) utom i diskontinuitetspunkterna x = k där k är ett heltal. I dessa punkter är Fourierserien lika med noll eftersom varje term är noll. Vi ska nu studera partialsummorna s n (x) = n sin kx k närmare. Vi har att s (x) = n cos kx, och om vi använder formeln sin α sin β = sin(α+ β) sin(β α) får vi att sin s n(x) = sin(x+ ) sin(x )+sin(x+ ) sin(x )+...+sin(nx+ ) sin(nx ) Vi har alltså = sin(n + )x sin x (3) s n(x) = sin(n + )x sin x nx = sin cos n + x. Ur det första uttrycket för s n(x) här får vi att s n (x) = x s n(t)dt = ( x) + x nx sin = cos (n+)x sin x sin(n + )t sin t dt, om < x <. Genom att partialintegrera (integrera sin(n+ t och derivera /( sin x ) ser man att det för varje δ > finns en konstant M δ sådan att integralen här kan uppskattas med M δ /(n+/) då δ x δ. Vi ser därför att s n (x) s(x) i < x < då n, vilket vi redan visat, och att konvergensen är likformig i varje intervall på formen δ x δ, δ >. Ur det andra uttrycket i (3) kan vi beräkna nollställen till s n. I intervallet < x < har s n(x) n stycken nollställen om n är udda, och n nollställen om n är jämn. Dessa nollställen är av formen n + < n < 3 n + < 4 n <... < (m ) n +. < m n <... Vi ser också att nollställena är omväxande lokala maxima och lokala minima till s n eftersom derivatan växlar tecken varje gång. Vidare gäller t.ex. att s n ( m n n ) = km sin k n = n sin x k x k (x k+ x k ) där x k = km n. Uttrycket i högerledet är en Riemannsumma och konvergerar därför, när n, mot integralen m sin tdt/t. Vi har alltså att (4) lim n s n ( m n ) = m sin t dt. t
13 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp (3) På samma sätt ser man att (5) lim n s n ( (m ) (m ) ) = n + sin t dt. t Av alla dessa integraler är det (5) med m = som är störst, vilket betyder att vi för varje δ > har att (6) lim max n [,δ] Detta ska jäföras med s(+) = /, Om g = s n (x) = sin t dt. t sin t dt = t ser vi att partialsummorna skjuter över målet med faktorn g då n. Detta fenomen kallas Gibbs fenomen. Anmärkning Av integralerna (4) och (5) är det (4) för m = som är minst. Partialsummorna i Fourierserien skjuter därför under målet då n med faktorn sin t dt = t Betrakta nu en reellvärd, -periodisk, styckvis C funktion u(x) med precis en diskontinuitetspunkt x sådan att x <. Då finns konstanter A och B sådana att om s (x) = As(x x ) + B, så är u(x) s (x) en -periodisk, kontinuerlig och styckvis C funktion förutsatt att den definieras som noll i u:s diskontinuitetspunkter. Villkoren u(x +) s (x +) = u(x ) s (x ) = är nämligen uppfyllda om A = (u(x + ) u(x )), B = (u(x +) + u(x )).
14 Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp 3 (3) Ur Lemma och Sats följer då att n (7) ( c k (u)e ikx A n n k sin k(x x ) B) u(x) s ( x) likformigt då n. Speciellt ser vi att om vi sätter x = x, så gäller att n c k (u)e ikx B = (u(x +) + u(x )) då n. n Vidare ser ur (7) att Gibbs fenomen gäller för u. Mer precist, eftersom n k sin k(x x ) s(x x ) liformigt på kompakta intervall som inte innehåller några diskontinuitetspunkter, så kommer funktionerna u n (x) = n n c k(u)e ikx att konvergerar likformigt mot u(x) då n och x x att komma nära varje värde på avstånd högst g u(x +) u(x ) / från (u(x +)+ u(x ))/. g u(x +) u(x ) x (u(x +) + u(x )) Motsvarande resultat gäller naturligtvis om u har mer än en diskontinuitetspunkt i intervallet x <, men man får då justera u med flera funktioner av typen s(x), en för varje diskontinuitetspunkt.
Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merMer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012
Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 22. Exponentiella Fourierserier Vi ska i detta avsnitt se hur periodiska funktioner kan framställas i serieform med användning av den komplexa exponentialfunktionen.
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 25 januari 2011 Transformer och differentialekvationer (MVE100 Inledning Fouriertransformen Fouriertransform är en motsvarighet till Fourierserier
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merSerier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merI situationer där det inte råder någon oklarhet om vilken funktion f som avses, nöjer vi oss med att skriva c n istället för c n Hf L.
Fourierserien Fourierkoefficienter I avsnittet trigonometriska olynom har vi härlett en integralformel för koefficienterna i n c n  n W t när summan är lika med f HtL. Med integralformeln som utgångsunkt
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merOm existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer
Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs mer(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF169, Differentialekvationer och Transformer II (del ) 8 januari 18 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merRIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.
RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-
Läs merMeningslöst nonsens. November 19, 2014
November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merTrigonometriska formler Integraler och skalärprodukter Fourierserier Andra ortogonala system. Fourierserier. Fourierserier
Matte D : Additionsformler cos(α β) cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β (cos α cos β sin α sin β) = sin α sin β α = mx, β = nx sin mx sin nx = cos(m n)x cos(m + n)x Derivata f (x) = sin kx f (x) = k
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merEgenfunktionsutvecklingar
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Egenfunktionsutvecklingar Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Egenfunktionsutvecklingar 1 (15) 1 Introduktion I det här kapitlet
Läs merLineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
Läs merHt Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra
Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merOm kontinuerliga funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera
Läs merLösningsförslag till TATA42-tentan
Lösningsförslag till TATA-tentan 8-6-.. Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y
Läs merDatorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Läs merFouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs merTATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.
TATA 57/TATA8 8 augusti 26. Lösningar ) Lösning : Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger [ z + z ] Y (z) = z + z z 3 z 2 som i sin tur ger (efter ommöblering) Av
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterationer på ett intervall av Fredrik Bratt 2011 - No 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM
Läs merLösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13
KTH Matematik Examinator: Lars Filipsson Lösningsförslag till Tentamen i SF60 för CFATE den 0 december 008 kl 8-3 Preliminära betygsgränser: A - 8 poäng varav minst 8 VG-poäng, B - 5 poäng varav minst
Läs merFourieranalys. Lars-Åke Lindahl
Fourieranalys Lars-Åke Lindahl 21 Fourieranalys c 21 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. vii 1 Värmeledningsekvationen 1 2
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merTentamen SF e Januari 2016
Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merTillämpningar av komplex analys på spektralteori
Tillämpningar av komple analys på spektralteori Anders Källén, baserat på föreläsningar hösten 1979 av Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet härleds
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 07-08-4 kl. 4.00 8.00 Tentamen MVE500, TKSAM- Telefonvakt: Anders Hildeman 03 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merDugga 2 i Matematisk grundkurs
Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merFourieranalys. Anders Holst
Fourieranalys Anders Holst Mars 24 Förord Detta kompendium bygger i stor utsträckning på tidigare material som behandlat motsvarande stoff då kursorganisationen var annorlunda. Kapitel ett, om serier,
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merInnehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1
SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u,
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Partiella differentialekvationer Separation av variabler Operatorer A definierade
Läs mer